tema 3 : determinantes

TEMA 3 : DETERMINANTES.

1.- Definiciones.2.- Fórmulas.3.- Esquema.4.- Ejercicios.

3.1.DETERMINANTES DE ORDEN DOSEl determinante de una matriz de orden

dos es un número que se obtiene del siguiente modo:

Sea entonces su determinante se denota:

Y se calcula:

Ejemplos:

El determinante de una matriz de orden tres es un número que se obtiene del siguiente modo:

Sea entonces su determinante se denota:

Y se calcula:

3.2 DETERMINANTES DE ORDEN TRES

Propiedades de los determinantes:1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:2. Si un determinante tiene una línea (fila o columna) de ceros, entonces su

determinante es cero:3. Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante

cambia de signo.4. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es

cero.5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o

columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número.

6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero.

7. <

8. Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, su determinante no varía.

9. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (o columna) combinación lineal de las demás.

10. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:

1ª El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:

Veamos dos ejemplos:

En general:

2ª Si un determinante tiene una línea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es cero:Veamos tres ejemplos:

En general:

3ª Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo:

Veamos dos ejemplos:

En general:

4ª Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero:

Veamos dos ejemplos:

En general:

5ª Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número :

Veamos dos ejemplos:

En general:

6ª Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero:Veamos dos ejemplos:

En general:

7ª Veamos ejemplos:

8ª Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, su determinante no varía:

Veamos dos ejemplos:

En general:

9ª Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demásparalelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (o columna) combinación lineal de lasdemás:Veamos dos ejemplos:

En general:

10ª El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:

Veamos un ejemplo:

3.4 MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO“Menor” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden r de la matriz inicial.Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 4 y un menor de orden 2:

“Menor de orden 2” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 2 filas y 2 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 2. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 2 de la matriz inicial.

“Menor de orden 2” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 2 filas y 2 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 2. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 2 de la matriz inicial.

Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 4 y un menor de orden 3:

“Menor de orden 3” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 3 filas y 3 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 3. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 3 de la matriz inicial.

“Menor complementario” de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada n × n destacamos un elemento aij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz (n–1) × (n–1). Su determinante es un menor de orden n–1 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij.“Menor complementario” de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada 3 × 3 destacamos un elemento aij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz 2 × 2. Su determinante es un menor de orden 2 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij.

Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 3 :

“Menor complementario” de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada 3 × 3 destacamos un elemento aij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz 2 × 2. Su determinante es un menor de orden 2 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij.

3.4 MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO“Adjunto” de un elemento en una matriz cuadrada: Se llama adjunto de aij, al número Aij = (–1)i+j ∙ αij es decir al menor complementario con su signo o con el signo cambiado, según que i+j sea par o impar.Para simplificar el cálculo también se puede utilizar las matrices de signos:

Ejemplos:

4.6 MATRIZ INVERSA.Matriz inversa: Para que una matriz A cuadrada posea matriz inversa tiene que cumplirse la siguiente condición: El determinante de la matriz tiene que ser distinto de cero. |A|≠ 0En dicho caso, para calcular la matriz inversa se utiliza la siguiente formula para calcularla:

Ejemplos:

Propiedades del producto de matrices:I. ASOCIATIVA:

Esta propiedad nos permite prescindir de los paréntesis cuando multipliquemos matrices siempre y cuando las matrices sean multiplicables.

II. El producto de matrices NO ES CONMUTATIVOen general:Como consecuencia, hemos de mantener el orden en que aparezcan las matrices que han de multiplicarse, utilizamos expresiones del tipo “ La matriz M está multiplicando por la izquierda (o por la derecha)…”

Las matrices cuadradas de orden m, además de sumarse y multiplicarse por un número, pueden multiplicarse entre sí. Veamos algunas definiciones y propiedades:

Matriz Unidad: Matriz cuya diagonal principal son todos unos y el resto de términos son ceros.

Matriz Inversa de otra: Algunas matrices cuadradas tienen matriz inversa, pero otras no. La notación si existe de la matriz inversa es A-1

Cumple la siguiente propiedad:El procedimiento para calcularla lo veremos en la

unidad 4.

2.4 MATRICES CUADRADAS

2.5 n-UPLAS DE NÚMEROS REALES n-Uplas de números reales: Una colección de

n números reales dados en un cierto orden se llama n-upla. Tanto las filas como las columnas de las matrices son n-uplas de números reales.

Combinación lineal de vectores: Dados

El vector formado porSe llama combinación lineal de los vectores Una combinación lineal de varias n-uplas es el

resultado de multiplicar cada una de ellas por un número y sumarlas.

Dependencia e independencia lineal:Un conjunto de elementos de V se

dice que son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás.

Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente independientes (L.I.) si ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás.

El máximo número posible de n-uplas linealmente independientes es n.

2.6 RANGO DE UNA MATRIZLlamamos rango de una matriz al número de filas

(o columnas) que son linealmente independientes.

Teorema: En una matriz, el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Según esto, el rango de una matriz es el número de filas o de columnas L.I.

Ejemplos:el máximo rango posible es 2

porque

2.7 FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMAS DE ECUACIONES

Si tenemos un sistemas de ecuaciones lineales, podemos escribir dicho sistema de una forma matricial de forma que:

Si nos fijamos en los coeficientes:

Escribimos la matriz de coeficiente:

Y la matriz incógnita: y la matriz de los términos independientes:

Por tanto tenemos que el sistema se puede escribir así

ESQUEMA TEMA 2 SISTEMA DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ECUACION LINEAL

ECUACIONES EQUIVALENTES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS EQUIVALENTES

TRANSFORMACIONES VALIDAS EN UN SISTEMA DE

ECUACIONES

1.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS SISTEMAS

DE ECUACIONES LINEALES

S.C.D.

DOS INCÓGNITAS:RECTAS QUE SE CORTAN EN UN

PTO.TRES INCÓGNITAS:

PLANOS QUE SE CORTAN EN UN PTO.

S.C.I.

DOS INCÓGNITAS:RECTAS COINCIDENTES.

TRES INCÓGNITAS:PLANOS QUE SE CORTAN EN

UNA RECTA O COINCIDENTES:

S.I.

DOS INCÓGNITAS:RECTAS PARALELAS.TRES INCÓGNITAS:

PLANOS PARALELOS O SE CORTAN DOS A DOS.

1.3 SISTEMAS ESCALONADOS MÉTODO DE GAUSS DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES