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Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Tema 2 – TeletráficoDimensionado de Sistemas
Ramón Agüero Calvo
En la elaboración de estos apuntes han contribuido:Ramón Agüero Calvo, Luis Muñoz Gutiérrez
2Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Contenidos
� Introducción
� Tráfico
� Modelo matemático: proceso de Poisson
� Relación de Little
� Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas
� Dimensionado de sistemas
3Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Contenidos
� Introducción
� Tráfico
� Modelo matemático: proceso de Poisson
� Relación de Little
� Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas
� Dimensionado de sistemas
4Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
¿Por qué se dimensiona?
� Las operadores buscan ofrecer a sus clientes un servicio adecuado de
manera rentable
− No es razonable proporcionar capacidad atendiendo a demandas puntuales
elevadas
− Por ejemplo: se pretende desplegar una red para unir dos poblaciones con 1000
habitantes cada una
⋅ Se usa una única línea � La solución es muy rentable para el operador, pero el servicio es inaceptable para los usuarios (gran probabilidad de que la línea esté ocupada)
⋅ Se usan 1000 líneas � Los usuarios estarán muy satisfechos (servicio siempre disponible), pero la solución no es rentable para la compañía
− Escasez de recursos (por ejemplo en comunicaciones móviles)
� Se suelen emplear modelos matemáticos para llevar a cabo este diseño
− Líneas de salida en una centralita
− # de canales en un sistema TDM (conmutación de circuitos)
− # de operadores en un sistema de atención al cliente
− También se emplea en otros campos (electrónica…)
5Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Dimensionado de redes de comunicaciones
� Evolución de las llamadas entrantes a una centralita durante un día
� Uso de la hora cargada para el dimensionado
− Uso de recursos en periodos de menor actividad � más económico
− Se incentiva ‘un balanceo’ de la carga
2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12
Lla
mad
as e
n c
urs
o
Hora Cargada
� Puede depender de varios
factores
− Localización: zona residencial,
de oficinas, etc...
− Situación temporal: fin de
semana, verano, etc...
6Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Contenidos
� Introducción
� Tráfico
� Modelo matemático: proceso de Poisson
� Relación de Little
� Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas
� Dimensionado de sistemas
7Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
¿Qué es el tráfico?
� La intensidad de tráfico (o simplemente, tráfico) se define como el número
medio de llamadas en curso en un sistema
− También indica el grado de ocupación de los recursos
� Unidades
− La más empleada es el Erlang, que es una cantidad adimensional
− En USA se emplea en ocasiones los CCS, definido como cientos de segundos de
llamada por hora
� El tráfico (en Erlangs) de un grupo de circuitos
− Depende del tiempo de observación
− Para un único recurso, A ≤ 1
hT
hCA λ==
− C: número medio de llamadas
− h: duración media (holding time)
− T: tiempo de observación
− λ: Tasa de llegadas
8Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Tipos de tráfico
� Tráfico ofrecido (TO, A, ρρρρ)
− Es el volumen de tráfico que se le ofrece a un grupo de circuitos
� Tráfico cursado (TC, AC)
− Como es inviable dotar de recursos para todos los potenciales usuarios � hay llamadas que no pueden atenderse y se pierden
− El tráfico cursado viene dado por aquellas peticiones que sí pueden atenderse
− También se define como el número medio de recursos (circuitos) ocupados
� Tráfico perdido (TP, AL)
− Conjunto de llegadas que no pueden atenderse y se pierden
− Especialmente relevante en conmutación de circuitos
− TP = TO – TC
� Tráfico en demora/espera (TD, AD)
− En ciertos sistemas las llamadas que no pueden atenderse no se pierden, sino que esperan a que haya recursos libres
− Se suele emplear en el dimensionado de sistemas de conmutación de paquetes
− En caso de que la capacidad de almacenamiento sea infinita, no se perdería ninguna llamada (sistema de espera pura)
9Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Tráfico: cuantificación
� Volumen de tráfico:
� Intensidad de tráfico (Tráfico):
− Para 1 único circuito da idea del porcentaje de ocupación del mismo (% del tiempo en el que está ocupado)
� En las tres anteriores medidas el tráfico es el mismo
