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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS

Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas

MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)

TIPO 130 A

Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______

Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado

JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS 1. a) Sean f y g dos funciones tales que:

8)(3)(11

-==®®

xgyxf LimLimxx

Indicando las propiedades utilizadas, hallar el valor de a para que:

3)()(

)(

1

=+® xgxf

xafLimx

b) Definir formalmente

22

32

1

-=+

-

-® x

xLimx

c) Dibujar una función f con dominio [ ]2,2- ,

1)2()1()1()2( ===-=- ffff , discontinua en -1 y en 1, continua a la

derecha en -1 y por la izquierda en 1.

d) Hallar 23

12

2

-

+

+¥® x

xLimx

e) Sabiendo que 1)(33 2 +-<<- xxxfx , para

2¹x .

Hallar )(2

xfLimx®

(1 Pto c/u)

2. Hallar los siguientes limites:

a) )(

1)cos(

0 xsen

xLimx

-

®

(3 Ptos) b) 0,0con,

22

22

0>>

-+

-+

®ba

bbx

aaxLimx

(4 Ptos)

c) 3

)62(

3 -

-

® x

xsenLimx

(3 Ptos) d) )32)(21(

)2)(1(

xx

xxLimx -+

+-

-¥®

(4 Ptos)

3. Dada la función f definida por:

ïï

î

ïï

í

ì

>-

-+£<+

£+

=

32

3131

12

)(

2

xsix

xxsibax

xsix

xf

Hallar los valores de a y b para que f sea continua en todo RI

(6 Ptos)

4. a) Enunciar el Teorema del valor intermedio.

(2 Ptos)

b) Probar que existe un )3,2(Îc , tal que: 5)( =cf , d o n d e

ïî

ïí

ì

³+-

<-

+

=

122

13

)cos(

)(23 tsitt

tsit

tt

tf (3 Ptos)

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DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS

Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas

MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)

TIPO 130 A

Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______

Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado

1. a) Sean f y g dos funciones

tales que:

8)(3)(11

-==®®

xgyxf LimLimxx

Indicando las propiedades utilizadas, hallar el valor de a para que:

3)()(

)(

1

=+® xgxf

xafLimx

Solución:

5383

3

3

)()(

)(

3)()(

)(

51

5

1

-=Û=-

Û

=

+÷÷

ø

ö

çç

è

æ

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

Û

=+

®®

®

®

aa

xgxf

xfa

xgxf

xaf

LimLim

Lim

Lim

xx

x

x

b) Definir formalmente

22

32

1

-=+

-

-® x

xLimx

Solución:

ed

de

<++

-Þ<+<

>$>"

22

310

:,0,0

2

x

xx

talque

c) Dibujar una función f con dominio [ ]2,2- ,

1)2()1()1()2( ===-=- ffff , discontinua en -1 y en 1, continua a la

derecha en -1 y por la izquierda en 1. Solución:

(1 Pto c/u)

-1 1 0 ¥+ ¥- -2 2

1

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DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS

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MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)

TIPO 130 A

Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______

Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado

d) Hallar 23

12

2

-

+

+¥® x

xLimx

Solución:

2

2

2

2

2

2

2

2

23

11

23

1

23

1

x

x

x

x

x

x

x

x

-

+

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ -

÷÷

ø

ö

çç

è

æ +

=-

+

Luego:

3

1

23

11

23

1

2

2

2

2

=

-

+

==-

+

+¥®+¥®

x

x

x

xLimLimxx

e) Sabiendo que 1)(33 2 +-<<- xxxfx , para 2¹x .

Hallar )(2

xfLimx®

Solución:

Como ( ) ( )1333 2

22

+-==-®®

xxx LimLimxx

, entonces por el teorema del

emparedado

3)(2

=®

xfLimx

2. Hallar los siguientes limites:

a) )(

1)cos(

0 xsen

xLimx

-

®

(3 Ptos)

Solución:

( )( )( )

( )1)cos()(

1)(cos

1)cos()(

1)cos(1)cos(

)(

1)cos(

2

+

-=

+

+-=

-

xxsen

x

xxsen

xx

xsen

x

( )

( )1)cos(

)(

1)cos()(

)(2

+-=

+

-=

x

xsen

xxsen

xsen

b) 0,0con,22

22

0>>

-+

-+

®ba

bbx

aaxLimx

(4 Ptos)

Solución:

÷ø

öçè

æ ++

÷ø

öçè

æ ++

÷ø

öçè

æ ++

÷ø

öçè

æ ++

÷ø

öçè

æ -+

÷ø

öçè

æ -+

=

-+

-+

bbx

bbx

aax

aax

bbx

aax

bbx

aax

22

22

22

22

22

22

22

22

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MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)

