tema 3 planteamiento de sistemas de ecuaciones matemÁticas ccss. 2º bachillerato

TEMA 3PLANTEAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES

MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO

Dos pasos:

Identificar incógnitas Plantear las

ecuaciones

1. Identificar incógnitas

1. Identificar incógnitas

Fijarse cuáles son las cantidades que no sabemos

PREGUNTA DEL PROBLEMA

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

1. Identificar incógnitas

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

x : precio de 1L de leche (€)y : precio de 1kg de jamón (€)z : precio de 1L de aceite (€)

x : lechey : jamónz : aceite

Escribir correctamente qué cantidad y en qué unidad viene dada la incógnita

1. Identificar incógnitas

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han comprado.

x : número de envases de la marca A vendidosy : número de envases de la marca B vendidosz : número de envases de la marca C vendidos

x : Ay : Bz : C

1. Identificar incógnitas

Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 50.49 €. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 41.47 €. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C.

x : precio de una unidad de A (€)y : precio de una unidad de B (€)z : precio de una unidad de C (€)

x : Ay : Bz : C

2. Plantear las ecuaciones

2. Plantear las ecuaciones

2.1 IGUALDAD

La suma del precio del autobús y el tren coincide con el del metro

x + y = z

x y zes lo mismo que

se obtienees (ser)…

2. Plantear las ecuaciones

2.2 EXCESO, SUMA, DIFERENCIA

El número de patatas excede en una unidad al de cebollas

x

yx = y + 1

Si al número de móviles se le suma el de ordenadores se obtiene el de TV

x

y zx + y = z

xLa diferencia entre el salario de Juan y el de Pepe es de 500€

yx - y = 500

2. Plantear las ecuaciones

2.3 PROPORCIONES

Hay el doble de chicas que de chicos

x

yx = 2y

El salario de Juan es el quíntuplo del salario de David

x

y x = 5y

Hay menos chicos, por tanto hay que multiplicarlo por dos para obtener el número de chicas

El salario de David es menor, por tanto lo multiplicamos por 5 para obtener el de Juan

2. Plantear las ecuaciones

2.3 PROPORCIONES

María gana 2/3 de lo que gana Elena

x

yx = 2/3 · y

El coche vale un tercio de lo que vale la moto y el camión

x

x = 1/3 · (y+z)

María gana menos, por tanto multiplicamos lo que gana Elena por 2/3 para obtener el sueldo de María

El coche vale menos que la suma de lo que vale la moto y el camión, por tanto dicha suma se multiplica por 1/3 para obtener el precio del coche

y z

2. Plantear las ecuaciones

2.3 PROPORCIONES

La edad de Blanca es la mitad de la de Ángel

x

y

x = y/2

El número de hombres y de mujeres duplica al de niños

x+y = 2z

Blanca tiene menos años, por tanto divido la edad de Ángel por dos, para obtener la de Blanca…

Hay menos niños, por tanto multiplico el número de niños por dos para obtener el número de hombres y de mujeres…… o divido el número de hombres y de mujeres entre dos

y z

x … o multiplico por dos la edad de Blanca para obtener la de Ángel

2x = y

(x+y)/2 = z

2. Plantear las ecuaciones

2.3 PROPORCIONES

Hay ocho veces más chicas que chicosy

Por cada tres chicas hay diez chicos

10x = 3yHay menos chicas que chicos, por tanto multiplico el número de chicas por 10 y el número de chicos por 3

y

xx = 8y

Hay menos chicos, luego multiplico por 8 el número de chicos para obtener el número de chicas

x

Chicas 3Chicos 10

10 · 3 = 30

3 · 10 = 30

2. Plantear las ecuaciones

2.4 PORCENTAJES

El lápiz cuesta el 30% de lo que cuesta el boli y

El número de profesores es el 40% del de alumnos

x = 0,4·y

y

xx = 0,3·y

30% = 0,3 85% = 0,85 10% = 0,15% = 0,05 1% = 0,01 90% = 0,9…

x

2. Plantear las ecuaciones

2.4 PORCENTAJES

La suma del número de patatas y cebollas es el 10% del de los tomatesy

El precio del coche A rebajado un 20% coincide con el de B

0,8·x = y

y

xx+y = 0,1·z

x

z

Rebajar un 20% equivale a quedarse con el 80% del valorEn general, rebajar un x% significa quedarse con (100-x)% del valor

