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Tema 3. Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son una potente

herramienta matemática para elaborar modelos.

En una ecuación diferencial la incógnita es una

función.

Una ecuación expresa una relación entre una

función y sus derivadas.

Resolver una ecuación es encontrar una fun-

ción que la satisfaga.

En este tema aprenderemos a resolver algunas ecua-

ciones diferenciales sencillas y estudiaremos algunos

modelos biológicos basados en ellas.

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Modelos malthusianos

Ejemplo

En Ecología se llama población a un conjunto

de individuos que pertenecen a la misma especie

y ocupan una determinada región geográfica. La

ecología de poblaciones se centra en el estudio

del tamaño, dinámica e interacciones entre ellas.

Poblaciones aisladas: los únicos factores que con-

tribuyen al incremento o disminución de pobla-

ción son exclusivamente los nacimientos y las

muertes (no se consideran procesos como la

inmigración y emigración).

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Modelos malthusianos

Hipótesis de Malthus: el incremento de pobla-

ción es proporcional al número de individuos

Modelo de Malthus discreto

El tiempo, t, se divide en intervalos, todos de

igual longitud,

t = 0, 1,2, . . .

nt =población al final del t-ésimo periodo de

tiempo.

Hipótesis de Malthus: nt − nt−1 = rnt−1

nt = (1 + r)nt−1 nt = αnt−1

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Modelo de Malthus discreto

Población inicial: n0 .

Población al final del primer periodo:

n1 = α · n0.

Población al final del segundo periodo:

n2 = α · n1 = α · (α · n0) = α2 · n0.

Población al final del periodo t-ésimo:

nt = α · nt−1 = α2 · nt−2 = · · · = αt · n0.

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Modelo de Malthus continuo

El tiempo t es una variable continua (puede to-

mar cualquier valor real).

N(t) = cantidad de población en el instante t.

Tasa de variación media: variación relativa de

población en el intervalo [t,t + h]

N(t + h)−N(t)

h

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Modelo de Malthus continuo

Tasa de variación infinitesimal

limh→0

N(t + h)−N(t)

h= N′(t)

Hipótesis de Malthus:

N′(t) = limh→0

N(t + h)−N(t)

h= rN(t).

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Modelo de Malthus continuo

La relación

N′(t) = rN(t)

se dice que es una ecuación diferencial.

Ejercicio Comprobar que

N(t) = Cert (C es constante)

verifica tal ecuación.

Solución: N′(t) = Crert = r(Cert) = rN(t).

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Conceptos básicos

Ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.): in-

tervienen funciones de una variable: t (x, s, . . . );

función incógnita: y (f,g, p,N, . . . )

Grado de una E.D.O.: mayor de los órdenes de

las derivadas que intervienen.

En este curso: E.D. = “E.D.O. de primer grado”.

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Conceptos básicos

Solución General: familia de todas las soluciones

de una E.D.; depende de una constante C.

Solución Particular: cada una de las soluciones

obtenidas al dar un valor concreto a C.

Condición inicial: valor prefijado que toma la

función incógnita y para un cierto valor t0 de

la variable independiente t (normalmente, t0 =

0):

y(t0) = y0

Problema de valor inicial: Ecuación diferencial

con condición inicial. La solución de un Problema

de Valor Inicial, si existe, es única.

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Conceptos básicos

Ejercicio ¿Verdadero o falso?

La solución general de la ecuación x′ = x− t es:

1. x = et + t + C

2. x = −et + t + 1

3. x = Cet + t + 1

4. x = t + 1

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Conceptos básicos

Ejercicio ¿Verdadero o falso?

Si x(t) es solución de la ecuación x′ = x− t:

a) Si x(0) = 0, entonces x(−1) = − 1e

b) Si x(0) = 1, entonces x(t) = t + 1

c) Si x(0) = −1, entonces x(t) es una función cre-

ciente.

d) Si x(1) = 0, entonces x(0) = e−2e

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E.D. puramente temporales

Las ecuaciones diferenciales más sencillas son aque-

llas que tienen la forma:

y’=f(t)

Solución:

y =

∫f(t) = F(t) + C,

F(t) es una primitiva de f y C una constante.

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E.D. puramente temporales

Problema de Valor Inicial:

y′ = f(t)

y(t0) = y0

}

Solución:

y =

∫f(t)dt = F(t) + C,

donde C debe calcularse para que y(t0) = y0. Luego,

C = y0 − F(t0).

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E.D. puramente temporales

Ejemplo La velocidad instantánea de variación del

volumen de una célula V(t) viene dado por la ecua-

ción:

V′(t) = sin(t), con V(0) = 3.

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E.D. puramente temporales

Ejercicio Resolver los siguientes problemas de valor

inicial:

1. y′ = t3 + t2 + 1, y(0) = 4

2. y′ = 1/(1− t), y(0) = 1

3. y′ = xex2

, y(0) = 1

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Tasa intrínseca de crecimiento

N(t) =tamaño de la población en el instante t.

dN

dt= N′(t) = velocidad instantánea o tasa de

cambio.

Tasa intrínseca de crecimiento=(dN/dt

)/N.

Este cociente representa la contribución de cada

individuo al crecimiento instantáneo de la población.

Es una tasa instantánea.

