tema 05. series numéricas [v0.5]
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Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaProf. Miguel Walker Urena
Dpto. Matematica AplicadaMA-1002: Calculo 2
Ciclo 2-2014
Tema 5. Series Numericas[ version 0.5, compilado el 8/8/2014]
Contenidos
1 Introduccion a las series numericas 2
2 Criterios de convergencia 62.1 Series Geometricas y propiedades de las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Series Telescopicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Condicion necesaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Criterio de la integral y error de una suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 p-series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Comparacion directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Criterio del lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7.1 Aplicando Desarrollos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.9 Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.10 Criterios de la Razon y de la Raız . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10.1 La formula de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.11 Criterio de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Referencias 46
Tema 5. Series Numericas 2
1 Introduccion a las series numericas
Definicion 1.1 (Serie Numerica). Sea (an)n∈IN una sucesion real, entonces la Serie Numerica determino general “an” corresponde al lımite
S = limm→∞
m∑n=0
an
lo cual se suele denotar como
S =
+∞∑n=0
an
Tambien es una serie numerica+∞∑n=k
an = limm→∞
m∑n=k
an
Ademas, la suma parcial de la serie numerica S es la sucesion de sumatorias
Sm =
m∑n=0
an
que corresponde a la suma de los terminos an hasta el ındice n = m.En tal caso el resto o “cola” de la serie numerica S es
Rm = S − Sm =+∞∑
n=m+1
an
que corresponde a la diferencia entre el lımite S y la suma parcial Sm.
Ejemplo 1.1. La serie
S =
+∞∑n=0
2n
5n+1
es la serie de termino general an =2n
5n+1.
Definicion 1.2 (Convergencia de la serie). La serie numerica
S =
+∞∑n=k
an
es llamada serie numerica convergente si existe y es finito el lımite
limm→+∞
Sm = limm→+∞
m∑n=k
an
En tal caso el valor numerico del lımite anterior es llamado valor de convergencia o “suma de la serie”.Si el lımite es infinito o no existe, se dice entonces que la serie numerica S es divergente.En otras palabras, la serie numerica S es convergente si y solo si la sucesion Sm es convergente.
Tema 5. Series Numericas 3
Ejemplo 1.2. Considere la serie numerica
S =
+∞∑n=1
n = 1 + 2 + 3 + 4 + . . .
Note quem∑n=1
n = 1 + 2 + 3 + · · ·+m =m(m+ 1)
2
entonces
S = limm→+∞
m(m+ 1)
2= +∞
Por lo tanto la serie numerica S es divergente.
Ejemplo 1.3. Considere la serie numerica
S =
+∞∑n=0
(−1)n
en tal casoS0 = 1
S1 = 1− 1 = 0
S2 = 1− 1 + 1 = 1
S3 = 1− 1 + 1− 1 = 0
...
o sea que
Sm =
{1 si m es par
0 si m es impar
como la sucesion Sm es divergente, entonces S es una serie numerica divergente.
Ejemplo 1.4. Resuelva los siguientes ejercicios:
(a) Demuestre por induccion que
Sm =m∑n=1
1
2n= 1− 1
2m
(b) Determine la convergencia de la serie
S =
+∞∑n=1
1
2n
Solucion:
(a) Por induccion sobre m = 1, 2, . . .
m = 11∑
n=1
1
2n=
1
21=
1
2∧
[1− 1
2m
]m=1
= 1− 1
2=
1
2
(X)
Tema 5. Series Numericas 4
m→ m+ 1
La hipotesis de induccion y lo que hay que demostrar son de manera correspondiente:h.i : Sm =
m∑n=1
1
2n= 1− 1
2m
h.q.d : Sm+1 =
m+1∑n=1
1
2n= 1− 1
2m+1
Tenemos que
Sm+1 =m+1∑n=1
1
2n=
m∑n=1
1
2n+
1
2m+1
h.i= 1− 1
2m+
1
2m+1
luego
Sm+1 = 1− 1
2m·(
1− 1
2
)= 1− 1
2m· 1
2= 1− 1
2m+1
(X)
Se concluye por induccion matematica, que para todo natural m ≥ 1
m∑n=1
1
2n= 1− 1
2m
(b) Note que
S = limm→+∞
m∑n=1
1
2n= lim
m→+∞
[1− 1
2m
]= 1− 0 = 1
existe y es finito, por lo tanto la serie numerica S es convergente.
Ademas el valor de convergencia de la serie S es 1.�
Ejemplo 1.5 (Una serie numerica para e). Recordemos que la funcion ex tiene formula de Taylor
ex = 1 + x+x2
2!+ · · ·+ xm
m!+
eθxm+1
(m+ 1)!, θ ∈ V (0, x)
Tomando x = 1 y cambiando de lado el resto de la formula obtenemos
1 + 1 +1
2+
1
3!+ · · ·+ 1
m!= e− eθ
(m+ 1)!, θ ∈ V (0, 1) = [0, 1]
En otras palabras, tenemos que
Sm =m∑n=0
1
n!= e− eθ
(m+ 1)!, θ ∈ [0, 1]
es la suma parcial de la serie numerica
S =
+∞∑n=0
1
n!