2. Plantear las ecuaciones

2.4 PORCENTAJES

Juan gana un 20% más que Ana y

El beneficio de A aumentado un 50% sería igual al de la empresa B

1,5·x = y

y

xx = 1,2·y

x

Ganar (o ser, o aumentar) un 20% más, equivale al 120% del valorEn general, ganar (o ser, o aumentar) un x% más equivale al (100+x)% del valor

2. Plantear las ecuaciones

2.5 DEUDA / SOBRANTE

Con el dinero que tengo, si compro la moto y el casco dejaría una deuda de 200€

Con el dinero que tengo, comprando el lápiz y el periódico me sobra 1 €

x + 200 = y + z

x

Tengo menos dinero de lo que valen la moto y el casco, por tanto debo sumar a mi dinero la deuda (200€) para obtener el coste total de la compra (moto+casco)

x y z

y z

x – 1 = y + zTengo más dinero de lo que valen el lápiz y el periódico, por tanto resto a mi dinero el sobrante de la compra (1€) para obtener el coste total.

… de otra forma, sumo al coste total (lápiz+periódico) un euro para obtener el dinero que tengo.

x = y + z +1

2. Plantear las ecuaciones

2.6 MEDIAS ARITMÉTICASLa media de la nota del examen A y la nota del examen B fue de 7

La media del salario de Pedro, Juan y Ana es de 1500€

(x+y)/2 = 7

xLa media se calcula dividiendo la suma de las cantidades por el número total de sumandos.

x y

y z(x+y+z)/3 = 1500

La empresa B gana la media de lo que ganan A y Cy x z

y = (x+z)/2

2. Plantear las ecuaciones

2.7 CANTIDAD · PRECIO UNITARIO = PRECIO TOTAL

He comprado 4 libretas, a 3€ cada una, y he comprado 2 lápices que cuestan 0,50€ cada uno. En total me he gastado…4 · 3 + 2 · 0,50 = 13

Precio total

y

He comprado 4 libretas y 2 lápices. En total me he gastado 13€. ¿Cuánto cuesta cada libreta y cada lápiz?

x4 · x + 2 · y = 13 Cada libreta cuesta 3€ y cada lápiz 0,50€. En total me he gastado 13€. ¿Cuántas libretas y cuántos lapices he comprado?

x · 3 + y · 0,50 = 13

Precio unitario

x yCantidad

3. Ejemplos

3. Ejemplos

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

3.1

x : precio de 1L de leche (€)y : precio de 1kg de jamón (€)z : precio de 1L de aceite (€)

Precio unitario

cantidad·preciounitario + cantidad·preciounitario + cantidad·preciounitario + … = precio total

24·x + 6·y + 12·z = 156 1ª Ecuación (la del dinero)

3. Ejemplos

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

3.1

x : precio de 1L de leche (€)y : precio de 1kg de jamón (€)z : precio de 1L de aceite (€)

Precio unitario

sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche

z xz = 3x 2ª Ecuación (proporción)

3. Ejemplos

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

3.1

x : precio de 1L de leche (€)y : precio de 1kg de jamón (€)z : precio de 1L de aceite (€)

Precio unitario

y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche

y zy = 4·z + 4·x 3ª Ecuación (suma y cantidad·precio

unitario)

x

3. Ejemplos

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

3.1

x : precio de 1L de leche (€)y : precio de 1kg de jamón (€)z : precio de 1L de aceite (€)

Precio unitario

24x + 6y + 12z = 156 z = 3x y = 4z + 4x

4x + y + 2z = 26 -3x + z = 0 -4x + y - 4z = 0

arreglamos

3. Ejemplos

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

3.1

4x + y + 2z = 26 -3x + z = 0 -4x + y - 4z = 0

0

0

26

414

103

214

z

y

x

26

414

103

214

0

rg(A)=rg(A/b)=3=n Por el Teorema de Rouche-Frobenius es un SCD

126

26410

100

2126

A

x

1626

416404

103

2264

A

y

326

78014

003

2614

A

z

3

16

1

z

y

x

X

Sol. 1L de leche cuesta: 1€1kg de jamón cuesta:

16€1L de aceite cuesta: 3€

3. Ejemplos

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido.

