teorema de la función implícita
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
[ocultar]
1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
ema
de la
funci
ón
inver
sa
Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
cio
Felm
er,
Paul
Bosc
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Matí
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Buln
es,
Artur
o
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doce
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jofre.
Bibliografía[editar]
Para una colección de ejemplos:
Bom
bal,
Mari
n &
Vera
: Pro
blem
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de
Análi
sis
mate
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Cálc
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
ema
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funci
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Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
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Bibliografía[editar]
Para una colección de ejemplos:
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva
directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
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Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
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Teor
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ndro
Jofré
,
Patri
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Felm
er,
Paul
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Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
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El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
ema
de la
funci
ón
inver
sa
Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
cio
Felm
er,
Paul
Bosc
h,
Matí
as
Buln
es,
Artur
o
Prat,
Luis
Rad
ema
cher,
José
Zam
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y
Maur
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Varg
as.
"Cál
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Vari
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Com
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(201
1).
Disp
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chile
.cl/~
doce
ncia/
calc
ulo_
vv/m
ateri
al/ap
unte
_cvv
_fel
mer-
jofre.
Bibliografía[editar]
Para una colección de ejemplos:
Bom
bal,
Mari
n &
Vera
: Pro
blem
as
de
Análi
sis
mate
máti
co:
Cálc
ulo
Difer
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al,
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, ed.
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
[ocultar]
1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva
directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
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Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
cio
Felm
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Paul
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Bibliografía[editar]
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
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Teor
ema
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Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
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Felm
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Artur
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
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La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
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Teor
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
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Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva
directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
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Teor
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
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funci
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Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
cio
Felm
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Paul
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Artur
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Bibliografía[editar]
Para una colección de ejemplos:
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
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Referencias[editar]
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ndro
Jofré
,
Patri
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Felm
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Bibliografía[editar]
Para una colección de ejemplos:
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
[ocultar]
1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva
directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
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Teor
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Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
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Teor
ema
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Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
cio
Felm
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Paul
Bosc
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Matí
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Buln
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Artur
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Prat,
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Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
ema
de la
funci
ón
inver
sa
Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
cio
Felm
er,
Paul
Bosc
h,
Matí
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Buln
es,
Artur
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Luis
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doce
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mer-
jofre.
Bibliografía[editar]
Para una colección de ejemplos:
Bom
bal,
Mari
n &
Vera
: Pro
blem
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de
Análi
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mate
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Cálc
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
[ocultar]
1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva
directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
ema
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Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
cio
Felm
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Paul
Bosc
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Buln
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Artur
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Bibliografía[editar]
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
[ocultar]
1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
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Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
cio
Felm
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Bibliografía[editar]
Para una colección de ejemplos:
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bal,
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Vera
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
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Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
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Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
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La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
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Teor
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de la
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Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
cio
Felm
er,
Paul
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Artur
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Bom
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
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Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva
directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
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se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
ema
de la
funci
ón
inver
sa
Referencias[editar]
Aleja
ndro
Jofré
,
Patri
cio
Felm
er,
Paul
Bosc
h,
Matí
as
Buln
es,
Artur
o
Prat,
Luis
Rad
ema
cher,
José
Zam
ora,
y
Maur
icio
Varg
as.
"Cál
culo
en
Vari
as
Vari
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s -
Apu
nte
Com
pleto
"
(201
1).
Disp
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e
en: h
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im.u
chile
.cl/~
doce
ncia/
calc
ulo_
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ateri
al/ap
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_cvv
_fel
mer-
jofre.
Bibliografía[editar]
Para una colecció
n de ejemplos:
Bom
bal,
Mari
n &
Vera
: Pro
blem
as
de
Análi
sis
mate
máti
co:
Cálc
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Difer
enci
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1988
, ed.
AC, I
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84-
7288
-
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Índice
[ocultar]
1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
ar]
Teor
ema
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funci
ón
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Aleja
ndro
Jofré
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Patri
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Felm
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Buln
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Artur
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Prat,
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jofre.
Bibliografía[editar]
Para una colección de ejemplos:
Bom
bal,
Mari
n &
Vera
: Pro
blem
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de
Análi
sis
mate
máti
co:
Cálc
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Difer
enci
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1988
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Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de variasvariables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en
cierta región de entre las variables x e y:
Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
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1 Ejemplos
2 Enunciado general
3 Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
4 Aplicación práctica
5 Véase también
6 Referencias
o 6.1 Bibliografía
Ejemplos[editar]
La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita .
Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no
existirá una función similar en un entorno del punto B.
Antes de enunciar el teorema, considere la función
Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los
vectores que resuelven esta
ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos
no globalmente pero sí en un entorno de . (El
único vector factible en la preimagen
es ).
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos
funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
Enunciado general[editar]
El enunciado general es como sigue:
Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente
diferenciable y cualquier vector tal
que . Considere y defina la
matriz jacobiana y sobre
esta considere que la submatriz que
define es invertible. Entonces existen los
conjuntos
abiertos y con y tales
que para cada existe un único tal
que y lo que define una
función que es continua y diferenciable y
que además satisface
además
donde .
La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita[editar]
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función de manera implícita en la
ecuación , si queremos calcular la
derivada de y respecto de x ,
debemos considerar a como una función en términos de la variable independiente x. Si derivamos con respecto a x la
ecuación queda, en virtud de la Regla de la Cadena:
Es decir que la derivada buscada
es .
Aplicación práctica[editar]
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que
son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Factorizando respecto a
( ) los valores son:
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Véase también[edit
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Teor
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