Tema 5. Series Numericas 5
Luego
S = e− limm→+∞
eθ
(m+ 1)!, θ ∈ [0, 1]
Como θ ∈ [0, 1] =⇒ 0 ≤ limm→+∞
eθ
(m+ 1)!≤ lim
m→+∞
e
(m+ 1)!= 0, entonces
S = e− 0 = e
Ası tenemos una serie numerica convergente de lımite e:
+∞∑n=0
1
n!= e
Ejemplo 1.6 (Una serie numerica para π). Recordemos que la funcion arctan(x) tiene formula de Taylor
arctan(x) = x− x3
3+x5
5− · · ·+ (−1)m x2m+1
2m+ 1+
(−1)m+1 x2m+3
(2m+ 3)(1 + θ)m+2, θ ∈ V (0, x2)
Tomando x = 1 obtenemos la formula
1− 1
3+
1
5− · · ·+ (−1)m
2m+ 1= arctan(1)− (−1)m+1
(2m+ 3)(1 + θ)m+2, θ ∈ [0, 1]
O lo que es lo mismo
m∑n=0
(−1)n
2n+ 1=π
4− (−1)m+1
(2m+ 3)(1 + θ)m+2, θ ∈ [0, 1]
Entonces+∞∑n=0
(−1)n
2n+ 1=π
4− limm→+∞
(−1)m+1
(2m+ 3)(1 + θ)m+2, θ ∈ [0, 1]
Como θ ∈ [0, 1] =⇒ 1
1 + θ≤ 1 =⇒ ∀m ∈ IN,
1
(1 + θ)m+2≤ 1
Luego
0 ≤∣∣∣∣ (−1)m+1
(2m+ 3)(1 + θ)m+2
∣∣∣∣ =1
(2m+ 3)(1 + θ)m+2≤ 1
2m+ 3−−−−−→m→+∞
0
Por lo tanto+∞∑n=0
(−1)n
2n+ 1=π
4− 0 =
π
4
Al final tenemos la siguiente serie numerica convergente a π
+∞∑n=0
(−1)n4
2n+ 1= π
Tema 5. Series Numericas 6
2 Criterios de convergencia
2.1 Series Geometricas y propiedades de las series
Criterio 2.1 (Series Geometricas). Si r ∈ IR es una constante, entonces la serie numerica
S = 1 + r + r2 + r3 + · · ·+ rn + . . .
es llamada Serie Geometrica.Luego S es convergente si y solo si |r| < 1, o sea que S es divergente si y solo si |r| ≥ 1.Si |r| < 1, entonces
S =1
1− r
Nota 2.1. Para todo r ∈ IR \ {0, 1} se cumple que
m∑n=0
rn =1− rm+1
1− r
por lo tanto, para todo r 6= 0, 1
S =+∞∑n=0
rn = limm→+∞
1− rm+1
1− r=
1− 0
1− r, si |r| < 1
1−∞1− r
, si r > 1
@ , si r ≤ −1
Entonces
+∞∑n=0
rn =
1
1− r, si |r| < 1
+∞ , si r ≥ 1
@ , si r ≤ −1
Ademas r = 0 =⇒ 1 + r + r2 + · · ·+ rm + · · · = 1 =1
1 + 0.
Lo cual verifica el criterio 2.1
Ejemplo 2.1. La serie
S =+∞∑n=0
2n
5n
es una serie geometrica convergente, pues
S =+∞∑n=0
(2
5
)n∧ 2
5< 1
luego
S =1
1− 2/5=
5
3
Tema 5. Series Numericas 7
Ejemplo 2.2. La serie
S =+∞∑n=0
23n
5n
es una serie geometrica divergente, pues
S =+∞∑n=0
(23
5
)n=
+∞∑n=0
(8
5
)n∧ 8
5> 1
Teorema 2.1. Considere una sucesion real (an)n∈IN, en tal caso para toda constante k ∈ IN se cumpleque
+∞∑n=0
an es convergente ⇐⇒+∞∑n=k
an es convergente
o lo que es lo mismo+∞∑n=0
an es divergente ⇐⇒+∞∑n=k
an es divergente
Nota 2.2. El teorema anterior es justificado por la igualdad
m∑n=0
an =k−1∑n=0
an +m∑n=k
an
pues al aplicar lımites se obtiene
+∞∑n=0
an =
k−1∑n=0
an +
+∞∑n=k
an
Teorema 2.2 (Cambio de ındice). Para todo k, ` ∈ IN y dada una sucesion (an)n∈IN se cumple que
+∞∑n=k
an =+∞∑
n=k−`an+`
o lo que es lo mismo+∞∑n=k
an =+∞∑
n=k+`
an−`
Nota 2.3. Para todo r 6= 0, 1 y dado k > 0, se cumple que
m∑n=k
rn =m−k∑n=0
rn+k = rk ·m−k∑n=0
rn = rk · 1− rm−k+1
1− r=rk − rm+1
1− r
luego si |r| < 1, se cumple que+∞∑n=k
rn =rk
1− r
Tema 5. Series Numericas 8
Ejemplo 2.3. La serie numerica
S =+∞∑n=3
7n
52n
es serie geometrica convergente pues
S =+∞∑n=3
(7
25
)n∧ 7
25< 1
luego
S =
(7
25
)3
· 1
1− 7/25=
73
253· 25
18=
73
18 · 252=
343
11250
Nota 2.4 (Serie Geometrica Alternada). Si r > 0 entonces la serie numerica
S =+∞∑n=k
(−1)n rn
es llamada Serie Geometrica Alternada, en tal caso es convergente si y solo si r < 1 y divergentesi y solo si r ≥ 1.
