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TEORÍA DE LA
REGRESIONDr. Salvador Martín Medina Torres
Profesor - Investigador
Postgrado en Desarrollo Sustentable de Recursos naturales
ÁREA DE GESTIÓN DE VIDA SILVESTREUniversidad Autónoma Indígena de México -Unidad Mochicahui
Juárez 39, Mochicahui, El Fuerte, Sinaloa. C.P. 81890.
Tel. y Fax: (698) 892-06-54 y 892-00-42
1
ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS
CUADRADOS
EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE UNIVARIANTE
2
¿Qué productos buscamos en
la regresión?
Parámetros
– o, 1
Predicción
– Crear una función lineal que permita describir
el comportamiento de una variable dependiente
Y en función de una o mas variables
independientes X
3
Procedimientos para estimar
los parámetros
Estimación por mínimos cuadrados
Estimación por máxima verosimilitud
Método del estimador insesgado de varianza
mínima
4
Estimación por mínimos
cuadrados
Es el mas utilizado
Fue desarrollado por Karl Gauss (1777-1855)
La idea es producir estimadores de los parámetros ( o, 1) que hagan mínima la suma de cuadrados de las distancias entre los valores observados Yi, y los valores estimados Ŷi
5
Supuestos del método de
mínimos cuadrados
1. El modelo de regresión es lineal en los parámetros y .
2. Los valores de X son fijos en muestreo repetido.
3. El valor medio de la perturbación i es igual a cero.
4. Homocedasticidad o igual variancia de i.
5. No autocorrelación entre las perturbaciones i.
6. La covariancia entre i y Xi es cero.
7. El número de observaciones n debe ser mayor que el número de parámetros a estimar.
8. Variabilidad en los valores de X.
9. El modelo de regresión está correctamente especificado.
10. No hay relaciones lineales perfectas entre las variables explicativas Xi.
6
Método de los Mínimos
Cuadrados
Error = Y observada o real – Ŷ estimada
El método minimiza la suma de estos errores elevada al
cuadrado, para evitar el valor cero que ocurre cuando se
suman los errores.
n
i
ii
n
i
iiii
XX
YYXX
1
2
11
)(
))((
XY 10
7
Para simplificar lo anterior…
SPXXXXn
i
ii
1
2)(
SPYYYYn
i
ii
1
2)(
n
i
ii
n
i
iiii
XX
YYXX
1
2
11
)(
))(( SPXYYYXXn
i
iiii
1
))(( Covarianza XY
Varianza X
Varianza Y
Se guarda para
después…SPXX
SPXY1
8
Ejemplo práctico:
Suponer que se toma una muestra aleatoria de 10 personas de una población cualquiera, y se registran sus pesos y medidas.
Se busca crear una función matemática que permita predecir el peso (kg), en función de la estatura (cm).– Peso = f(Estatura)
Por tanto, la variable dependiente será el peso, y la variable independiente será la estatura.– Y = peso (kg); X = estatura (cm)
9
Elaborar una memoria de calculo
observaciones estatura (cm) Xi peso (kg) Yi X2i Y2
i XiYi
1 162.00 63.00 26,244 3,969 10,206
2 158.00 52.00 24,964 2,704 8,216
3 167.00 78.00 27,889 6,084 13,026
4 151.00 49.00 22,801 2,401 7,399
5 162.00 71.00 26,244 5,041 11,502
6 168.00 62.00 28,224 3,844 10,416
7 167.00 68.00 27,889 4,624 11,356
8 153.00 48.00 23,409 2,304 7,344
9 152.00 56.00 23,104 3,136 8,512
10 173.00 67.00 29,929 4,489 11,591
1,613.00 614.00 260,697 38,596 99,568
Elementos que necesitamos
Medias 161.30 61.40
iX iY 2
iX2
iY iiYX
Datos de Infante, S. y G. Zárate. 1991. Métodos estadísticos, un enfoque interdisciplinario. Ejemplo 12.1. 465 p.10
Para simplificar la estimación
de
SPXXXXn
i
ii
1
2)(
SPYYYYn
i
ii
1
2)(
SPXYYYXXn
i
iiii
1
))(( Covarianza XY
Varianza X
Varianza Y
Se guarda para
después…
SPXX
SPXY1
n
YXYXSPXY
ii
ii
11
Estimando parámetros
8.52910
)614)(613,1(568,99
n
YXYXSPXY
ii
ii
0187.11.520
8.5291
SPXX
SPXY
91.1023.161)0187.1(4.6110 XY
