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Tema 2

Análisis Dinámico de Sistemas2º Ing. Telecomunicación

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámicadefinición de la RAE

4. m. Esquema teórico, generalmente en formamatemática, de un sistema o de una realidadcompleja, como la evolución económica de un país,que se elabora para facilitar su comprensión y elestudio de su comportamiento.

Modelo: (definición de la RAE)

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámicamodelo dinámico

• Uno de los modelos dinámicos más típicos en Ingenieríaes la Ecuación Diferencial

• En muchos procesos y sistemas son necesarias variasecuaciones diferenciales para describir adecuadamentela dinámica

Modelo DinámicoUn modelo dinámico constituye una descripción,generalmente matemática,del comportamiento dinámico un sistema.

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámicaprincipio de simplicidad• Casi siempre, los modelos son aproximaciones más o menos precisas del

proceso.• Depende de qué se “tenga en cuenta” y qué se “desprecia” en el modelo (ej. a

veces se desprecia el rozamiento del aire, etc.)

simplicidad precisión

Navaja de Occam:Buscar el modelo más simple posible

que describa suficientementelos factores que necesitamos analizar

en función de nuestro problema

¿qué debemos despreciar?

• Estudiar el contexto del problema• ¿qué factores importan?• ¿qué factores pueden despreciarse?• ¿qué simplificaciones son asumibles?

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámicaecuación diferencial

De una forma muy general, un sistema SISOpuede modelarse según una ecuación diferencial del tipo

Gráficamente,

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámicaejemplo de sistema dinámico: masa en movimiento

segunda ley de Newton:

mF(t)

x(t)

Sistema(masa)

Sistema(masa)

F(t) x(t)

causa(entrada)

respuesta(salida)

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámicaejemplo de sistema dinámico: depósito

caudalde

entrada

caudalde

salida qs(t) depósitodepósitoqe(t) h(t)

causa(entrada)

qs(t)

respuestas(salidas)

[Ogata, p. 125]

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámicaejemplo de sistema dinámico: sistema de amortiguación

m

K bx0

xi

[Ogata, p. 114]

vehículovehículoxi(t) xo(t)

causa(entrada)

respuesta(salida)

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Linealidad y Superposición

Un sistema es lineal si y solo si verifica el principio de superposición:

si

entonces

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Linealidad y Superposición

La siguiente ecuación diferencial

se denominaEcuación Diferencial Lineal de coeficientes constantes (EDL-CC)

Este modelo matemático:• verifica la propiedad de superposición• describe con precisión la dinámica de muchos sistemas físicos

Ejercicio:Demostrar la linealidad de la EDL-CCcomprobando que verifica el principio de superposición

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Linealidad y Superposición

• También muchos sistemas son nolineales (ej: el depósito: demostrar queel depósito es un sistema lineal y quelos ejemplos de la masa y del sistemade amortiguación son lineales)

• Para sistemas no lineales no sonaplicables muchos de los métodos deanálisis y modelado

• Muchos sistemas son lineales pornaturaleza

• Existen métodos eficientes paratrabajar con sistemas lineales

Sistemas Lineales Sistemas No Lineales

LinealizaciónObtener un modelo lineal aproximado

a partir de un modelo no lineal

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Sistema Físico

Modelo lineal

Métodos aplicables asistemas lineales

Modelo no lineal simulación

leyes de la Física

Linealización

Cálculo operacionalmodelos gráficostécnicas frecuenciales

Validación

Computador(simulink, Matlab)

Metodología de trabajo

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Procedimiento de Linealización

Una función f(x) puede aproximarse por Taylor:

Tomando términos de primer orden términosde orden superior

(punto de equilibrio)

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Para una función de varias variables,

siendo

el punto de equilibrio, en torno al cual es válida la aproximación

Procedimiento de Linealización

la aproximación lineal (términos de orden 1) sería:

Residuo(términos de orden ≥ 2)

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para el caso

Procedimiento de Linealización

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Punto de equilibrioEl punto en torno al cual se linealizadebe ser un punto de equilibro del sistema

Procedimiento de Linealizaciónpunto de equilibrio

Dado que en el equilibrio el sistema no varíalas derivadas temporales son cero en dicho punto

... entonces se cumple que

0

0

En general,se cumple, por tanto,

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Procedimiento de Linealización

definiendo:

queda finalmente:

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Procedimiento de Linealización

puesto de otra forma (redefiniendo las constantes) queda:

o bien,

que es de la forma

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Procedimiento de Linealizacióninterpretación gráfica

x0

y0 punto de equilibrio

y = f(x)y-y0 = K(x-x0)

modelo linealizado

modelono lineal

puntode equilibrio

error muypequeño

proximidades del pto de equilibrio

(x0,y0)

error grandesi nosdesviamosdel ptode equilibrio

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Procedimiento de Linealizaciónaspectos prácticos• El punto de trabajo es el estado de funcionamiento del sistema en

torno al cual vamos a trabajar, y debe ser un estado de equilibrio � lasderivadas temporales son cero

d/dt = 0

• Validez �El modelo lineal describe bien al real cuando el sistemaevoluciona cerca del punto de equilibrio. Lejos del punto de equilibrio elmodelo linealizado pierde precisión.

• Elección del punto de equilibrio �El punto de equilibrio debe elegirselo + próximo posible a los puntos de funcionamiento previsibles delsistema en las condiciones de funcionamiento habituales

• ¿cuánto me puedo alejar? � experiencia, sentido común, simulación...

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caudalde

entrada

caudalde

salida qs(t)

Procedimiento de Linealizaciónejemplo del depósito / enunciado

Linealizar en torno a un punto de equilibrio definido por h0 = 1

datos:

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Procedimiento de Linealizaciónejemplo del depósito / aproximación por Taylor

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Procedimiento de Linealizaciónejemplo del depósito / punto de equilibrio

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Procedimiento de Linealizaciónejemplo del depósito / modelo lineal

sustituyendo, queda al final

o utilizando la notación de las deltas,

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Procedimiento de Linealizaciónejemplo del depósito / simulación

variación respectoal punto de equilibrio

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Procedimiento de Linealizaciónejemplo / enunciado

Linealizar la siguiente ecuación

en torno al punto de equilibrio dado por x0 = 4

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La aproximación por Taylor de la función es:

Solución:

Procedimiento de Linealizaciónejemplo / aproximación por Taylor

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Procedimiento de Linealizaciónejemplo / aproximación por TaylorCalculando las parciales de f respecto a las variables...

Queda el siguiente modelo

Utilizando la otra notación: donde denotamos

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Procedimiento de Linealizaciónejemplo / determinación del punto de equilibrio

Tenemos dos soluciones � hay dos puntos de equilibrio

Nota:Si el modelo tuviese un sentido físico,deberíamos elegir el punto más verosímily descartar los que no tengan sentido.

En este caso es matemática pura y los dos pueden valer.

Eligiendo un pto de equilibrioen el que se anulen las derivadasqueda,

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Procedimiento de Linealizaciónejemplo / modelo lineal

Si elegimos y0=2,

Si elegimos y0=-2,