teoria d’homotopia i rob oticamat.uab.cat/~albert/nw/pdf/homot_robotica_notes.pdf · intro.esp....
Post on 25-Sep-2020
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Teoria d’homotopia i robotica
Albert Ruiz Cirera
Tendencies actuals de les matematiques - Grau en Matematiques - UAB
24 de febrer de 2011
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 1/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Continguts
1 Introduccio
2 Espais de configuracions
3 Camins als espais de configuracions
4 Complexitat topologica
5 Eines per a calcular TC(X ): LS
6 Complexitat topologica de les esferes
7 Eines per a calcular TC(X ): H∗(X ; R)
8 Productes
8 Conclusions
9 Bibliografia
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 2/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Robotica: planificadors de moviments
Brac articulat
Moviment de robots al pla
Brac articulat amb obstacles
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 3/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Planificacio del moviment
Modelar el robot (o robots) i l’ambient on es mouen (Espai deconfiguracions).
Desenvolupar algorismes que es permetin passar el robot (o robots)d’un estat a un altre (Trobar camins de l’espai de configuracions).
Trobar propietats topologiques de l’espai de configuracions:complexitat topologica.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 4/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Espais de configuracions
Estats
Fixat un sistema S (brac articulat, robot al pla, . . . ) anomenemestat a una posicio possible del sistema.
Espais de configuracions
Anomenem espai de configuracions d’un sistema S a l’espaitopologic que te per punts tots els possibles estats d’S .
Exemple
∼= S1 × I × S1 ∼= ←−
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 5/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Espais de configuracions: mes exemples
Exemple
Considerem 2 robots que es mouen pel pla on hi ha 3 obstablesfixats:
Per tant l’espai on es mou es M ∼= R2 \ {x1, x2, x3}.L’espai de configuracions es:
C (M, 2)def= {(y1, y2) ∈ M ×M | y1 6= y2}.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 6/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Camins
Fixem I ∼= [0, 1], l’interval unitat amb la topologia Euclidiana.
Definicio
Sigui X un espai topologic.
Un camı en X es una aplicacio contınua
γ : I −→ Xt 7→ γ(t)
Anomenem inici del camı γ al punt γ(0).
Anomenem final del camı γ al punt γ(1).
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 7/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Espais de camins (I)
Definicio
Donat X un espai topologic definim PX , l’espai de camins en X ,com l’espai topologic que te per punts els camins γ : I → X .
Topologia compacta-oberta
Donat un dos espais topologics Y i Z , considerem l’espai ZY
l’espai topologic un els punts son aplicacions contınues de Y en Z .Considerem la topologia compacta-oberta: es la que te per subbaseels conjunts
V (K ,U)def= {f ∈ ZY | f (K ) ⊂ U}
on K ⊂ Y es compacte i U ⊂ Z es obert.Per a que la topologia de ZY tingui bones propietats molts copsdemanem que Y sigui localment compacte i Hausdorf.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 8/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Espais de camins (II)
Topologia compacta oberta
Propietats de la topologia compacta oberta:
Z {∗} ∼= Z .
Axiomes de separabilitat: si Z es T0, T1, T2 o T3, tambe hoes ZY .
Llei exponencial: si X i Y son localment compactes iHausdorff i Z es Hausdorff, llavors ZX×Y ∼= (ZX )Y .
Lema
L’aplicacio avaluacio
F : PX × I −→ X(γ, t) 7→ γ(t)
es contınua.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 9/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Camins a espais de configuracions
Considerem X un espai de configuracions i l’aplicacio avaluacio alsextrems:
av : PX −→ X × Xγ 7→ (γ(0), γ(1))
que es contınua pel lema anterior.
Passar d’un estat A a un estat B d’un espai de configuracions X estrobar un camı γ : I → X tal que γ(0) = A i γ(1) = B.
Definicio
Donat un espai X , un algorisme de moviments en X es unaaplicacio s : X × X → PX tal que av ◦s = IdX×X .
