trabajo calculo vectorial 2er corte
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Universidad de Cartagena
Integrantes:
Ivan David Zabaleta
Francisco Montero
Daniela Oliver
Cristian Peralta
Docente:
Daniel Puerta
Taller de
Calculo Vectorial
2015
TALLER DE SUPERFICIES En los siguientes ejercicios dibuje el cilindro cuya ecuación es:
1. 4 x2+9 y2=36
2. y=|z|
3. z=2 x2
4. y=cosh x
9. y2−x2=4
10.z=e− x
En los siguientes ejercicios identifique y trace la grafica de la superficie cuadrica:12.36 x2− y2+9 z2=144
Dividiendo toda la expresión entre 144, obtenemos:
x2
4− y2
144+ z2
16=1
Intersectos:
Con el eje x: (y=0, z=0) (-2, 0, 0), (2, 0, 0)
Con el eje y: (x=0, z=0) No hay intersecto
Con el eje z: (x=0, y=0) (0, 0, -4), (0, 0, 4)
Trazas:
En el plano xy: z=0, x2
4− y2
144=1 Hipérbola
En el plano yz: x=0, →− y2
144+ z2
16=1 Hipérbola
En el plano xz: y=0, x2
4+ z2
16=1 Elipse
Secciones transversales:
z=k entonces x2
4− y2
144=1− k2
16
Hipérbolas, { si|k|=16→x2− y12
=0 x2+ y12
=0 Rectas
si|k|<16→ eje transverso es paraleloal eje xsi|k|>16→ ejetransverso es paralelo al eje y
y=k entonces x2
4+ z2
16=1+ k2
144Elipses cuyos semiejes aumentan a medida que |k|>12
x=k entonces− y2
144+ z2
16=1− k 2
4
Hipérbolas,{ si|k|=4→− y12
+ z4=0 y
12+ z4=0 rectas
si|k|<4→ eje transversoes paralelo al eje ysi|k|>16→ ejetransverso es paralelo al eje z
GRAFICAHiperboloide elíptico de una hoja
13. y2+5 z2=x2
Intersectos:
Con el eje x: (z=0; y=0) → (0, 0,0)
Con el eje y: (x=0; z=0) → (0, 0,0)
Con el eje z: (x=0; y=0) → (0, 0,0)
Trazas:
En el plano xy: (z=0) → y²=x² → y²-x²=0 → (y-x)=0 (y+x)=0 Rectas.
En el plano xz: (y=0) → 5z²=x² → 5z²-x²=0 → (5z-x)=0 (5z+x)=0 Rectas.
En el plano yz: (x=0) →y²+5z²=0 → z=0 y=0 Punto (0, 0,0)
Secciones transversales:
z=k → y²- x² =-5z² Hipérbolas con eje transverso paralelo al x.
y=k → 5z²- x² =-k² Hipérbolas con eje transverso paralelo al x.
x=k → y²+5z²=k² Elipses cuyos semiejes aumentan a medida que |k| aumenta.
GRAFICA
Cono elíptico:
14.−4 x2+16 y2=144
Dividiendo la expresión entre 144
−x2
36+ y2
9=z →− x2
36+ y2
9− z1=0
Intersectos:
Con el eje x: (y=0, z=0) (0, 0, 0)
Con el eje y: (x=0, z=0) (0, 0, 0)
Con el eje z: (x=0, y=0) (0, 0, 0)
Trazas:
En el plano xy: z=0, −x2
36+ y2
9=0→− x
6+ y3=0 x
6+ y3=0 Rectas
En el plano yz: x=0, →y2
9= z1
Parábola que abre hacia el eje z+
En el plano xz: y=0, −x2
36= z1
→x2
36=−z1 Parábola eje focal en el eje z-
Secciones transversales:
z=k entonces y2
9− x2
36= k1
Si k>0 existen hipérbolas con eje transverso paralelo al eje
y
x=k entonces y2
9= z1+ k2
36Parábola con eje focal paralelo al eje z.
