tema 2: métodos de deducción para la lógica proposicional · 2010-10-13 · tema 2: m etodos de...

Tema 2:Metodos de Deduccion

para la Logica Proposicional

Dpto. Ciencias de la Computacion Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla

Logica y ComputabilidadCurso 2010–11

LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.1

Contenido

Formas normalesEquivalenciaSustitucionFormas normales

TablerosFomulas α y βTableros completos

Sistemas deductivos

ResolucionClausulasLa regla de resolucionSaturacionEstrategias de resolucion

Equivalencia

Dos formulas F1,F2 son equivalentes (F1 ≡ F2) si, para todavaloracion v , v(F1) = v(F2). Es decir, F1 ≡ F2 si F1 y F2 tienenlos mismos modelos.

I F1 ≡ F2 si y solo si F1 |= F2 y F2 |= F1

Ejemplos:

I Cualesquiera dos formulas insatisfactibles son equivalentes.

I Dos tautologıas cualesquiera son equivalentes.

Equivalencias (I)

Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:

I Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A y A ∧ B ≡ B ∧ A

I Asociatividad:

A∨(B∨C ) ≡ (A∨B)∨C y A∧(B∧C ) ≡ (A∧B)∧C

I Distributividad:

A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

I Doble negacion: ¬¬A ≡ A

I Leyes de De Morgan:

¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B y ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

Equivalencias (II)

I Idempotencia: A ∨ A ≡ A y A ∧ A ≡ A

I Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A y A ∧ (A ∨ B) ≡ A

I Leyes de tautologıa: Si A es una tautologıa, entonces

A ∧ B ≡ B y A ∨ B ≡ A

I Leyes de inconsistentes: Si A es insatisfactible, entonces

A ∧ B ≡ A y A ∨ B ≡ B

Sustitucion

I Dadas A,B ∈ PROP si A es una subformula de B yA′ ∈ PROP, la sustitucion de A por A′ en B es la formulaque se obtiene al cambiar cada aparicion de A en B por A′.Usaremos como notacion para la sustitucion: B{A/A′}.

I Si A no es una subformula de B, por definicion B{A/A′} es B.

Ejemplos: Si B es p → q → r ∨ s entonces:

I B{r ∨ s/p} es p → q → p.

I B{q ∧ r/q} es p → q → r ∨ s.

I B{q → r ∨ s/p ∧ r} es p → p ∧ r .

I B{p → q/p} es p → q → r ∨ s.

Si C es la formula (p → q) ∨ (r → p → q), entonces

I C{p → q/t} es t ∨ (r → t).

I C{p → q/t → p → q} es (t → p → q) ∨ (r → (t → p → q))

El Teorema de sustitucion

Teorema de Sustitucion. Sean B ∈ PROP y A,A′ ∈ PROP talesque A ≡ A′. Entonces

B{A/A′} ≡ B

I El teorema de sustitucion nos permite manipular“algebraicamente” una formula F para obtener otra formulamas simple y equivalente a F . Este proceso es similar alempleado en la simplificacion de expresiones algebraicas.

I Ejemplo:

B ∨ (A ∧ (A→ B)) ≡ B ∨ (A ∧ (¬A ∨ B))≡ B ∨ (A ∧ ¬A) ∨ (A ∧ B)≡ B ∨ (A ∧ B) ≡ B

Literales

I Una formula F es un literal si es una variable proposicional ola negacion de una variable proposicional.

I Dos literales, L1 y L2, son complementarios (y decimos queuno es el complementario del otro) si L1 es p y L2 es ¬p.

Lema 1. Sean L1, . . . , Ln literales. Son equivalentes:

1.n∨

Li es una tautologıa.

2. {L1, . . . , Ln} contiene un par de literales complementarios.

Lema 2. Sean L1, . . . , Ln literales. Son equivalentes:

1.n∧

Li es inconsistente.

2. {L1, . . . , Ln} contiene un par de literales complementarios.

Formas normales

I Una formula esta en Forma normal conjuntiva (FNC) si esuna conjuncion de disyunciones de literales;

F =n∧

mi∨j=1

I Una formula esta en Forma normal disjuntiva (FND) si es

una disyuncion de conjunciones de literales;

F =n∨

mi∧j=1

Formas normales (II)

I Una formula en forma normal conjuntiva es una tautologıasyss cada una de sus disyunciones es una tautologıa.

