teor´ıas de calibre supersim´etricas n = 2 no(anti)conmutativas · 2006. 12. 13. ·...
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2no(anti)conmutativas
Alexandra De Castro
Universidad Simon Bolivar
FAE06,Universidad Central de Venezuela, 2006
Colaboradores: I. Buchbinder (TPI), S. Ferrara (CERN), E. Ivanov (JINR-Dubna), O. Lechtenfeld (ITP-UH), L.
Quevedo (USB) e I. Samsonov (TPU).
Contenido
1 Generalidades en N = 2 no(anti)conmutativo
2 Superespacio armonico N = 2
3 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado
4 Resultados
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Teorıas de campo no(anti)conmutativas
Quantum field theories
f?g=fg+~P (f,g)+O(~)2→[xA,xB ]?=i~θAB
(θiα,θi
α) ///o/o/o/o/o/o/o/o/o Supersymmetric QFTs
Φ?Ψ=ΦΨ+CPs(Φ,Ψ)+O(C)2→θαi ,θβ
j ?=Cαβij
Noncommutative QFT Non(anti)commutative QFT
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Producto deformado entre supercampos N = 2
Se Introduce el producto de Moyal A ? B = AeP B [Ferrara, Lledo, Macia;Klemm, Penati, Tamassia; Seiberg, all 2003], construyendo P utilizando losoperadores diferenciales naturales supersimetricos: las derivadas covariantes olas cargas supersimetricas
P =
PD = −
←−D i
αCαβij
−→D j
β=⇒D-deformations,or
PQ = −←−Q i
αCαβij
−→Q j
β=⇒Q-deformations
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Producto deformado entre supercampos N = 2
Se Introduce el producto de Moyal A ? B = AeP B [Ferrara, Lledo, Macia;Klemm, Penati, Tamassia; Seiberg, all 2003], construyendo P utilizando losoperadores diferenciales naturales supersimetricos: las derivadas covariantes olas cargas supersimetricas
P =
PD = −
←−D i
αCαβij
−→D j
β=⇒D-deformations,or
PQ = −←−Q i
αCαβij
−→Q j
β=⇒Q-deformations
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El producto de Moyal debe ser asociativo
Pαβij quiral
θαi, θβj = Cαβij y θαi, θβj = 0 // Signatura Euclideana
Una condicion de realidad admisible: (θαi )∗ = θi
α ≡ Ωijθβj Ωαβ y
(θαi)∗ = θαi ≡ θβjΩβαεji con ΩAB = iεAB (Condicion de Majoranasimplectica)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El producto de Moyal debe ser asociativo
Pαβij quiral
θαi, θβj = Cαβij y θαi, θβj = 0 // Signatura Euclideana
Una condicion de realidad admisible: (θαi )∗ = θi
α ≡ Ωijθβj Ωαβ y
(θαi)∗ = θαi ≡ θβjΩβαεji con ΩAB = iεAB (Condicion de Majoranasimplectica)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Propiedades de las estructuras de Poisson PD y PQ
Son quirales,P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di
α, PD] 6= 0,
PQ preserva quiralidad en los supercampos[Di
β , PQ
]= 0, pero rompe la
supersimetria[Qi
α , PQ
]6= 0 ;
Cαβi j = Cβα
j i es constante,
Un tensor Cαβij generico rompe la simetrıa-R ası como las simetrıas del
superespacio
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Propiedades de las estructuras de Poisson PD y PQ
Son quirales,
P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di
α, PD] 6= 0,
PQ preserva quiralidad en los supercampos[Di
β , PQ
]= 0, pero rompe la
supersimetria[Qi
α , PQ
]6= 0 ;
Cαβi j = Cβα
j i es constante,
Un tensor Cαβij generico rompe la simetrıa-R ası como las simetrıas del
superespacio
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Propiedades de las estructuras de Poisson PD y PQ
Son quirales,P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,
En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di
α, PD] 6= 0,
PQ preserva quiralidad en los supercampos[Di
β , PQ
]= 0, pero rompe la
supersimetria[Qi
α , PQ
]6= 0 ;
Cαβi j = Cβα
j i es constante,
Un tensor Cαβij generico rompe la simetrıa-R ası como las simetrıas del
superespacio
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Propiedades de las estructuras de Poisson PD y PQ
Son quirales,P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,
PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di
α, PD] 6= 0,
PQ preserva quiralidad en los supercampos[Di
β , PQ
]= 0, pero rompe la
supersimetria[Qi
α , PQ
]6= 0 ;
Cαβi j = Cβα
j i es constante,
Un tensor Cαβij generico rompe la simetrıa-R ası como las simetrıas del
superespacio
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Propiedades de las estructuras de Poisson PD y PQ
Son quirales,P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di
α, PD] 6= 0,
PQ preserva quiralidad en los supercampos[Di
β , PQ
]= 0, pero rompe la
supersimetria[Qi
α , PQ
]6= 0 ;
Cαβi j = Cβα
j i es constante,
Un tensor Cαβij generico rompe la simetrıa-R ası como las simetrıas del
superespacio
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Propiedades de las estructuras de Poisson PD y PQ
Son quirales,P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di
α, PD] 6= 0,
PQ preserva quiralidad en los supercampos[Di
β , PQ
]= 0, pero rompe la
supersimetria[Qi
α , PQ
]6= 0 ;
Cαβi j = Cβα
j i es constante,
Un tensor Cαβij generico rompe la simetrıa-R ası como las simetrıas del
superespacio
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Propiedades de las estructuras de Poisson PD y PQ
Son quirales,P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di
α, PD] 6= 0,
PQ preserva quiralidad en los supercampos[Di
β , PQ
]= 0, pero rompe la
supersimetria[Qi
α , PQ
]6= 0 ;
Cαβi j = Cβα
j i es constante,
Un tensor Cαβij generico rompe la simetrıa-R ası como las simetrıas del
superespacio
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Propiedades de las estructuras de Poisson PD y PQ
Son quirales,P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di
α, PD] 6= 0,
PQ preserva quiralidad en los supercampos[Di
β , PQ
]= 0, pero rompe la
supersimetria[Qi
α , PQ
]6= 0 ;
Cαβi j = Cβα
j i es constante,
Un tensor Cαβij generico rompe la simetrıa-R ası como las simetrıas del
superespacio
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Ruptura de N = 2 bajo la deformacion con PQ
El grupo original: N = (1, 1) sobre SU(2)L × SU(2)R × SU(2)×O(1, 1), cuyosgeneradores son:
Qkα = ∂k
α, Qαk = ∂αk − 2iθαk ∂αα, Pαα = ∂αα
Supertranslaciones
Lαβ = −1
2xL (αα∂
αβ) + θ(αk∂
kβ) ∈ SU(2)L
Rαβ =1
2x
α(αL ∂β)
α + θ(αk∂
β)k ∈ SU(2)R
Rotaciones Euclideanas
Tij = −θα(i∂αj) + θα
(i∂αj) ∈ SU(2)
O = θαk ∂
kα − θαk∂αk ∈ O(1, 1)
Simetrıa R
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Ruptura de N = 2 bajo la deformacion con PQ
El grupo original: N = (1, 1) sobre SU(2)L × SU(2)R × SU(2)×O(1, 1), cuyosgeneradores son:
Qkα = ∂k
α, Qαk = ∂αk − 2iθαk ∂αα, Pαα = ∂αα
Supertranslaciones
Lαβ = −1
2xL (αα∂
αβ) + θ(αk∂
kβ) ∈ SU(2)L
Rαβ =1
2x
α(αL ∂β)
α + θ(αk∂