Seccions
Quan tenim una aplicacio exhaustiva f : X → Y , a una aplicacios : Y → X tal que f ◦ s = IdY l’anomenem una seccio.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 10/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Algorismes de moviments continus
Teorema
X admet un algorisme de moviments continu si i nomes si X escontractil.
Pregunta:
Que vol dir que X es contractil?
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 11/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Teoria d’homotopia
Fixem X i Y espais topologics, I l’interval unitat. f : X → Y ig : X → Y aplicacions son contınues.
Homotopia d’aplicacions
Diem que f i g son homotopes si existeix una aplicacio contınua
H : X × I −→ Y(x , t) 7→ H(x , t)(x , 0) 7→ f (x)(x , 1) 7→ g(x)
Escriurem f ' g .
Propietat
“Ser homotop a” defineix una relacio d’equivalencia de funcionscontınues.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 12/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Teoria d’homotopia (II)
Homotopia d’espais topologics
Diem que X i Y son espais topologics homotops si existeixenaplicacions contınues f : X → Y i g : Y → X tals que f ◦ g ' IdY
i g ◦ f ' IdX .Escriurem X ' Y .
Propietat
“Ser homotop a” defineix una relacio d’equivalencia als espaistopologics.
Exemple
Si X ∼= Y , llavors X ' Y .
[0, 1] ' {0}.R ' {0}.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 13/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Exemples d’homotopia
Exemple
Si X ∼= Y , llavors X ' Y .
[0, 1] ' {0}.
Exemple
Rn ' {0}.
Observacions
Diem que un espai es contractil si es homotop a un punt.
Molts invariants topologics es conserven per homotopia.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 14/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Algorismes de moviments continus
Teorema
X admet un algorisme de moviments continu si i nomes si X escontractil.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 15/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Complexitat topologica: definicio
Tal i com hem vist, en general no podrem obtenir algorismes demoviments continus. Aixo ens porta a la definicio seguent:
Definicio
Sigui X un espai de configuracions. La complexitat topologica d’X(que escrivim TC(X )) es el menor k tal que existeixen k + 1 oberts{Ui}0≤i≤k tals que
X × X = U0 ∪ · · · ∪ Uk
i si : Ui → PX , seccions contınues a l’aplicacio av.
Observacio
Depenent de la font diuen que te . . . complexitat topologica k siexisteixen k oberts . . . .
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 16/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Complexitat topologica
Teorema
La complexitat topologica TC(X ) tant sols depen del tipusd’homotopia d’X .
Exemple
TC(X ) = 0 si i nomes si X es contractil.
Problema
Calcular la complexitat topologica d’un espai es difıcil.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 17/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Categoria de Lusternik-Schnirelmann
Definicio
Donat un espai topologic X definim la categoria LS d’X (i escrivimcat(X )) com el mınim k tal que existeixen k + 1 oberts contractils{Ui}0≤i≤k tals que
X = U0 ∪ · · · ∪ Uk
Exemple
La categoria LS d’un espai contractil es 0.
La categoria LS de les esferes es 1.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 18/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Categoria LS i complexitat topologica (I)
Lema
cat(X ) ≤ TC(X ) ≤ cat(X × X )
Exemple
cat(S1) = 1, cat(S1 × S1) = 2, per tant 1 ≤ TC(S1) ≤ 2.
Exemple
cat(S2) = 1, cat(S2 × S2) = 3, per tant 1 ≤ TC(S2) ≤ 3.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 19/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Categoria LS i complexitat topologica (II)
Teorema
Si G es un grup de Lie connex (i.e. G es una varietat diferenciableconnexa amb estructura de grup, i on la multiplicacio i el pas al’invers son aplicacions diferenciables), llavors
cat(G ) = TC(G ).
Exemple
TC(S1) = TC(S3) = 1
Exemple
TC(S1× n· · · ×S1) = n
Exemple
Un objecte solid a R3 te coma espai de configuracionsSO(3) i com que es grup deLie:
TC(SO(3)) = cat(RP3) = 3
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 20/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Complexitat topologica de les esferes
Teorema
TC(Sn) =
{1 si n senar,2 si n parell
Sobre la demostracio
Sabem que les esferes no son contractils, per tantTC(Sn) ≥ 1.
