tema 1 - clase
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-
FUNDAMENTOS DE
TEORA DE
12 de Diciembre de 2013
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 1
TEORA DE ERRORES
Departamento de Matemtica Aplicada
Facultad de Ingeniera
Universidad Central de Venezuela
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1. Los mtodos numricos
2. Fuentes bsicas de errores
3. Definiciones importantes
4. Error de una suma
5. Error de una diferencia
Puntos a tratar
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 2
5. Error de una diferencia
6. Sumatorias y series elementales
7. Algoritmo de Horner
8. Evaluacin de funciones analticas
9. Nmero de condicin
-
Mtodos numricos
Son tcnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemticos de tal
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 3
problemas matemticos de tal forma que puedan resolverse
usando operaciones aritmticas.
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1. Los mtodos numricos
2. Fuentes bsicas de errores
3. Definiciones importantes
4. Error de una suma
5. Error de una diferencia
Puntos a tratar
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 4
5. Error de una diferencia
6. Sumatorias y series elementales
7. Algoritmo de Horner
8. Evaluacin de funciones analticas
9. Nmero de condicin
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Planteamiento del problema (errores delproblema)
Presencia de procesos infinitos en anlisismatemtico (error residual)
Parmetros numricos (error inicial)
Fuentes bsicas de errores
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 5
Sistema de numeracin (error porredondeo)
Operaciones con nmeros aproximados(errores de operacin)
Representacin en punto flotante (errorespunto flotante)
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1. Los mtodos numricos
2. Fuentes bsicas de errores
3. Definiciones importantes
4. Error de una suma
5. Error de una diferencia
Puntos a tratar
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 6
5. Error de una diferencia
6. Sumatorias y series elementales
7. Algoritmo de Horner
8. Evaluacin de funciones analticas
9. Nmero de condicin
-
El error absoluto en denotado es ladiferencia entre el valor exacto x y elvalor aproximado .
Error absoluto y error relativo
x,x
x
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 7
El error relativo en es . El errorrelativo es ms significativo que el errorabsoluto, ya que carece de unidad.
x / xx
-
El error por redondeo es aquel originadopor las limitaciones que todaherramienta de clculo posee al nopoder representar las cantidades contodas sus cifras.
Redondeo y truncamiento
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 8
todas sus cifras.
El error por truncamiento se produce alreducir a un nmero finito deoperaciones un proceso matemticoque es infinito.
-
La cota o estimacin de un error escualquier nmero no menor que el error.
Si se dice que tiene t
Cota y decimales correctos
tx 0.5 10 , x
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 9
Si se dice que tiene tdecimales correctos. Tambin se diceque est correctamente redondeadoa t decimales.
x 0.5 10 , x
x
-
Utilice las variables especiales
eps, realmin y realmax
para calcular el psilon de la mquina,
psilon de la mquina, realmin y realmax
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 10
para calcular el psilon de la mquina,el nmero ms pequeo que la mquinadistingue de cero y la mayor magnitudrepresentada respectivamente.
-
psilon de la mquina, realmin y realmax
El psilon de la mquina es el nmero demquina positivo ms pequeo de dobleprecisin tal que522 = 1 1+
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 11
-
psilon de la mquina, realmin y realmax
El psilon de la mquina es el nmero demquina positivo ms pequeo de dobleprecisin tal que522 = 1 1+
realmin es el nmero de mquina positivoms pequeo de doble precisin dado por
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 12
ms pequeo de doble precisin dado porque la mquina distingue de
cero
10222 =
-
psilon de la mquina, realmin y realmax
El psilon de la mquina es el nmero demquina positivo ms pequeo de dobleprecisin tal que522 = 1 1+
realmin es el nmero de mquina positivoms pequeo de doble precisin dado por
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 13
ms pequeo de doble precisin dado porque la mquina distingue de
cero
10222 =
realmax es el nmero de mquina msgrande dado por que puede serrepresentado con exactitud
10242
-
Underflow y overflow
Si un nmero es tal que seproduce un underflow y el computadorconsidera que x es cero
x R x ,<
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 14
-
Underflow y overflow
Si un nmero es tal que seproduce un underflow y el computadorconsidera que x es cero
x R x ,<
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 15
Si un nmero es tal que seproduce un overflow y se detienen losclculos
x R x ,>
-
1. Los mtodos numricos
2. Fuentes bsicas de errores
3. Definiciones importantes
4. Error de una suma
5. Error de una diferencia
Puntos a tratar
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 16
5. Error de una diferencia
6. Sumatorias y series elementales
7. Algoritmo de Horner
8. Evaluacin de funciones analticas
9. Nmero de condicin
-
Error de una suma
El error absoluto de una suma de varios nmeros
aproximados no excede de la suma de los errores absolutos de los nmeros.
