tema 2 fisica1.ppt [modo de compatibilidad] - gcm.upc.edu · components intrínseques de...

Fisica ILuis Carlos Pardo

Planta 2 edifici C Despatx C2 4Planta 2, edifici C, Despatx C2.4

Tema 2

CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

2.- Breu repàs de derivades

3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt

3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment

3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )

3.3.- Moviment parabòlic

3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial

3.4.- Moviment circular

4.- Transformacions de Galileu

Tema 2

CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

2.- Breu repàs de derivades

3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt

3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment

3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )

3.3.- Moviment parabòlic

3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial

3.4.- Moviment circular

4.- Transformacions de Galileu

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

Producte escalar

El producte escalar de dos vectors és l’escalar x x y y z zA B A B A B A B

A

Producte escalar

cos 0A B AB

pot ser expressat comA B A

B

P l l j ió d A l di ió d UPer calcular una projecció de A en la direcció de U

cosAUA

Producte vectorial

El producte vectorial de dos vectors és el vector

ˆˆ ˆi j kBA B

, ,x y z y z z y z x x z x y y x

x y z

A B A A A A B A B A B A B A B A BB B B

B

uté la propietat i A B A

A B B

A

Tema 2

CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

2.- Breu repàs de derivades

3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt

3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment

3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )

3.3.- Moviment parabòlic

3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial

3.4.- Moviment circular

1.- Breu repàs de derivadesDerivades en una dimensió f

Derivada = canvi ftgx

ff

x

x

f

df

Si els canvis son petits, la tangent es una derivadaf

xx

df

'dftg fdx

0ff

dxdf

dxfdxdxdfdf '

xx0x

dx

Si volem obtenir un canvi “gran” de la derivada: integrem

'f x

df f dx 'x

f f f d 'x

f f f d

0

'f f f0 0f x

df f dx (integral definida, no cal constant d’integració)

0

0 'x

f f f dx 0

0 'x

f f f dx Si f’=cte 0 0'f f f x x

Tema 2

CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

2.- Breu repàs de derivades

3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt

3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment

3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )

3.3.- Moviment parabòlic

3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial

3.4.- Moviment circular

Cinemàtica del punt2.- Cinemàtica del punt

p

G lil G lil i iGalileo Galilei… eppur si muove

1.- Breu repàs de derivadesSi f=posició i x=temps xp p

xtg v

xx

Velocitat mitjana xtg vt

t

x

j x

x v t Calculem un desplaçament ttx v t Calculem un desplaçament

Si els canvis son petitsvelocitat en un puntx

dxvdt

0xx

dtdx

Velocitat instantània

tt0t

dt

t0t

1.- Breu repàs de derivadesSi f=velocitat i x=temps vp

vtg a

vv

Acceleració mitjana tg at

t

v

j

v a t Calculem un increment de velocitat

tt

Si els canvis son petitsacceleració en un puntv

dvadt

0vv

dtdx

Velocitat instantània

tt0t

dt

t0t

Tema 2

CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

2.- Breu repàs de derivades

3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt

3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment

3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )

3.3.- Moviment parabòlic

3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial

3.4.- Moviment circular

1.- Breu repàs de derivadesObtenim la posició en funció del temps

x t

t

dVELOCITAT CONSTANT (MRU)

dx

0 0x t

dx vdt (integral definida, no cal constant d’integració)

0

0t

x x vdt 0 0( )x x v t t v ctedxv ctedt

Integrem

ACCELERACIÓ CONSTANT (MRU) (segona llei de Newton)

dva ctedt

Integremv t

dv adt a cte 0

t

v v adt 0 0( )v v a t t dt0 0v t

0t 0 0( )

0 0( )dxv v a t tdt

!!!!v cte

Integrem 0 0

0 0( )x t

x t

dx v a t t dt 2

0 0 0 01( ) ( )2

x x v t t a t t

1, 2, 5, t7, t14

Tema 2

CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

2.- Breu repàs de derivades

3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt

3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment

3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )

3.3.- Moviment parabòlic

3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial

3.4.- Moviment circular

Cinemàtica del punt

Vector Posició ,r x y ,r x y

x

y

Pot variar amb el temps!! ( ) [ ( ), ( )]r t x t y t

2( ) [2 ]r t t t

x

y ( ) ( ), ( )r t x t y t

( ) [2 , ]r t t t y

Vector desplaçament 2 1 2 1 2 1( , )r r r x x y y

dr

( )dr dx dy ( )r tDesplaçament "petit" = diferencial

dt )(x

( , )dr dx dy... és a dir quan a passat un dt

rdtr )(y

Cinemàtica del punt

Vector posició

( ) ( ) ( )t t t

)](),(),([)( tztytxtr 2( ) [2 , ]r t t t

nt

int

x

y ( ) ( ), ( )r t x t y t

deriv

a tegrant

,dr dx dyv rdt dt dt

Vector velocitat( )r t

( )v tx

dt dt dt ( ) [2, 2 ]v t t

Tangent a la trajectòria!!!

y

El podem fer unitari dividint pel seu mòdulp p

( ) [2, 2 ]v t t

22 2 2( ) 2 2 4 4 2 1v t t t t

2 2

[2, 2 ] [1, ]ˆ( )2 1 1

t tv tt t

Útil per projectar l’acceleració en la direcció de la trajectòria

Cinemàtica del punt

Vector posició

( ) ( ) ( )t t t

)](),(),([)( tztytxtr 2( ) [2 , ]r t t t

nt

int

x

y ( ) ( ), ( )r t x t y t

deriv

a tegrant

,dr dx dyv rdt dt dt

Vector velocitat( )r t

( )v tx

dt dt dt ( ) [2, 2 ]v t t

Tangent a la trajectòria!!!ivan

t integ

y

ˆV t l ió

der grant

( )r t

v

nR

2 2 2

2 2 2,dv d r d x d ya v rdt dt dt dt

Vector acceleració( ) [0, 2]a t

dt dt dt dt

7,t1,t2,t3

Tema 2

CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

2.- Breu repàs de derivades

3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt

3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment

3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )

3.3.- Moviment parabòlic

3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial

3.4.- Moviment circular

Moviment parabòlicDos ingredients:

velocitat inicial gravetaty g

0 0,x yv v v 0,a g

x

y

Agafant aquestSistema de referència

Escrivim les equacions en x i en y:

posició velocitat

0 0 0( )xx x v t t

20 0 0 0

1yy y v t t g t t

p0x xv v

0 0y yv v g t t 0 0 0 02yy y g 0 0y y g

y

h0 yv maxh

x0xvmaxd

Moviment parabòlicSuposem t0=0, y0=0 i X0=0 per simplificar

Condició hmax 0yv 0 yvt

g

2 20 0 0

max 012

y y yy

v v vh v g

g g g

g 2g g g

2vCondició dmax 0y

02 yvt

g 0 0

max

2 x yv vd

g

y 0yv

v maxh0 yv

11, 18, t5, t12

x0xvmaxd 0y

Tema 2

CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

2.- Breu repàs de derivades

3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt

3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment

3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )

3.3.- Moviment parabòlic

3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial

3.4.- Moviment circular

Cinemàtica del puntObjectiu:

Acceleració tangencial (at): ens dona informació sobre canvis en celeritat (mòdul de velocitat)

Separar els canvis en la direcció dels canvis en la celeritat

ens dona informació sobre canvis en celeritat (mòdul de velocitat)

component binormalpcap a on gira

Acceleració normal (an): ens dona informació sobre canvis en direcció

Cinemàtica del puntObjectiu:

Separar els canvis en la direcció dels canvis en la celeritat

MatemàticamentMatemàticament

vvv ˆDireccióCeleritat

d

tn uddvu

dvdvv

ddv

ddtvd

dvdvv

ddv

dvdv

dvvd

dvda ˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆ

tn dtdtdt

dtvddtdtdtdtdt ˆ

Cinemàtica del puntObjectiu:

Relacionar an amb el radi de curvatura

a

a

( )r t

ta

Na CURVR

ˆd dd

vd ˆ)(ˆ tv

)(tr

Per semblança de triangles

ˆˆ C

dv drv R

Rd

)(ˆ dttv rd

CURVv RCURVR

ˆ 1v

2

ˆ 1

CURV CURV

dv dr vdt R dt R

dtvdvRCURVˆ

2

ˆN NCURV

va uR

CURV CURV CURV

Dividint per dt... i definint Radi de curvatura

Cinemàtica del puntLes components tangent i normal es calculen com ˆ ˆ,v n

ˆ ˆT na a v a n

normal (a )tangencial (a )

ˆTdva a vdt

2

ˆNva a vR

normal (an) tangencial (at)

componentdt cR

vv

ˆ vdvdn ˆˆˆ vector unitariv dtdt

ˆTa v

a

ˆNa n( )r t

R

Tema 2

CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

2.- Breu repàs de derivades

3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt

3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment

3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )

3.3.- Moviment parabòlic

3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial

3.4.- Moviment circular

Cinemàtica del punt( )t Angle (en funció del temps)( )

( ) dtdt

g ( p )

Velocitat angular

( ) dtdt Acceleració angular

( )tMCU 0( )t cte

R

( )0 0 0( ) ( )t t t cos ( )x R t

MCUA

1 0 0( )t t t

20 0 0 0

1( ) ( )2

t t t t t

Cinemàtica del puntMagnituds angularsMagnituds lineals

( )t

( ) dtd

Angle (en funció del temps)

Velocitat angular

Posició( )x t

( ) dxv tdt

Velocitat ( )dt

( ) dtdt

g

Acceleració angular

dt

( ) dva tdt

Acceleració

dtMCU 0( )t cte MRU 0( )v t v cte

0 0 0( ) ( )t t t 0 0 0( ) ( )x t x v t t

MCUA

1 0 0( )t t t

MRUA

1 0 0( )v t v t t

20 0 0 0

1( ) ( )2

t t t t t 20 0 0 0

1( ) ( )2

x t x v t t a t t

Cinemàtica del punt

ˆTa a v

MCU

Na cteT

2v

0ta

Nc

vaR

MCUA

R

MCUA2

2 2 2N

va R RtR

ta cte

Cinemàtica del puntRelació moviment circular coordenades cartesianes

2 2 2 2 2 2( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( )r t R t R t R t t R

( ) cos ( ) sin ( )r t R t R t

( )r t R

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )tsin ( )y R t

( ) cos ( ), sin ( )r t R t R t ( )r t R

R

( )cos ( )x R t

Cinemàtica del punt

P i ió

( ) cos ( ), sin ( )r t R t R t

Posició

MCU (t0=0, φ0=0) 0( )t t

( ) cos sinr t R t t

( )tsin ( )y R t

0 0( ) cos ,sinr t R t t

( ) sin cosv t R t t

Velocitat

R

( )cos ( )x R t

0 0 0( ) sin ,cosv t R t t

0( )v t R

La celeritat és constant

20 0 0( ) cos ,sina t R t t

0( )v t R La celeritat és constantAcceleració

20( )a t R

Components de l’acceleració

El mòdul d’acc. és constant

20na R

0 0t

d v d Ra

dt dt

21, 24, t4, t9

Tema 2

CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT

1.- Breu repàs de càlcul vectorial

2.- Breu repàs de derivades

3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt

3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment

3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )

3.3.- Moviment parabòlic

3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial

3.4.- Moviment circular

4.- Transformacions de Galileu

Transformacions de GalileuCom veu un observador que es mou un objecte respecte a un que està quiet?

y’y

r

'r

xv

v t 'xx’x

xv t x

x

'y y' xr r v t 'y y

x' xx x v t ' xx x v t

20, t8, t10

Saturn devorant els seus fills

Peter Paul Rubens1577-1640

Saturn devorant els seus fills

Peter Paul Rubens1577-1640

Francisco José de Goya1746 – 1828