I Una formula en forma normal disjuntiva es insatisfactible sysscada una de sus conjunciones es insatisfactible.

Teorema.

I Para toda formula G existe F en FNC tal que F ≡ G .

I Para toda formula G existe F en FND tal que F ≡ G .

Paso a forma normal

Procedimiento para transformar G en FNC:

1. Eliminar todas las implicaciones usando:

A→ B ≡ ¬A ∨ B y A↔ B ≡ (A→ B) ∧ (B → A)

2. Trasladar las negaciones, mediante las leyes de Morgan:

¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B y ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

3. Eliminar negaciones dobles usando ¬¬A ≡ A.

4. Convertir a FNC utilizando la ley distributiva:

A ∨ (B1 ∧ B2) ≡ (A ∨ B1) ∧ (A ∨ B2)

I Para pasar a FND utilizamos la ley distributiva:

A ∧ (B1 ∨ B2) ≡ (A ∧ B1) ∨ (A ∧ B2)

Ejemplo(¬p ∧ q)→ (q ∨ r)→ p ⇒ ¬(¬p ∧ q) ∨ ((q ∨ r)→ p)

⇒ ¬(¬p ∧ q) ∨ ¬(q ∨ r) ∨ p

⇒ ¬¬p ∨ ¬q ∨ (¬q ∧ ¬r) ∨ p

⇒ p ∨ ¬q ∨ ((¬q ∨ p) ∧ (¬r ∨ p))

⇒ (p ∨ ¬q ∨ ¬q ∨ p) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ p)

⇒ (¬q ∨ p) ∧ (¬q ∨ ¬r ∨ p)

Hemos eliminado literales repetidos en una misma clausula gracias a laequivalencia: A ∨ A ≡ A

(En la FND utilizarıamos la equivalencia A ∧ A ≡ A).

Algoritmo de satisfactibilidad mediante FND

Entrada: Una formula F .Salida: Satisfactible, si F es satisfactible; Insatisfactible,en caso contrario.

ProcedimientoCalcular una FND de F , FND(F )G = G1 ∨ · · · ∨ Gn ← FND(F )para i = 1 hasta n

si en Gi no ocurren literales complementarios,entonces devolver satisfactible, parar

devolver insatisfactible

Algoritmo de validez mediante FNC

Entrada: Una formula FSalida: Tautologia, si F es una tautologıa; No-tautologia, encaso contrario.

ProcedimientoCalcular una FNC de F , FNC (F )G = G1 ∧ · · · ∧ Gn ← FNC (F )para i = 1 hasta n

si en Gi no ocurren literales complementarios,entonces devolver No-tautologia; parar

devolver Tautologia

Ejemplos

I F1 = (p ∧ q)→ (q ∧ r) ∨ p.Su forma normal conjuntiva es

(¬p ∨ ¬q ∨ q ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ p)

Es tautologıa (y por tanto satisfactible)

I F2 = ¬(p ∨ q) ∨ (p → q).Su forma normal disyuntiva es:

(¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ q

Es satisfactible.

Su forma normal conjuntiva es

(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p ∨ q)

No es tautologıa.

Tableros Semanticos

I Gracias a la FND sabemos que la satisfactibilidad de unaformula puede reducirse a la de ciertos conjuntos de literales.

I El metodo de los tableros semanticos organiza de manerasistematica la busqueda de modelos, reduciendo lasatisfactibilidad de las formulas consideradas a la de ciertosconjuntos de literales.

El metodo de tableros semanticos:

1. Clasifica las formulas en dos clases:I Las formulas α, que se comportan como conjuncionesI Las formulas β, que se comportan como disyunciones

2. Asocia a cada formula, F , otras dos formulas mas sencillas(sus componentes) de modo que la satisfactibilidad de F sereduce a la de sus componentes.

Formulas de tipo α

Las formulas de tipo α son las siguientes:

α α1 α2

¬¬F FF1 ∧ F2 F1 F2

¬(F1 ∨ F2) ¬F1 ¬F2

¬(F1 → F2) F1 ¬F2

F1 ↔ F2 F1 → F2 F2 → F1

I Las formulas α1 y α2 son las componentes de α.

I Si F es de tipo α, entonces F ≡ α1 ∧ α2.

I Para satisfacer una formula de tipo α es necesario y suficientesatisfacer simultaneamente sus dos componentes α1 y α2.

