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Tema 6: Teoremas Asintoticos
Teorıa de la Comunicacion
Curso 2007-2008
Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Contenido
1 Teorema del Lımite Central
2 Teorema de DeMoivre-Laplace
3 Desigualdad de Chebychev
4 Ley de Los Grandes Numeros
Tema 6: Teoremas Asintoticos Teorıa de la Comunicacion
Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Contenido
1 Teorema del Lımite Central
2 Teorema de DeMoivre-Laplace
3 Desigualdad de Chebychev
4 Ley de Los Grandes Numeros
Tema 6: Teoremas Asintoticos Teorıa de la Comunicacion
Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Teorema del Lımite Central
Teorema del Lımite CentralTeorema: Sean X1, X2, . . . , XN v.a. independientes con medias yvarianzas
ηi = E[Xi], σ2i = E[(Xi − ηi)2], i = 1, . . . , N,
y la v.a. Y =∑Ni=1Xi, entonces
lımN→∞
P (y1 < Y ≤ y2) = G(y2 − ηYσY
)− G
(y1 − ηYσY
),
dondeG(y) =
∫ y
−∞e−
x22 dx
Es decir, Y se aproxima a una distribucion N (ηY , σY ), con
ηY =N∑i=1
ηi, σ2Y =
N∑i=1
σ2i
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Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Teorema del Lımite Central
Comentarios
Se puede aplicar siempre que una v.a. no predomine sobre el resto
La aproximacion es buena a partir de N ' 6
Aproximacion fiable con N pequeno.Sobre todo para los valores centrales.
El Teorema asegura que FY (y) tiende a ser Gaussiana
En principio no dice nada sobre la fdp.Si Xi son v.a. continuas fY (y) tiende a ser Gaussiana
Teorema de la Convolucion: La fdp de la suma de v.a. independienteses la convolucion de las fdp’s
Podemos decir que la convolucion de fdp’s tiende a ser Gaussiana!
El Teorema del Lımite Central sugiere una manera alternativa degenerar variables aleatorias Gaussianas
Ejemplo: Receptor de Comunicaciones: Interferencias, Ruido Termico,Ruido Galactico ...
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Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Teorema del Lımite Central
Ejemplo
Suma de N v.a. independientes uniformes en [0,1] (106 realizaciones y 100 bins)
0 0.5 10
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
4 N=1
y
n
0 1 20
1
2
3
4x 10
4 N=2
yn
0 1 2 30
1
2
3
4
5x 10
4 N=3
y
n
0 2 40
1
2
3
4
5
6x 10
4 N=4
y
n
0 2 4 60
1
2
3
4
5
6x 10
4 N=5
y
n
0 2 4 60
2
4
6
8x 10
4 N=6
y
n
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Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Contenido
1 Teorema del Lımite Central
2 Teorema de DeMoivre-Laplace
3 Desigualdad de Chebychev
4 Ley de Los Grandes Numeros
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Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Teorema de DeMoivre-Laplace
Teorema de DeMoivre-LaplaceTeorema: Dadas X1, . . . , Xn v.a. independientes de Bernoulli con
ηi = E[Xi] = p, σ2i = E[(Xi − ηi)2] = pq, i = 1, . . . , n
y la v.a. Binomial X =∑ni=1Xi, entonces
lımn→∞
P (k1 < X ≤ k2)Ta Lim. Cent.
= G(k2 − np√npq
)− G
(k1 − np√npq
)
P (k − 1 < X ≤ k) =
(nk
)pkqn−k '
n�1
∫ k
x=k−1
1√
2πnpqe− (x−np)2
2npq︸ ︷︷ ︸'cte. para npq�1
dx
Por lo tanto, B(n, p) se puede aproximar por
P (X = k) ' 1√2πnpq
e− (k−np)2
2npq
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Teorema de DeMoivre-Laplace
ComentariosBuena aproximacion, incluso para n pequena, en el centro de la funcion
Aproximacion de B(n, p) :
{P(np) n� 1, np < 5N (np, npq) n� 1, np� 1
Ejemplo
B(n = 100, p = 0.03) B(n = 100, p = 0.2)
0 10 20 30 400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
x
Distribución Binomial (fdp)
fdp
Binomial B(100,0.03)Poisson P(3)
0 10 20 30 400
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
x
Distribución Binomial (fdp)
fdp
Binomial B(100,0.2)N(20,4)
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Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Contenido
1 Teorema del Lımite Central
2 Teorema de DeMoivre-Laplace
3 Desigualdad de Chebychev
4 Ley de Los Grandes Numeros
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Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Desigualdad de Chebychev
Desigualdad de Chebychev
Sea X una variable aleatoria con media η y varianza σ2, se tiene
P (|X − η| ≥ ε) ≤ σ2
ε2∀ε
En funcion del suceso contrario:
P (|X − η| < ε) ≥ 1−σ2
ε2ε=Kσ−→ P (|X − η| < Kσ) ≥ 1−
1
K2
Aproximacion general pero muy conservadora.Demostracion:
P (|X − η| ≥ ε) =
∫ η−ε
−∞fX(x)dx+
∫ ∞η+ε
fX(x)dx =
∫|x−η|≥ε
fX(x)dx
σ2 =
∫ ∞−∞
(x− η)2fX(x)dx ≥∫|x−η|≥ε
(x− η)2fX(x)dx ≥
≥ ε2∫|x−η|≥ε
fX(x)dx = ε2P (|X − η| ≥ ε)
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Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
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1 Teorema del Lımite Central
2 Teorema de DeMoivre-Laplace
3 Desigualdad de Chebychev
4 Ley de Los Grandes Numeros
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Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Ley de Los Grandes Numeros
Ley de Los Grandes NumerosTeorema: Dadas n realizaciones independientes de un exp. aleatorio ε,y un suceso A con P (A) = p, se verifica
∀ε > 0 lımn→∞
P (|fA − p| ≤ ε) = 1,
donde fA = nAn
es la frecuencia relativa del suceso A.
Demostracion: (nA es una v.a. B(n, p))
P (|fA − p| ≤ ε) = P (p− ε ≤nA
n≤ p+ ε) = P (np− nε ≤ nA ≤ np+ nε)
P (|fA − p| ≤ ε) = G(np+ nε− np√npq
)− G
(np− nε− np√npq
)= G
(nε√npq
)− G
(−nε√npq
)= 2G
(nε√npq
)− 1
lımn→∞
P (|fA − p| ≤ ε) = lımn→∞
2G(
nε√npq
)− 1 = 1
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Teorema del Lımite Central Teorema de DeMoivre-Laplace Desigualdad de Chebychev Ley de Los Grandes Numeros
Ley de Los Grandes Numeros
Ley de Los Grandes Numeros
Aplicacion Practica:Suceso A con P (A) = p¿n? para que P (|fA − p| ≤ ε) ≥ µ
Ejemplo:P (A) = p = 0.6ε = 0.01µ = 0.98
P (|fA − 0.6| ≤ 0.01) ' 2G(
n · 0.01√n · 0.6 · 0.4
)− 1
P (|fA − 0.6| ≤ 0.01) ≥ 0.98 ⇒ n ≥ 13253
¿Y si desconocemos P (A) = p?
lımn→∞
P (|fA − p| ≤ ε) = 2G(
nε√npq
)− 1 ≥
pq≤1/42G(2ε
√n)− 1
2G(0.02√n)− 1 ' 0.98 ⇒ n ≥ 13572
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