Cuando |r| < 1 se cumplen las igualdades
+∞∑n=0
(−1)n rn =1
1 + r∧
+∞∑n=k
(−1)nrn =(−1)k rk
1 + r
Ejemplo 2.4. La serie numerica
S =+∞∑n=1
(−1)n · 2n
9n
es una serie geometrica alternada convergente pues 2/9 < 1, cumpliendose que
S =
+∞∑n=1
(−1)n ·(
2
9
)n= −2
9· 1
1 + 2/9= −2
9· 9
11= − 2
11
Teorema 2.3. Sean (an)n∈IN y (bn)n∈IN sucesiones reales y sea α ∈ IR.Si se cumple que
+∞∑n=0
an es convergente ∨+∞∑n=0
bn es convergente
entonces tenemos la igualdad
+∞∑n=0
[α · an + bn ] = α
+∞∑n=0
an +
+∞∑n=0
bn
Nota 2.5. Sean (an)n∈IN y (bn)n∈IN sucesiones reales y sea α ∈ IR.
Tema 5. Series Numericas 9
(a)+∞∑n=0
an es convergente ∧+∞∑n=0
bn es convergente =⇒+∞∑n=0
[αan + bn] es convergente
En tal caso+∞∑n=0
[αan + bn] = α
+∞∑n=0
an +
+∞∑n=0
bn
(b)+∞∑n=0
an es convergente ∧+∞∑n=0
bn es divergente =⇒+∞∑n=0
[αan + bn] es divergente
Ejemplo 2.5. Analice la convergencia de la serie
S =
+∞∑n=2
3 · 4n − 1
3n+2
Calcule la suma en caso de ser convergente.
Solucion: Note que
S =
+∞∑n=2
3 · 4n − 1
32 · 3n
=+∞∑n=2
[4n
3 · 3n− 1
9 · 3n
]
=1
3·+∞∑n=2
(4
3
)n− 1
9·+∞∑n=2
1
3n
que es la suma de una serie geometrica divergente y de una serie convergente, pues 4/3 > 1 y 1/3 < 1,Luego S es una serie numerica divergente. �
Ejemplo 2.6. Analice la convergencia de la serie
S =+∞∑n=3
2n−2 + (−1)n+1 + 6
5n+1
Calcule la suma en caso de ser convergente.
Solucion:Tenemos que
S =1
5·+∞∑n=3
[2n−2
5n+
(−1)n+1
5n+
6
5n
]
=1
5·
[1
22·+∞∑n=3
(2
5
)n−
+∞∑n=3
(−1)n
5n+ 6 ·
+∞∑n=3
1
5n
]
Tema 5. Series Numericas 10
es suma de series geometricas convergentes, pues 2/5 < 1 ∧ 1/5 < 1, luego
S =1
5·
[1
22·(
2
5
)3
· 1
1− 2/5− (−1)3
53· 1
1 + 1/5+ 6 · 1
53· 1
1− 1/5
]
=1
5·[
2
53· 5
3+
1
53· 5
6+ 6 · 1
53· 5
4
]=
1
53·[
2
3+
1
6+
3
2
]=
7
3 · 53�
Ejemplo 2.7. Halle una representacion fraccionaria del numero periodico
4.175 = 4.175175175 . . .
Solucion: Tenemos que
4.175 = 4 + 0.175 + 0.000 175 + 0.000 000 175 + . . .
= 4 +175
1000+
175
10002+
175
10003+ . . .
= 4 + 175 ·+∞∑n=1
1
1000n
= 4 + 175 · 1
1000· 1
1− 1/1000
= 4 +175
999
=4171
999�
Tema 5. Series Numericas 11
2.2 Series Telescopicas
Criterio 2.2 (Series Telescopicas). Si (bn)n=k, k+1, k+2, ... es una sucesion real, entonces la serie numerica
S =+∞∑n=k
[bn − bn+1
]es llamada Serie Telescopica.Luego S es convergente si y solo si existe y es finito el lımite
limm→∞
bm
Ademas se cumple que+∞∑n=k
[bn − bn+1
]= bk − lim
m→+∞bm
Nota 2.6. Si (bn)n=k, k+1, k+2, ... es una sucesion real, entonces para todo m ∈ IN se cumple que
m−1∑n=k
[bn − bn+1
]=[bk − bk+1
]+[bk+1 − bk+2
]+[bk+2 − bk+3
]+[bk+3 − bk+4
]+ . . .