Formulas de tipo β

Las formulas de tipo β son las siguientes:

β β1 β2

F1 ∨ F2 F1 F2

¬(F1 ∧ F2) ¬F1 ¬F2

(F1 → F2) ¬F1 F2

¬(F1 ↔ F2) ¬(F1 → F2) ¬(F2 → F1)

I Las formulas β1 y β2 son las componentes de β.

I Si F es de tipo β, entonces F ≡ β1 ∨ β2

I Para satisfacer una formula de tipo β solo es necesario ysuficiente satisfacer una de sus componentes β1 y β2.

Reglas α y β

Reducen la consistencia de un conjunto de formulas U a la de otroconjunto U ′ formado por formulas mas sencillas.

I Regla α: Si F ∈ U es de tipo α, entonces

U consistente ⇐⇒ (U − {F}) ∪ {α1, α2} consistente

I Regla β: Si F ∈ U es de tipo β, entonces

U consistente ⇐⇒

(U − {F}) ∪ {β1} consistente

(U − {F}) ∪ {β2} consistente

Ejemplo

La formula q ∧ p ∧ (p → (q → ¬p)) es insatisfactible:

q ∧ p ∧ (p → (q → ¬p))

q, p ∧ (p → (q → ¬p))

q, p, (p → (q → ¬p))

��

q, p, ¬p

×q, p, q → ¬p

��

q, p, ¬q

×q, p, ¬p

Construccion de un tablero completo

Un tablero para {A1, . . . ,An} es un arbol T , con nodosetiquetados por conjuntos de formulas, tal que:

I La raız r de T esta etiquetado por U(r) = {A1, . . .An}.I Para cada nodo l de T , con etiqueta U(l), no marcado, hacer:

1. Si U(l) es un conjunto de literales, entonces:

1.1 Si existe un par de literales complementarios en U(l), marcarcon × (y se denomina hoja cerrada).

1.2 Si no existe tal par, marcar con © (hoja abierta).

2. Si U(l) no es un conjunto de literales, elegir A de U(l) noliteral.

2.1 Si A es una α–formula, entonces anadir un hijo l ′ de l conU(l ′) = (U(l) \ {A}) ∪ {α1, α2} (α2 puede no existir).

2.2 Si A es una β–formula, entonces anadir dos hijos l ′, l ′′ conetiquetas

U(l ′) = (U(l) \ {A}) ∪ {β1} y U(l ′′) = (U(l) \ {A}) ∪ {β2}

Propiedades de los tableros

I La construccion siempre termina. El tablero final se denominatablero completo.

I Un tablero T es cerrado si todas sus hojas son cerradas. Enotro caso es abierto.

Correccion y Completitud

Sea S un conjunto de formulas, y T un tablero completo para S.

I Correccion: Si T es cerrado, entonces S es inconsistente.

I Completitud: Si S es inconsistente, entonces T es cerrado.

{A1, . . . ,An} admite un tablero abierto si y solo si es un conjuntoconsistente. Ademas la rama abierta define un modelo: Si U es laetiqueta de la hoja abierta,

v(p) = 1 si p ∈ U o ¬p /∈ U, y v(p) = 0 si ¬p ∈ U.

Ejemplo de consistencia:p ∧ ¬q ∧ (p → ((q ∨ r)→ (p ∧ r)))

p, ¬q ∧ (p → ((q ∨ r)→ (p ∧ r)))

p, ¬q, p → ((q ∨ r)→ (p ∧ r))

��

p, ¬q, ¬p

×p, ¬q, (q ∨ r)→ (p ∧ r)

��

p, ¬q, ¬(q ∨ r)

p, ¬q, ¬r

p, ¬q, p ∧ r

p, ¬q, r

©Induce v(p) = v(r) = 1, v(q) = 0

Consecuencia logica

{A1, . . .An} |= A⇐⇒ {A1, . . . ,An,¬A} admite un tablero cerrado.

Por ejemplo, {p → q, q ∨ r → s} |= p → s.

p → q, q ∨ r → s, ¬(p → s)

p → q, q ∨ r → s, p, ¬s

��

¬p, q ∨ r → s p, ¬s

×q, q ∨ r → s, p, ¬s

��

q, ¬(q ∨ r), p, ¬s

q, ¬q, ¬r , p, ¬s

q, s, p, ¬s

Pruebas formales

I Los tableros semanticos proporcionan un algoritmo para ladeduccion basado en este hecho:

{A1, . . . ,An} |= A ⇐⇒ {A1, . . . ,An,¬A} inconsistente

I Un enfoque mas natural del problema basico (PB) se obtienea traves de la nocion de demostracion:

1. Consideramos el conjunto de enunciados, BC, como unconjunto de axiomas (o hipotesis que asumimos como ciertasinicialmente).

