tema 7: polarización Índice
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Campos ElectromagnéticosCurso 2010/2011
Ingeniería IndustrialDpto. Física Aplicada III
Tema 7: Polarización1
Tema 7: Polarización
Campos Electromagnéticos
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Tema 7: Polarización2
Índice
Introducción
Vector polarización
Vector desplazamiento
Leyes constitutivas
Energía en presencia de dieléctricos
Fuerzas sobre dieléctricos
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Tema 7: Polarización3
Introducción
Conductores: poseen una cantidad apreciable de carga libre
Dieléctricos: todas las cargas se encuentran ligadas a algún átomo o molécula Ejemplos: madera, plásticos, granito...
Entonces ¿Cómo reacciona un dieléctrico ante un campo externo? Las cargas en las moléculas o átomos sufre
desplazamientos microscópicos
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Tema 7: Polarización4
Dipolos inducidos
Un átomo posee un núcleo positivo y una nube de electrones con carga negativa
El núcleo se ve desplazado en el sentido del campo y los electrones en sentido contrario:
El átomo se encuentra polarizado
Momento dipolar inducido: Para campos extremos la relación pasa a ser no lineal
e incluso el átomo puede ionizarse
Polarizabilidad
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Tema 7: Polarización5
Alineamiento de moléculas polares
Algunas moléculas presentan un momento dipolar no nulo en ausencia de un campo eléctrico externo Ejemplo: molécula de agua
Ante un campo eléctrico externo estas moléculas polares tienden a girar, de forma que su momento dipolar quede paralelo al campo
Moléculas polares
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Polarización
Materiales con átomos o moléculas no polares: Aparecerá en cada átomo un momento dipolar paralelo
al campo eléctrico Materiales con moléculas polares:
Cada molécula experimenta un momento de fuerzas que tiende a alinearla con el campo
La alineación no es perfecta debido al efecto de agitación térmica
En ambos casos tenemos un dieléctrico polarizado: muchos pequeños dipolos orientados paralelos al campo
eléctrico aplicado
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Tema 7: Polarización7
Índice
Introducción
Vector polarización
Vector desplazamiento
Leyes constitutivas
Energía en presencia de dieléctricos
Fuerzas sobre dieléctricos
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Tema 7: Polarización8
Vector polarización
Vamos a estudiar el campo que crea un dieléctrico polarizado No analizamos la causa de la polarización
Cada molécula presenta un momento dipolar:
Desde el punto de vista macroscópico definimos el vector polarización: Densidad de momento dipolar por unidad de volumen
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Tema 7: Polarización9
Campo creado por un material polarizado
Sea un material polarizado:
Suponiendo que conocemos el vectorpolarización. ¿qué campo eléctrico crea?
Idea: el campo será la superposición de los campos de todos los dipolos que contiene el material Potencial de un dipolo en el origen de coordenadas:
Si esta situado en un punto cualquiera:
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Campo creado por un material polarizado
Momento dipolar de un diferencial de volumen del material:
Potencial que crea este dif. de volumen:
Integrando en todo el volumen del material polarizado:
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Campo creado por un material polarizado
El potencial del material polarizado puede escribirse de otra manera
Usando:
Tenemos para el integrando que:
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Campo creado por un material polarizado
Y el potencial queda:
Y aplicando el Teorema de la divergencia:
: Volumen del dieléctrico polarizado
: Superficie que envuelve al dieléctrico polarizado
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Cargas de polarización
Potencial creado por unas densidades de carga volumétrica y superficial conocidas:
Por analogía entre ambas expresiones definimos:
Carga volumétrica de polarización
Carga superficial de polarización
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Cargas de polarización
Para calcular el campo eléctrico creado por el dieléctrico polarizado puedo sustituir el dieléctrico por sus cargas de polarización Se convierte en un problema de electrostática (tema 3) Esto requiere conocer el vector polarización
Preguntas sobre las cargas de polarización: ¿Se trata de cargas reales o solamente son una
herramienta matemática? Si son reales, ¿Cómo es posible que “aparezca” carga
en un cuerpo que inicialmente era neutro?