· · ·+[bm−3 − bm−2
]+[bm−2 − bm−1
]+[bm−1 − bm
]= bk +
[− bk+1 + bk+1
]+[− bk+2 + bk+2
]+[− bk+3 + bk+3
]+ . . .
· · ·+[− bm−2 + bm−2
]+[− bm−1 + bm−1
]− bm
= bk + 0 + 0 + · · ·+ 0− bm= bk − bm
Note entonces que
m−1∑n=k
[bn − bn+1
]= bk − bm ∧
m−1∑n=k
[bn+1 − bn
]= bm − bk
Se concluye de lo anterior que, si b∞ = limm→+∞
bm entonces
+∞∑n=k
[bn − bn+1
]= bk − b∞ ∧
+∞∑n=k
[bn+1 − bn
]= b∞ − bk
Ejemplo 2.8. Determine la convergencia de la serie numerica
S =
+∞∑n=4
[1
n+ 3− 1
n+ 4
]En caso de ser convergente calcule la suma.
Solucion:Note que si
bn =1
n+ 3=⇒ bn+1 =
1
n+ 4
Tema 5. Series Numericas 12
por lo tanto S es una serie telescopica convergente pues
S =
+∞∑n=4
[bn − bn+1
]= b4 − b∞ =
1
n+ 3
∣∣∣∣n=4
− limm→+∞
1
m+ 3=
1
7− 0 =
1
7
�
Ejemplo 2.9. Determine la convergencia de la serie numerica
S =
+∞∑n=5
ln
[2n+ 5
2n+ 3
]En caso de ser convergente calcule la suma.
Solucion:Por propiedades de los logaritmos, tenemos que
S =
+∞∑n=5
[ln(2n+ 5)− ln(2n+ 3)
]Note que si
bn = ln(2n+ 3) =⇒ bn+1 = ln[2(n+ 1) + 3] = ln(2n+ 5)
por lo tanto S es una serie telescopica convergente pues
S =+∞∑n=4
[bn+1 − bn
]= b∞ − b5
= limm→+∞
ln(2m+ 3)− ln(2n+ 3)∣∣∣n=5
= +∞− ln(13)
= +∞
Entonces la serie es divergente. �
Tema 5. Series Numericas 13
2.3 Condicion necesaria
Criterio 2.3 (Criterio de la Condicion Necesaria). Sea (an)n∈IN una sucesion real, entonces:
+∞∑n=0
an es Convergente =⇒ an es Convergente ∧ limn→+∞
an = 0
O lo que es lo mismo:
an es Divergente ∨ limn→+∞
an 6= 0 =⇒+∞∑n=0
an es Divergente
Nota 2.7. El criterio de la condicion necesaria es un criterio de divergencia nada mas, es decir que nodetermina si una serie numerica es convergente.
Note entonces que si (an)n∈IN una sucesion real convergente, entonces
limn→+∞
an = 0 =⇒ No hay criterio para determinar la convergencia de
+∞∑n=0
an.
Nota 2.8 (Sobre la condicion de Cauchy). Dada (an)n∈IN una sucesion real, sean
S =
+∞∑n=0
an ∧ Sm =
m∑n=0
an
Tenemos que
S es convergente ⇐⇒ Sm es una sucesion convergente
⇐⇒ ∀p ∈ IN, limm→+∞
[Sm+p − Sm
]= 0 ( Cond. Cauchy )
⇐⇒ ∀p ∈ IN, limm→+∞
[am+1 + am+2 + · · ·+ am+p
]= 0
Como consecuencia se tiene que
S es convergente =⇒ limm→+∞
am+1 = limm→+∞
[Sm+1 − Sm
]= 0
=⇒ limn→+∞
an = 0
lo cual corresponde a la condicion necesaria.