Las distintas expresiones de la tasa intrínseca de

crecimiento, dan lugar a distintos modelos de creci-

miento.16 /39

Crecimiento exponencial

Suponemos la tasa intrínseca de crecimiento

constante, r

El modelo se expresa mediante el Problema de

Valor Inicial

N′

N= r siendo N(0) = N0

Es decir,

N′ = rN siendo N(0) = N0.

Esta ecuación indica que la tasa de cambio de

la población, dN/dt es el producto de la contri-

bución de un individuo (tasa intrínseca) por el

número de individuos.

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Crecimiento exponencial

La solución general de la ecuación diferencial

dN/dt = rN

es

N(t) = Cert.

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Crecimiento exponencial

La solución del problema de valor inicial

dN

dt= rN N(0) = N0

es

N(t) = N0ert.

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Propiedades crecimiento exponencial

Una importante propiedad de la función N(t) = N0ert

es que su logaritmo neperiano es una función lineal

log(N(t)) = log(N0) + rt

de pendiente igual a r.

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Propiedades crecimiento exponencial

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Propiedades crecimiento exponencial

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Propiedades crecimiento exponencial

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Propiedades crecimiento exponencial

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Propiedades crecimiento exponencial

Ejercicio

Una población de mosca de la fruta crece según

la ley de crecimiento exponencial. Si había 180

moscas tras el segundo día y 300 tras el cuarto,

¿cuántas moscas había en la población original?

(Solución: N0 = 108 moscas).

A partir del segundo día, ¿cuántos días deben

transcurrir para que la población de moscas se

duplique? ¿Y a partir del cuarto día?

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Propiedades crecimiento exponencial.

Tiempo de duplicación constante.

Como medida de la velocidad de crecimiento de una

población, es frecuente usar el tiempo de duplicación

del número de individuos que la componen. Es decir,

el tiempo τ que tarda la población N(t) en alcanzar

el valor 2N(t). Este tiempo de duplicación es una

constante, no depende de t.

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Propiedades crecimiento exponencial

Ejercicio A partir de la ecuación

N(t + τ) = 2N(t),

demuestra que si N(t) = N0ert entonces,

τ =log(2)

r.

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Crecimiento logístico

En el modelo logístico la tasa intrínseca de creci-

miento r = dN/NN

= N′/N es densodependiente, es

decir, depende de la densidad de población:

N′/N = rm − zN

donde rm y z son constantes.

Esta ecuación indica que la tasa de cambio de la

población, dN/dt es el producto de la contribución

de un individuo (tasa intrínseca) por el número de

individuos.

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Crecimiento logístico

La función r se puede escribir de la forma

r =dN/dt

N= rm − zN = rm

(1− z

rm

N

)= rm

(1− 1

KN

),

donde K = rm

z.

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Crecimiento logístico

De tal forma que el factor 1−N/K actúa a modo de

freno del término exponencial:

Cuando N→ K el freno 1−N/K tiende a cero, de

manera que la derivada dN/dt tiende también a

cero y la población deja de crecer, y la densidad de

población N(t) se estabiliza alrededor del valor

de K.

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Crecimiento logístico

La solución general de la ecuación diferencial

dN

dt= rmN

(1− N

K

)es

N(t) =K

1 + Ce−rmt.

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Crecimiento logístico

la solución del problema de valor inicial

dN

dt= rmN

(1− N

K

), N(0) = N0

es

N(t) =K

1 + ( KN0− 1)e−rmt

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E.D. autónomas

Se llaman ecuaciones diferenciales autónomas a las

que pueden escribirse de la forma:

y′ = h(y)

Ecuación exponencial y′ = ry

Ecuación logística N′ = rN(1− 1KN)

Ecuación de von Bertalanffy: y′ = K(ym − y)

Ecuación de Gompertz: W′ = kW(log(Wm) −log(W))

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Equilibrios

Los Puntos de equilibrios o equilibrios de una

ecuación diferencial son las soluciones constan-

tes.

La función constante y(t) = y es equilibrio de

y′ = h(y) sí, y sólo sí, h(y) = 0

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Estabilidad de los equilibrios

Sea y es un equilibrio de

y′ = h(y),

es decir, h(y) = 0.

Se dice que el equilibrio y es localmente estable

si, después de una pequeña perturbación, el siste-

ma tiende a recuperar el equilibrio.

Si el sistema no tiende a recuperar el estado de

equilibrio después de una pequeña perturbación, se

dice que el equilibrio es inestable.

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Estabilidad de los equilibrios

Sea y es un equilibrio de

y′ = h(y),

es decir, h(y) = 0.

Si h′(y) < 0, entonces y es un equilibrio local-

mente estable.

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Estabilidad de los equilibrios

Sea y es un equilibrio de

y′ = h(y),

es decir, h(y) = 0.

si h′(y) > 0, entonces y es un equilibrio inesta-

ble.

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E.D. autónomas

Ejercicio Resolver los problemas de valor inicial:

1. y′ = 2y, y(0) = 1. (Solución: y = e2t).

2. y′ = 4(y− 1), y(0) = 1.

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E.D. autónomas

Ejercicio Hallar la ecuación de la curva que pasa por

el punto (1,3) y cuya pendiente en el punto (x, y) es

y/3.

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