2. El enunciado φ sera consecuencia de BC si podemos obteneruna demostracion de φ a partir de BC (de manera similar acomo en matematicas se demuestra un teorema).

Sistemas deductivos

Un sistema deductivo, T, (o teorıa proposicional) consta de:

I Un conjunto, Ax(T), de formulas proposicionales quellamamos los axiomas de T.

I Reglas de inferencia de la forma:

A1, . . . ,An

siendo A1, . . . ,An,A formulas proposicionales. Las formulasA1, . . . ,An se denominan premisas y la formula A conclusion.

Pruebas y teoremas

I Una demostracion en T es una sucesion de formulasproposicionales A1, . . . ,Ak cada una de las cuales es unaxioma de T, o bien, se obtiene a partir de formulas anterioresde la sucesion mediante una regla de inferencia.

I Una formula A es un teorema de T, `T A, si existe unademostracion en T, A1, . . . ,Ak tal que A = Ak . La sucesionA1, . . . ,Ak se denomina una demostracion de A en T.

Ejemplo

I Axiomas de T: {p, q, p ∧ q → (¬s ∨ p → r)}I Reglas de inferencia: (A y B formulas cualesquiera)

I∧ :A, B

A ∧ BI∨ :

A ∨ B

C∨ :A ∨ B

B ∨ AMP :

A, A→ B

Ejemplo (bis)

La siguiente sucesion es una demostracion de r en T; luego `T r

1. p [[Hip.]]2. q [[Hip.]]3. p ∧ q [[I∧ aplicada a 1. y 2.]]4. p ∧ q → (¬s ∨ p → r) [[Hip.]]5. ¬s ∨ p → r [[MP aplicada a 3. y 4.]]6. p ∨ ¬s [[I∨ aplicada a 1.]]7. ¬s ∨ p [[C∨ aplicada a 6.]]8. r [[MP aplicada a 7. y 5.]]

Clausulas

I Una clausula es una disyuncion de literales L1 ∨ · · · ∨ Ln.

I Dada una valoracion v y una clausula L1 ∨ · · · ∨ Ln se tiene:

v |= L1 ∨ · · · ∨ Ln ⇐⇒ Existe i = 1, . . . , n tal que v |= Li

Por tanto, el valor de verdad de L1 ∨ · · · ∨ Ln no depende nidel orden en que aparecen los literales ni de posiblesrepeticiones de literales.

I En consecuencia, identificamos la clausula L1 ∨ · · · ∨ Ln con elconjunto de literales {L1, . . . Ln}.

I Caso especial: la clausula vacıa, correspondiente al conjuntode literales vacıo. La denotamos por �.

I Por definicion, para toda valoracion, v , se tiene v(�) = 0.

I Notacion: El literal complementario de L se denota por Lc .

Formas clausales

I Para toda formula F ∈ PROP existe un conjunto de clausulas{C1, . . . ,Cn} tal que para toda valoracion, v ,

v |= F ⇐⇒ v |= {C1, . . . ,Cn}

{C1, . . . ,Cn} se denomina una forma clausal de F .

I Podemos obtener una forma clausal a partir de una formanormal conjuntiva.

I La formula en forma normal conjuntiva

(L1,1 ∨ · · · ∨ L1,n1) ∧ · · · ∧ (Lm,1 ∨ · · · ∨ Lm,nm)

se escribe en forma clausal:

{{L1,1, . . . , L1,n1} . . . {Lm,1, · · · , Lm,nm}}

La regla de resolucion

Generaliza algunas de las reglas de inferencia clasicas:

Modus Ponens :p, p → q

{p}, {¬p, q}{q}

Modus Tollens :p → q, ¬q

{¬p, q}, {¬q}{¬p}

Encadenamiento :p → q, q → r

p → r

{¬p, q}, {¬q, r}{¬p, r}

Reduccion al absurdo :p → q, p → ¬q

{¬p, q}, {¬p,¬q}{¬p}

La regla de resolucion

Regla de resolucion:

{L1, . . . , L, . . . , Lm, }, {M1, . . . , Lc , . . . ,Mk}

{L1, . . . , Lm,M1, . . . ,Mk}

Resolucion entre clausulas

I Si L ∈ C1 y L′ ∈ C2 son literales complementarios, entonces laresolvente de C1 y C2 respecto a L es

resL(C1,C2) = (C1 \ {L}) ∪ (C2 \ {L′})

El conjunto de las resolventes de C1 y C2 es:

Res(C1,C2) = {resL(C1,C2) : L ∈ C1 y Lc ∈ C2}.