β)k ∈ SU(2)R
Rotaciones Euclideanas
Tij = −θα(i∂αj) + θα
(i∂αj) ∈ SU(2)
O = θαk ∂
kα − θαk∂αk ∈ O(1, 1)
Simetrıa R
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Ruptura de N = 2 bajo la deformacion con PQ
Dada una simetrıaδεA = εaGaA
Puede ocurrir que
A[εaGa, PQ]B 6= 0⇒ Moyal rompe la simetrıa generada por Ga
En general, PQ no conmuta con los generadores O, Lαβ , Tij , Qαk
=⇒
Spin(4)×O(1, 1)× SU(2)→ SU(2)R
N = (1, 1)→ N = (1, 0)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
La estructura Poissoniana se puede descomponer en
P = −←−Q i
αC(αβ)(i j)
−→Q j
β −←−Q i
αεαβεi jI
−→Q j
β
@
@R
‘deformaciones singlet’
‘deformaciones no singlet’
Cαβij
// SU(2)R N = (1, 0)
Cαβij Iεαβεij Spin(4)× SU(2) N = (1, 0)
bijcαβ SU(2)R × U(1)L × U(1) N = (1, 0), (1, 1
2)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
La estructura Poissoniana se puede descomponer en
P = −←−Q i
αC(αβ)(i j)
−→Q j
β −←−Q i
αεαβεi jI
−→Q j
β @
@R
‘deformaciones singlet’
‘deformaciones no singlet’
Cαβij
//
##GGGGGGGGGSU(2)R N = (1, 0)
Cαβij Iεαβεij
// Spin(4)× SU(2) N = (1, 0)
bijcαβ SU(2)R × U(1)L × U(1) N = (1, 0), (1, 1
2)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
La estructura Poissoniana se puede descomponer en
P = −←−Q i
αC(αβ)(i j)
−→Q j
β −←−Q i
αεαβεi jI
−→Q j
β @
@R
‘deformaciones singlet’
‘deformaciones no singlet’
Cαβij
//
##GGGGGGGGGSU(2)R N = (1, 0)
Cαβij
Iεαβεij// Spin(4)× SU(2) N = (1, 0)
bijcαβ // SU(2)R × U(1)L × U(1) N = (1, 0), (1, 1
2)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
La estructura Poissoniana se puede descomponer en
P = −←−Q i
αC(αβ)(i j)
−→Q j
β −←−Q i
αεαβεi jI
−→Q j
β @
@R
‘deformaciones singlet’
‘deformaciones no singlet’
Cαβij
//
##GGGGGGGGGSU(2)R N = (1, 0)
Cαβij
Iεαβεij// Spin(4)× SU(2) N = (1, 0)
bijcαβ // SU(2)R × U(1)L × U(1) N = (1, 0), (1, 1
2)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
N = 2 superespacio armonico en d=4
Ventajas que ofrece usar el Superespacio armonico
En el superespacio es imposible construir acciones off-shellpara algunos mutipletes masivos N = 2 y N = 3, mientras queen el superespacio armonico si es posible.
Se obtienen estructuras interesantes.
Recordemos al superespacio N = 2
R4|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× SU(2)
=⇒ (xαα, θαi , θiα)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
N = 2 superespacio armonico en d=4
Ventajas que ofrece usar el Superespacio armonico
En el superespacio es imposible construir acciones off-shellpara algunos mutipletes masivos N = 2 y N = 3, mientras queen el superespacio armonico si es posible.
Se obtienen estructuras interesantes.
Recordemos al superespacio N = 2
R4|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× SU(2)
=⇒ (xαα, θαi , θiα)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
N = 2 superespacio armonico en d=4
Ventajas que ofrece usar el Superespacio armonico
En el superespacio es imposible construir acciones off-shellpara algunos mutipletes masivos N = 2 y N = 3, mientras queen el superespacio armonico si es posible.
Se obtienen estructuras interesantes.
Recordemos al superespacio N = 2
R4|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× SU(2)
=⇒ (xαα, θαi , θiα)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
N = 2 superespacio armonico en d=4
Ventajas que ofrece usar el Superespacio armonico
En el superespacio es imposible construir acciones off-shellpara algunos mutipletes masivos N = 2 y N = 3, mientras queen el superespacio armonico si es posible.
Se obtienen estructuras interesantes.
Recordemos al superespacio N = 2
R4|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× SU(2)
=⇒ (xαα, θαi , θiα)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
N = 2 superespacio armonico en d=4
Ventajas que ofrece usar el Superespacio armonico
En el superespacio es imposible construir acciones off-shellpara algunos mutipletes masivos N = 2 y N = 3, mientras queen el superespacio armonico si es posible.
Se obtienen estructuras interesantes.
Recordemos al superespacio N = 2
R4|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× SU(2)
=⇒ (xαα, θαi , θiα)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
N = 2 superespacio armonico en d=4
Ventajas que ofrece usar el Superespacio armonico
En el superespacio es imposible construir acciones off-shellpara algunos mutipletes masivos N = 2 y N = 3, mientras queen el superespacio armonico si es posible.
Se obtienen estructuras interesantes.
Recordemos al superespacio N = 2
R4|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× SU(2)
=⇒ (xαα, θαi , θiα)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Definicion del superespacio armonico
HR4+2|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× U(1)
= R4|8 × SU(2)
U(1).
Vemos de inmediato que la topologıa de este espacio es R4|8 × S2, usualmentese parametriza con
(xαα, θαi , θiα, u
+i , u
−j )︸︷︷︸
SU(2)
las nuevas coordenadas satisfacen las condiciones
u+i u
−j − u
+j u
−i = εij y u−i = (u+i)∗
Podemos reparametrizarlas, por ejemplo, con los angulos de Euler como(u+
1 u−1u+
2 u−2
)=
(cos( θ
2 )ei(φ+χ)
2 i sin( θ2 )e
i(φ−χ)2
i sin( θ2 )e−
i(φ−χ)2 cos( θ
2 )e−i(φ+χ)
2
)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Definicion del superespacio armonico
HR4+2|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× U(1)
= R4|8 × SU(2)
U(1).
Vemos de inmediato que la topologıa de este espacio es R4|8 × S2,
usualmentese parametriza con
(xαα, θαi , θiα, u
+i , u
−j )︸︷︷︸
SU(2)
las nuevas coordenadas satisfacen las condiciones
u+i u
−j − u
+j u
−i = εij y u−i = (u+i)∗
Podemos reparametrizarlas, por ejemplo, con los angulos de Euler como(u+
1 u−1u+
2 u−2
)=
(cos( θ
2 )ei(φ+χ)
2 i sin( θ2 )e
i(φ−χ)2
i sin( θ2 )e−
i(φ−χ)2 cos( θ
2 )e−i(φ+χ)
2
)
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Definicion del superespacio armonico
HR4+2|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× U(1)
= R4|8 × SU(2)
U(1).
Vemos de inmediato que la topologıa de este espacio es R4|8 × S2, usualmentese parametriza con
(xαα, θαi , θiα, u
+i , u
−j )︸︷︷︸
SU(2)
las nuevas coordenadas satisfacen las condiciones
u+i u
−j − u
+j u
−i = εij y u−i = (u+i)∗
Podemos reparametrizarlas, por ejemplo, con los angulos de Euler como(u+
1 u−1u+
2 u−2
)=
(cos( θ
2 )ei(φ+χ)
2 i sin( θ2 )e
i(φ−χ)2
i sin( θ2 )e−
i(φ−χ)2 cos( θ
2 )e−i(φ+χ)
2
)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Definicion del superespacio armonico
HR4+2|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× U(1)
= R4|8 × SU(2)
U(1).
