texstudio_se5384.pdf

7/23/2019 texstudio_sE5384.pdf

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Ejercicio.   Hallese la curva integral de la ecuacion yy” + ( y)2 − 1 =  0 que pasa porel punto P(0, 1) y que es tangente en este punto a la recta x + y =  1.

Soluci´ on.  Consideremos el siguiente cambio de variable

v =  y =  dydx

  ⇔   v = dvdv

 =  dvdy

dydx

  =  dydx

dvdy

 = vdvdy

.

Remplazando en la EDO, tendremos

 yvdv

dy + v2

− 1 =  0,

que es resoluble por variable separable, y cuya solucion para v2 ≥ 1, es

v2 =  c1

 y2 + 1,

con c1   ∈  R  la primera variable de integracion, luego restituyendo la variable, ten-dremos que

( y)2 =  c1

 y2 + 1. (1)

Por otro lado la solucion de esta EDO, tambien por variable separable y consideran-do la solucion no negativa, es

 y2 = (x + c2)2− c1, (2)

con c2  ∈ R la segunda variable de integracion.

Ahora puesto que la curva que describe (2) es tangente a la recta x + y =  1, entoncesla recta tangente a la curva en (2) sera paralela a la recta  x + y  =  1, dicho en otraspalabras la derivada de (2), que es la que proporciona (1) tendra que igualarse a la−1 que es la pendiente de la recta x + y =  1 (dy/dx  = −1), por tanto tendremos queen el punto P(0, 1) (es decir, y(0) = 1 y y(0) = −1)

( y(0))2 =  c1

( y(0))2 + 1 =

  c1

1  + 1 = (−1)2 = 1,

de dondec1 = 0.

Mientras que de la expresion en (2), se tendra que para el punto  P(0, 1)  (es decir, y(0) = 1)

( y(0))2 = (0 + c2)2− 0 = (1)2 = 1

de dondec2 = 1.

La curva que satisface estas demandas, sera entonces

 y2 = (x + 1)2.

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