tema 4 resolución de sistemas mediante determinantesahora resolveremos el problema con wiris: 1. en...
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Tema 4 resolución de sistemas
mediante Determinantes 1. Estudio del carácter de un sistema (Teorema de Rouché) Estudia la compatibilidad de los siguientes sistemas y resuélvelos si tienen solución:
525
14
6
)
yx
yx
yx
a b) c)
022
332
2
zyx
zyx
zyx
02
2
02
tyx
zyx
tzyx
a) Calculamos el rango de la matriz de coeficientes como
25
14
11
A ,014
11
ran .2)( A
Hallamos el rango de la matriz ampliada; ;
525
114
611
A . Por tanto, . 0A 2)( Aran
Como el sistema es compatible. También es determinado porque el rango es igual al número de
incógnitas. Para resolverlo tomamos las dos primeras ecuaciones que forman el menor
.2)( Aran
0514
11
y
aplicamos la regla de Cramer:
,15
11
16
14
6
xyx
yx 5
5
14
61
y Solución (1, -5).
Esta solución verifica también la tercera ecuación. Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En primer lugar, escribimos la matriz A y calculamos su rango. Para ello, solo tenemos que ir a la pestaña
Matrices y pinchar en el botón que tiene su símbolo. Entonces elegimos cuantas filas y columnas debe tener
y posteriormente la rellenamos. Entonces, pulsando el botón ‘intro’ en nuestro teclado (una vez situado el
cursor al final de la línea) escribimos ‘rango(A)’ y pulsamos igual, obteniendo:
Matemáticas II – Tema 4 .
2
Figura 1.
2. De la misma forma, calculamos el rango de la matriz ampliada:
Figura 2.
Por tanto el sistema es compatible determinado 3. Por último, resolveremos el sistema de ecuaciones, pinchando en la pestaña Operaciones, y luego en
resolver sistema. A continuación indicamos el número de ecuaciones del sistema, rellenamos los huecos y
pinchamos en igual, obteniendo la solución a nuestro problema:
Figura 3.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
3
b)
221
312
111
A .0A ,012
11
.2)( Aran
0
021
312
211
.3)( Aran
Como el sistema es incompatible. ),()( AranAran Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para este ejercicio, iremos introduciendo la matriz correspondiente, y después calcularemos su rango y su
determinante según proceda. Primero lo haremos con A, y luego con A’, aunque la llamaremos también A,
ya que si le ponemos el apóstrofe, confundimos nuestra orden.
Figura 4.
2. Por último, resolveremos el sistema de ecuaciones:
Matemáticas II – Tema 4 .
4
Figura 5.
Para obtener un determinante, nos situamos en Matrices y pinchamos sobre el símbolo que representa los
determinantes. Indicamos cuantas filas y columnas tendrá y las rellenamos. Luego pulsamos el botón igual y
obtenemos el resultado. También podemos usar el botón con un rectángulo y dos barras a los lados (aunque
en este sólo tenemos que escribir el nombre de la matriz ya escrita: en este caso A).
Si vemos la resolución del sistema con Wiris se puede ver que como es un sistema incompatible nos da como
solución un rectangulo en blanco y un mensaje de aviso que dice “Aviso, Dificultad. No es posible encontrar
un resultado o solución”.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
c) 06
112
011
121
;0
012
111
121
3)( Aran
El menor de orden 3 distinto de 0 que encontramos en A es también de A´. Por tanto 3)( Aran
).
y el
sistema es compatible. Como el rango es menor que el número de incógnitas, es indeterminado. Para
resolverlo, tenemos en cuenta el menor no nulo de A y consideramos z como parámetro ( z
02
2
2
tyx
yx
tyx
Aplicamos la regla de Cramer y se obtiene:
6
012
211
21
;6
102
021
11
;6
110
012
12
tyx
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
5
Por lo que las soluciones que se obtienen son: )1,,3
21,
31(
.
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para este apartado también calcularemos el determinante y el rango de la matriz A:
Figura 6.
2. Por último resolvemos el sistema planteado, y así obtenemos las soluciones:
Figura 7.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
Matemáticas II – Tema 4 .
6
2. Discusión de un sistema (Teorema de Rouché) Discute los siguientes sistemas y resuélvelos cuando sean compatibles:
a) b)
1)1(
0
1
mmzymx
zmy
yx
azyx
zyx
zyx
azyax
36
13
1
2
a) Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes .
mm
mA
11
10
011
Si 0m y 1m , ).(3)( AranAran El sistema es compatible determinado. Para cada valor
de m distinto de 0 y 1, tenemos un sistema con solución única:
mm
mm
m
zmm
mmy
mm
mmm
m
x
222
111
00
111
;11
100
011
;11
10
011
Solución:
)1
,1
1,
1 m
m
mm
m.