12
Obteniendo la ecuación de
regresión
iii XXY 0187.191.10210
13
Obteniendo los valores
estimados de Yi
En cada fila (observación), se calculan los
valores estimados para Yi (denotados por
Ŷi), mediante la ecuación de regresión
obtenida, sustituyendo los valores de Xi :
14
32.731730187.191.102
04.581580187.191.102
11.621620187.191.102
1010010
2202
1101
XY
XY
XY
En la memoria de cálculo…
15
observaciones estatura (cm) Xi peso (kg) Yi X2i Y2
i XiYi Yi estimada
1 162.00 63.00 26,244 3,969 10,206 62.11
2 158.00 52.00 24,964 2,704 8,216 58.04
3 167.00 78.00 27,889 6,084 13,026 67.21
4 151.00 49.00 22,801 2,401 7,399 50.91
5 162.00 71.00 26,244 5,041 11,502 62.11
6 168.00 62.00 28,224 3,844 10,416 68.22
7 167.00 68.00 27,889 4,624 11,356 67.21
8 153.00 48.00 23,409 2,304 7,344 52.95
9 152.00 56.00 23,104 3,136 8,512 51.93
10 173.00 67.00 29,929 4,489 11,591 73.32
1,613.00 614.00 260,697 38,596 99,568
Elementos que necesitamos
Medias 161.30 61.40
iX iY 2
iX2
iYiiYX
Se calcula con la ecuación de regresión obtenida
para cada valor de X
El gráfico muestra así los valores
reales y los estimados…
16
y = -102.91+1.0187x
-
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
145.00 150.00 155.00 160.00 165.00 170.00 175.00
peso (kg) Yi
valores estimados
Lineal (peso (kg) Yi)
valores reales
X = Estatura (cm)
Y =
Pes
o (
kg
)
¿Qué logramos con este
método?
Del número infinito de rectas de regresión
que se pueden generar, hemos generado
aquella cuya suma de cuadrados de las
distancias entre los valores reales y
estimados (Yi - Ŷi), sea la menor de todas…
17
18
observaciones estatura (cm) Xi peso (kg) Yi X2i Y2
i XiYi Yi estimadaei
(residuales)e2
i
(residuales)
1 162.00 63.00 26,244 3,969 10,206 62.11 0.89 0.79
2 158.00 52.00 24,964 2,704 8,216 58.04 - 6.04 36.46
3 167.00 78.00 27,889 6,084 13,026 67.21 10.79 116.50
4 151.00 49.00 22,801 2,401 7,399 50.91 - 1.91 3.64
5 162.00 71.00 26,244 5,041 11,502 62.11 8.89 78.98
6 168.00 62.00 28,224 3,844 10,416 68.22 - 6.22 38.75
7 167.00 68.00 27,889 4,624 11,356 67.21 0.79 0.63
8 153.00 48.00 23,409 2,304 7,344 52.95 - 4.95 24.46
9 152.00 56.00 23,104 3,136 8,512 51.93 4.07 16.59
10 173.00 67.00 29,929 4,489 11,591 73.32 - 6.32 39.92
1,613.00 614.00 260,697 38,596 99,568 0.00 356.72
Hemos conseguido hacer mínima esta suma…
INTERPRETACION DE LA
ECUACION DE REGRESION
EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE UNIVARIANTE
19
Interpretación de la ecuación
de regresión estimada
Una vez obtenida la recta estimada el
investigador puede necesitar interpretar los
componentes de la ecuación.
Es frecuente cometer algunos errores.
– Estos son los mas comunes…
20
Interpretación de la estimación
de la ordenada al origen 0
0: se interpreta matemáticamente como el valor que tomará una Ŷi cuando X = 0
Este parámetro no tiene interpretación práctica en muchos problemas.
– En nuestro ejemplo: una persona de 0 cm, no puede pesar -102.91 kg de estatura.
– Sin embargo, este valor es necesario para representar la tendencia que muestran los datos en el espacio de valores observados para la variable independiente.
21
¿Bajo que condiciones es posible
una interpretación práctica de 0?
Debe ser físicamente posible que X tome el
valor de 0.
Deben tenerse suficientes datos alrededor
del valor X = 0.
– Podemos concluir que es poco razonable tratar
de predecir el comportamiento de Y para
valores imposibles de X.
22
Interpretación del estimador
de la pendiente 1
1, también llamado Coeficiente de Regresión, es de mayor importancia que 0 , ya que ya que nos indica la forma en que están relacionadas X y Y.
