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TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOS
Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
Para definir el laminado se emplearán los siguientes criterios:
- Se definirán las láminas desde el exterior hacia el interior del laminado.
- Se indicará con un número el ángulo que forman las fibras con la dirección de
referencia y, mediante un subíndice, el número de láminas seguidas que poseen esta orientación.
- Cuando se defina la secuencia de apilamiento de todas las láminas del laminado se empleará el
subíndice T para indicar que, el laminado, ha sido definido en su totalidad.
- Cuando se trate de un laminado simétrico, sólo se expresará la secuencia de apilado de uno de los
lados y utilizaremos el subíndice S para indicar que el laminado es simétrico.
LAMINADOS
PLANO MEDIO DEL LAMINADO
Un laminado simétrico compuesto por 3 láminas a 90º, 2 a 0º, 1 a -45º y otra a +45º puede nombrarse de las siguientes maneras alternativas:
- [903, 02,-45,+45,+45,-45,02,903]T- [903, 02,-45,+45]S- [903, 02,-45,+452,-45,02,903]T
Un laminado puede, también, estar constituido por una secuencia de "sublaminados" que se repiten.
Así, por ejemplo, un laminado realizado a base de sublaminados, podría ser:
- [02,60,+453]2S
- [02,60,+452}S- [02,60,+45,02,60,+45,02,60,+45,02,60,+45]T
Ejemplos de nomenclatura:
LAMINADOS
Si laminado anterior tuviera una lámina justo en el plano de simetría que, por ejemplo,
presentara una orientación de sus fibras de 90º, su nomenclatura sería:
• [903, 02,-45,+45,90,+45,-45,02,903]T• [903, 02,-45,+45,90]S
ANTES DEL PROCESO DE CURADO
DESPUES DEL PROCESO DE CURADO
Laminado no simétrico Laminado simétrico
Laminados simétricos:
LAMINADOS
Posibles secuencias de apilamiento simétricas para evitar la pérdida de planitud del laminado una vez que la resina ha curado:
0o
90o
0/90/90/0 [0,90]s
90/0/0/90 [90,0]s
LAMINADOS
PLACAS LAMINADAS
PLACAS LAMINADAS
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
¡Cada lámina se supone trabajando
en tensión plana!
RIGIDEZ EN EL PLANO DE LAMINADOS SIMETRICOS
El material compuesto presenta un comportamiento elástico-lineal hasta rotura
El laminado tiene un espesor pequeño (laminado delgado)
La deformación de cualquier lámina es igual a la del laminado
(comportamiento solidario de todas las láminas)
Hipótesis:
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
z
x
z
x
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
NNN
NVector de cargas (N/m):
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
x
yz
NxNx
Ny
Ny
Nyx
Nxy
Nyx
Nxy
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
τσσ
σ
{ } { }0
0
0
0
εγεε
γεε
ε =⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
xy
y
x
Vector de tensiones:
Vector de deformaciones:{ } { } [ ]{ }dzQdzN
h
h
h
h
εσ 2
2
2
2∫∫
−−
==/
/
/
/
{ } [ ] { }
{ } [ ] { } N/m
0
02
2
enAN
A
dzQNh
h
ε
ε
⋅=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−∫
43421
/
/
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
RIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La rectas perpendiculares al plano medio, antes de que el laminado se deforme, siguen permaneciendo rectas una vez que el laminado se haya deformado.2.- Las rectas perpendiculares al plano medio no experimentan ningún tipo de deformación longitudinal (el laminado no cambia de espesor)3.- Las rectas perpendiculares al plano medio permanecen perpendiculares a la superficie que adquiere dicho plano una vez que que el laminado flecte.
Por tanto, las secciones planas ortogonales al plano medio del laminado siguen siendo planas y ortogonales a la superficie que adquiera dicho plano una vez que el laminado haya flectado.
Hipótesis:
El comportamiento del material se supone elástico lineal.
