teorema de stokes a
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Densidad de la circulacion en un punto: El Rotacional
Dado un campo de velocidades F (x, y) = P (x, y)i+Q(x, y)j y el rectangulo D.
La circulacion antihoraria de F alrededor de la frontera de D es la suma de las razones de flujo
a lo largo de los lados. Para el borde inferior es aproximadamente
F (x, y) · i · 4x = P (x, y) ·∆x
Para el borde superior
F (x, y + ∆y) · −i · 4x = −P (x, y + ∆y) ·∆x
Para el borde derecho
F (x+ ∆x, y) · j ·∆y = Q(x+ ∆x, y) ·∆y
Para el borde izquierdo
F (x, y) · −j ·∆y = −Q(x, y) ·∆y
Sumando lados opuestos
− (P (x, y + ∆y) ·∆x− P (x, y) ·∆x) ≈ −∂P∂y
∆y
(Q(x+ ∆x, y)−Q(x, y)∆y) ≈ ∂Q
∂x∆y
Al sumar lo anterior obtenemos una estimacion de la densidad de circulacion.
Definicion 1. La densidad de circulacion o rotacional de un campo vectorial F = P i+Qj en
el punto (x, y) es:
rot F =∂Q
∂x− ∂P
∂y
1
Teorema 1. (Green) Sean F (P,Q) : D ⊂ R2 → R2 de clase C1 en D y α = Fr(D) una curva
cerrada entonces ∫α
F =
∫ ∫D
∂Q
∂x− ∂P
∂ydA
Si escribimos F = (P,Q, 0) entonces
rot F = ∇× F =
(∂Q
∂z,−∂P
∂z,∂Q
∂x− ∂P
∂y
)∴
rot F · k =
(∂Q
∂z,−∂P
∂z,∂Q
∂x− ∂P
∂y
)· (0, 0, 1) =
∂Q
∂x− ∂P
∂y
Asi el teorema de green puede quedar∫α
F =
∫ ∫D
∂Q
∂x− ∂P
∂ydA =
∫ ∫D
rot F · kdA
Teorema de Stokes
El teorema de Stokes relaciona la integral de lınea de un
campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple
C ∈ R3, con la integral sobre una superficie de la cual
C es la frontera. Es decir, si se tiene S una superficie
orientada con vector normal unitario N y frontera una
curva cerrada C y un campo vectorial F de clase C1 se
cumple que ∫C
F · dR =
∫ ∫S
(rotF ·N)dS
Si la superficie S es la grafica de una funcion z = f(x, y) con (x, y) variando en una region D
del plano xy, que tiene derivadas parciales segundas continuas.
F (x, y, z) = φ1(x, y, z)i+ φ2(x, y, z)j + φ3(x, y, z)k donde φ1, φ2 y φ3 tienen parciales primeras
2
continuas y α(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k con a ≤ t ≤ b tenemos que∫C
F · dR =
∫ b
a
[φ1dx
dt+ φ2
dy
dt+ φ3
dz
dt
]dt =
∫ b
a
φ1dx
dt+ φ2
dy
dt+ φ3
[∂z
∂x
∂x
∂t+∂z
∂y
∂y
∂t
]dt =
=
∫ b
a
[(φ1 + φ3
∂z
∂x
)dx
dt+
(φ2 + φ3
∂z
∂y
)∂y
∂t
]dt =
∫C
(φ1 + φ3
∂z
∂x
)dx +
(φ2 + φ3
∂z
∂y
)dy =
(por Green)
=
∫ ∫D
[∂
∂x