Vemos de inmediato que la topologıa de este espacio es R4|8 × S2, usualmentese parametriza con
(xαα, θαi , θiα, u
+i , u
−j )
︸︷︷︸SU(2)
las nuevas coordenadas satisfacen las condiciones
u+i u
−j − u
+j u
−i = εij y u−i = (u+i)∗
Podemos reparametrizarlas, por ejemplo, con los angulos de Euler como(u+
1 u−1u+
2 u−2
)=
(cos( θ
2 )ei(φ+χ)
2 i sin( θ2 )e
i(φ−χ)2
i sin( θ2 )e−
i(φ−χ)2 cos( θ
2 )e−i(φ+χ)
2
)
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Definicion del superespacio armonico
HR4+2|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× U(1)
= R4|8 × SU(2)
U(1).
Vemos de inmediato que la topologıa de este espacio es R4|8 × S2, usualmentese parametriza con
(xαα, θαi , θiα, u
+i , u
−j )︸︷︷︸
SU(2)
las nuevas coordenadas satisfacen las condiciones
u+i u
−j − u
+j u
−i = εij y u−i = (u+i)∗
Podemos reparametrizarlas, por ejemplo, con los angulos de Euler como(u+
1 u−1u+
2 u−2
)=
(cos( θ
2 )ei(φ+χ)
2 i sin( θ2 )e
i(φ−χ)2
i sin( θ2 )e−
i(φ−χ)2 cos( θ
2 )e−i(φ+χ)
2
)
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Definicion del superespacio armonico
HR4+2|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× U(1)
= R4|8 × SU(2)
U(1).
Vemos de inmediato que la topologıa de este espacio es R4|8 × S2, usualmentese parametriza con
(xαα, θαi , θiα, u
+i , u
−j )︸︷︷︸
SU(2)
las nuevas coordenadas satisfacen las condiciones
u+i u
−j − u
+j u
−i = εij y u−i = (u+i)∗
Podemos reparametrizarlas, por ejemplo, con los angulos de Euler como(u+
1 u−1u+
2 u−2
)=
(cos( θ
2 )ei(φ+χ)
2 i sin( θ2 )e
i(φ−χ)2
i sin( θ2 )e−
i(φ−χ)2 cos( θ
2 )e−i(φ+χ)
2
)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Definicion del superespacio armonico
HR4+2|8 =
N = 2SuperpoincareSO(4)× U(1)
= R4|8 × SU(2)
U(1).
Vemos de inmediato que la topologıa de este espacio es R4|8 × S2, usualmentese parametriza con
(xαα, θαi , θiα, u
+i , u
−j )︸︷︷︸
SU(2)
las nuevas coordenadas satisfacen las condiciones
u+i u
−j − u
+j u
−i = εij y u−i = (u+i)∗
Podemos reparametrizarlas, por ejemplo, con los angulos de Euler como(u+
1 u−1u+
2 u−2
)=
(cos( θ
2 )ei(φ+χ)
2 i sin( θ2 )e
i(φ−χ)2
i sin( θ2 )e−
i(φ−χ)2 cos( θ
2 )e−i(φ+χ)
2
)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El producto simetrico de las u±i forman una base completa de funciones sobreS2,
u+(i1. . . u+
inu−j1
. . . u−jm),
que no son mas que los armonicos esfericos con peso de espın
u−(iu−j) =
u−1 u
−1 = −
√4π3 1Y
11
u−1 u−2 = −i
√8π3 1Y
10
u−2 u−2 = −
√4π3 1Y
1−1
Una funcion armonica f (q)(u) de carga U(1) q = ±n se define por suexpansion
f (q)(u) =∞∑
k=0
f (i1i2... ik+qj1j2... jk)u+(i1. . . u+
ik+qu−j1
. . . u−jk)
m
sF =∑l∈N
∑|m|≤l
sFlm sYlm s = −l · · · l q ⇐⇒ −2s
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El producto simetrico de las u±i forman una base completa de funciones sobreS2,
u+(i1. . . u+
inu−j1
. . . u−jm),
que no son mas que los armonicos esfericos con peso de espın
u−(iu−j) =
u−1 u
−1 = −
√4π3 1Y
11
u−1 u−2 = −i
√8π3 1Y
10
u−2 u−2 = −
√4π3 1Y
1−1
Una funcion armonica f (q)(u) de carga U(1) q = ±n se define por suexpansion
f (q)(u) =∞∑
k=0
f (i1i2... ik+qj1j2... jk)u+(i1. . . u+
ik+qu−j1
. . . u−jk)
m
sF =∑l∈N
∑|m|≤l
sFlm sYlm s = −l · · · l q ⇐⇒ −2s
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El producto simetrico de las u±i forman una base completa de funciones sobreS2,
u+(i1. . . u+
inu−j1
. . . u−jm),
que no son mas que los armonicos esfericos con peso de espın
u−(iu−j) =
u−1 u
−1 = −
√4π3 1Y
11
u−1 u−2 = −i
√8π3 1Y
10
u−2 u−2 = −
√4π3 1Y
1−1
Una funcion armonica f (q)(u) de carga U(1) q = ±n se define por suexpansion
f (q)(u) =∞∑
k=0
f (i1i2... ik+qj1j2... jk)u+(i1. . . u+
ik+qu−j1
. . . u−jk)
m
sF =∑l∈N
∑|m|≤l
sFlm sYlm s = −l · · · l q ⇐⇒ −2s
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Tambien podemos usar los nuevos parametros para proyectar tensores de SU(2)en el superespacio armonico
V i u+i = V + or V i u−i = V − or T i j u+
i u−j = T+−,
Las variables de Graßmann se escriben
θiα u+i = θ+α, θi
α u+i = θ+
α or θiα u−i = θ−α, θiα u
−i = θ−α .
Podemos derivar e integrar. Las derivadas covariantes en el superespacioarmonico estan dadas por
D0A = ∂0 + θ+α∂+α − θ+α∂+α + θ+α∂+α − θ−α∂−α,
D++A = ∂++ − 2iθ+αθ+α∂αα + θ+α∂−α + θ+α∂−α,
D−−A = ∂−− − 2iθ−αθ−α∂αα + θ−α∂+α + θ−α∂+α ,
donde∂0 = u+i ∂
∂ u+i− u−i ∂
∂ u−iand ∂±± = u±i ∂
∂ u∓i.
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Tambien podemos usar los nuevos parametros para proyectar tensores de SU(2)en el superespacio armonico
V i u+i = V + or V i u−i = V − or T i j u+
i u−j = T+−,
Las variables de Graßmann se escriben
θiα u+i = θ+α, θi
α u+i = θ+
α or θiα u−i = θ−α, θiα u
−i = θ−α .
Podemos derivar e integrar. Las derivadas covariantes en el superespacioarmonico estan dadas por
D0A = ∂0 + θ+α∂+α − θ+α∂+α + θ+α∂+α − θ−α∂−α,
D++A = ∂++ − 2iθ+αθ+α∂αα + θ+α∂−α + θ+α∂−α,
D−−A = ∂−− − 2iθ−αθ−α∂αα + θ−α∂+α + θ−α∂+α ,
donde∂0 = u+i ∂
∂ u+i− u−i ∂
∂ u−iand ∂±± = u±i ∂
∂ u∓i.
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Tambien podemos usar los nuevos parametros para proyectar tensores de SU(2)en el superespacio armonico
V i u+i = V + or V i u−i = V − or T i j u+
i u−j = T+−,
Las variables de Graßmann se escriben
θiα u+i = θ+α, θi
α u+i = θ+
α or θiα u−i = θ−α, θiα u
−i = θ−α .