Mide cuanto y en que dirección (positiva o negativa) se modifican los valores de Y cuando cambia X.– Ejemplo: en el caso anterior, se dice que por cada 1.0187 kg
de incremento en el peso, se incrementará 1.0 cm de estatura.
– Precaución: una vez mas, esta afirmación solo opera para un cierto intervalo de valores.
• Suponer que el valor mínimo de estatura sea de 1 metro: le correspondería un peso estimado de -1.04 kg, situación naturalmente imposible.
• Para una mejor interpretación de 1, debemos estimar su varianza…
23
Conclusiones
Recordar: un supuesto básico del modelo de regresión, es que para cada valor posible de X, Y es una variable aleatoria con distribución normal cuya media es Y/X
Lo correcto es decir que las medias poblacionales de Y se incrementan (o disminuyen) al aumentar X
Recordar que en realidad trabajamos con estimadores de parámetros desconocidos, y son por tanto, variables aleatorias sobre las que deben hacerse afirmaciones probabilísticas.
24
PROPIEDADES DE LOS
ESTIMADORES DE MINIMOS
CUADRADOS
EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE UNIVARIANTE
25
Propiedades de los estimadores
de mínimos cuadrados
Los estimadores de la ordenada al origen 0, la pendiente 1 y la recta de regresión ( Y/X) tienen las siguientes distribuciones:
)(;~
22
00SPXXn
XN
i
SPXXN
2
11 ;~
)2;(~0000
010// XYXYXYX
XNY
SPXX
XX
nXY
2
02 )(120
Donde…
26
Como estimador de 2, se utiliza S2e, que se
expresa:
El estimador S2e es insesgado, siempre y cuando el
modelo de línea recta adoptado sea correcto; es decir, que en esas condiciones:
22
.. 12
n
SPXYSPYY
n
ERRORCSSe
22 )( eSE
27
Sustituyendo 2 por S2e, obtenemos
estimadores para las varianzas de 0, 1 y ŶXo:
)(;~
22
00SPXXn
XN
i
SPXXN
2
11 ;~
SPXX
XX
nXY
2
02 )(120
)(
22
2
0 SPXXn
XSS
ie
SPXX
SS e
22
1
SPXX
XX
nSe
YSX
2
02 )(120
28
Ejemplo: estimar varianzas de los
datos analizados
Del caso de las estaturas y pesos:
– Se tenían: SPXY=529.8; SPXX=520.1;
SPYY=896.4; X2i=260,697; X= 161.30
)(;~
22
00SPXXn
XN
i)(124.50
)1.520(10
260697
)(
2222
2
0 SPXXn
X i
SPXXN
2
11 ;~ )(0019.01.520
222
2
1 SPXX
29
Para obtener estimadores de estas varianzas
requerimos estimar a través de S2e:
– Recordar que 1 = 1.0187
587.44210
8.529)0187.1(4.896
212
n
SPXYSPYYSe
30
Ya con el valor de…
Se procede a calcular las varianzas
estimadas de 0 y 1:
587.442
eS
)(
22
2
0 SPXXn
XSS
ie
SPXX
SS e
22
1
879.2234)587.44(124.50)(124.50 2
0847.0)587.44(0019.0)(0019.0 2
31
Finalmente, si se desea estimar la recta para un valor X0 de un valor arbitrario elegido por nosotros (digamos, 100 cm – o 1 metro- ):– Recordar que 0 = -102.91
… la varianza asociada con la estimación anterior es:
kgXYX 04.1)100(0187.1)91.102()( 0101200
325.71.520
)3.161100(
10
1)(12 22
22
02
1200 SPXX
XX
nXY
32
En tanto que su varianza estimada es:
– Donde:
22
02 62.326)587.44(325.7)(12
0
kgSPXX
XX
nSe
YSX
22 587.44eS
33
Conclusión: Para un valor hipotético X0 = 100 cm de estatura, el valor
estimado de Ŷxo deberá ser de -1.04 kg, con una varianza estimada de 326.62 kg2, o una desviación estándar de ±18.07 kg (-19.12 a 17.03 kg).
– Es decir, el peso estimado a 100 cm de estatura, deberá estar entre ese intervalo de valores.
De acuerdo a actuales estándares en pediatría, a estaturas aproximadas a 100 cm, se corresponden pesos aproximados a los 17 Kg.– Para comprobarlo, ver enlace en:
http://www.guiainfantil.com/salud/embarazo/tabla_pesos.htm
34
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