Si 0m 010
01 2)( A . ran
Como en hay dos filas iguales, A ).(2)( AranAran Por tanto, el sistema es compatible
indeterminado. Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos x al segundo
miembro: .0,1, x zy
Si 1m 010
11 2)( Aran ;
2121
0110
1011
A 00
221
10
111
3)( Aran . Por tanto, el sistema es incompatible.
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
7
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Primero calculamos el rango de la matriz A cuando m=2 (para saber cuál es el rango para cualquier m
distinta de 0 o 1):
Figura 8.
2. Ahora calcularemos cuál es el rango para m=0:
Figura 9.
3. Veremos también el rango cuando m=1:
Figura 10.
4. Calcularemos el rango de A’ cuando m=1:
Matemáticas II – Tema 4 .
8
Figura 11.
5. Ahora resolveremos el sistema para m=2:
Figura 12.
6. En este paso calcularemos los resultados del sistema para m=0:
Figura 13.
7. Por último, resolveremos el sistema para m=1:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
9
Figura 14.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
b) Como el rango de puede ser 4, empezamos estudiando su rango: A
2
2
2
2
22
)2(4
3206
1003
1201
11
3116
1113
1111
11
a
aaa
aa
aa
aa
a
aa
A
Si ),(4)(,2 AranArana el sistema es incompatible.
Si .4)( A puesto que ,2 rana 3)()(,010
113
111
112
AranAran
El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, tomamos las tres primeras ecuaciones, que
forman un menor distinto de cero, y aplicamos la regla de Cramer, obteniendo: 1,1,1 zyx
Ahora resolveremos el problema con Wiris:
1. Calcularemos el rango para un valor de a distinto de 2 (por ejemplo a=1):
Matemáticas II – Tema 4 .
10
Figura 15.
2. Ahora veremos cuál es el rango de A cuando a=2:
Figura 16.
3. En este paso resolveremos el sistema para a=1:
Figura 17.
4. Por último, resolvemos el sistema para a=2:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
11
Figura 18.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
3. Sistema homogéneo.
Estudia y resuelve el siguiente sistema según los valores de k:
0)1(
0)1(
0)1(
zky
zykx
yxk
Por ser un sistema homogéneo, el rango de la matriz de coeficientes es igual al de la matriz ampliada. Tiene,
al menos, la solución trivial X = 0, Y = 0, Z = 0.
Para que tenga otras soluciones, el rango de la matriz de coeficientes debe ser menor que el numero de
incógnitas.
013
110
111
01123
kkk
k
k
k
A Comprobamos que k = 1 es solución de esta ecuación:
0)12)(1(13 223 kkkkkk Soluciones: k = 1, k = 1 - 2 , k = 1 + 2
Si k 1, k 1 - 2 , k 1 + 2 , el sistema es compatible determinado. El sistema solo tiene
solución trivial (0, 0, 0)
k = 1, 2)( Aran , ya que 001
10
Matemáticas II – Tema 4 .
12
El sistema es compatible indeterminado: Solución:
0
0
zx
y),0,(
Si 1 2,k En este caso , 2)( A , ya que ran 001
0 2
El sistema es compatible indeterminado.
02
02
zy
zyxSolución: ),2,(
Si ,21 En este caso , 2)(k Aran , ya que 001
20
El sistema es compatible indeterminado
02
02
zy
zyxSolución: ),2,(
Ahora resolveremos el problema con Wiris:
1. En primer lugar, resolvemos la ecuación para saber los valores de k para los que el sistema es compatible
determinado:
Figura 19.
2. Después averiguamos el rango y la solución para k=1:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
13
Figura 20.
Se puede comprobar que Wiris en lugar de dar la solución en función de un valor lo da en función de z,
pero la solución es la misma.
3. A continuación averiguamos el rango y la solución para k 1 2, :
Figura 21.
4. Por último veremos cuál es el rango y las soluciones para ,21k :
Matemáticas II – Tema 4 .
14
Figura 22.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
4. Forma matricial de un sistema.
Expresa este sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:
1
22
3
zyx
zyx
zyx
3
2
1
,,
111
112
111
C
Z
Y
X
XA AX=C
1
2
3
111
112
111
Z
Y
X
Para resolverlo, vamos a obtener la matriz X multiplicando la igualdad AX=C por por la izquierda: 1A
CAXAA 11 )( CAIX 1 CAX 1
Comprobamos que 02 A 1A y hallamos :
312
202
110
)(AAdj
321
101
220
)]([ tAAdj
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
15
2312
12
1021
1101A
1
1
1
1
2
3
2312
12
1021
110
X
La solución del sistema es (1, 1, 1). Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para obtener la solución a este sistema, sólo tenemos que escribir las matrices A y C igual que en el
planteamiento, y luego multiplicar la inversa de A por C, obteniendo así la matriz X de los resultados:
Figura 23.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
5. Matriz inversa.
a) Dada la matriz A determina para que valores del parámetro m existe . 1A
m
A
01
011
111
b) Para resuelve ,1m .0det 1 xIA
Matemáticas II – Tema 4 .
16
a) Para que una matriz cuadrada sea regular, es necesario y suficiente que su determinante no sea nulo.
Calculamos el determinante de A: 1
01
011
111
m
A Como 0A para cualquier valor de m,
afirmamos que siempre existe. 1A Ahora resolveremos el problema con Wiris:
1. Escribiremos la matriz, y a esta le calcularemos su determinante:
Figura 24.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
b) Para calculamos : ,1m 1A
011
101
111
)(AAdj [
011
101
111
)]( tAAdjA
A11 [
011
101
111
)]( tAAdj
x
x
x
x
11
11
111
100
010
001
011
101
111
; xIA 1
01231 xxxxIA 011 2 xx
Solución: x = -1
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
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Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Sustituimos m por -1 en la matriz y la escribimos. Después escribimos el determinante que queremos
calcular (recordemos que la matriz identidad, la escribiremos pulsando el botón que corresponde a una I con
un rectángulo en el superíndice e indicando el tamaño). Una vez obtenido este, resolvemos la ecuación que
se nos plantea pulsando ‘resolver ecuación’ y rellenándola:
Figura 25.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
6. Ecuaciones matriciales.
a) Resuelve la ecuación AX + B = C donde:
21
10
11
,
43
01
12
,
002
011
310
CBA
b) Calcula la matriz A sabiendo que verifica la siguiente igualdad:
200
020
002
300
320
321
A
c) Considera la matriz siendo X una matriz columna, discute y resuelve la ecuación
matricial: Según los valores del parámetro real
101
010A
XXAA 1 .
a) Despejamos la matriz X: CBAX BCAX
y por tanto .
)(11 BCAAXA
)(1 BCAX
Matemáticas II – Tema 4 .
18
Hallamos C – B = y
62
11
21
61
31
31
21102
1001A .
Calculamos efectuando el producto y se obtiene: )(1 BCAX
21
42
31
X
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para este apartado, escribimos las matrices A, B y C, y después escribimos la ecuación para averiguar X
( ). Para obtener el resultado, pulsamos el botón igual: )(1 BCAX
Figura 26.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
b) La ecuación es del tipo AB=2I. Despejamos A multiplicando por 1B por la derecha: 11 2 IBABB y
se obtiene que 12 BA .
3100
21
210
0111B
3200
110
022
A . 1B : 6BCalculamos
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
19
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. De nuevo escribimos la matriz B y luego, la ecuación que despeja A:
Figura 27.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
c) La matriz X debe ser de dimensión 2 x 1.
20
01
10
01
10
101
010tAA
y
x
y
x
20
01
yy
xx
2
0)2(
0)1(
y
x
Es un sistema homogéneo:
20
01A )2)(1( A 10 A o 2
Si 1 y .2 El sistema solo tiene la solución trivial, X=0, Y=0:
X
0
0
Si 1 , .1)( A El sistema es compatible indeterminado con soluciones X = t, Y = 0: ran
0
tX
Matemáticas II – Tema 4 .
20
Si ,2 .1)( A El sistema es compatible indeterminado con soluciones X=0, Y = s:
ran
sX
0
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Primero debemos escribir la matriz, para obtener el resultado de multiplicar esta por su traspuesta:
Figura 28.
2. Resolvemos el sistema de ecuaciones que se nos plantea.
Figura 29.
3. Por último, sustituiremos en el sistema un valor 1 y .2 como por ejemplo 3, después un valor
,1 y por último un valor ,2 obteniendo así los siguientes resultados:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
21
Figura 30.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
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