Podemos derivar e integrar. Las derivadas covariantes en el superespacioarmonico estan dadas por
D0A = ∂0 + θ+α∂+α − θ+α∂+α + θ+α∂+α − θ−α∂−α,
D++A = ∂++ − 2iθ+αθ+α∂αα + θ+α∂−α + θ+α∂−α,
D−−A = ∂−− − 2iθ−αθ−α∂αα + θ−α∂+α + θ−α∂+α ,
donde∂0 = u+i ∂
∂ u+i− u−i ∂
∂ u−iand ∂±± = u±i ∂
∂ u∓i.
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Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Tambien podemos usar los nuevos parametros para proyectar tensores de SU(2)en el superespacio armonico
V i u+i = V + or V i u−i = V − or T i j u+
i u−j = T+−,
Las variables de Graßmann se escriben
θiα u+i = θ+α, θi
α u+i = θ+
α or θiα u−i = θ−α, θiα u
−i = θ−α .
Podemos derivar e integrar. Las derivadas covariantes en el superespacioarmonico estan dadas por
D0A = ∂0 + θ+α∂+α − θ+α∂+α + θ+α∂+α − θ−α∂−α,
D++A = ∂++ − 2iθ+αθ+α∂αα + θ+α∂−α + θ+α∂−α,
D−−A = ∂−− − 2iθ−αθ−α∂αα + θ−α∂+α + θ−α∂+α ,
donde∂0 = u+i ∂
∂ u+i− u−i ∂
∂ u−iand ∂±± = u±i ∂
∂ u∓i.
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado
Un supercampo armonico, por ejemplo quiral D+αΦ(q) = D+
αΦ(q) = 0 es
Φ(q) =φ(q)(xA, u) + θ+ψ(q−1)(xA, u) + θ+χ(q−1)(xA, u) . . .
Para construir el multiplete vectorial N = (1, 1) en el superespacio armonicoconsideramos el hipermultiplete libre F.S.
D(iαq
j) = D(iαq
j) = 0 =⇒ qj = f j + θjαψα + θjακ
α + der
⇓ proyectado al superespacio armonico
D+α q
+ = D+α q
+ = 0 =⇒ q+ = f ju+j + θ+αψα + θ+
α κα + der
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado
Un supercampo armonico, por ejemplo quiral D+αΦ(q) = D+
αΦ(q) = 0 es
Φ(q) =φ(q)(xA, u) + θ+ψ(q−1)(xA, u) + θ+χ(q−1)(xA, u) . . .
Para construir el multiplete vectorial N = (1, 1) en el superespacio armonicoconsideramos el hipermultiplete libre F.S.
D(iαq
j) = D(iαq
j) = 0 =⇒ qj = f j + θjαψα + θjακ
α + der
⇓ proyectado al superespacio armonico
D+α q
+ = D+α q
+ = 0 =⇒ q+ = f ju+j + θ+αψα + θ+
α κα + der
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Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado
Un supercampo armonico, por ejemplo quiral D+αΦ(q) = D+
αΦ(q) = 0 es
Φ(q) =φ(q)(xA, u) + θ+ψ(q−1)(xA, u) + θ+χ(q−1)(xA, u) . . .
Para construir el multiplete vectorial N = (1, 1) en el superespacio armonicoconsideramos el hipermultiplete libre F.S.
D(iαq
j) = D(iαq
j) = 0 =⇒ qj = f j + θjαψα + θjακ
α + der
⇓ proyectado al superespacio armonico
D+α q
+ = D+α q
+ = 0 =⇒ q+ = f ju+j + θ+αψα + θ+
α κα + der
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Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
La accion para el hipermultiplete libre es
S =
∫dξ q+D++ q+
siendo q+ ∈ G. Ahora, escogemos G local, entonces
D++ −→ D++ + [V ++, ]
δV ++ = D++Λ + [Λ, V ++].
Propiedades de V ++
1 D++V ++ = 0.2 Es posible fijar un calibre tipo Wess-Zumino → multiplete vectorial N = 2
V ++WZ =(θ+)2φ + (θ+)2φ+ 2θ+αθ+αAαα
+ 4(θ+)2θ+αΨ−α + 4(θ+)2θ+
α Ψ−α + 3(θ+)2(θ+)2D−−.
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Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
La accion para el hipermultiplete libre es
S =
∫dξ q+D++ q+
siendo q+ ∈ G. Ahora, escogemos G local, entonces
D++ −→ D++ + [V ++, ]
δV ++ = D++Λ + [Λ, V ++].
Propiedades de V ++
1 D++V ++ = 0.2 Es posible fijar un calibre tipo Wess-Zumino → multiplete vectorial N = 2
V ++WZ =(θ+)2φ + (θ+)2φ+ 2θ+αθ+αAαα
+ 4(θ+)2θ+αΨ−α + 4(θ+)2θ+
α Ψ−α + 3(θ+)2(θ+)2D−−.
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Que nos gustarıa estudiar
Queremos investigar la dinamica off-shell de las teorias N = (1, 1)Q-deformadas
1 Transformaciones de calibre y el mapa de Seiberg-Witten√
2 Las acciones off-shell N = (1, 0) and N = (1, 1/2)√
3 Transformaciones supersimetricas√
4 Caso no-Abeliano5 Renormalizabilidad
√
6 Posible interpretacion en teorıa de cuerdas7 Instantones
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Que nos gustarıa estudiarQueremos investigar la dinamica off-shell de las teorias N = (1, 1)Q-deformadas
1 Transformaciones de calibre y el mapa de Seiberg-Witten√
2 Las acciones off-shell N = (1, 0) and N = (1, 1/2)√
3 Transformaciones supersimetricas√
4 Caso no-Abeliano5 Renormalizabilidad
√
6 Posible interpretacion en teorıa de cuerdas7 Instantones
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Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Que nos gustarıa estudiarQueremos investigar la dinamica off-shell de las teorias N = (1, 1)Q-deformadas
1 Transformaciones de calibre y el mapa de Seiberg-Witten√
2 Las acciones off-shell N = (1, 0) and N = (1, 1/2)√
3 Transformaciones supersimetricas√
4 Caso no-Abeliano5 Renormalizabilidad
√
6 Posible interpretacion en teorıa de cuerdas7 Instantones
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Que nos gustarıa estudiarQueremos investigar la dinamica off-shell de las teorias N = (1, 1)Q-deformadas
1 Transformaciones de calibre y el mapa de Seiberg-Witten√
2 Las acciones off-shell N = (1, 0) and N = (1, 1/2)√
3 Transformaciones supersimetricas√
4 Caso no-Abeliano5 Renormalizabilidad
√
6 Posible interpretacion en teorıa de cuerdas7 Instantones
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Que nos gustarıa estudiarQueremos investigar la dinamica off-shell de las teorias N = (1, 1)Q-deformadas
1 Transformaciones de calibre y el mapa de Seiberg-Witten√
2 Las acciones off-shell N = (1, 0) and N = (1, 1/2)√
3 Transformaciones supersimetricas√
4 Caso no-Abeliano5 Renormalizabilidad
√
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1 Transformaciones de calibre y el mapa de Seiberg-Witten√
2 Las acciones off-shell N = (1, 0) and N = (1, 1/2)√
3 Transformaciones supersimetricas√
4 Caso no-Abeliano
5 Renormalizabilidad√
6 Posible interpretacion en teorıa de cuerdas7 Instantones
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Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Que nos gustarıa estudiarQueremos investigar la dinamica off-shell de las teorias N = (1, 1)Q-deformadas
1 Transformaciones de calibre y el mapa de Seiberg-Witten√
2 Las acciones off-shell N = (1, 0) and N = (1, 1/2)√
3 Transformaciones supersimetricas√
4 Caso no-Abeliano5 Renormalizabilidad
√
6 Posible interpretacion en teorıa de cuerdas7 Instantones
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Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Que nos gustarıa estudiarQueremos investigar la dinamica off-shell de las teorias N = (1, 1)Q-deformadas
1 Transformaciones de calibre y el mapa de Seiberg-Witten√
2 Las acciones off-shell N = (1, 0) and N = (1, 1/2)√
3 Transformaciones supersimetricas√
4 Caso no-Abeliano5 Renormalizabilidad
√
6 Posible interpretacion en teorıa de cuerdas
7 Instantones
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Que nos gustarıa estudiarQueremos investigar la dinamica off-shell de las teorias N = (1, 1)Q-deformadas
1 Transformaciones de calibre y el mapa de Seiberg-Witten√
2 Las acciones off-shell N = (1, 0) and N = (1, 1/2)√
3 Transformaciones supersimetricas√
4 Caso no-Abeliano5 Renormalizabilidad
√
6 Posible interpretacion en teorıa de cuerdas7 Instantones
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Transformaciones de calibre y el mapa deSeiberg-Witten
El argumento:
YM y NCYM surgen ambos de la misma teorıa de campos bi-dimensional si selas regulariza de maneras diferentes.