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Realidad física de las cargas de polarización
Material polarizado uniformemente: Las capas de dipolos adyacentes a las superficies
crean distribuciones de carga superficial:
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Realidad física de las cargas de polarización
Polarización no uniforme No hay compensación entre las capas positivas de una
capa y las negativas de la siguiente carga neta en volumen
Las cargas de polarización son cargas reales
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Carga total de polarización
La carga total es la suma de la carga de polarización en la superficie y en el volumen del material:
Teorema de la divergencia
La carga total de un dieléctico polarizado es nula(salvo que se deposite carga libre)
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Índice
Introducción
Vector polarización
Vector desplazamiento
Leyes constitutivas
Energía en presencia de dieléctricos
Fuerzas sobre dieléctricos
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Vector desplazamiento
Hemos calculado el campo debido al dieléctrico polarizado: cargas de polarización
El campo eléctrico total es el producido por las cargas de polarización y las cargas libres (todas las demás) y cumple la Ley de Gauss:
Desplazamiento eléctrico ó vector desplazamiento
con:
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Vector desplazamiento
La Ley de Gauss puede escribirse en términos del vector desplazamiento:
Se trata de un campo auxiliar: no medible
Unidades: C/m2 (las mismas que )
Sus fuentes escalares son solamente las cargas libres
Condición de salto:
Forma diferencial Forma integral
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Fuentes vectoriales del vector desplazamiento
Un campo vectorial viene dado por sus fuentes escalares y vectoriales
A partir de la definición:
Tenemos:
La polarización aparece en las fuentes vectoriales del vector desplazamiento
(Electrostática)
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Utilidad del vector desplazamiento
El paralelismo entre y es un poco engañoso:
No puede decirse que el vector desplazamiento sea equivalente al campo eléctrico que se obtiene considerando sólo las cargas libres
Sin embargo en situaciones de alta simetría se cumple: y se puede calcular el vector desplazamiento en función de las cargas libres usando la Ley de Gauss:
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Ejemplo
Condensador plano relleno de dieléctrico
Por la simetría plana
Aplicando Ley de Gauss:
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Ejemplo
Hilo infinito de carga rodeado de cilindro dieléctrico Determino en función de las cargas libres:
Si conociera podría calcular usando: PERO NORMALMENTE: necesitamos
conocer esa relación (ecuación constitutiva del medio)
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Índice
Introducción
Vector polarización
Vector desplazamiento
Leyes constitutivas
Energía en presencia de dieléctricos
Fuerzas sobre dieléctricos
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Tema 7: Polarización26
Leyes constitutivas
Un material se polariza como consecuencia de la existencia de un campo eléctrico
En muchas sustancias la polarización es proporcional al campo eléctrico:
: susceptibilidad eléctrica (adimensional) En el vacío: es el campo eléctrico total (debido a las cargas libres
y las de polarización), no el campo externo aplicado
Material lineal, isótropo y homogéneo
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Medios lineales
Homogéneo: la susceptibilidad no depende de la posición
Isótropo: la susceptibilidad es un escalar (no un tensor)
Lineal: la polarización es proporcional al campo Es cierto para campos de valor moderado Otros medios no cumplen esto:
Materiales ferroeléctricos: la polarización depende de la historia del material
Electretes: presentan polarización en ausencia de campo eléctrico externo
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Medios lineales
Relación entre la polarización y el campo eléctrico:
Definimos: Permitividad del material: ;(F/m) Permitividad relativa:
Entonces: y:
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Valores de permitividad relativa
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Ejemplo
Condensador plano relleno de un dieléctrico lineal
La capacidad es veces mayor que cuando el condensador está relleno de aire
Teníamos:
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Ejemplo
Condensador plano: cargas de polarización
En general, para dieléctricos lineales:
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Tema 7: Polarización32
Condensador con y sin relleno dieléctrico
Para la misma carga libre en las placas, la caída de potencial es más pequeña cuando está relleno de dieléctrico: Porque el campo eléctrico es menor, debido a que
queda en parte contrarrestado por las cargas de polarización
Para la misma diferencia de potencial, la carga libre acumulada es mayor con dieléctrico: Ya que para tener el mismo campo eléctrico entre
placas es preciso que en el caso con dieléctrico exista mayor cantidad de carga libre, para contrarrestar el efecto de las cargas de polarización
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Ejemplo
Condensador plano parcialmente relleno de dieléctrico
Aplicando Ley de Gauss:
Capacidad de dos condensadores en serie
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Ejemplo
Condensador plano parcialmente relleno de dieléctricoEn las dos regiones ha de cumplirse:
Capacidad de dos condensadores en paralelo
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Ejemplo
Esfera conductora con carga q rodeada de esfera dieléctrica
Simetría:
Ley de Gauss:
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Tema 7: Polarización36
Ejemplo
Esfera conductora con carga q rodeada de esfera dieléctrica: cargas de polarización
Ejercicio: comprobar que la carga total de polarización es nula
dentro del dieléctrico:
(dieléctrico lineal)
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Tema 7: Polarización37
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Introducción
Vector polarización
Vector desplazamiento
Leyes constitutivas
Energía en presencia de dieléctricos
Fuerzas sobre dieléctricos
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Tema 7: Polarización38
Energía en presencia de dieléctricos
Ya conocemos la expresión:
Representa el trabajo necesario para llevar todas las cargas desde el infinito a su posición final
En presencia de dieléctricos lineales es más conveniente esta expresión:
Representa el trabajo necesario para llevar las cargas libres desde el infinito a su posición final en presencia del medio dieléctrico
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Energía de un condensador plano
Para un condensador plano relleno de dieléctrico: Teníamos:
Entonces:
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Tema 7: Polarización40
Fuerzas sobre dieléctricos
La fuerza ejercida en una dirección sobre una pieza dieléctrica puede calcularse también a partir del principio de los trabajos virtuales. Se obtiene:
Ejemplo: pieza de dieléctrico parcialmente introducida en un condensador plano:
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Tema 7: Polarización41
Resumen (I)
Un material dieléctrico reacciona a un campo eléctrico externo polarizándose: Sus moléculas forman dipolos eléctricos alineados en
la dirección del campo A nivel macroscópico el estado de polarización viene
dado por el vector polarización Un dieléctrico polarizado presenta en general cargas
de polarización en volumen y en superficie. El vector desplazamiento es un campo auxiliar
cuyas fuentes escalares son exclusivamente las cargas libres
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Tema 7: Polarización42
Resumen (y II) En situaciones de alta simetría se puede calcular el
vector desplazamiento en función de las cargas libres usando la Ley de Gauss
Para calcular el campo eléctrico es necesario además conocer la relación entre el vector polarización y el propio campo eléctrico: relación constitutiva del medio En medios lineales el vector polarización es
proporcional al campo eléctrico total Para calcular la energía de un sistema en presencia de
dieléctricos es más útil una expresión alternativa que no incluye el trabajo para llevar las cargas de polarización hasta su posición final.
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