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TEMA 8. LÍMITES Y CONTINUIDAD
1. IDEA DE LÍMITE.
La idea de límite de una función f(x) cuando ésta tiende a un punto a, (se escribe )x(flim
ax® ), es la del valor al que se acerca la función cuando vamos tomando valores
cada vez más próximos al punto a. Ejemplo: Sea la función f(x) = x + 2. Veamos cuál es su límite cuando nos
acercamos al punto 0. Vamos tomando valores cercanos: f(0,1) = 2,1 f(0,01) = 2,01 f(0,001) = 2,001 … y vemos que nos acercamos al punto 2, que es el límite buscado. )x(flim
0x®= )2x(lim
0x+
®=2
Generalmente, para calcular un límite, tan sólo tenemos que sustituir en la función
el valor del punto a. Ejemplo: )2x(lim
0x+
®= 0 + 2 = 2
Pero hay veces que al sustituir nos aparecen operaciones imposibles de realizar o
ambiguas. Estas expresiones se llaman indeterminaciones y son del tipo:
...1,0,00,,1,
01 0 ¥
¥¥
¥
Ejemplo: x1lim
0x® = 01
2. LÍMITES LATERALES Hay ocasiones en las que al acercarnos a un determinado valor a por la derecha
(valores menores que a) y por la izquierda (valores mayores que a), no obtenemos los mismos resultados. Es el caso de las funciones definidas a trozos y de algunos casos de indeterminación. Es por ello que necesitamos definir los límites laterales.
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Llamamos límite por la izquierda ( )x(flim
ax -®) al valor al que tiende la función
cuando nos acercamos al punto con valores menores que él. Llamamos límite por la derecha ( )x(flim
ax +®) al valor al que tiende la función
cuando nos acercamos al punto con valores mayores que él.
Ejemplo: Sea la función f(x) = îíì
³<+3x43x2x
Para calcular )x(flim3x®
no se puede sustituir directamente, ya que si
tomamos valores mayores que 3 obtenemos un resultado distinto que si tomamos valores menores que 3. Es por ello que hace falta calcular los límites laterales:
)x(flim3x +®
= 4 y )x(flim3x -®
= 3
Cuando no coinciden los límites laterales, diremos que no existe el límite de la
función en ese punto.
3. LÍMITES INFINITOS Una función se dice que es divergente en un punto cuando su límite es +¥ o -¥.
±¥=®
)x(flimax
Ejemplo: En el estudio del 20x x1lim
®, si estudiamos el valor de la función cuando x
se acerca progresivamente a 0, nos damos cuenta que el valor de la función se hace cada vez más grande.
1001,012 =
1000001,012 =
1000000001,01
2 =
Por lo que podemos afirmar que 20x x1lim
®= +¥
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4. LÍMITES EN EL INFINITO
Se trata de ver a qué tiende la función cuando los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños.
)x(flim
x +¥® o )x(flim
x -¥®
Ejemplo: En el estudio del 1xxlim
x -+¥®, si calculamos el valor de la función cuando
x es progresivamente más grande, vemos:
01,11100
100=
-
001,111000
1000=
-
0001,1110000
10000=
-
Por lo que podemos afirmar que 1xxlim
x -+¥®= 1
5. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO Se trata de estudiar los casos en los que )x(flim
x +¥®= ± ¥
Ejemplo: En el estudio del 2
xxlim
+¥®, vemos que cuando x se hace muy grande, la
función también lo hace. Por lo que +¥=+¥®
2
xxlim
6. CÁLCULO DE LÍMITES
Como ya vimos, en general se sustituye el valor del punto en la función, y el número obtenido es el límite. Pero hay casos en los que nos topamos con indeterminaciones o con infinitos.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA EN EL INFINITO El límite de una función polinómica en el infinito es +¥ o -¥, dependiendo del
grado y del signo del coeficiente principal del polinomio.
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Ejemplos:
+¥=+¥=+-+¥®
22
x)()1xx(lim
-¥=-¥=+--+¥®
323
x)1xx2(lim
+¥=-¥=+--¥®
22
x)()1xx(lim
+¥=-¥-=+---¥®
323
x)()1xx2(lim
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL EN EL INFINITO
El límite de funciones racionales cuando x → ± ¥, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y del denominador. Distinguiremos tres casos:
- Si grado(numerador) = grado(denominador), el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado.
- Si grado(numerador) < grado(denominador), el límite es 0.
- Si grado(numerador) > grado(denominador), el límite es ± ¥, dependiendo de los signos que resulten de los cocientes de los términos principales.
Ejemplos:
o 5x2xx2lim
2
x +-+
+¥® =
xx2lim2
x +¥® =
1x2lim
x +¥® = + ¥
o 5x2x2lim 3x +
--¥®
= 3x xx2lim
-¥® = 0
o 5x2xx2lim 2
2
x +-+
+¥® =
2
2
x xx2lim
+¥® = 12 = 2
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL EN UN PUNTO
Tan sólo hemos de sustituir:
)a(Q)a(P
)x(Q)x(Plim
ax=
®
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Pero pueden darse algunos casos de indeterminadas:
0k : En este caso, el resultado siempre es infinito. Para mayor precisión, hemos de
calcular los límites laterales. Si estos no coinciden, diremos que no existe el límite.
Ejemplo:
01
2x1lim
2x=
-®
Estudiamos los límites laterales:
+¥==- +® + 0
12x1lim
2x -¥==
- -® - 01
2x1lim
2x
En este caso no existe el límite ya que los laterales no coinciden.
00 : En este caso hemos de simplificar la expresión fraccionaria y calcular el límite de la
expresión resultante.