(φ2 + φ3
∂z
∂y
)− ∂
∂y
(φ1 + φ3
∂z
∂z
)]dA =
=
∫ ∫D
(∂φ2
∂x+∂φ2
∂z
∂z
∂x+∂φ3
∂x
∂z
∂y+∂φ3
∂z
∂z
∂x
∂z
∂y+φ3∂
2z
∂x∂y
)−
(∂φ1
∂y+∂φ1
∂z
∂z
∂y+∂φ3
∂y
∂z
∂x+∂φ3
∂z
∂z
∂y
∂z
∂x+φ3∂
2z
∂y∂x
)dA =
=
∫ ∫D
[∂φ2
∂x+∂φ2
∂z
∂z
∂x+∂φ3
∂x
∂z
∂y− ∂φ1
∂y− ∂φ1
∂z
∂z
∂y− ∂φ3
∂y
∂z
∂x
]dA
Calculamos ahora
∫ ∫S
rotF ·NdS
rotF = ∇xF =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
φ1 φ2 φ3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
(∂φ3
∂y− ∂φ2
∂z,∂φ3
∂x− ∂φ1
∂z,∂φ2
∂x− ∂φ1
∂y
)
N =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
1 0∂z
∂x
0 1 ∂z∂y
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
(−∂z∂x
,∂z
∂y, 1
)
∴ rotF ·N =
(∂φ3
∂y− ∂φ2
∂z,∂φ3
∂x− ∂φ1
∂z,∂φ2
∂x− ∂φ1
∂y
)·(−∂z∂x
,∂z
∂y, 1
)=
= −(∂φ3
∂y− ∂y
∂z
)∂z
∂x+
(∂φ3
∂x− ∂φ1
∂z
)∂z
∂y+∂g
∂x− ∂φ1
∂y= −∂φ3
∂y
∂z
∂x+∂φ2
∂z
∂z
∂x+∂φ3
∂x
∂z
∂y− ∂φ1
∂z
∂z
∂y+
3
∂φ2
∂x− ∂φ1
∂y
∴∫ ∫
D
rotF ·NdS =
∫ ∫D
−∂φ3
∂y
∂z
∂x+∂g
∂z
∂z
∂x+∂φ3
∂x
∂z
∂y− ∂φ1
∂z
∂z
∂y+∂φ2
∂x− ∂φ1
∂y
∴∫ ∫
S
rotF ·NdS =
∫C
F · dα
Ejemplo: Comprobar Stokes calculando el flujo del rotacional del campo
F (x, y, z) = (y − 2x, yz2 − y2z) S = {(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 = 4 , z > 1}.
Sol. Parametrizamos el casquete r : D ⊂ R2 → R3, r(x, y) = (x, y,√
4− x2 − y2) de esta
forma S = r(D) donde D = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 3} el vector normal es N(x, y) =∂r
∂xx∂r
∂y=(
x√4− x2 − y2
,y√
a− x2 − y2, 1
)
rotF = ∇xF =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
∂∂x∂
∂y
∂
∂z
y − 2x yz2 −y2z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−4yz, 0,−1)
∴∫ ∫
S
rotF ·Ndxdy =
∫ ∫D
(−4xy − 1)dxdy =
=
∫ √3−√3
∫ √3−y2
−√
3−y2(−4xy −
1)dxdy
∫ √3−√3
−2x2y − x
∣∣∣∣∣√
3−y2
−√
3−y2dy =
=
∫ √3−√3
−2(3 − y2)y −√
3− y2 −[−2(−
√3− y2)
]y −√
3− y2 =
=
∫ √3−√3
−2√
3− y2 = −2
∫ √3−√3
√3− y2dy = −2π
(√
3)2
2= −3π
Para comprobar Stokes calculamos la integral curvilinea.
4
∫α
(y − 2x)dx+ yz2dy − y2zdz Siendo α = r ◦ γ , γ(t) = (√
3cos(t),√
3sen(t) )
∴ α : [0, 2π]→ R3 con α(t) = r(γ(t)) = (√
3cos(t) ,√
3sen(t) , 1)
∴ la integral vale∫α
(y − 2x)dx+ yz2dy − y2zdz =
∫ 2π
0
F (α(t)) · α′(t)dt =
=
∫ 2π
0
(√
3sen(t)− 2√
3cos(t) ,√
3sen(t) , − 3sen2(t)) · (−√
3sen(t) ,√
3cos(t) , 0) =
=
∫ 2π
0
(−3sen2(t) + 9sen(t)cos(t)dt = −3π
5
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