− Se podría tener en cuenta la sobrecarga debida al mayor número de llamadas
� Las medidas se realizan en la hora cargada
Tiempo observación Tiempo observaciónTiempo observación
T1 T2 T2 T3 T4T1 T1
Ocu
pació
n
Ocu
pació
n
Ocu
pació
n
tiempo tiempo tiempo
∑=i
iTráfico TV
obs
i
i
obs
TráficoTráfico
T
T
T
VI
∑==
10Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Tráfico: cuantificación
N(t)
Ocupacióncircuitos
tiempo
tiempo
1
2
3
4
5
� N(t) se define como el total de circuitos ocupados
− Representa el tráfico
instantáneo
− Su valor medio representa la
intensidad de tráfico
� El tráfico también se puede
medir a partir de la ocupación individual de los circuitos
− El volumen total es la suma de
los volúmenes individuales
∫==
obsTobsobs
TráficoTráfico N(t)dt
T
1
T
VI
� En el ejemplo de la figura
− A = 2 Erlangs( )∑=
jjcircuitoTráfico
obs
Tráfico VT
1I
11Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Grado de Servicio
� El Grado de Servico (Grade of Service, GoS) da idea de la “calidad” que perciben los usuarios
� Depende fuertemente del tipo de sistema
− En sistemas con pérdida, se define como la probabilidad de pérdida (o
probabilidad de congestión)
⋅ Coincide con la probabilidad de que un usuario, al realizar una llamada, se encuentre el sistema sin recursos
− En sistemas de demora se suele relacionar con la probabilidad de esperar para
disponer de un recurso
⋅ También se puede definir como el tiempo medio de espera antes de obtener un recurso para cursar la llamada
ofrecidasLlamadas
perdidasLlamadasGoS =
TO
TPGoS =
12Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Contenidos
� Introducción
� Tráfico
� Modelo matemático: proceso de Poisson
� Relación de Little
� Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas
� Dimensionado de sistemas
13Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Introducción
� Habitualmente se utilizan modelos matemáticos que caractericen las llamadas en el sistema
� El proceso de Poisson es uno de los más empleados en el ámbito de las telecomunicaciones
− También se usa en otros campos: fenómenos electrón/hueco, ruido de “shot”…
� El modelo básico de tráfico que se utilizará viene determinado por las siguientes tres características
− El número de llegadas en un tiempo determinado sigue una distribución de
Poisson
− La duración de las llamadas sigue una función densidad de probabilidad (fdp)
exponencial negativa
− La tasa de llegadas al sistema es constante (proceso estacionario)
14Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Proceso de Poisson
� Se define un intervalo de tiempo ∆t, con ∆t � 0
� La probabilidad de que haya una llamada en ∆t
� La probabilidad de no haya una llamada en ∆t
� Las llegadas son sin memoria
− Una llegada en cualquier intervalo ∆t es independiente de lo que sucediera en
intervalos anteriores o futuros
� Despreciando los términos en o(∆t), la probabilidad de que haya más de
una llamada en ∆t es 0
{ } ( ) 1∆t∆to∆t∆tenllegada1Pr <<+= λλ
{ } ( ) 1∆t∆to∆t1∆tenllegadas0Pr <<+−= λλ
{ }{ } qp1∆t1∆tenllegadas0Pr
p∆t∆tenllegada1Pr
=−=−=
==
λ
λ Distribución de
Bernouilli
15Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Proceso de Poisson
� Se considera un intervalo T = m ∆t, las probabilidades de que llegue una llamada en cada uno de los m intervalos son independientes
� El número total de llegadas en el intervalo T sigue una distribución binomial
− Teniendo en cuenta que:
− Tomando límites (m � ∞)
{ } kmkqpk
mTenllegadaskPr −
=
( )( ) ( )
k!
m
k!
1km...1mm
!kmk!
m!
k
m k
≈+−−
=−
=
m >> k
{ } ( ) ( ) ( ) kmkkmk
k
m
T1
k!
T∆t1∆t
k!
mTenllegadaskPr
−
−
−=−=
λλλλ
{ } ( ) ( ) T
k
ek!
TTPTenllegadaskPr k
λλ −==
16Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Proceso de Poisson: media y varianza
� Valor medio (número medio de llamadas en T)
� Varianza
� Notar que el cociente entre la varianza y la media es la unidad para el tráfico de Poisson
− Este parámetro da idea del tipo de tráfico: suave, a ráfagas o aleatorio
( )[ ] ( )∑∑∞
=
−∞
=
====0k
kT
0k
kkT TTk!
ek(T)k·PTPEK λλ
λ
( )[ ] ( ) ( ) TT(T)·PkKTPEσ2
0kk
22
T2K
2KT
λλ =−=−= ∑∞
=
17Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Tiempo entre llegadas
� Se define la variable aleatoria τ como el tiempo entre llegadas consecutivas
� La probabilidad de que τ sea mayor que t coincide con la probabilidad de que no se produzcan llegadas en t…
� Luego la función de distribución de la variable aleatoria τ se puede definir
como...