Ejemplo:
00
2xx1xlim 2
2
1x=
-+-
®
Descomponiendo factorialmente los polinomios del numerador y del denominador, obtenemos:
x2 – 1 = (x + 1)·(x – 1) x2 + x – 2 = (x – 1)·(x + 2)
Y simplificando:
32
2x1xlim
)2x)(1x()1x)(1x(lim
2xx1xlim
1x1x2
2
1x=
++
=+--+
=-+
-®®®
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7. CONTINUIDAD
La idea intuitiva de función continua es la de una función que e puede trazar sin necesidad de levantar el lápiz del papel.
Más formalmente, diremos que una función es continua en un punto si los valores
de la función e las proximidades del punto son muy cercanos al valor de la función en ese punto. Para ello se tiene que cumplir que exista los límites laterales y que éstos coincidan con el valor de la función.
Es decir, una función f(x) es continua en un punto a si se cumple:
a) Existe f(a) → a pertenece al dominio de la función
b) )x(flimax -®
= )x(flimax +®
→ Existe el límite de la función en a
c) )x(flim
ax® = f(a) → Ambos valores coinciden.
Si alguna de estas condiciones no se cumple, diremos que la función es
discontinua en el punto a. Diremos que una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su
dominio. Ejemplo 1: Veamos si f(x) = x3 – 2x2 – 1 es continua en x = 5. Como existe f(5) = 74, y el )x(flim
5x®= 74, ambos coinciden y la función es continua.
Ejemplo 2:
Veamos si f(x) = îíì
>£1xx1xx3 es continua en x = 1.
Existe f(1) = 3, pero no existe el límite, ya que los límites laterales no existen, luego la función es discontinua en el punto 1. Ejemplo 3:
Veamos si f(x) = îíì
><1x31xx3 es continua en x = 1.
Como no existe f(1), es discontinua.
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Ejemplo 4:
Veamos si f(x) = îíì
=¹1x01xx3
es continua en x = 1.
Existe f(1) = 0. Existe )x(flim
1x®= 3, ya que coinciden los límites laterales. Pero no
coinciden ambos valores, por lo tanto, la función es discontinua. CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES
- Las funciones polinómicas y exponenciales son continuas en todos los números reales.
- Las funciones racionales f(x) = )x(Q)x(P son continuas excepto en los puntos que
anulan el denominador.
- Las funciones logarítmicas son continuas en todo su dominio. 8. TIPOS DE DISCONTINUIDADES
Dependiendo de qué condición no se cumpla, los puntos de discontinuidad se pueden clasificar en evitables e inevitables.
Discontinuidad Evitable → Existe el límite de la función en el punto, pero éste no coincide con el valor de ésta (bien porque no exista o porque sea diferente)
Discontinuidad no Evitable:
Salto finito → Existen los límites laterales, son finitos, pero no coinciden. Por lo tanto, no hay límite.
Ejemplo:
f(x) = îíì
>-£-1x1x21x1x2
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Salto infinito → Alguno de los límites laterales es infinito.
Ejemplo:
f(x) = x1
EJERCICIOS 1) Calcula los límites de las siguientes funciones:
a) f(x) = îíì
=¹3x103xx2 cuando x tiende a 3
b) f(x) = îíì
>-<4x2x4x2
cuando x tiende a 4
c) f(x) = îíì
>-<-1x3x1x1x2 cuando x tiende a 1
2) Calcula los siguientes límites:
a) =-+
® 1x1x3lim
1x
b) =-
++¥® 1x
1x2x3lim3
x
c) =-
++¥® 1x
1x2x3lim 3
3
x
d) =-+--
® 7x2x51x2x3lim 3
3
1x
e) =--
® 4x16xlim
2
4x
f) =-+
® 2x1xlim
2x
g) ( )
=-® 2
3
1x 1xxlim
h) =-++-
® 10x3x6x5xlim 2
2
2x
i) =-+-
+-® 12x16x7x
x6x5xlim 23
23
3x
j) =-+-
+-® 12x16x7x
x6x5xlim 23
23
2x
k) =++-¥+®
)5x3x(lim 2
x
l) =++¥+®
)1x2x5(lim 2
x
m) =+--¥-®
)1x2x(lim 3
x
n) =+-
¥+® 5x3x2lim 2
2
x
o) =++-
¥+® 5x31x3xlim
2
x
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p) =+-
¥+® 5x3xlim 3
2
x
q) =-+
-¥+® 2x5x5
x3x2lim 3
3
x
r) =+-
+® 4x4x
1x2lim 22x
s) =+--
¥+® 5x3x2lim 3
2
x
t) =+
+--¥-® 5x
1x3xlim 2
3
x
u) =+-++--
® 3x5xx2x2x2x2lim 23
235
2x
v) =++-
¥-® 5x21x3x5lim 3
3
x
w) =--
® 1x1xlim
2
1x
x) =++
-® 2x1xlim 2
3
1x
y) =-+
-® 4x2xlim 22x
z) =---
® 2x2xxlim
2
2x
aa) =++
+-® 3x4x
3xlim 23x
bb) =--
® 1x1xlim 2
4
1x
3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
a) f(x) = 2x1x3
-+
b) f(x) = îíì
>-£1xx1xx2
c) f(x) = îíì
><1x21xx2
d) f(x) = 16x4x3
2
3
-+
e) f(x) = 2x4x2
--
f) f(x) = 25x37x
2
3
+-
g) f(x) = ïî
ïí
ì
>££-
<
6x66x0x0xx
h) f(x) = ïî
ïí
ì
³<<
<
4xx4x0x0xx2
2
i) f(x) = 2x6xx2
--+
j) f(x) = 3x3-
4. Encontrar el valor de a para el cual la función f(x) = îíì
>-£-1xax1x2ax
2 es continua.
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