Ejemplo.
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 17
Ejemplo.
1 2
1 2
1 2
1 2
x 2.10, x 3.05, s 5.15
x 2.00, x 3.00, s 5.00
x 0.10, x 0.0 0.155, s
x x1s 0. 5
= = =
= = =
= = = = = +
-
Error de una suma
Si todos los nmeros (no nulos) vienen afectados
del mismo signo, la cota del error relativo de su suma no excede del de la mxima cota del
error relativo de cualquiera de ellos.
Ejemplo.
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 18
Ejemplo.
1 2 1 2
s 0.151 2 s s 5.15
x x0.10 0.051 2x xx 2.10 x 3.051 21 2
s
0.0291
0.
x 2.10, x 3.05, s 5.15, x 2.00, x 3.00, s 5.00
x 0.10, x 0.05, s 0.15,
0.0476, 0.0164
max(0.0476,0.0164) 0476
= = = = = =
= = = = = = = = = < = =
-
1. Los mtodos numricos
2. Fuentes bsicas de errores
3. Definiciones importantes
4. Error de una suma
5. Error de una diferencia
Puntos a tratar
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 19
5. Error de una diferencia
6. Sumatorias y series elementales
7. Algoritmo de Horner
8. Evaluacin de funciones analticas
9. Nmero de condicin
-
Error de una diferencia
El error absoluto de una diferencia no excede a la
suma de las cotas de los errores absolutos del minuendo y sustraendo.
Si los nmeros aproximados son nmeros prcticamente iguales y tienen errores absolutos
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 20
prcticamente iguales y tienen errores absolutos pequeos, su suma exacta es pequea. La cota del error relativo en este caso puede ser muy grande aun cuando los errores relativos del minuendo y el sustraendo permanezcan pequeos. Esto conduce a una prdida de exactitud. Esto se denomina
cancelacin catastrfica.
-
1. Los mtodos numricos
2. Fuentes bsicas de errores
3. Definiciones importantes
4. Error de una suma
5. Error de una diferencia
Puntos a tratar
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 21
5. Error de una diferencia
6. Sumatorias y series elementales
7. Algoritmo de Horner
8. Evaluacin de funciones analticas
9. Nmero de condicin
-
Sumatorias
n n
2
i 1 i 1
2n
3
n(n 1) n(n 1)(2n 1)i i
2 6
n(n 1)i
= =
+ + += =
+ =
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 22
3
i 1
n
4 3 2
i 1
n(n 1)i
2
ni (n 1)(6n 9n n 1)
30
=
=
+ =
= + + +
-
Tabla de series elementales
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 23
-
1. Los mtodos numricos
2. Fuentes bsicas de errores
3. Definiciones importantes
4. Error de una suma
5. Error de una diferencia
Puntos a tratar
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 24
5. Error de una diferencia
6. Sumatorias y series elementales
7. Algoritmo de Horner
8. Evaluacin de funciones analticas
9. Nmero de condicin
-
Suponga un polinomio de grado n
con coeficientes reales
Evaluacin de polinomios
n n 1
n n 1 1 0P(x) a x a x ... a x a
= + + + +
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 25
con coeficientes reales
y se quiere calcular el valor :
ka (k 0,1,...,n),=
(k)P ( ) (k 0,1,...,n) =
-
Evaluacin de polinomios
Evaluacin directa:
n(n 1)
n(n 3)
2
2
n adiciones
multiplic
ope
acion
raci
es
ones
+
+
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 26
n adiciones
n multiplica
2n operac
ciones
iones
Algoritmo de Horner:
-
Evaluacin de polinomios
Evaluacin directa:
n(n 1)(n 5)
6
+ +
Algoritmo de Horner:
n(3n 1)+
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 27
Diferencia:
n(3n 1)
2
+
n(n 1)(n 2)
6
-
x=linspace(0,10,300);y=x.*(x+1).*(x+5)/6;z=x.*(3*x+1)/2;plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid on
Grfico de una funcin
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 28
plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid onxlabel('Grado del polinomio')ylabel ('Nmero de operaciones') legend('Evaluacin tradicional','Algoritmo de Horner')
-
Grfico de dos funciones en un mismo sistema
150
200
250
300
N
m
e
r
o
d
e
o
p
e
r
a
c
i
o
n
e
s
Evaluacin tradicionalAlgoritmo de Horner
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 29
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
Grado del polinomio
N
m
e
r
o
d
e
o
p
e
r
a
c
i
o
n
e
s
-
x=linspace(0,10,300);y=x.*(x-1).*(x-2)/6;plot(x,y,'b.')xlabel('Grado del polinomio')ylabel ('Nmero de operaciones') title('Diferencia Tradicional-Horner')
Grfico de diferencia de nmero de operaciones
100
120Diferencia Tradicional-Horner
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20
0
20
40
60
80
Grado del polinomio
N
m
e
r
o
d
e
o
p
e
r
a
c
i
o
n
e
s
-
Algoritmo de Horner completo
i
j j j 1
inicio
leer (n,(a :0 i n), )
desde k 0 hasta (n 1) hacer
desde j (n 1) hasta k hacer
a a a
fin_desde
+
=
=
+
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 31
j
fin_desde
d a j
n n
i
factorial(j)
fin_desde
d a factorial(n)
escribir (d :0 i n)
fin
-
1. Los mtodos numricos
2. Fuentes bsicas de errores
3. Definiciones importantes
4. Error de una suma
5. Error de una diferencia
Puntos a tratar
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 32
5. Error de una diferencia
6. Sumatorias y series elementales
7. Algoritmo de Horner
8. Evaluacin de funciones analticas
9. Nmero de condicin
-
Una funcin real f(x) se denomina analtica enun punto si en la vecindad de estepunto puede desarrollarse en series depotencias (serie de Taylor).
En muchos casos, desarrollar una funcin en
Evaluacin de funciones reales analticas
x R sum
sum=sum+term;n=n+1;term=term*(-1)*x*x/((2*n+1)*(2*n+2));
end
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 40
endfun=(1-cos(x))/(x.*x);fun2=((sin(x))^2/(1+cos(x)))/(x.*x);fun3=2*(sin(x/2))^2/(x.*x);fprintf(' n=%1.0f',n)fprintf(' i=%1.0f',i)fprintf(' taylor=%1.28f ',sum)fprintf(' funcion=%1.28f ',fun)fprintf(' funcion2=%1.28f ',fun2)fprintf(' funcion3=%1.28f\n',fun3)x=x.^2;
end
-
7. Justifique los resultados obtenidosmencionando la existencia de dificultadesnumricas presentes en las frmulas (si lashubiera) para el rango de valores
Ejercicio computacional
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 41
hubiera) para el rango de valoresconsiderados (cancelacin catastrfica,divisin por cero, etc).
8. Concluya cul de estas expresiones resultams estable numricamente.
-
1. Los mtodos numricos
2. Fuentes bsicas de errores
3. Definiciones importantes
4. Error de una suma
5. Error de una diferencia
Puntos a tratar
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5. Error de una diferencia
6. Sumatorias y series elementales
7. Algoritmo de Horner
8. Evaluacin de funciones analticas
9. Nmero de condicin
-
Las palabras condicin y condicionamiento seusan de manera informal para indicar cunsensible es la solucin de un problemarespecto de pequeos cambios relativos en losdatos de entrada.
Un problema est mal condicionado si
Condicin y condicionamiento
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 43
Un problema est mal condicionado sipequeos cambios en los datos pueden darlugar a grandes cambios en las respuestas.Para ciertos tipos de problemas se puededefinir un nmero de condicin. Si el nmero esgrande significa que se tiene un problema malcondicionado.
-
Nmero de condicin para la evaluacin de funciones
Error absoluto (EA):
EAimagenes .EApreimagenes
f(x h) f(x
K
f '(x)) h
=
+
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 44
Error relativo (ER):
ERimagenes .ERpreimagenes
f(x h) f(x) h
f(x) x
K
xf '(x)
f(x)
=
+
-
x=linspace(-1,1,3000);y=exp(x);z=abs(x);plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid on
Ejemplo
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 45
plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid onxlabel('Preimagenes')ylabel ('Imagenes') legend('Condicin absoluta','Condicin relativa')title('Funciones de condicionamiento para y = exp(x)')
-
Ejemplo
1.5
2
2.5
3
I
m
a
g
e
n
e
s
Funciones de condicionamiento para y = exp(x)
Condicin absolutaCondicin relativa
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 46
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
Preimagenes
I
m
a
g
e
n
e
s
-
Norma de una matriz
n
ij1 1 j ni 1
n
ij
A max a
A max a
=
=
=
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 47
ij1 i nj 1
n n2
ijei 1 j 1
A max a
A a
=
= =
=
=
-
Nmero de condicin de una matriz
Para una matriz A:
1AA) A( =
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 48
donde es una norma matricial
AA) A( =
-
Pensamiento de hoy
La confianza en si mismoes el primer secreto delxito.
Clculo Numrico Jos Luis Quintero 49
xito.
Emerson
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