Ejemplo 2.10. Determine la convergencia de la serie numerica
S =
+∞∑n=2
n sen (4/n)
Solucion:El coeficiente general de la serie numerica S corresponde a
an = n sen (4/n)
Tema 5. Series Numericas 14
entonceslim
n→+∞an = lim
n→+∞n sen (4/n)
= limx→0+
sen(4x)
x, siendo x = 1/n
= 4 · limx→0+
sen(4x)
4x
= 4 · 1= 4 6= 0
Se concluye entonces que S es divergente, pues no satisface la condicion necesaria. �
Ejemplo 2.11. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=0
ln
[n+ 2
n+ 3
]Solucion:
El coeficiente general de la serie numerica S corresponde a
an = ln
[n+ 2
n+ 3
]=⇒ lim
n→+∞an = lim
n→+∞ln
[n+ 2
n+ 3
]= ln
[lim
n→+∞
n+ 2
n+ 3
]= ln[1]
= 0
Luego el criterio de la condicion necesaria NO concluye nada! ( NO hay criterio ).Por otro lado note que S es una serie telescopica de manera tal que
S =
+∞∑n=0
[ln(n+ 2)− ln(n+ 3)
]= ln(0 + 2)− lim
m→+∞ln(m+ 2)
= −∞
En este caso tenemos que S es una serie numerica que SI satisface la condicion necesaria pero
S es divergente
�
Tema 5. Series Numericas 15
2.4 Criterio de la integral y error de una suma
Criterio 2.4 (Criterio de la Integral). Dado k ∈ IN, sea (an)n=k, k+1, k+2, ... una sucesion numerica realpositiva y decreciente y sea f : [k, +∞[→
[0,+∞
[una funcion continua y decreciente tal que ∀n ∈
{k, k + 1, k + 2, . . . }
S =+∞∑n=k
an ∧ f(n) = an
Entonces S es convergente si y solo si la integral
I =
∫ +∞
kf(x) dx
es una integral impropia de primera especie convergente.Se puede escribir que
+∞∑n=k
an ∼∫ +∞
kf(x) dx
para expresar que la serie S y la integral I tienen la misma naturaleza ( ambas convergen o ambasdivergen ).
Ademas tenemos que, para todo natural ` ≥ k
+∞∑n= `+1
an ≤∫ +∞
`f(x) dx ≤
+∞∑n= `
an
Luego se cumple que
0 ≤ Rm = S − Sm =
+∞∑n=m+1
an ≤∫ +∞
mf(x) dx
Ejemplo 2.12. Estudie la convergencia de la serie numerica
S =
+∞∑n=3
1
n[
ln5(2n)− 1]
Solucion: Tenemos que
f(x) =1
x[
ln5(2x)− 1] =⇒ ∀n ∈ IN, f(n) = an es el termino general de S
Tema 5. Series Numericas 16
Claramente f(x) es continua en [3,+∞[, pues x ≥ 3 > 0 y ln5(2x)− 1 = 0 ⇐⇒ x = e/2 < 3.Luego
I =
∫ +∞
3
dx
x[
ln5(2x)− 1]
=
∫ +∞
ln(6)
2du
u5 − 1, donde u = ln(2x) ⇐⇒ du =
dx
2x
∼∫ +∞
ln(6)
du
u5que es una p-integral convergente, pues p = 5 > 1
Se concluye que la integral I es convergente, entonces la serie numerica S es convergente por el criteriode la integral. �
Definicion 2.1 (Error de la suma). Considere una serie numerica
S =+∞∑n=k
an
y sea
Rm = S − Sm =+∞∑
n=m+1
an
el resto de la serie numerica, entonces el error cometido al calcular Sm corresponde al valor
ε = |Rm|
y expresa “cuanto dista” la suma parcial Sm del valor numerico de la serie numerica S cuando esta esconvergente.
Nota 2.9. Si (an)n=k, k+1, k+2, ... una sucesion numerica real positiva y decreciente y sea f : [k, +∞[→ IRuna funcion positiva, continua y decreciente tal que ∀n ∈ {k, k + 1, k + 2, . . . }
S =+∞∑n=k
an ∧ f(n) = an
Si S es convergente entonces el error ε cometido al calcular la suma parcial Sm cumple que
ε = |Rm| ≤∫ +∞
mf(x) dx
O sea que la integral nos proporciona una cota para el error.Tambien se cumple que
Sm +
∫ +∞
m+1f(x) dx ≤ S ≤ Sm +
∫ +∞
mf(x) dx
Teorema 2.4. Considere una serie numerica y su suma parcial respectivamente
S =+∞∑n=k
an ∧ Sm =m∑n=k
an, m ≥ k
y sea Rm = S − Sm el resto de la serie numerica S, entonces
S es Convergente ⇐⇒ limm→+∞
Rm = 0
Tema 5. Series Numericas 17
Nota 2.10. Dada la serie numerica y su respectiva suma parcial
S =
+∞∑n=k
an ∧ Sm =
m∑n=k
an, m ≥ k
si Rm = S − Sm es el resto de la serie numerica S, entonces
limm→+∞
Rm = limm→+∞
[S − Sm
]= S − lim
m→+∞Sm = S − S = 0
Ejemplo 2.13. Considere la serie numerica
S =+∞∑n=3
1
n4
Resolver los siguientes problemas
(a) Verifique que S es una serie numerica convergente.
(b) Halle una cota del error cometido al calcular S8.
(c) Aproxime el valor numerico de S, sumando los dos primeros terminos de la serie numerica y acoteel error cometido.
(d) ¿Cuantos terminos de la serie hay que sumar para que el error ε sea menor que 1/100 000?