y=k entonces −x2
36= z1− k2
9→
x2
36=−z1
+ k 2
9 Parábolas que abren hacia abajo con eje
focal paralelo al eje z-
GRAFICAParaboloide hiperbólico:
15.x2− y2−z2=4
Dividiendo toda la expresión entre 4, obtenemos:
x2
4− y2
4− z2
4=1
Intersectos:
Con el eje x: (y=0, z=0) (2, 0, 0), (-2, 0, 0)
Con el eje y: No hay Intersectos
Con el eje z: No hay Intersectos
Trazas:
En el plano xy: (z=0) → x2
4− y2
4=1 Hipérbola
En el plano yz: (x=0) → − y2
4− z2
4=1 Ninguna
En el plano xz: (y=0) → x2
4− z2
4=1 Hipérbola
Secciones transversales:
Z=k →x2
4− y2
4=1− k 2
4 Hipérbolas con eje transverso paralelo al eje x
Y=k x2
4− z2
4=1− k2
4 Hipérbolas con eje transverso paralelo al eje x
X=k → − y2
4− z2
4=1− k2
4→
y2
4+ z2
4=−1+ k2
4
{ si|k|=0→ No h ay imagensi|k|<4→ No hay imagen
si|k|>4→ Elipses cuyossemiejes aumentan amedida que|k|>4
GRAFICAHiperboloide elíptico de dos hojas:
16.x2=2 y+4 z
Cilindro
17.9 x2+36 y2+4 z2=36
Dividiendo toda la expresión entre 36, obtenemos:
x2
4+ y2
1+ z2
9=1
Intersectos:
Con el eje x: (y=0, z=0) (4, 0, 0)
Con el eje y: (x=0, z=0) (0, 1, 0)
Con el eje z: (x=0, y=0) (0, 0, 9)
Trazas:
En el plano xy: z=0, 9 x2+36x2=36 recta
En el plano yz: x=0, → 4 x2+4z2=36 recta
19.x2− y2−z2=4
Dividiendo toda la expresión entre 4, obtenemos:
x2
4− y2
4− z2
4=1
Intersectos:
Con el eje x: (y=0, z=0) (2, 0, 0), (-2, 0, 0)
Con el eje y: No hay Intersectos
Con el eje z: No hay Intersectos
Trazas:
En el plano xy: (z=0) → x2
4− y2
4=1 Hipérbola
En el plano yz: (x=0) → − y2
4− z2
4=1 Ninguna
En el plano xz: (y=0) → x2
4− z2
4=1 Hipérbola
Secciones transversales:
Z=k →x2
4− y2
4=1− k 2
4 Hipérbolas con eje transverso paralelo al eje x
Y=k x2
4− z2
4=1− k2
4 Hipérbolas con eje transverso paralelo al eje x
X=k → − y2
4− z2
4=1− k2
4→
y2
4+ z2
4=−1+ k2
4
{ si|k|=0→ No h ay imagensi|k|<4→ No hay imagen
si|k|>4→ Elipses cuyossemiejes aumentan amedida que|k|>4
GRAFICAHiperboloide elíptico de dos hojas
Grafique los siguientes planos20.5 x+2 y+z=10
Interfectos En el eje x→(2,0,0) En el eje y →(0 ,5 ,0) En el eje z→(0 ,0 ,10)
Trazas Plano xy :5x+2 y=10 Plano xz :5x+z=10 Plano yz :2 y+z=10
GRAFICA
21.3 x+2 z=9
Interfectos En el eje x→(3 ,0,0) En el eje y →no intersecta aleje y
En el eje z→(0 ,0 ,92)
Trazas Plano xy :3x=9 Plano xz :2 z=9 Plano yz :3 x+2 z=9
GRAFICA
22.– y−3 z+6=0
Interfectos En el eje x→ no intersecta al eje x En el eje y →(0 ,6 ,0) En el eje z→(0 ,0 ,2)
Trazas Plano xy : y=6 Plano xz : z=2 Plano yz :− y−3 z=−6
GRAFICA
23.Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el origen y perpendicular a la recta 14
( x−10 )=13
y=12
z en la intersecciónTeniendo en cuenta que las ecuaciones paramétricas de la recta dad son
x=10+4 t y=3 t z=2 t
Tenemos como vector normal N=¿4 ,3 ,2>¿ ahora, trazamos un
vector director el origen O(0 ,0 ,0) hasta el punto P<10+4 t ,3 t ,2 t>¿
OP=¿10+4 t−0 ,3 t−0 ,2 t−0≥¿10+4 t ,3 t ,2 t>¿
Ahora hacemos producto punto entre el vector director y el vector director OP para hallar t:¿4 ,3 ,2>∙<10+4 t ,3 t ,2 t≥0
40+16 t+9t +4 t=0
29 t=−40
t=−4029
Ahora que conocemos t, la remplazamos en las ecuaciones paramétricas de la recta dad para conocer el punto ( x , y , z ) x=10+4(−4029 )→10+(−16029 )=13029
y=3 (−4029 )=−12029
z=2(−4029 )=−8029
V D=¿ 13029
,−12029
,−8029
≥ 1290
<13 ,−12 ,−8>¿
Sabiendo que esta recta pasa por el origen tenemos las ecuaciones: Paramétricas Y simétricas
x=13 ty=−12tz=−8 t
x13
= y−12
= z−8
24.Si l1 es la recta que pasa por A (1 ,2 ,7 ) y B (−2 ,3 ,−4 ) y l2 es la recta que pasa por C (2 ,−1,4 ) y D (5 ,7 ,−3 ). Demuestre que l1 y l2 son rectas cruzadas.Para demostrar que estas rectas son oblicuas debemos demostrar que no son paralelas, ni se intersectan hallando las ecuaciones paramétricas.