En el cas n senar es troba un recobriment de 3 oberts deSn × Sn i les seccions corresponents. S’utilitza que per a nsenar hi ha camps vectorials sobre Sn sense zeros.
Es demostra que TC(Sn) ≤ 3 trobant un recobriment per 4oberts i les seccions corresponents.
S’utilitza cohomologia per a demostar que TC(Sn) ≥ 3.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 21/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Anell de cohomologia
Fixem un anell R.A un espai topologic X li assignem una R-algebra graduadaH∗(X ; R) que anomenem anell de cohomologia d’X ambcoeficients a R. Si tenim una aplicacio contınua f : X → Y tenimuna aplicacio d’R-algebres f ∗ : H∗(Y ; R)→ H∗(X ; R).
Propietats:
1 Tant sols depen del tipus d’homotopia.
2 (Id |X )∗ = IdH(X ;R).
3 (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g∗.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 22/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
TC(X ) i H∗(X ;R)
Observacio
La complexitat topologica d’X esta acotada inferiorment per lalongitud dels productes no nuls (de certs) elements d’H∗(X ; R).
Aquest resultat ens permet demostrar:
Exemples
TC(Sn) ≥ 2 si n parell.
TC(S) = 4 per a S una superfıcie compacta orientable degenere g ≥ 2.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 23/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Mes cohomologia
Per a certs anells R, la cohomologia H∗(X ; R) te mes estructura.Per exemple, per a cossos finits H∗(X ;Fp) la cohomologia es unaalgebra sobre una altra algebra (l’Algebra d’Steenrod). Aquestaestructura tambe s’utilitza per a calcular quotes inferiors per a lacomplexitat topologica d’espais.
Exemple
Considerem r un natural i {1, ω, ω2, . . . , ωr−1} les arrels de launitat a C ∼= R2. Aquest grup actua sobre la esfera unitatS2n−1 ⊂ R2n ∼= Cn i definim l’espai lenticular com el quocient
L2n−1r = S2n−1/〈w〉 .
Llavors:
TC(L2n+1p ) = 4n + 2 per a p primer senar.
TC(L2n+12s ) = 4n + 2 si n escrit en base 2 te menys de s uns.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 24/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Productes: TC(X × Y )
Definicio
Diem que X es un espai topologic X es un retracte d’un entornEuclidia si es homeomorf a un subespai de Rn (que tambe li diemX ) i existeix un entorn obert U d’X i una apicacio contınuar : U → X tal que r |X = IdX .
Teorema
Si X i Y son retractes d’entorns Euclidians llavors
TC(X × Y ) ≤ TC(X )× TC(Y ) .
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 25/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Conclusions
No tenim cap tecnica que permeti calcular la complexitattopologica d’un espai en general.
S’utilitzen eines molt basiques: construccio de seccionsconcretes.
Eines que podem veure al grau: (co)homologia.
Tambe eines no tant basiques: operacions secundaries acohomologia.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 26/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Bibliografia
Sobre teoria d’homotopia:
G.E. Bredon,Topology & Geometry.Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag 1995.
M. Spanier,Algebraic Topology.McGraw-Hill, 1966.
N.E. Steenrod and D.B.A. Epstein,Cohomology Operations.Princeton University Press, 1962.
Sobre topologia i robotica:
M. Farber,Invitation to topological robotics.Zurich Lectures in Advanced Mathematics. EuropeanMathematical Society (EMS), Zurich, 2008.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 27/27
Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio
Bibliografia
Sobre teoria d’homotopia:
G.E. Bredon,Topology & Geometry.Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag 1995.
M. Spanier,Algebraic Topology.McGraw-Hill, 1966.
N.E. Steenrod and D.B.A. Epstein,Cohomology Operations.Princeton University Press, 1962.
Sobre topologia i robotica:
M. Farber,Invitation to topological robotics.Zurich Lectures in Advanced Mathematics. EuropeanMathematical Society (EMS), Zurich, 2008.
A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 27/27
top related