TIPO 130 A

Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______

Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado

Luego:

( )

( )0

2

0

1)cos(

)(

1)cos(

)(

)(

1)cos(

0

0

0

=-=+

-=

÷÷ø

öççè

æ

+-=

-

®

®

®

x

xsenLim

x

xsenLim

xsen

xLim

x

x

x

( )( )

aax

bbx

aax

bbx

bbx

aax

++

++=

÷ø

öçè

æ ++

÷ø

öçè

æ ++

-+

-+=

22

22

22

22

222

222

a

b

aax

bbxLim

bbx

aaxLim

xx=

++

++=

-+

-+

®® 22

22

022

22

0

c) 3

)62(

3 -

-

® x

xsenLimx

(3 Ptos)

Solución:

62

)62(2

3

)62(

-

-=

-

-

x

xsen

x

xsen

Luego:

21.2)(

2

62

)62(2

3

)62(

0

3

3

===

-

-=

-

-

®

®

®

y

ysenLim

x

xsenLim

x

xsenLim

y

x

x

d) )32)(21(

)2)(1(

xx

xxLimx -+

+-

-¥®

(4 Ptos)

Solución:

÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ+

÷ø

öçè

æ+÷

ø

öçè

æ-

=

-+

+-

=-+

+-

32

21

12

11

)32()21(

)2()1(

)32)(21(

)2)(1(

xx

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

xx

( )( ) 6

1

3.2

1.1

32

21

12

11

)32)(21(

)2)(1(

=-

-=

÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ+

÷ø

öçè

æ+÷

ø

öçè

æ-

=

=-+

+-

-¥®

-¥®

xx

xxLim

xx

xxLim

x

x

3. Dada la función f definida por:

ïï

î

ïï

í

ì

>-

-+£<+

£+

=

32

3131

12

)(

2

xsix

xxsibax

xsix

xf

Hallar los valores de a y b para que f sea continua en todo RI

Solución: 3.1.- f es continua en ( )1,¥- , ya que es un polinomio.

f es continua en ( )3,1 , ya que es un polinomio.

(6 Ptos)

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MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)

TIPO 130 A

Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______

Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado

f es continua en ( )+¥,3 , ya que es el cociente de funciones continuas y la

función del denominador no se anula en ( )+¥,3 .

3.2.- Continuidad en 1=x , ÷ø

öçè

æ=

®)1()(

1fxfLim

x

3.2.1.- 321)1( 2 =+=f

3.2.2.- )(1

xfLimx®

( ) 32)( 2

11

=+=-®-®

xLimxfLimxx

y ( ) babaxLimxfLimxx

+=+=+®+® 11

)( ,

Luego el limite existe si se satisface: ba +=3 Por lo tanto f es continua en 1=x , si se satisface: )1(3 fba ==+

3.3.- Continuidad en 3=x , ÷ø

öçè

æ=

®)3()(

3fxfLim

x

3.3.1.- baf += 3)3(

3.3.2.- )(3

xfLimx®

( ) babaxLimxfLimxx

+=+=-®-®

3)(33

y 12

31)(

33

-=÷÷ø

öççè

æ

-

-+=

+®+® x

xLimxfLim

xx

Luego el limite existe si se satisface: 13)3( -=+= baf

Por lo tanto f es continua en 1=x y 3=x , si se satisface:

îíì

-=

=Û

îíì

-=

=+Û

îíì

-=

=+Û

îíì

-=+

=+

2

5

2

3

42

3

13

3

a

b

a

ba

a

ba

ba

ba

f es continua en todo RI , si se toman los valores 2-=a y 5=b

4. a) Enunciar el Teorema del valor intermedio.

Solución: Sea f una función continua en el intervalo [ ]ba, y sea un w un valor entre

)(y)( bfaf , entonces existe un ( )bac ,Î , talque: wcf =)(

(2 Ptos)

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TIPO 130 A

Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______

Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado

b) Probar que existe un )3,2(Îc , tal que: 5)( =cf , d o n d e

ïî

ïí

ì

³+-

<-

+

=

122

13

)cos(

)(23 tsitt

tsit

tt

tf

Solución: 11)3(y2)2( == ff , como )3(5)2( ff << y la función es continua en

[ ]3,2 , ya que es un polinomio en ese intervalo, se puede aplicar el teorema del

valor intermedios y en consecuencia, existe un ( )3,2Îc , talque: 5)( =cf

(3 Ptos)