l1=V D1=(−2 ,3 ,−4 )−(1,2 ,7 )=←3 ,1 ,−11>¿
x1=1−3 t
y1=2+t
z1=7−11 t
l2=V D2=(5 ,7 ,−3 )−(2 ,−1 ,4 )=¿3 ,8 ,−7>¿
x2=2+3 s
y2=8 s−1
z2=4−7 s
Puesto que sus vectores directores no son proporcionales, no son paralelos.Ahora, para demostrar que no se intersectan hallamos s y t igualando x , y , z de cada recta, así:x1=x2→1−3 t=2+3 s →t=−1−3 s
3→ t=
−1−3( 278 )3
→ t=−4112
y1= y2→2+t=8 s−1→2+(−1−3 s3 )=8 s−1→
6−1−3 s3
=8 s−1→5−3 s=24 s−3→8=27 s→ s=278
z1=z2→7−11 t=4−7 s →7−11(−4112 )=4−7( 278 )→7+ 45112
=4−1898
→53512
≠−1598
Estas rectas no se intersectan, por tanto son oblicuas.25.Demuestre que la rectas
l1:2 x− y+z+3=0 , x+ y+2 z+3=0
l2: x− y−z−1=0 ,3 x−z−7=0
Son rectas cruzadas y hallar la distancia más corta entre ellas.Hallamos el vector director y un punto en ambas rectas.
V D1=|i j k2 −1 11 1 2|=−3 i−3 j+3 k
Punto P, sea x=0→− y+z=−3y+2 z=−3
y+2 (−3+ y )=−3
y−6+2 y=−3
3 y=3
y=1
z=−3+1
z=−2
El punto es P (0 ,1,−2 )
V D2=|i j k1 −1 −13 0 −1|=i−2 j+3k
Punto Q, sea x=0→− y−z=1−z=7
z=−7
7−1= y
y=6
El punto es Q (0 ,6 ,−7 )
Ecuaciones paramétricas l1:
x=−3 ty=1−3 tz=3 t−2
l2:x=s
y=6−2 sz=3 s−7
Vamos que los vectores directores no son paralelos, ahora veamos si intersectan −3 t=s → s=5
3
1−3 t=6−2 s→ t=−59
3 t−2=3 s−7→3(−59 )−2=3( 53 )−7→−57−2=−2
No intersectan de modo que son oblicuas Y por lo tanto la distancia más corta entre ellas está dada por
D=|PQ ∙ (V D1×V D2 )|
‖V D1×V D2‖
PQ=(0 ,6 ,−7 )−(0 ,1 ,−2 ) → PQ=¿0 ,5 ,−5>¿
V D1× V D 2=| i j k−3 −3 31 −2 3|=−3i+12 j+9k →←1 ,4 ,3>¿
D=¿¿
D=|5|√26
=0,98≈1
26.Hallar las distancia más corta entre las dos rectas que se cruzan x−12
= y+21
= z−31
Y x+2−3
= y−21
= z+12
D=|PQ ∙ (V D1×V D2 )|
‖V D1×V D2‖
PQ=(−2 ,2 ,−1 )−(1 ,−2 ,3 )=←3 ,4 ,−4>¿
V D1× V D 2=| i j k2 1 1
−3 −1 2|=3 i−7 j+k
D=|←3 ,4 ,−4> ∙<3 ,−7 ,1|
√(3 )2+ (−7 )2+(1 )2=
|−41|√59
=5.34
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