Solucion:
(a) Es claro que 1/x4 es una funcion continua, positiva y decreciente en [3,+∞[.
Luego S es una serie numerica convergente por el criterio de la integral, pues
S ∼∫ +∞
3
dx
x4, que es una p-integral convergente (p = 4 > 1)
(b) El error cometido al calcular S8 corresponde a
ε8 = |R8| ≤∫ +∞
8
dx
x4
=−1
3x3
∣∣∣∣+∞8
= −0 +1
3 · 83
=1
1536≈ 0.000651
(c) La suma de los primeros dos terminos de S corresponde a
a3 + a4 = S4 =1
34+
1
44=
256 + 81
81 · 256=
337
20736≈ 0.016251929012346
Tema 5. Series Numericas 18
El error cometido corresponde a
ε4 = |R4| ≤∫ +∞
4
dx
x4
=−1
3x3
∣∣∣∣+∞4
= −0 +1
3 · 43
=1
192= 0.0052083
(d) Para que el error ε sea menor que 1/100 000 = 1/105, es suficiente que
ε = |Rm| ≤∫ +∞
m
dx
x4
=−1
3x3
∣∣∣∣+∞m
= −0 +1
3 ·m3
<1
105
entonces
3m3 > 105 ⇐⇒ m >3
√105
3≈ 32.18 ( Con ayuda de la calculadora )
Se concluye que S33 aproxima a S con un error menor que 1/105.
Como el ındice n de la serie comienza en n = 3, entonces es necesario sumar al menos 33− 2 = 31terminos de la serie.
Otra manera de estimar un valor para m es haciendo
3
√105
3= 102
3
√1
30< 100
3
√1
27=
100
3<
102
3= 34
entonces podemos tomar
m = 34 >
√105
3
de lo cual se sigue que con 34− 2 = 32 terminos el error es menor que 1/105.�
Tema 5. Series Numericas 19
2.5 p-series
Criterio 2.5 (p-series). Una serie numerica de la forma
S =+∞∑n=k
1
(n− n0)p
es llamada p-serie siempre que n0 < k.En tal caso
S Convergente ⇐⇒ p > 1
Note queS Divergente ⇐⇒ p ≤ 1
Ejemplo 2.14. La serie
S =
+∞∑n=1
1
n2
es una p-serie convergente, porque p = 2 > 1.
Nota 2.11.+∞∑n=1
1
n2=π2
6
Ejemplo 2.15. La serie
S =
+∞∑n=1
1
n
es una p-serie divergente, porque p = 1.
Nota 2.12 (Serie armonica). La p-serie divergente
S =+∞∑n=1
1
n
es llamada tambien serie armonica.Note que por el criterio integral
+∞∑n=1
1
n∼∫ +∞
1
dx
x= ln(x)
∣∣∣∣+∞1
= +∞
Ejemplo 2.16. Notando que 4 < 6, tenemos que la serie
S =+∞∑n=6
13√
(n− 4)5=
+∞∑n=6
1
(n− 4)5/3
es una p-serie Convergente, porque p = 5/3 > 1.
Tema 5. Series Numericas 20
Ejemplo 2.17. Notando que 4 < 6, tenemos que la serie
S =
+∞∑n=6
14√
(n− 4)3=
+∞∑n=6
1
(n− 4)3/4
es una p-serie Divergente, porque p = 3/4 < 1.
Ejemplo 2.18. Muestre que la siguiente serie es convergente,
S =
+∞∑n=6
2n+1 + n2 − 6n+ 9
2n(n− 3)2
y calcule su valor de convergencia con ayuda de la nota 2.11.