� Y la función densidad de probabilidad se obtiene derivando la anterior…
Origen de tiemposaleatorio
t Primera llegada
( ) { } te1tPrtF λτ τ −−=≤=
{ } ( ) t0 etPtPr λτ −==>
( ) tedt
(t)dFtf λτ
τ λ −==
18Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Tiempo entre llegadas
� El proceso de Poisson implica que el tiempo entre llegadas consecutivos sigue una distribución exponencial negativa
� Media y varianza (distribución exponencial)
( ) ( )λ
λτ λτ
1dtet·dttt·fE
0
t
0
=== ∫∫∞
−∞
( ) ( )2
0
t
2
0
22 1
dte1
-tdttf-tλ
λλ
τσ λττ =
== ∫∫
∞−
∞
te λλ −
te1 λ−−
tt
1λ
Función densidad de probabilidad Función de distribución de probabilidad
19Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Tiempo entre llegadas
� La característica más importante de la distribución exponencial es que es
‘sin memoria’
� De esta manera, el ‘pasado’ en la evolución de la variable no tiene ninguna
influencia en los valores futuros
− Se considera que se ha producido una llegada en t = 0
− En t = t0 se observa que no se ha producido ninguna llegada aún
− ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca una llegada a partir de t0 en t?
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]0
00
0
0000
tPr
tPrttPr
tPr
tttPrt|ttPr
>
<−+≤=
>
+≤<=>+≤
τ
ττ
τ
τττ
[ ]( )( ) ( )
( )( ) t
t
tt
t
ttt
00 e1e
e1e
e11
e1e1t|ttPr
0
0
0
00
λ
λ
λλ
λ
λλ
ττ −
−
−−
−
−+−
−=−
=−−
−−−=>+≤
[ ] [ ]tPrt|ttPr 00 ≤=>+≤ τττ
20Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Tiempo entre llegadas
� Notar que: [ ] ( ) ( )∆to∆t...2!
∆t∆t11e1t|∆ttPr
2
∆t +=
−+−−=−=>+≤ − λ
λλττ λ
Proceso llegadasPoisson
Tasa de llegadasconstante
Tiempo entre llegadasexponencial
− Se demuestra que la
correspondencia…
Proceso llegadas Poisson
Tiempo entre llegadas exponencial
es cierta en ambos sentidos
te λλ −
t
λ ( )0t-te λλ −
� Propiedad “sin memoria” de la distribución exponencial
21Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Suma de dos procesos de Poisson
� Otra importante característica del proceso de Poisson es que la suma de
procesos independientes dan como resultado otro proceso de Poisson
� Analicemos la probabilidad de que el tiempo entre dos llamadas
consecutivas de cualquier proceso sea mayor de t
Proceso Poisson A
Proceso Poisson B
Proceso Z
λλλλA
λλλλB
� El tiempo entre llamadas de los procesos A y B siguen distribuciones exponenciales
[ ]
[ ] t
t
B
A
e1tPr)B(
e1tPr(A)
λ
λ
τ
τ
−
−
−=≤
−=≤
[ ] [ ] [ ] [ ]( )ttt
BABAZ
BABA e·ee
t·PrtPrt t,PrtPr
λλλλ
τττττ
+−−− ==
=>>=>>=>
independencia Tiempo entre llegadas
exponencial, con tasa λA+λB
Proceso Z � Poisson con tasa
λZ = λA+λB
22Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Tiempo de servicio exponencial
� Se ha asumido que el tiempo de servicio (ts) o duración de las llamadas en
el sistema sigue una distribución exponencial, con media 1/µ
� Se supone un sistema donde siempre hay llamadas para ser servidas
esperando
� La variable aleatoria r (ts) se modela con una distribución exponencial
� Teniendo en cuenta la correspondencia anterior, la variable aleatoria
‘Número de llamadas completadas en un tiempo t’ seguirá una distribución
de Poisson
( ) r
R erf µµ −=
Cola(llamadas siempre
esperando)
Salida
tiempo
ts���� ‘r’
Proceso de Poisson
Salidas delsistema
23Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Tiempo de servicio exponencial
� Un resultado interesante es la distribución de la variable aleatoria definida
como la mínima de variables aleatorias exponenciales (independientes
entre sí)
� Se define la va Z como:
� Entonces, su función de distribución será…
� Z también está distribuida exponencialmente, con media (µx+µy)-1
{ }YX,minZ =
{ } [ ] [ ]{ } { } { } [ ] [ ]{ }
{ } { } { } { } ( ) ( )
( )( ) ( )zzz
zz
Z
YxYX
Yx
e1e1e1
e1e1zY·PrzXPrzYPrzXPr
zYzXPrzYPrzXPrzYzXPrzZPr(z)F
µµµµ
µµ
+−−−
−−
−=−−−
−−+−=≤≤−≤+≤=
=≤∩≤−≤+≤=≤∪≤=≤=
independencia
24Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Contenidos
� Introducción
� Tráfico
� Modelo matemático: proceso de Poisson
� Relación de Little
� Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas
� Dimensionado de sistemas
25Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Planteamiento
� Se considera un sistema como sigue:
� Y se definen las siguientes variables
− A(t): número de llegadas acumuladas al sistema en t
− D(t): número de salidas acumuladas al sistema en t
− L(t) = A(t) – D(t), número de elementos en el sistema en tiempo t