3.2

x : número de envases de la marca A vendidosy : número de envases de la marca B vendidosz : número de envases de la marca C vendidos

Cantidad

3. Ejemplos

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido.

3.2

A CB

Peso unitario 250 g 500 g 1 kg (1000 g)Precio unitario 100 € 180 € 330 €

? ? ? ? ?LOTE (5 cajas)

2,5 kg890 €

3. Ejemplos

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido.

3.2

A CB

Peso unitario 250 g 500 g 1 kg (1000 g)Precio unitario 100 € 180 € 330 €

El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos…

250·x + 500·y + 1000·z = 2500

¡¡ cantidad · pesounitario !!

3. Ejemplos

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido.

3.2

A CB

Peso unitario 250 g 500 g 1 kg (1000 g)Precio unitario 100 € 180 € 330 €

…por un importe de 890 €…

100·x + 180·y + 330·z = 890

3. Ejemplos

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido.

3.2

A CB

Peso unitario 250 g 500 g 1 kg (1000 g)Precio unitario 100 € 180 € 330 €

El lote iba envasado en 5 cajas

x + y + z = 5

? ? ? ? ?LOTE (5 cajas)

3. Ejemplos

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido.

3.2

x + y + z = 5 100x + 180y + 330z = 890250x + 500y + 1000z= 2500

x + y + z = 5 10x + 18y + 33z = 89 arreglamos

x + 2y + 4z= 10

3. Ejemplos

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido.

3.2

10

89

5

421

331810

111

z

y

x

1

421

331810

111

A 0rg(A)=rg(A/b)=3=n Por el Teorema de Rouche-Frobenius es un SCD

21

24210

331889

115

A

x

21

24101

338910

151

A

y

11

11021

891810

511

A

z

1

2

2

z

y

x

X

Aplico la regla de Cramer:

3. Ejemplos

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido.

3.2

Sol. 2 cajas de la marca A 2 cajas de la marca B1 caja de la marca C

LOTE (5 cajas)

A A BB C

3. Ejemplos

3.3 Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de

B y otra de C. x : precio de una unidad de A (€)y : precio de una unidad de B (€)z : precio de una unidad de C (€)

Precio unitario

El precio medio de las tres conservas es de 0,90€.

(x + y + z)/3 = 0,90

1ª Ecuación (media aritmética)

3. Ejemplos

3.3 Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de

B y otra de C. x : precio de una unidad de A (€)y : precio de una unidad de B (€)z : precio de una unidad de C (€)

Precio unitario

Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€.

30·x + 20·y + 10·z = 59 2ª Ecuación (cantidad · precio unitario)LOTE CLIENTE 1

3. Ejemplos

3.3 Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de

B y otra de C. x : precio de una unidad de A (€)y : precio de una unidad de B (€)z : precio de una unidad de C (€)

Precio unitario

Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€.

20·x + 25·z = 37 3ª Ecuación (cantidad · precio unitario)LOTE CLIENTE 2

3. Ejemplos

3.3 Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. Calcula el precio de una unidad de A,

otra de B y otra de C.

(x + y + z)/3 = 0,90 30x + 20y + 10z = 5920x + 25z= 37

x + y + z = 2,7 3x + 2y + z = 5,9 arreglam

os4x + 5z= 7,4

3. Ejemplos

3.3 Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de

B y otra de C.

4,7

9,5

70,2

504

123

111

z

y

x

9

504

123

111

A 0rg(A)=rg(A/b)=3=n Por el Teorema de Rouche-Frobenius es un SCD

Aplico la regla de Cramer:

1,19

9,9504,7

129,5

117,2

A

x

19

954,74

19,53

17,21

A

y

6,09

4,54,704

9,523

7,211

Az

6,0

1

1,1

z

y

x

X

Sol. Una unidad de A cuesta 1,10€ Una unidad de B cuesta 1€

Una unidad de C cuesta 0,60€

TEMA 3PLANTEAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES

MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO

FIN