La conjetura:
Debe existir un mapa entre YM y NCYM a nivel de las teorıas de campo queme relacione la invariancia de calibre en YM con la correspondiente en lateorıa NCYM.
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Transformaciones de calibre y el mapa deSeiberg-Witten
El argumento:
YM y NCYM surgen ambos de la misma teorıa de campos bi-dimensional si selas regulariza de maneras diferentes.
La conjetura:
Debe existir un mapa entre YM y NCYM a nivel de las teorıas de campo queme relacione la invariancia de calibre en YM con la correspondiente en lateorıa NCYM.
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Transformaciones de calibre y el mapa deSeiberg-Witten
El argumento:
YM y NCYM surgen ambos de la misma teorıa de campos bi-dimensional si selas regulariza de maneras diferentes.
La conjetura:
Debe existir un mapa entre YM y NCYM a nivel de las teorıas de campo queme relacione la invariancia de calibre en YM con la correspondiente en lateorıa NCYM.
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Sin embargo, el mapa no es entre los grupos de calibre, sino entre los camposy los parametros de forma tal que la relacion de equivalencia entre ellos sepreserve.
ATC−−−−→ A′
MSW
y MSW
yA
TC−−−−→ A′
A = A(A, λ, otros campos); λ = λ(A, λ, otros campos)
¡Hay mas de un grupo generando las mismas clases de equivalencia!
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Sin embargo, el mapa no es entre los grupos de calibre, sino entre los camposy los parametros de forma tal que la relacion de equivalencia entre ellos sepreserve.
ATC−−−−→ A′
MSW
y MSW
yA
TC−−−−→ A′
A = A(A, λ, otros campos); λ = λ(A, λ, otros campos)
¡Hay mas de un grupo generando las mismas clases de equivalencia!
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Transformaciones de calibre y el mapa deSeiberg-Witten en N = (1, 1) Q-deformado
Las transformaciones de calibre estan gobernadas por la ecuacion
δΛV++WZ = D++Λ + [V ++
WZ ,Λ]?,
Observar que la transformacion de calibre ya no es mas Abeliana!
Para el caso singlet se obtiene (S. Ferrara, et.al. (hep-th/0405049))
δ φ =0, δΨkα = 0, δDij = 0 δ Aαα = (1 + 4Iφ)∂ααλ ,
δ φ =− 8IAαα∂ααλ , δΨiα = −4IΨiα∂ααλ ,
En el caso no-singlet el parametro “no deformado” Λ, viola el calibre deWZ, por lo tanto
Λc(x, θ, θ, u, b, c) = Λ(x, θ, θ, u) + ∆Λ(x, θ, θ, u, b, c)
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Transformaciones de calibre y el mapa deSeiberg-Witten en N = (1, 1) Q-deformado
Las transformaciones de calibre estan gobernadas por la ecuacion
δΛV++WZ = D++Λ + [V ++
WZ ,Λ]?,
Observar que la transformacion de calibre ya no es mas Abeliana!
Para el caso singlet se obtiene (S. Ferrara, et.al. (hep-th/0405049))
δ φ =0, δΨkα = 0, δDij = 0 δ Aαα = (1 + 4Iφ)∂ααλ ,
δ φ =− 8IAαα∂ααλ , δΨiα = −4IΨiα∂ααλ ,
En el caso no-singlet el parametro “no deformado” Λ, viola el calibre deWZ, por lo tanto
Λc(x, θ, θ, u, b, c) = Λ(x, θ, θ, u) + ∆Λ(x, θ, θ, u, b, c)
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Transformaciones de calibre y el mapa deSeiberg-Witten en N = (1, 1) Q-deformado
Las transformaciones de calibre estan gobernadas por la ecuacion
δΛV++WZ = D++Λ + [V ++
WZ ,Λ]?,
Observar que la transformacion de calibre ya no es mas Abeliana!Para el caso singlet se obtiene (S. Ferrara, et.al. (hep-th/0405049))
δ φ =0, δΨkα = 0, δDij = 0 δ Aαα = (1 + 4Iφ)∂ααλ ,
δ φ =− 8IAαα∂ααλ , δΨiα = −4IΨiα∂ααλ ,
En el caso no-singlet el parametro “no deformado” Λ, viola el calibre deWZ, por lo tanto
Λc(x, θ, θ, u, b, c) = Λ(x, θ, θ, u) + ∆Λ(x, θ, θ, u, b, c)
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Transformaciones de calibre y el mapa deSeiberg-Witten en N = (1, 1) Q-deformado
Las transformaciones de calibre estan gobernadas por la ecuacion
δΛV++WZ = D++Λ + [V ++
WZ ,Λ]?,
Observar que la transformacion de calibre ya no es mas Abeliana!Para el caso singlet se obtiene (S. Ferrara, et.al. (hep-th/0405049))
δ φ =0, δΨkα = 0, δDij = 0 δ Aαα = (1 + 4Iφ)∂ααλ ,
δ φ =− 8IAαα∂ααλ , δΨiα = −4IΨiα∂ααλ ,
En el caso no-singlet el parametro “no deformado” Λ, viola el calibre deWZ, por lo tanto
Λc(x, θ, θ, u, b, c) = Λ(x, θ, θ, u) + ∆Λ(x, θ, θ, u, b, c)
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Los resultados finales para el caso no-singlet son (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))
δ φ =0, δΨkα = 0, δ Aαα = X cothX∂ααλ ,
δ φ =2√c2 b2
„1−X cothX
X
«Aαα∂ααλ , δDij = 2ibijc
αβ∂ααφ ∂αβ λ ,
δΨiα =
(»4X2(X cothX − 1)
X2 + sinh2 X −X sinh 2X
–bijcαβ
−√c2b2
»4X cosh2 X − 2X2(cothX +X)− sinh 2X
X2 + sinh2 X −X sinh 2X
–εijεαβ
)Ψjα ∂
βαλ ,
dondeX = 2φ
√b2 c2
¡Funciones hiperbolicas que dependen de φ, bij y cαβ!
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Los resultados finales para el caso no-singlet son (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))
δ φ =0, δΨkα = 0, δ Aαα = X cothX∂ααλ ,
δ φ =2√c2 b2
„1−X cothX
X
«Aαα∂ααλ , δDij = 2ibijc
αβ∂ααφ ∂αβ λ ,
δΨiα =
(»4X2(X cothX − 1)
X2 + sinh2 X −X sinh 2X
–bijcαβ
−√c2b2
»4X cosh2 X − 2X2(cothX +X)− sinh 2X
X2 + sinh2 X −X sinh 2X
–εijεαβ
)Ψjα ∂
βαλ ,
dondeX = 2φ
√b2 c2
¡Funciones hiperbolicas que dependen de φ, bij y cαβ!
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Los resultados finales para el caso no-singlet son (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))
δ φ =0, δΨkα = 0, δ Aαα = X cothX∂ααλ ,
δ φ =2√c2 b2
„1−X cothX
X
«Aαα∂ααλ , δDij = 2ibijc
αβ∂ααφ ∂αβ λ ,
δΨiα =
(»4X2(X cothX − 1)
X2 + sinh2 X −X sinh 2X
–bijcαβ
−√c2b2
»4X cosh2 X − 2X2(cothX +X)− sinh 2X
X2 + sinh2 X −X sinh 2X
–εijεαβ
)Ψjα ∂
βαλ ,
dondeX = 2φ
√b2 c2
¡Funciones hiperbolicas que dependen de φ, bij y cαβ!
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Encontramos el mapa de Seiberg-Witten
Singlet
Aαα = eAαα (1 + 4Iφ) ,
φ = eφ− 4I eA2 (1 + 4Iφ),
Ψiα =eΨi
α − 4IΨiα eAαα ,
⇓
No-singlet
Aαα = eAαα X cothX ,
φ = eφ+ eA2√c2 b2 X cothX
„1−X cothX
X
«,
Ψiα =eΨi
α + 2√c2b2
»2
„cothX − 1
X
«−X
–Ψiα eAαα ,
Dij = eDij + 2ibijcαβ∂ααφ eAα
β ,
⇓
δ eAαα = ∂ααλ, δ(the rest) = 0, Transformaciones de calibre U(1)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Encontramos el mapa de Seiberg-Witten
Singlet
Aαα = eAαα (1 + 4Iφ) ,
φ = eφ− 4I eA2 (1 + 4Iφ),
Ψiα =eΨi
α − 4IΨiα eAαα ,
⇓
No-singlet
Aαα = eAαα X cothX ,
φ = eφ+ eA2√c2 b2 X cothX
„1−X cothX
X
«,
Ψiα =eΨi
α + 2√c2b2
»2
„cothX − 1
X
«−X
–Ψiα eAαα ,
Dij = eDij + 2ibijcαβ∂ααφ eAα
β ,
⇓
δ eAαα = ∂ααλ, δ(the rest) = 0, Transformaciones de calibre U(1)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Las acciones Q-deformadas
S =1
4
∫d4xL d
4θ duW ?W =1
4
∫d4x d4θ duW2,
whereD++W +
[V ++
WZ , W]?
= 0.
La accion N = (1, 0) singlet en componentes es (S. Ferrara, et.al.(hep-th/0405049))
S =
∫d4x (1 + 4Iφ)2
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ + iψα
k ∂ααψαk
]
Es una teorıa de interaccion,Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Las acciones Q-deformadas
S =1
4
∫d4xL d
4θ duW ?W =1
4
∫d4x d4θ duW2,
whereD++W +
[V ++
WZ , W]?
= 0.
La accion N = (1, 0) singlet en componentes es (S. Ferrara, et.al.(hep-th/0405049))
S =
∫d4x (1 + 4Iφ)2
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ + iψα
k ∂ααψαk
]
Es una teorıa de interaccion,Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Las acciones Q-deformadas
S =1
4
∫d4xL d
4θ duW ?W =1
4
∫d4x d4θ duW2,
whereD++W +
[V ++
WZ , W]?
= 0.
La accion N = (1, 0) singlet en componentes es (S. Ferrara, et.al.(hep-th/0405049))
S =
∫d4x (1 + 4Iφ)2
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ + iψα
k ∂ααψαk
]
Es una teorıa de interaccion,Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Las acciones Q-deformadas
S =1
4
∫d4xL d
4θ duW ?W =1
4
∫d4x d4θ duW2,
whereD++W +
[V ++
WZ , W]?
= 0.
La accion N = (1, 0) singlet en componentes es (S. Ferrara, et.al.(hep-th/0405049))
S =
∫d4x (1 + 4Iφ)2
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ + iψα
k ∂ααψαk
]
Es una teorıa de interaccion,Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Las acciones Q-deformadas
S =1
4
∫d4xL d
4θ duW ?W =1
4
∫d4x d4θ duW2,
whereD++W +
[V ++
WZ , W]?
= 0.
La accion N = (1, 0) singlet en componentes es (S. Ferrara, et.al.(hep-th/0405049))
S =
∫d4x (1 + 4Iφ)2
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ + iψα
k ∂ααψαk
]
Es una teorıa de interaccion,
Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)
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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Las acciones Q-deformadas
S =1
4
∫d4xL d
4θ duW ?W =1
4
∫d4x d4θ duW2,
whereD++W +
[V ++
WZ , W]?
= 0.
La accion N = (1, 0) singlet en componentes es (S. Ferrara, et.al.(hep-th/0405049))
S =
∫d4x (1 + 4Iφ)2
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ + iψα
k ∂ααψαk
]
Es una teorıa de interaccion,Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),
Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Las acciones Q-deformadas
S =1
4
∫d4xL d
4θ duW ?W =1
4
∫d4x d4θ duW2,
whereD++W +
[V ++
WZ , W]?
= 0.
La accion N = (1, 0) singlet en componentes es (S. Ferrara, et.al.(hep-th/0405049))
S =
∫d4x (1 + 4Iφ)2
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ + iψα
k ∂ααψαk
]
Es una teorıa de interaccion,Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),
Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Las acciones Q-deformadas
S =1
4
∫d4xL d
4θ duW ?W =1
4
∫d4x d4θ duW2,
whereD++W +
[V ++
WZ , W]?
= 0.
La accion N = (1, 0) singlet en componentes es (S. Ferrara, et.al.(hep-th/0405049))
S =
∫d4x (1 + 4Iφ)2
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ + iψα
k ∂ααψαk
]
Es una teorıa de interaccion,Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El sector bosonico de la accion N = (1, 0) no-singlet (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))
Sbos =
∫d4x cosh2X
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16FαβFαβ
],
donde X = 2φ√b2c2.
1 Aparece una interaccion no trivial entre los campos φ y Aαα
2 Tiene la misma forma que el Lagrangiano singlet F (X)L0
3 F (X) es una funcion hiperbolica, caracterıstica comun de todos nuestrosresultados
4 No le aparecen vınculos de segunda clase5 Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 0)
6 Preserva S(2)R × U(1)L × U(1)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El sector bosonico de la accion N = (1, 0) no-singlet (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))
Sbos =
∫d4x cosh2X
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16FαβFαβ
],
donde X = 2φ√b2c2.
1 Aparece una interaccion no trivial entre los campos φ y Aαα
2 Tiene la misma forma que el Lagrangiano singlet F (X)L0
3 F (X) es una funcion hiperbolica, caracterıstica comun de todos nuestrosresultados
4 No le aparecen vınculos de segunda clase5 Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 0)
6 Preserva S(2)R × U(1)L × U(1)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El sector bosonico de la accion N = (1, 0) no-singlet (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))
Sbos =
∫d4x cosh2X
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16FαβFαβ
],
donde X = 2φ√b2c2.
1 Aparece una interaccion no trivial entre los campos φ y Aαα
2 Tiene la misma forma que el Lagrangiano singlet F (X)L0
3 F (X) es una funcion hiperbolica, caracterıstica comun de todos nuestrosresultados
4 No le aparecen vınculos de segunda clase5 Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 0)
6 Preserva S(2)R × U(1)L × U(1)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El sector bosonico de la accion N = (1, 0) no-singlet (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))
Sbos =
∫d4x cosh2X
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16FαβFαβ
],
donde X = 2φ√b2c2.