Solucion:Por el criterio de la integral, y luego tomando en cuenta que ∀α, 2x � nα ∧ x− 3 ∼ x
S ∼∫ +∞
6
2x+1 + x2 − 6x+ 9
2x(x− 3)2dx ∼
∫ +∞
6
2x
2x · x2dx
=
∫ +∞
6
dx
x2que es p-integral convergente
entonces S es Convergente por el criterio de la integral.Para el calculo tenemos que
S =+∞∑n=6
2n+1 + n2 − 6n+ 9
2n(n− 3)2
=+∞∑n=6
2n+1 + (n− 3)2
2n (n− 3)2
=
+∞∑n=6
[2n+1
2n (n− 3)2+
(n− 3)2
2n (n− 3)2
]
=
+∞∑n=6
[2
(n− 3)2+
1
2n
]
Tema 5. Series Numericas 21
entonces S es suma de una p-serie convergente y de una serie geometrica convergente:
S = 2
+∞∑n=6
1
(n− 3)2+
+∞∑n=6
1
2n
= 2+∞∑n=3
1
n2+
(1
2
)6
· 1
1− 1/2por cambio de ındice y suma geometrica
= 2 ·
[+∞∑n=1
1
n2−
2∑n=1
1
n2
]+
1
26· 2
= 2 ·[π2
6− 1− 1
4
]+
1
25por la nota 2.11
=π2
3− 5
2+
1
32
=π2
3− 79
32
�
Nota 2.13. A continuacion las sumas de algunas p-series convergentes
+∞∑n=1
1
n4=π4
90
+∞∑n=1
1
n6=
π6
945
Ejemplo 2.19.+∞∑n=1
1
(2n)4=
1
24·+∞∑n=1
1
n4=
1
16· π
4
90=
π4
1440
Ejemplo 2.20. Analice la convergencia de la serie numerica
S =
+∞∑n=0
1
(2n+ 1)2
Solucion: Note que
S =+∞∑n=1
1
22 · (n− 1/2)2=
1
4·+∞∑n=1
1
(n− 1/2)2
es una p-serie convergente pues p = 2 > 1. �
Nota 2.14. A continuacion las sumas de algunas p-series convergentes
+∞∑n=0
1
(2n+ 1)2=π2
8
+∞∑n=0
1
(2n+ 1)4=π4
96
+∞∑n=0
1
(2n+ 1)6=
π6
960
Tema 5. Series Numericas 22
Nota 2.15. Con ayuda del software wxMaxima podemos obtener la suma de una serie numerica.Por ejemplo, despues de cargar el paquete “simplify_sum” haciendo
[(%i1) load(simplify_sum);[(%o1) ”/usr/share/maxima/5.24.0/share/contrib/solve rec/simplify sum.mac”
El siguiente codigo calcula la suma de serie
+∞∑n=1
1
(2n+ 1)6:
[(%i2) sum( 1/(2*n+1)^6, n,0,inf );
simplify_sum(%);(%o2)
∞∑n=0
1
(2n+ 1)6
(%o3)π6
960
Tema 5. Series Numericas 23
2.6 Comparacion directa
Criterio 2.6 (Criterio de Comparacion Directa). Sean (an)n∈IN y (bn)n∈IN sucesiones reales positivas,entonces
(a) an ≤ bn ∧+∞∑n=0
bn es Convergente =⇒+∞∑n=0
an es Convergente
(b) an ≥ bn ∧+∞∑n=0
bn es Divergente =⇒+∞∑n=0
an es Divergente
En cualquier otro caso no hay criterio.
Teorema 2.5. Sean (an)n=k, k+1, ... y (bn)n=k, k+1, ... sucesiones reales, entonces
∀n ≥ 0, an ≤ bn =⇒+∞∑n=k
an ≤+∞∑n=k
bn
Nota 2.16. En el criterio 2.6 de comparacion directa tambien se puede escribir
(a)+∞∑n=k
an ≤+∞∑n=k
bn ∧+∞∑n=k
bn es Convergente =⇒+∞∑n=k
an Convergente
(b)+∞∑n=k
an ≥+∞∑n=k
bn ∧+∞∑n=k
bn es Divergente =⇒+∞∑n=k
an es Divergente
Siempre que an, bn ≥ 0, ∀n ≥ k ∈ IN.En cualquier otro caso no hay criterio.
Nota 2.17. Recordemos algunas desigualdades:
1. a ≤ b ⇐⇒ a+ x ≤ b+ x
2. ∀x > 0, a ≤ b =⇒ ax ≤ bx
3. ∀x > 0, a+ x > a ∧ a− x < a
4. a ≤ b ⇐⇒ 1
a≥ 1
b, siempre que a, b 6= 0
5. ∀x > 0 ∧ a > 0,1
a+ x<
1
a
6. ∀x > 0 ∧ a > x,1
a− x>
1
a
7. f(x)↗ ∧ a ≤ b =⇒ f(a) ≤ f(b)
8. f(x)↘ ∧ a ≤ b =⇒ f(a) ≥ f(b)
9. ∀u ∈ IR, ln(u) < u ⇐⇒ 1
ln(u)>
1
u
Tema 5. Series Numericas 24
Ejemplo 2.21. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=1
1
n2 + 6n+ 8
En caso de ser convergente calcule la suma.
Solucion:Note que
n2 + 6n+ 8 > n2 =⇒ 1
n2 + 6n+ 8<
1
n2
luego se tiene que
S =+∞∑n=1
1
n2 + 6n+ 8≤
+∞∑n=1
1
n2, que es una p-serie convergente ( p = 2 > 1 )
entonces S es una serie numerica convergente por el criterio de comparacion directa.Para calcular note que
1
n2 + 6n+ 8=
1
(n+ 2)(n+ 4)
=1
2· n+ 4− (n+ 2)
(n+ 2)(n+ 4)
=1
2·[
1
n+ 2− 1
n+ 4
]entonces
S =1
2
+∞∑n=1
[1
n+ 2− 1
n+ 4
]
=1
2
+∞∑n=1
[1
n+ 2− 1
n+ 3+
1
n+ 3− 1
n+ 4
]
=1
2
+∞∑n=1
[1
n+ 2− 1
n+ 3
]+
1
2
+∞∑n=1
[1
n+ 3− 1
n+ 4
]
que es una suma de series telescopicas convergentes, al final
S =1
2
[1
1 + 2− 1
+∞
]+
1
2
[1
1 + 3− 1
+∞
]=
1
6+
1
8
=7
24�
Ejemplo 2.22. Determine la convergencia de la serie numerica
S =
+∞∑n=5
13√n2 − 2
Tema 5. Series Numericas 25
Solucion:
S =
+∞∑n=5
13√n2 − 2
≥+∞∑n=5
13√n2
que es p-serie divergente ( p = 2/3 < 1 ).