I Ejemplos:Sea C1 = {p, q,¬r} y C2 = {¬p, r , s}. Entonces

resp(C1,C2) = {q,¬r , r , s}

res¬r (C1,C2) = {p,¬p, q, s}

Demostraciones por resolucion

Dado un conjunto de clausulas, S , podemos considerar el sistemadeductivo que tiene a S como conjunto de axiomas y resolucioncomo unica regla de inferencia.

I Una demostracion por resolucion a partir de S es unasucesion de clausulas C1, . . . ,Cn tal que para cadai = 1, . . . , n se verifica:

I Ci ∈ S , o bienI Existen j , k < i tales que Ci ∈ Res(Cj ,Ck).

Si Cn = � diremos que C1, . . . ,Cn es una refutacion de S .

I Una clausula C es demostrable por resolucion a partir de Ssi existe una demostracion a partir de S , C1, . . . ,Cn, tal queCn = C .Notacion: S `r C .

I Decimos que S es refutable si S `r �.

Ejemplos

I Sea S = {{p, q}, {¬p, q}, {p,¬q}, {¬q,¬p, s}}.Veamos que S `r {s}.

1. {p, q} Hipotesis2. {¬p, q} Hipotesis3. {q} Resolvente de 1 y 24. {¬q, p} Hipotesis5. {p} Resolvente de 3 y 46. {¬q,¬p, s} Hipotesis7. {¬q, s} Resolvente de 5 y 68. {s} Resolvente de 7 y 3

I Es habitual presentar las demostraciones por resolucionutilizando un arbol.

Ejemplos (II)

S1 = {{p, q}, {p,¬q}, {¬p, q}, {¬p,¬q}} es refutable;

{p, q}

{¬p, q}

{p,¬q}

{¬p,¬q}

��

Luego S `r �.

Adecuacion y Completitud

I Lema. Sean C1, C2 y C clausulas. Si C es una resolvente deC1 y C2, entonces {C1,C2} |= C .

I Teorema de adecuacion. Sean S un conjunto de clausulas yC una clausula. Entonces

S `r C =⇒ S |= C

I Incompletitud de resolucion:

{{q}} |= {q, r} pero {{q}} 6`r {q, r}

I Teorema de completitud de la refutacion:

S es inconsistente ⇐⇒ S `r �

Resolucion por saturacion

I Algoritmo de resolucion por saturacion.Entrada: S , un conjunto finito de clausulas.Salida: SI, si S es inconsistente

NO, en caso contrario.

Procedimiento:

1. S ′ ← S2. S ′′ ← S ′ ∪

⋃C1,C2∈S′

Res(C1,C2)

3. Mientras � /∈ S ′′ y S ′ 6= S ′′ hacer:I S ′ ← SI S ′′ ← S ′ ∪

[C1,C2∈S′

Res(C1,C2)

4. Si � ∈ S ′′ devolver SI (i.e., inconsistente)5. Si � /∈ S ′′ devolver NO (i.e., consistente)

Resolucion por saturacion

I El algoritmo de resolucion por saturacion genera una sucesionde conjuntos de clausulas:

S0 = S , Si+1 = Si ∪⋃

C1,C2∈Si

Res(C1,C2)

de tal modo que para toda clausula, C , se tiene

S `r C ⇐⇒ Existe j tal que C ∈ Sj

I En consecuencia, por el teorema de completitud, el algoritmode resolucion por saturacion es correcto.

Ejemplos (I)

I Sea S = {{p, q}, {¬p, q}, {p,¬q}, {¬q}}, aplicando elalgoritmo:

S1 = S ∪ {{q}, {p}, {¬p}, {¬p, p}, {q,¬q}}

S2 = S1 ∪ {�, ...}

Por tanto, S es inconsistente.

I Sea S = {{p, q}, {p,¬q}, {q, r , s}, {¬s,¬r}}, aplicando elalgoritmo:

S1 = S ∪ {{p}, {p, r , s}, {q, s,¬s}, {q, r ,¬r}}

S2 = S1 ∪ {{p, s,¬s}, {p, r ,¬r}, {q,¬r ,¬s}, {p, q, r , s}}

S3 = S2∪{{p,¬r ,¬s}, {p, q,¬s, s}, {p, q,¬r , r}, {p, q,¬r ,¬s}}

Y S4 = S3. Por tanto, S es consistente.

Ejemplos (II)

I La aparicion de tautologıas suele provocar el calculo demuchas resolventes repetidas y la aparicion de nuevastautologıas.

I Sin embargo, las tautologıas son clausulas esencialmenteredundantes, ya que tenemos el siguiente resultado:

I Sea C una tautologıa y S un conjunto de formulas. Entonces

S es consistente ⇐⇒ S − {C} es consistente

I Por tanto, en cada etapa del algoritmo de saturacion podemoseliminar las tautologıas obtenidas. En el caso anteriortendrıamos S = {{p, q}, {p,¬q}, {q, r , s}, {¬s,¬r}} yaplicando el algoritmo con eliminacion de tautologıas

S1 = S ∪ {{p}, {p, r , s}}, S2 = S1

Por tanto, S es consistente.

Completitud y eficiencia

I Hemos estudiado la deduccion como un metodo mecanicopara decidir la validez, consistencia, consecuencia logica, etc.

I La completitud es una propiedad fundamental de losprocedimientos de deduccion estudiados.

I En el caso de resolucion la existencia de una demostracion esdecidible, y el conjunto de teoremas es finito (si el conjunto declausulas inicial es finito): Resolucion por Saturacion.

I Sin embargo, los metodos de decision conocidos no soneficientes, en general.

I Una solucion: Restringir el tipo de clausulas consideradas.

I Una clausula de Horn es una clausulas con a lo sumo unliteral positivo.

I El problema de decidir si un conjunto de clausulas de Horn(proposicionales) es consistente es decidible de maneraeficiente.

Completitud y eficiencia (II)

Existen diferentes estrategias para reducir el numero o lacomplejidad de las pruebas, sin perder la adecuacion ymanteniendo la completitud.

= Pruebas originales = Pruebas refinadas

Logica, no teoremasConsecuencia

S−TEOREMAS

FORMULAS

C_3C_4S

Opciones:

I Aumentar el numero de reglas de inferencia.I Acorta la longitud de las pruebas.I Es necesario justificar su adecuacion.I Ejemplo: La regla de Hiperresolucion:

{¬A1, . . . ,¬An,B1, . . . ,Bm}, {A1}, . . . , {An}{B1, . . . ,Bm}

I Reducir el ambito de aplicacion de las reglas.I Acorta el tiempo de comprobacion de la aplicabilidad.

I Utilizar Heurısticas.I Basadas en comprobaciones empıricas.

EstrategiasPara reducir el ambito de aplicacion de las reglas de inferencia enel caso de resolucion, podemos adoptar las siguientes estrategias.

I Resolucion positiva (resp. negativa): Solo se calculanresolventes si una de las dos clausulas contiene unicamenteliterales positivos (resp. negativos). Es (refutacionalmente)completa.

I Resolucion lineal: Una deduccion por resolucion a partir deun conjunto S , C1, . . . ,Cn, es lineal si para cada i < n laclausula Ci+1 es una resolvente de Ci y otra clausulapreviamente obtenida por resolucion o perteneciente a S .

I La resolucion lineal es (refutacionalmente) completa, ya que setiene el siguiente resultado:

I Teorema. Si S es un conjunto inconsistente y S − {C} esconsistente, entonces existe una refutacion de S por resolucionlineal cuya clausula inicial es C .

Estrategias (II)

I Resolucion unidad: Solo se permiten resolventes si una delas clausulas es unitaria.

I Resolucion por entradas: Solo se permiten resolventes siuna de las clausulas pertenece a S .

I En general, resolucion unidad y por entradas NO sonrefutacionalmente completas, pero sı lo son restringidas aconjuntos de clausulas de Horn.

I Teorema. Sea S es un conjunto inconsistente formado porclausulas de Horn. Entonces S es refutable medianteresolucion unidad y mediante resolucion por entradas.

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