− N(τ) es el número total de llegadas en un intervalo cualquiera τ
� Se asumirá una estrategia FIFO, aunque el resultado es el mismo si se
usan otras disciplinas
� Se asume que todas las llamadas serán eventualmente atendidas
Cola ServicioA(t) D(t)
26Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Demostración
� Se definen los tiempos de
espera de cada llamada en
la cola como wi
� Es fácil ver que…
� Además, el valor medio de L
en el intervalo τ es…
� Y el tiempo medio de
espera…
tiempo
tiempo
tiempo
tiempo
Llegadas
Salidas
A(t)D(t)
L(t)
1
2
3
4
6
5
1
2
w2
w3
w6
w5
w4
w1=0
( )
∑∫=
=ττ N
1j
j
0
wL(t)dt
( ) ∫=τ
ττ
0
L(t)dt1
L
( )( )
( )
∑=
=τ
ττ
N
1j
jwN
1W
27Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Demostración
� Por tanto, se puede escribir que…
� Definiendo la tasa de entrada al sistema promedio como…
se llega al siguiente resultado…
� Si se toman límites y se supone que todas las variables tienden a un valor
constante, se llega a la relación de Little: L = Wλλλλ
� La relación de Little se puede extender para incluir al elemento que cursa
los servicios (siempre que no haya pérdida de llamadas)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ
τττττττ
NWLNWL =→=
( ) ( )τ
ττλ
N=
( ) ( ) ( )τλττ WL =
28Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Contenidos
� Introducción
� Tráfico
� Modelo matemático: proceso de Poisson
� Relación de Little
� Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas
� Dimensionado de sistemas
29Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Introducción
� Proceso estocástico: conjunto de variables aleatorias que dependen del
tiempo X(t)
� Una cadena de Markov es un proceso estocástico discreto
− El sistema puede encontrarse en un conjunto de estados
− El estado, en un instante tn, sólo depende del estado inmediatamente anterior y
no de cómo se llegara a él
− La evolución futura del sistema sólo depende del estado actual
− Se suelen representar y analizar a través de las matrices de transición
(probabilidades de pasar de un estado a otro)
� Los procesos de nacimiento y muerte son cadenas de Markov en las que
sólo es posible pasar de un estado al posterior (nacimiento) o al anterior
(muerte)
� En los problemas de dimensionado se utilizan procesos de nacimiento y
muerte, en los que cada estado representa, por ejemplo, el número de
clientes en el sistema
30Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Procesos de nacimiento y muerte
� Analicemos las posibles transiciones en un intervalo ∆t del estado del
sistema
� (2) En t estaba en el estado N+1
− Ha habido una muerte y no se ha producido ningún nacimiento en ∆t
� (3) En t estaba en el estado N-1
− Se ha producido un nacimiento y no ha habido ninguna muerte en ∆t
tiempot + ∆tt
N N
N+1
N-1
Muerte (2)
Nacimiento (3)
Sin cambio (1)
� Calculemos la probabilidad de que
en t+∆t el sistema esté en el estado
N (o que haya N usuarios en el
mismo)
� (1) En t estaba en el estado ‘N’
− (a) No ha habido ningún nacimiento,
ni ninguna muerte en ∆t
− (b) Se ha producido un nacimiento,
pero también una muerte en ∆t
31Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Procesos de nacimiento y muerte
� La tasas de nacimiento y muerte en el estado j serán, respectivamente, λj y
µj
� Luego la probabilidad del estado ‘N’ en t+ ∆t, PN(t+ ∆t), vendrá dada por:
� Despreciando términos en o(∆t)…
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]∆to∆t1∆ttP
∆to∆t1∆ttP
∆to∆t∆ttP∆to∆t1∆t1tP∆ttP
1N1N1N
1N1N1N
NNNNNNN
+−+
++−+
++++−−=+
−−−
+++
µλ
λµ
µλµλ (1)
(2)
(3)
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]∆ttP∆ttP∆t1tP∆ttP 1-N1N1N1NNNNN λµµλ −++ +++−=+
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1-N1N1N1NNNNNN
1-N1N1N1NNNNNN
tPtPtP∆t
tP∆ttP
∆ttPtPtPtP∆ttP
λµµλ
λµµλ
−++
−++
+++−=−+
+++−=−+
32Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Procesos de nacimiento y muerte
� Recordemos la definición de derivada…
� Si asumimos que estamos en el régimen estacionario, PN(t) es constante
(PN), por lo que la derivada, P’N(t), es cero
� Se tiene finalmente que…
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tPtPtPtP∆t
tP∆ttPtP 1N1N1N1NNNNN
NNN −−++ +++−=′→
−+=′ λµµλ
( ) 1N1N1N1NNNN PPP −−++ +=+ λµµλ Ecuación de Equilibrio(flujo de salida = flujo de entrada)
λ0 λ1 λN-2 λN-1 λN λN+1
µ2µ1 µN-1 µN µN+1 µN+2
33Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Proceso de nacimiento y muerte
� Se pueden utilizar otras ecuaciones de balance…
� Sucesivamente podríamos llegar a
� Además se requiere que la suma de todas las probabilidades sea 1
λ0 λ1 λN-2 λN-1 λN λN+1
µ2µ1 µN-1 µN µN+1 µN+2
1-N
N
1-NN1-N1-NNN PPPP
µ
λλµ =→=
∏−
= +
=1N
0i 1i
i0N PP
µ
λ
∑∏∑ ∏∑ ∞
=
−
= +
∞
=
−
= +
∞
= +
=→=+→=
1k
1k
0i 1i
i
0
1k
1k
0i 1i
i00
0k
k
1
1P1PP1P
µ
λµ
λ
34Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Aplicación al dimensionado de sistemas
� A partir de las probabilidades de estar en cada estado se derivan los
parámetros necesarios para caracterizar el sistema
� Cada sistema en particular viene definido por las tasas de nacimiento y
muerte de cada estado y por otros parámetros adicionales
� Se emplea la notación de Kendall (A/B/C/D/E/F)
− A: Distribución de llegadas al sistema
⋅ Cuando se trata de un proceso de Poisson, se utiliza la letra M (memoryless)
− B: Distribución de los servicios
⋅ Si es una variable aleatoria exponencial, también se emplea la letra M (memoryless)
− C: Número de servidores (recursos) disponibles
− D: Número de estados en el sistema (si no se indica se asume que es ∞)
⋅ La diferencia entre D y C suele asociarse con las posiciones en el subsistema de espera del sistema
⋅ Cuando es ∞, se trata de un sistema de espera pura (no hay pérdida)
− E: Número de fuentes (si no se indica se asume que es ∞)
− F: Disciplina de la cola (si no se indica se asume FIFO)
35Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Cola M/M/1
� Se trata de un sistema en el que...
− Las llamadas siguen un proceso de Poisson de intensidad λ
− La distribución del tiempo de servicio es exponencial, con media 1/µ
− Sólo hay un único servidor para atender las peticiones
− La cola de espera es infinita, así que no hay pérdida
� Para plantear el diagrama de estados…
− La tasa de nacimiento no depende del estado actual (Proceso de Poisson)
− Como sólo hay un único servidor, la tasa de muerte será la misma para todos los
estados (µ)
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
36Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Cola M/M/1
� Planteando la ecuación de equilibrio y asumiendo que el tráfico es ρ=λ/µ…
� Además la suma de las probabilidades de estar en cada estado tiene que
ser la unidad…
� Con lo que finalmente se obtiene la probabilidad de cada uno de los estados
que forman parte de la cola
0
N
2-N
2
1-N1-NN1-NN P...PPPPPP ρρρµ
λλµ =====→=
ρ
ρ
ρ −==→=→=
∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=
11
P1P1P
0k
k0
0k
k
0
0k
k
ρ < 1
( )ρρ -1P N
N =
37Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Cola M/M/1
� A partir de dicho resultado se puede caracterizar el sistema…
− Número medio de clientes en el sistema
− Número medio de clientes en la cola
− Tiempo medio en el sistema y en la cola, aplicando la relación de Little
( ) ( ) ( )
( )ρ
ρ
ρρρρ
ρρ
ρρρρρρρ
−=
−−=
=
−=−=−== ∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
11
1
d
d1
d
d1k11kkPN
0k
k
0k
1-k
0k
k
0k
k
( ) ( ) ( ) ( )ρ
ρρρρρ
−=−=−== ∑∑∑
∞
=
+∞
=
∞
= 11t11-kP1-kN
2
0t
1t
1k
k
1k
kw
λµλρ
ρ
λ −=
−==
11
1
NWS
λµ
ρ
λρ
ρ
λ −=
−==
1
1
NW
2
WW
µλµ
ρ
λµ
11WW WS =
−−
−=−
38Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Contenidos
� Introducción
� Tráfico
� Modelo matemático: proceso de Poisson
� Relación de Little
� Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas
� Dimensionado de sistemas
39Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema con pérdidas: M/M/S/S
� Se dispone de una población infinita que genera llamadas
− Tasa de llamadas constante (λ) � Proceso de Poisson
� Las llamadas son cursadas por un grupo de S circuitos
� No hay sistema de espera
− Cuando una llamada entrante encuentra todos los circuitos ocupados se pierde
� Se supone que la duración de cada llamada sigue una distribución
exponencial negativa, con media 1/µ
Población
∞
1
2
S
TO TC
TP
1
2
S
λ
1/µ
1/µ
1/µ
40Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema con pérdidas: M/M/S/S
� En este caso el número de estados en el sistema es finito (S)
− La tasa de nacimiento es constante (proceso de Poisson y población infinita)
− La tasa de muerte de cada estado es k·µ (ya que en cada estado puede finalizar cualquiera de las k llamadas en curso)
λ λ λ λ λ λ
µ (i-1)µ iµ (i+1)µ (i+2)µ Sµ
( )
( )( ) 2-i2-i1-i2-i1-i
0
i
2-i
2
1-i1-ii1-ii
P1-i
AP
1-iPPP1i
Pi!