1 Aparece una interaccion no trivial entre los campos φ y Aαα
2 Tiene la misma forma que el Lagrangiano singlet F (X)L0
3 F (X) es una funcion hiperbolica, caracterıstica comun de todos nuestrosresultados
4 No le aparecen vınculos de segunda clase5 Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 0)
6 Preserva S(2)R × U(1)L × U(1)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El sector bosonico de la accion N = (1, 0) no-singlet (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))
Sbos =
∫d4x cosh2X
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16FαβFαβ
],
donde X = 2φ√b2c2.
1 Aparece una interaccion no trivial entre los campos φ y Aαα
2 Tiene la misma forma que el Lagrangiano singlet F (X)L0
3 F (X) es una funcion hiperbolica, caracterıstica comun de todos nuestrosresultados
4 No le aparecen vınculos de segunda clase
5 Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 0)
6 Preserva S(2)R × U(1)L × U(1)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El sector bosonico de la accion N = (1, 0) no-singlet (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))
Sbos =
∫d4x cosh2X
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16FαβFαβ
],
donde X = 2φ√b2c2.
1 Aparece una interaccion no trivial entre los campos φ y Aαα
2 Tiene la misma forma que el Lagrangiano singlet F (X)L0
3 F (X) es una funcion hiperbolica, caracterıstica comun de todos nuestrosresultados
4 No le aparecen vınculos de segunda clase5 Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 0)
6 Preserva S(2)R × U(1)L × U(1)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
El sector bosonico de la accion N = (1, 0) no-singlet (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))
Sbos =
∫d4x cosh2X
[−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16FαβFαβ
],
donde X = 2φ√b2c2.
1 Aparece una interaccion no trivial entre los campos φ y Aαα
2 Tiene la misma forma que el Lagrangiano singlet F (X)L0
3 F (X) es una funcion hiperbolica, caracterıstica comun de todos nuestrosresultados
4 No le aparecen vınculos de segunda clase5 Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 0)
6 Preserva S(2)R × U(1)L × U(1)
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Acciones supersimetricas N = (1, 1/2) y N = (1, 0): dos casos particulares enlos parametros de la deformacion (ADC and L. Quevedo (hep-th/0605187))
1. b2 = 0
S =
Zd4xL
h− 1
2φφ− 1
16FαβFαβ +
1
4d2 + iψkα∂ααΨα
k − 4ibijcαβΨiβ∂ααφΨjα
+ cαβFαβbijΨiαΨjα − 4 c2(bijΨ
iαΨjα)2
i.
La interaccion entre φ y Aαα desaparece
Aparece una interaccion tipo Yukawa
Es comparable con la accion encontrada por Berkovits et. al. como la extensiondeformada de la accion de baja energıa de la super D3-brana.
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Acciones supersimetricas N = (1, 1/2) y N = (1, 0): dos casos particulares enlos parametros de la deformacion (ADC and L. Quevedo (hep-th/0605187))
1. b2 = 0
S =
Zd4xL
h− 1
2φφ− 1
16FαβFαβ +
1
4d2 + iψkα∂ααΨα
k − 4ibijcαβΨiβ∂ααφΨjα
+ cαβFαβbijΨiαΨjα − 4 c2(bijΨ
iαΨjα)2
i.
La interaccion entre φ y Aαα desaparece
Aparece una interaccion tipo Yukawa
Es comparable con la accion encontrada por Berkovits et. al. como la extensiondeformada de la accion de baja energıa de la super D3-brana.
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Acciones supersimetricas N = (1, 1/2) y N = (1, 0): dos casos particulares enlos parametros de la deformacion (ADC and L. Quevedo (hep-th/0605187))
1. b2 = 0
S =
Zd4xL
h− 1
2φφ− 1
16FαβFαβ +
1
4d2 + iψkα∂ααΨα
k − 4ibijcαβΨiβ∂ααφΨjα
+ cαβFαβbijΨiαΨjα − 4 c2(bijΨ
iαΨjα)2
i.
La interaccion entre φ y Aαα desaparece
Aparece una interaccion tipo Yukawa
Es comparable con la accion encontrada por Berkovits et. al. como la extensiondeformada de la accion de baja energıa de la super D3-brana.
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Acciones supersimetricas N = (1, 1/2) y N = (1, 0): dos casos particulares enlos parametros de la deformacion (ADC and L. Quevedo (hep-th/0605187))
1. b2 = 0
S =
Zd4xL
h− 1
2φφ− 1
16FαβFαβ +
1
4d2 + iψkα∂ααΨα
k − 4ibijcαβΨiβ∂ααφΨjα
+ cαβFαβbijΨiαΨjα − 4 c2(bijΨ
iαΨjα)2
i.
La interaccion entre φ y Aαα desaparece
Aparece una interaccion tipo Yukawa
Es comparable con la accion encontrada por Berkovits et. al. como la extensiondeformada de la accion de baja energıa de la super D3-brana.
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Rompimiento de supersimetrıa N = (1, 1/2) −→ N = (1, 0)
2. Encendemos ahora de manera perturbativa b2 1, la accion queda de laforma
S =
Zd4xL
h− 1
2φφ− 1
16F 2 +
1
4D2 + iΨkα∂ααΨα
k − 4ibijcαβ Ψβ∂αβφΨjβ
− b2c2
6φ2F 2 + b2c2φ2D2 + cαβFαβbijΨ
iαΨjα + 4 c2(bijΨ
iαΨjα)2
+φ
2bijD
ijcαβFαβ +φ2b2
4(cαβFαβ)2 − 2iφb2c2Ψiα∂γβφΨβ
i
− 32
9φc2bijD
ijbklΨkαΨlα + O(b3)
i.
Recuperamos la interaccion no trivial
∝ b2c2φ2F 2
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Rompimiento de supersimetrıa N = (1, 1/2) −→ N = (1, 0)
2. Encendemos ahora de manera perturbativa b2 1, la accion queda de laforma
S =
Zd4xL
h− 1
2φφ− 1
16F 2 +
1
4D2 + iΨkα∂ααΨα
k − 4ibijcαβ Ψβ∂αβφΨjβ
− b2c2
6φ2F 2 + b2c2φ2D2 + cαβFαβbijΨ
iαΨjα + 4 c2(bijΨ
iαΨjα)2
+φ
2bijD
ijcαβFαβ +φ2b2
4(cαβFαβ)2 − 2iφb2c2Ψiα∂γβφΨβ
i
− 32
9φc2bijD
ijbklΨkαΨlα + O(b3)
i.
Recuperamos la interaccion no trivial
∝ b2c2φ2F 2
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Sobre la renormalizabilidad
En general, las teorıas no(anti)conmutativas
L = L0 + Lint(C)
Estandar analisis dimensional en N = 1 nos dice que
[θα] = −1/2, [θα] = −1/2, [yαα] = −1→ [Cαβ] = −1
Sin embargo, hasta ahora todos los ejemplos estudiados han probado serrenormalizables. El argumento general en R4 no(anti)commutativo es: debidoa que θα 6= (θα)∗, entonces se propone
[θα] = −1/2 + δ, [θα] = −1/2− δ, [yαα] = −1→ [Cαβ] = −1 + 2δ
por lo que −1 + 2δ = 0 nos produce un δ = 1/2. Resultado consistente con lasuperalgebra
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Perspectiva a futuro
Estudio del comportamiento cuantico de nuestras acciones
Caso singlet ya estudiado y encontrado finito a todo orden [BILSZ 2005]Existen argumentos generales que indican que nuestros Lagrangianospueden ser renormalizables
Fenomenologıa, interpretacion en cuerdas
Caso singlet: IIB on C×C/Z2 acoplada con el axion,K. Ito and S. Sasaki (hep-th/0608143) dicen haber encontrado unbackground para nuestro Lagrangiano N = (1, 1/2): La D3-brana asociadaa la tipo IIB compactificada en un C2/Z2, en interaccion con el gravifoton.