Las láminas se encuentran trabajando solidariamente unas a otras
No existen tensiones fuera del plano de cada lámina (σz= τxz= τyz=0): las láminas trabajan en condiciones de tensión plana
Hipótesis (Cont.):
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Campo de desplazamientos:
u=u (x,y,z)
v=v (x,y,z)
w=w (x,y,z)
x, u
y, v z, w
Plano medio
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
MMM
M
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Vector de cargas (Momentos, N.m/m):
x
y z
Mx
Mx
My
My
MxyMxy
Myx
Myx
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
x
z
O
PzP
u0
w0
ββO
PuPzPβ
βPOP zuu −=x
wO
∂∂β =
xwzuu O
OP ∂∂
−=
De la misma manera podríamos llegar a que:
ywzvv O
OP ∂∂
−=
CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS EN EL LAMINADOUtilizando las hipótesis de Kirchhoff y llamando u0, v0 y w0 a los desplazamientos del plano medio:
Dado que la deformación εz es nula:
OP ww =
2
2
xwz
xu
xu OOP
x ∂∂
∂∂
∂∂ε −==
2
2
ywz
yv
yv OOP
y ∂∂
∂∂
∂∂ε −==
yxwz
xv
yu
xv
yu OOOPP
xy ∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂γ
2
2−+=+=
CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL LAMINADO:
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
0=zε
0=xzγ
0=yzγ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
oxy
oy
ox
xy
y
x
zκκκ
γεε
γεε
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xv
yu
yvx
u
OO
O
O
oxy
oy
ox
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
γεε
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
yxw
ywxw
O
O
O
xy
y
x
∂∂∂∂
∂∂
∂
κκκ
2
2
2
2
2
2
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Vector de deformaciones
en el plano medioVector de curvaturas
Laminado simétrico sometido a flexión pura:
0=== oxy
oy
ox γεε
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
zκκκ
γεε
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
{ } { } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { }κκεσ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=== ∫∫∫∫
−
dz z Q dz z Q dz z Q =dz z 2h/2
h/2-
2h/2
h/2-
h/2
h/2-
2
2
/
/
h
h
M
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
z
x x
z
M
[ ]D
{ } [ ]{ }κDM =
[ ] [ ] N.m)(en dz z Q D 2h/2
h/2-∫=
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
{ } [ ] { }0 ε⋅= AN [ ] [ ] N/m)(en 2
2
dzQAh
h∫
−
=/
/
{ } [ ]{ }κDM =
RIGIDECES DE LAMINADOS SIMÉTRICOS
Rigidez en el plano:
Rigidez a flexión:
RIGIDEZ A FLEXION DE LAMINADOS NO SIMETRICOS
{ } { } { }κεε zo +=
{ } { } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }{ }44 344 2144 344 21
kB
kQ
oA
QQNh
h
h
h
oh
h
h
h
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−− ∫∫∫∫ +===2
2
2
2
2
2
2
2dz z dz dz dz
/
/
/
/
/
/
/
/
ε
εεσ
{ } { } [ ]{ } [ ]{ }{ }
[ ]{ }{ }44 344 2144 344 21
kD
kQ
B
QQMh
h
h
h
oh
h
h
h
o⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−− ∫∫∫∫ +===2
2
22
2
2
2
2
2dz z dz z dz z dz z
/
/
/
/
/
/
/
/
ε
εεσ
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
{ } [ ]{ }εσ Q=z z
xxM
N
1
izi
zi-1
z0=h/2
N
h
b
zy
x
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
2z1 z2
{ } [ ]{ } [ ]{ } N/m)en (k N o BA += ε
{ } [ ]{ } [ ]{ } N)en (k M o DB += ε
[ ] [ ] [ ] N/m)(en zz Q 1(i)(i)m
1=i
)( −−= ∑ iA
[ ] [ ] ( ) ( )[ ] N)(en zz Q 21 212(i)
(i)m
1=i
)( −−= ∑ iB
[ ] [ ] ( ) ( )[ ] N.m)(en zz Q 31 313(i)
(i)m
1=i
)( −−= ∑ iD
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
κκκγεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy0
y0
x0
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
MMMNNN
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
κ
ε
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ 0
DB
BA
M
N
[ ]
{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }κ
ε
0
0
0
0
0
DMAN
D
A
M
N
B
==
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
κ
ε=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
En resumen:
Si el laminado fuese simétrico:
Quedan desacoplados loscomportamientos en el planoy a flexión
•Simétrico•Antimétrico•Balanceado•Cuasi-Isótropo•Láminas cruzadas (Cross-Ply laminate)•Láminas a α (Angle-Ply laminate)• Ortotrópico
±
TIPOS DE LAMINADOS
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
•Láminas del mismo material, espesor, y orientación, dispuestas simétricamente respecto al planomedio •Ejemplo: [+θ/−θ/−θ/+θ]•Característica principal:
Bij=0•Característica mecánica:
No existe acoplamiento entre cargas en el plano y flexión
LAMINADOS SIMETRICOS:
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
κκκγεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy0
y0
x0
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
MMMNNN
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
•Las láminas que ocupan posiciones simétricas tienen orientaciones del mismo ángulo pero con signo distinto, son del mismo material y espesor.•Ejemplo: [+θ/-θ/+θ/-θ]•Característica importante:
A16=A26=0D16=D26=0
•Característica mecánica: Difíciles de analizar porque B16 y B26 no son nulos.
LAMINADOS ANTIMETRICOS:
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
κκκγεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy0
y0
x0
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
MMMNNN
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
•Descripción: Por cada lámina + θ, hay otra a -θ, y por cada una a 0° hay otra a 90°•Ejemplo: [0/45/90/-45]•Características:
Q16(θ )=-Q16(-θ)Q26(θ )=-Q26(-θ)
•Característica importante:A16=A26=0D16=D26=0B11=B22=B12=0
•Característica mecánica:Nx=B16κxy
LAMINADO BALANCEADO
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
κκκγεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy0
y0
x0
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
MMMNNN
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
•El laminado se comporta como una placa isótropa•Su comportamiento en el plano es similar al de los materiales isótropos•La rigidez a flexión es diferente a la de las placas con materiales isótropos•Se define como:
donde k es el número de lámina, N=el número total de láminas (>=3) y θ0es un ángulo arbitrario•Igual número de láminas a
–0, 45, -45, 90 o–0, 60, -60
•La matriz A es independiente de la orientación de aplicación de las cargas•Sin embargo, B y D sí que dependen de dicha orientación
0k Nk
θ+π
=θ
LAMINADO CUASI-ISOTROPO
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
•Láminas cruzadas: láminas a 0° y 90°, solamente: [D] =0Fácil de analizar si es simétrico ([B]=0)
•Laminado a ±θ°: láminas con esas dos orientacionesSi es simétrico: A16=A26=0; Bij=0; D16≠0; D26≠0Si es antimétrico: A16=A26=0; D16=D26=0; B16≠0; B26≠0
LAMINADO DE LAMINAS CRUZADAS Y LAMINADO ±θ°
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
LAMINADO ESPECIALMENTE ORTÓTROPO
•Laminado de láminas cruzadas o giradas θ
Tejidos bidireccionalesA16=A26=0D16=D26=0B16= B26 =0
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
•Módulos equivalentes: Ex, Ey, Gxy, νxy
Definido para laminados simétricos y balanceados
Propiedades de una placa ficticia equivalente que se comporta de manera análoga al laminado bajo cargas en el plano
No utilizables para casos de flexión
puesto que: D16≠0; D26≠022
12xy
66xy
11
2122211
y
22
2122211
x
AA
tAG
tAAAAE
tAAAAE
=ν
=
−=
−=
MODULOS EQUIVALENTES DEL LAMINADO:
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
•Pasos:
1) Calcular las deformaciones que sufre el laminado a partir de las cargas en el plano y momentos a él aplicados
2) Referir las deformaciones obtenidas a los ejes materiales en cada lámina
3) Calcular las tensiones dentro de cada lámina en el sistema de ejes materiales
4) Aplicación del criterio de rotura a cada lámina
CALCULO DE LAMINADOS
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
[ ]
{ } { } { }κ+ε=ε
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
κε
z
MN
F
o
o
Paso 1: Cálculo de deformaciones globales en el laminado
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Paso 2: Cálculo de las deformaciones en cada lámina en
ejes materiales:
{ } { }xy1
12 ]R][T][R[ ε=ε −
Paso 3: Cálculo de las tensiones en cada lámina en ejes materiales:
{ } { }1212 ]Q[ ε=σ
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Paso 4: Aplicación del criterio de rotura a cada lámina
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Rotura de la primera lámina:- En ella se alcanza un estado tenso-deformacional que verifica el criterio de rotura empleado.
- El laminado seguiría trabajando pero se debe eliminar (o ir degradando sus propiedades) la
lámina rota, suponiendo que cada una de las otras láminas conserva sus propiedades y
su posición original.
- Hay que determinar las nuevas matrices A,B y D sin considerar la lámina rota (o considerándola
con unas propiedades “degradadas”) y repetir el proceso de cálculo para obtener las nuevas
tensiones y deformaciones en cada una de las láminas restantes.
Repitiendo este proceso, podríamos ir eliminando láminas a medida
que se van rompiendo hasta llegar a la rotura de la última lámina.
1. Suponer elásticamente cargado el laminado.2. Calcular las tensiones y deformaciones en cada lámina.3. Aplicar el criterio de rotura a cada lámina.4. Incrementar la carga hasta que se produzca la rotura de
la primera lámina. 5. Modelizar el comportamiento postrotura de la lámina.6. Recalcular las matrices de rigidez del laminado y
redistribuir las cargas entre las láminas que siguen trabajando.
7. Continuar el proceso hasta que rompa la siguiente lámina.8. Volver al paso 5 y continuar así hasta que rompan todas
las láminas del laminado.
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
( )TotalxN
)3(xN
)2(xN
)1(xN
1n = 2n = 3n =
Rotura primera lámina, k=1
Rotura segunda lámina, k=2
Rotura tercera lámina, k=3
Roturaúltimalámina
)1(xε )2(
xε )3(xε
( )Totalxε
Deformación
Car
ga
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
•Si una lámina rompe, su matriz de rigidez de hace nula
•La lámina rota NO SOPORTA ninguna carga. Por tanto, la carga total aplicada es absorbida por el resto de láminas y las tensiones se redistribuyen. Esta redistribución puede llevar a la rotura inmediata de otras láminas. Cuando la redistribución de cargas cause la rotura de todas las láminas, diremos que el laminado ha roto.
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
HIPÓTESIS MÁS SIMPLE:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∑
∑
=
=
n0
n0
nn
nn
n
n
n
k n0
n0
Total0
0
n
k n
n
Total
κ
ε
DB
BA
M
N
κ
ε
κ
ε
M
N
M
N
1
1
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
( ) ( ) ( )
( )( )[ ]
bajando.siguen tra que láminas las deQ rigidez de matrices las deDependen
1-nla de rotura la de después rigidez de
smodificada matrices lasson
n
ésima .
,, nnn DBA
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