AP
1ii
AP
i
AP
iPPPi
==→=−
==−
====→=
µ
λλµ
µ
λλµ ����
41Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema con pérdidas: M/M/S/S
� Luego la probabilidad de estar en cada estado será…
� La probabilidad de bloqueo es la probabilidad de que una llamada entrante
se encuentre el sistema ocupado (PS)
� Número medio unidades en el sistema (coincide con el tráfico cursado)
∑∑∑
=
==
=→=→=S
0k
k0
S
0k
k
0
S
0k
k
k!
A
1P1
k!
AP1P
∑=
=S
0k
k
i
i
k!
Ai!
A
P
∑=
==S
0k
k
S
S
k!
AS!
A
PPBFórmula “Erlang-B”
EB(S,A)
( )( )PB1A
S!
A
t!
A
j!A
A
t!
A
j!A
1
!1-k
A
j!A
1
j!A
k!A
kkPNS
0t
St
S
0j
j
1-S
0t
1t
S
0j
j
S
1k
k
S
0j
j
S
0kS
0j
j
kS
0k
k −=
−===== ∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
=
=
=
+
=
=
=
=
=
=
42Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema con pérdidas: M/M/S/S
� Como es un sistema con pérdidas, la relación de Little no se puede aplicar
directamente
− Uso de la tasa de llegadas cursada
� La fórmula de Erlang-B se emplea a través de gráficas y tablas, aunque se
puede resolver recursivamente
( ) ∑∑ =
=
=→=S
0k
k
SS
0k
k
S
k!
A
A
S!
A)EB(S,
1
k!
AS!
A
AS,EB( )
∑=
=1-S
0k
k
1-S k!
A
A
!1-S
A)1,-EB(S
1
( )( )
1A1,SEB
1
A
S1
k!
A
A
!1S
A
S
S!
A
k!
A
A
S!
k!
A
A
S!
A)EB(S,
1 1-S
0k
k
1S
1-S
0k
Sk
S
S
0k
k
S+
−=+
−=
+== ∑∑∑=
−==
( )( )
( )( )A1,SA·EBS
A1,SA·EBA)EB(S,
A1,SA·EB
A1,SA·EBS
A)EB(S,
1
−+
−=→
−
−+=
43Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema con pérdidas: M/M/S/S
0 2 4 6 8 10 12 14 1610
-3
10-2
10-1
100
Tráfico ofrecido (Erlangs)
Pro
ba
bili
da
d b
loq
ue
oS = 1
S = 25
44Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema con pérdidas: M/M/S/S
� El GoS se asocia a la probabilidad de pérdida (PB)
− Para la misma ocupación de circuitos, la probabilidad de encontrar todos
ocupados es menor a medida que crece el número de circuitos
− Para una GoS constante, la eficiencia por circuito crece con el TO
− Es mejor concentrar el tráfico en un solo grupo, que dividirlo en varios
0 2 4 6 8 10 12 14 160
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tráfico ofrecido (Erlangs)
Trá
fico
cu
rsa
do
po
r circu
ito
0 2 4 6 8 10 12 14 161
4
7
10
131619222528
Tráfico ofrecido (Erlangs)
Se
rvid
ore
s n
ece
sa
rio
s
PB 0.002
PB 0.2
PB 0.02
PB 0.002
PB 0.2
PB 0.02
45Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema con pérdidas: M/M/S/S
� Deterioro del GoS frente a % de sobrecarga
− Se puede ver que afecta en mayor medida a los grupos de circuitos grandes
− Se especifican dos criterios de diseño: uno para carga normal y otro para cierto
nivel de sobrecarga
0% 5% 10% 15% 20% 25%0
0.005
0.01
0.015
0.02
Porcentaje de sobrecarga
Pro
ba
bili
da
d d
e b
loq
ue
o
S=100
S=25
S=50
S=5
S=10
S=15
S=20
46Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema de espera pura: M/M/S
� Se dispone de una población infinita que genera llamadas
− Tasa de llamadas constante (λ) � Proceso de Poisson
� Las llamadas son cursadas por un grupo de S circuitos
� Se asume que hay sistema de espera (con longitud infinita)
− Cuando una llamada entrante encuentra todos los circuitos ocupados espera
hasta que quede alguno libre
� Se supone que la duración de cada llamada sigue una distribución
exponencial negativa, con media 1/µ
Población ∞
1
2
S
TO TC=TOCola
∞
1
2
S
λ
1/µ
1/µ
1/µ
47Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema de espera pura: M/M/S
� En este caso el número de estados en el sistema es infinito
− La tasa de nacimiento es constante (proceso de Poisson y población infinita)
− La tasa de muerte de cada estado es k·µ hasta el estado S, ya que puede finalizar cualquiera de las k llamadas en curso
− A partir del estado S, la tasa de muerte es S·µ, ya que sólo hay S llamadas en curso (el resto están esperando)
� Para i ≤ S (no se está en el subsistema de espera)
λ λ λ λ λ λ
µ iµ SµSµSµ
λ
SµSµ(S-1)µ
( )
( )( ) 2-i2-i1-i2-i1-i
0
i
2-i
2
1-i1-ii1-ii
P1-i
AP
1-iPPP1i
Pi!
AP
1ii
AP
i
AP
iPPPi
==→=−
==−
====→=
µ
λλµ
µ
λλµ ����
48Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema de espera pura: M/M/S
� Para i > S (subsistema de espera)
− Como S+j = i…
� Luego…
2j-S2j-S1j-S2j-S1j-S
Sj
j
2j-S2
2
1j-S1j-SjS1j-SjS
PS
AP
SPPPS
PS
AP
S
AP
S
AP
SPPPS
+++++
++++++
==→=
======→=
µ
λλµ
µ
λλµ ����
0Si
i
0
S
Si
Si
0
S
SSSi
Si
i PSS!
AP
S!
A
S
AP
S!
APP
S
AP
−−
−
−
−
==
===
>
≤
=
−SiP
S
1
S!
A
SiPi!
A
P
0Si
i
0
i
i
49Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema de espera pura: M/M/S
� Como la suma de todas las probabilidades tiene que ser 1…
� Tenemos finalmente que…
SA1
SA
S!
A
S
A
S!
A
S!
A
S
A
S
1
S!
A
SA1
SA
S!
A
k!
A
1P1
S
1
S!
AP
k!
AP1P
S
0t
1tS
1Sk
SSk
1SkSk
k
S
0k
Sk0
1SkSk
k
0
S
0k
k
0
0k
k
−=
=
=
−+
=→=+→=
∑∑∑
∑∑∑∑
∞
=
+∞
+=
−∞
+=−
=
∞
+=−
=
∞
=
A < S
>
−+
≤
−+
=
∑
∑
=
−
=
Si
AS
A
S!
A
k!
A
1
S
1
S!
A
Si
AS
A
S!
A
k!
A
1
i!
A
P
S
0k
SkSi
i
S
0k
Sk
i
i
50Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema de espera pura: M/M/S
� ¿Cuál es la probabilidad de esperar (PD)?
� Número medio de unidades en la cola…
AS
A
S!
A
k!
AAS
S
S!
A
AS
S
S!
AP
S
A
S!
AP
S
A
S!
APPPD
SS
0k
k
S
S
0
0t
tS
0
Sk
SkS
0
Sk
k
−+
−=−
=
=
=
==
∑
∑∑∑
=
∞
=
∞
=
−∞
=
Fórmula “Erlang-C”
EC(S,A)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) AS
AA)EC(S,
SA1
1
S
A
S!
AP
SA1
1
SAd
d
S
A
S!
AP
S
A
SAd
d
S
A
S!
AP
S
At
S
A
S!
AP
S
At
S!
AP
S
A
S!
AS-kPPS-kN
2
S
0
S
0
0t
tS
0
0t
1-tS
0
0t
tS
0
Sk
SkS
0
Sk
kW
−=
−=
−=
=
=
=
=
==
∑
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−∞
=
51Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema de espera pura: M/M/S
� La fórmula de Erlang-C se puede relacionar con la de Erlang-B
− Para evitar tener que realizar factoriales, se puede resolver la de Erlang-B de
manera recursiva y utilizar esta relación para resolver la fórmula de Erlang-C
computacionalmente
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )AS,EB1AS
A)S·EB(S,
AS,A·EBAS
AS,S·EB
AASAS,EB
1
S
AAS
S!A
k!
A
S
AS
A
S!
A
k!
AAS
S
S!
A
AS,EC
S
S
0k
kSS
0k
k
S
−−=
+−=
=
+−
=
+−
=
−+
−=
∑∑==
52Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema de espera pura: M/M/S
0 2 4 6 8 10 12 14 1610
-3
10-2
10-1
100
Tráfico ofrecido (Erlangs)
Pro
ba
bili
da
d e
sp
era
S = 1
S = 25
53Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistema de espera pura: M/M/S
� En un sistema de espera pura, la calidad de servicio viene dada por la
probabilidad de esperar o por el tiempo de espera
� Aplicando la relación de Little se puede obtener el tiempo medio de espera
en la cola
� También se podría emplear la probabilidad de que el tiempo de estancia en
la cola de espera fuera mayor de un cierto límite
( ) ( )( )AS
1AS,EC
1
AS
AAS,EC
NW W
W−
=−
==µλλ
{ } ( ) ( )AS,·ECeRetardoPr AS τµτ −−=>
Pr{Retardo > τ | Retardo > 0} Pr{Retardo > 0}
54Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistemas con desbordamiento
� El modelo que se plantea es una población infinita, ofreciendo un tráfico de Poisson a un grupo de circuitos de primera elección
� El tráfico perdido (desbordado) por este primer grupo de circuitos, se ofrece a un segundo grupo de circuitos
� El tráfico desbordado NO es un proceso de Poisson
− Las llamadas no son aleatorias completamente
− Cuando una llamada encuentra el primer grupo completo, es más probable que la siguiente llamada también lo haga
− Se trata de un proceso de Poisson INTERRUMPIDO
Población ∞
1
2
N
TO1 TC1
TO2 = TP1
1
2
M
TC2
tiempoProcesos Poisson
Proceso Poisson Interrumpido
Congestión en primer grupo
Congestión en primer grupo
55Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistemas con desbordamiento
� Uso en el diseño de redes de comunicación
� Los enlaces directos entre nodos (centrales) sólo se establecen cuando el tráfico es elevado �Rentabilidad
� Los enlaces directos se diseñan para que tengan una eficiencia elevada
− Supone una pérdida alta
� Se utilizan caminos alternativos (a través de centrales tandem) para el tráfico desbordado
� Si el tráfico entre dos nodos es bajo no se justifica el uso de un enlace directo
� El tráfico de desbordamiento no es estrictamente de Poisson
� Para facilitar el diseño de la red se asume que sí lo es
� Hay métodos más exactos, basados en obtener un tráfico de Poisson equivalente (p.ej. Rapp)
Ruta directa(Elevado uso)
Ruta alternativa(Desbordamiento)
56Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistemas con desbordamiento
� Se tiene la red de la figura, y su
matriz de tráfico correspondiente
1 2
3
T
1
2
3
1 2 3
-
-
-
T12 T13
- -
- T32Ma
triz
de
trá
fic
o(E
RL
AN
GS
)1.Se dimensiona el enlace L12 a partir de T12
- Número de circuitos necesarios para llegar a una PB (o eficiencia) objetivo
- Se calcula el tráfico desbordado por este grupo de circuitos
2.Se calcula el tráfico total ofrecido al enlace L1T,
como suma del desbordado por L12 y T13
- Se utiliza para calcular el número de circuitos necesarios en L1T (PB objetivo)
- Se calcula el tráfico cursado por este grupo de circuitos
3.Se dimensiona el enlace L3T a partir de T32
- Se calcula el tráfico cursado por L3T
4.Se calcula el tráfico ofrecido a L2T como suma
del ofrecido de 1 a 2 (T12), desbordado por L12 y
cursado por L1T y el ofrecido de 3 a 2 (T32) y
cursado por LT3
- Se usa este tráfico para dimensionar LT2
57Ramón Agüero Calvo
Redes Telefónicas – Tema 2: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Sistemas con desbordamiento
1 2
3
T
L12 TO12=T12PBDirecta N12 PB12=EB(N12,TO12)
L1T TO1T=T13+T12·PB12PBFinal N1T PB1T=EB(N1T,TO1T)
L3T TO3T=T32PBFinal N3T PB3T=EB(N3T,TO3T)
LT2
TOT2=T12·PB12·(1-PB1T) +
+T32·(1-PB3T) PBFinal NT2 PBT2=EB(NT2,TOT2)
EnlacePB
ObjetivoTO total
# circuitos(Tablas)
PB Final
1
2
3
1 2 3
-
-
-
T12 T13
- -
- T32Matr
iz d
e t
ráfi
co
(ER
LA
NG
S)
LT3 PBFinal N3T PB3T=EB(N3T,TO3T)TOT3=T13· (1-PB1T)
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