Interpretacion geometrica de las funciones hiperbolicas
Deformacion de hipermultipletes
Caso no AbelianoCalculo de instantones
END
A. De Castro USB
Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas
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Perspectiva a futuro
Estudio del comportamiento cuantico de nuestras accionesCaso singlet ya estudiado y encontrado finito a todo orden [BILSZ 2005]
Existen argumentos generales que indican que nuestros Lagrangianospueden ser renormalizables
Fenomenologıa, interpretacion en cuerdas
Caso singlet: IIB on C×C/Z2 acoplada con el axion,K. Ito and S. Sasaki (hep-th/0608143) dicen haber encontrado unbackground para nuestro Lagrangiano N = (1, 1/2): La D3-brana asociadaa la tipo IIB compactificada en un C2/Z2, en interaccion con el gravifoton.
Interpretacion geometrica de las funciones hiperbolicas
Deformacion de hipermultipletes
Caso no AbelianoCalculo de instantones
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Interpretacion geometrica de las funciones hiperbolicas
Deformacion de hipermultipletes
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Caso singlet: IIB on C×C/Z2 acoplada con el axion,K. Ito and S. Sasaki (hep-th/0608143) dicen haber encontrado unbackground para nuestro Lagrangiano N = (1, 1/2): La D3-brana asociadaa la tipo IIB compactificada en un C2/Z2, en interaccion con el gravifoton.
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Fenomenologıa, interpretacion en cuerdasCaso singlet: IIB on C×C/Z2 acoplada con el axion,
K. Ito and S. Sasaki (hep-th/0608143) dicen haber encontrado unbackground para nuestro Lagrangiano N = (1, 1/2): La D3-brana asociadaa la tipo IIB compactificada en un C2/Z2, en interaccion con el gravifoton.
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Fenomenologıa, interpretacion en cuerdasCaso singlet: IIB on C×C/Z2 acoplada con el axion,K. Ito and S. Sasaki (hep-th/0608143) dicen haber encontrado unbackground para nuestro Lagrangiano N = (1, 1/2): La D3-brana asociadaa la tipo IIB compactificada en un C2/Z2, en interaccion con el gravifoton.
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Fenomenologıa, interpretacion en cuerdasCaso singlet: IIB on C×C/Z2 acoplada con el axion,K. Ito and S. Sasaki (hep-th/0608143) dicen haber encontrado unbackground para nuestro Lagrangiano N = (1, 1/2): La D3-brana asociadaa la tipo IIB compactificada en un C2/Z2, en interaccion con el gravifoton.
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Caso no Abeliano
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Fenomenologıa, interpretacion en cuerdasCaso singlet: IIB on C×C/Z2 acoplada con el axion,K. Ito and S. Sasaki (hep-th/0608143) dicen haber encontrado unbackground para nuestro Lagrangiano N = (1, 1/2): La D3-brana asociadaa la tipo IIB compactificada en un C2/Z2, en interaccion con el gravifoton.
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sF ′(θ, φ) = e−isχ0 sF (θ, φ)
sYlm(θ, φ) = (−1)s
√2l + 1
4πDl ∗
m(−s)(θ, φ, χ0)
Dlms(θ, φ, χ0) = e−imφe−isχ0dl
ms(θ)
dlms(θ) =
c2Xt=c1
(−1)tdlms [cos (θ/2)]2l+m−s−2t [sin (θ/2)]2t+s−m
donde
dlms =
p(l +m)!(l −m)!(l + s)!(l − s)!
(m+ l − t)!(l − s− t)!t!(t+ s−m)!,
c1 = max(0,m− s), y c2 = min(l +m, l − s)
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?? The full QNS-deformed off-shell action
S =1
4
Zd4xL d
8θ du V ++WZ ? V −−,
where V −− is the non-analytic super-connection of D−− defined by the flatnessequation
D++V −− − D−−V ++WZ +
ˆV ++
WZ , V−−˜
?= 0,
whose solution is
V −− =∞X
n=1
Zdu1 · · · dun
V ++WZ(xL, u1) ? V
++WZ(xL, u2) · · · ? V ++
WZ(xL, un)
(u+u+1 )(u+
1 u+2 ) · · · (u+
nu+),
thus the action becomes
S =1
4
∞Xn=1
Zd4xL d
8θ du1 · · · dunV ++
WZ(xL, u) ? V++WZ(xL, u1) · · · ? V ++
WZ(xL, un)
(u+u+1 )(u+
1 u+2 ) · · · (u+
nu+).
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Nevertheless, the action can be written equivalently in terms of the chiralsuperfield W defined by
W = −1
4(D+)2V −− ≡ A+ θ+
α τ−α + (θ+)2τ−−,
as
S =1
4
Zd4xL d
4θ duW ?W =1
4
Zd4x d4θ duW2,
whereD++W +
ˆV ++
WZ , W˜?
= 0.
Integrating in the Graßmann and harmonic variables, the bosonic sector of theaction in components is
S =
Zd4x cosh2 X
»−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ
–.
Here we have made some redefinitions of the fields through a “minimal”
Seiberg-Witten map⇒ canonical gauge transformations.
The action has a structure similar to the QS-deformed one!
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Nevertheless, the action can be written equivalently in terms of the chiralsuperfield W defined by
W = −1
4(D+)2V −− ≡ A+ θ+
α τ−α + (θ+)2τ−−,
as
S =1
4
Zd4xL d
4θ duW ?W =1
4
Zd4x d4θ duW2,
whereD++W +
ˆV ++
WZ , W˜?
= 0.
Integrating in the Graßmann and harmonic variables, the bosonic sector of theaction in components is
S =
Zd4x cosh2 X
»−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ
–.
Here we have made some redefinitions of the fields through a “minimal”
Seiberg-Witten map⇒ canonical gauge transformations.
The action has a structure similar to the QS-deformed one!
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Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados
Nevertheless, the action can be written equivalently in terms of the chiralsuperfield W defined by
W = −1
4(D+)2V −− ≡ A+ θ+
α τ−α + (θ+)2τ−−,
as
S =1
4
Zd4xL d
4θ duW ?W =1
4
Zd4x d4θ duW2,
whereD++W +
ˆV ++
WZ , W˜?
= 0.
Integrating in the Graßmann and harmonic variables, the bosonic sector of theaction in components is
S =
Zd4x cosh2 X
»−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ
–.
Here we have made some redefinitions of the fields through a “minimal”
Seiberg-Witten map⇒ canonical gauge transformations.
The action has a structure similar to the QS-deformed one!
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Nevertheless, the action can be written equivalently in terms of the chiralsuperfield W defined by
W = −1
4(D+)2V −− ≡ A+ θ+
α τ−α + (θ+)2τ−−,
as
S =1
4
Zd4xL d
4θ duW ?W =1
4
Zd4x d4θ duW2,
whereD++W +
ˆV ++
WZ , W˜?
= 0.
Integrating in the Graßmann and harmonic variables, the bosonic sector of theaction in components is
S =
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»−1
2ϕφ+
1
4dijdij −
1
16fαβfαβ
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Here we have made some redefinitions of the fields through a “minimal”
Seiberg-Witten map⇒ canonical gauge transformations.
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