Entonces S es divergente por comparacion directa. �
Ejemplo 2.23. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=5
arctan(5 + n)4√n6 + 2
√n
Solucion:Como arctan(5 + n) ≤ π/2 ∧ 4
√n6 + 2
√n >
4√n6
S =+∞∑n=5
arctan(5 + n)4√n6 + 2
√n≤ π
2·+∞∑n=5
14√n6
que es p-serie convergente ( p = 6/4 > 1 )
Entonces S es convergente por comparacion directa. �
Ejemplo 2.24. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=2
n+ 4√n ln(n)
Solucion:Recordemos que ln(n) < n siempre, entonces
S =
+∞∑n=2
n+ 4√n ln(n)
≥+∞∑n=2
n+ 4√n · n
≥+∞∑n=2
n√n · n
=
+∞∑n=2
1√n
+∞∑n=2
1√n
es una p-serie divergente ( p = 1/2 < 1 ), entonces S es divergente por comparacion directa.
�
Notas 2.18. Recordemos que, dadas dos sucesiones an, bn, n ∈ IN
1. Se dice que an y bn son equivalentes si y solo si
limx→+∞
anbn
= 1
se denota an ∼= bn
2. Si existe y es finito el lımite
limn→+∞
anbn
= α 6= 0
se escribe an ∼ bnlo cual se puede leer como que “an y bn son similares”.
Tema 5. Series Numericas 26
3. Se dice que an es “mas rapido” que bn o que bn es “mas lento” que an si y solo si
limn→+∞
anbn
= +∞ ⇐⇒ limn→+∞
bnan
= 0
se denota an � bn ⇐⇒ bn � an
4. ∀p > 0, ln(n)� np
5. Si p1 < p2, entonces np1 � np2
6. Para todo p ∈ IR y para todo r > 1 se cumple que np � rn � n!� nn
7. an � bn ⇐⇒1
an� 1
bn
Nota 2.19. Dados (an)n=k, k+1, ... y (bn)n=k, k+1, ... sucesiones reales
(a) Si ∀n ≥ k, an � bn entonces existe α > 0 tal que
an ≤ α · bn =⇒+∞∑n=k
an ≤ α ·+∞∑n=k
bn
(b) Si ∀n ≥ k, an � bn entonces existe α > 0 tal que
an ≥ α · bn =⇒+∞∑n=k
an ≥ α ·+∞∑n=k
bn
(c) Si ∀n ≥ k, an ∼ bn entonces existen α, β > 0 tal que
α · bn ≤ an ≤ β · bn =⇒ α ·+∞∑n=k
bn ≤+∞∑n=k
an ≤ β ·+∞∑n=k
bn
Ejemplo 2.25. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=3
n+ 4
n5 − 3
Solucion:Como n+ 4 > n ∧ n5 − 3 < n5 entonces
S =+∞∑n=3
n+ 4
n5 − 3≥
+∞∑n=3
n
n5=
+∞∑n=3
1
n4
Como
+∞∑n=3
1
n4es una p-serie convergente NO hay criterio para una comparacion directa.
Por otro lado note quen+ 4
n5 − 3∼=
1
n4=⇒ ∃ α, n+ 4
n5 − 3< α · 1
n4
Tema 5. Series Numericas 27
En este caso puede ser α = 3, podemos demostrar que
n+ 4
n5 − 3<
3
n4
Al final
S =
+∞∑n=3
n+ 4
n5 − 3≤ 3 ·
+∞∑n=3
1
n4
Como
+∞∑n=3
1
n4es una p-serie convergente entonces S es convergente por el Criterio de Comparacion
Directa. �
Tema 5. Series Numericas 28
2.7 Criterio del lımite
Criterio 2.7 (Criterio del Lımite). Sean (an)n=k, k+1, ... y (bn)n=k, k+1, ... sucesiones reales positivas, talesque
L = limn→+∞
anbn
(a) ∃L 6= 0 y es finito =⇒+∞∑n=k
an ∧+∞∑n=k
bn tienen el mismo comportamiento
( Ambas convergen o ambas divergen )
se denota+∞∑n=k
an ∼+∞∑n=k
bn
(b) L = 0 ∧+∞∑n=k
bn es Convergente =⇒+∞∑n=k
bn es Convergente
(c) L = +∞ ∧+∞∑n=k
bn es Divergente =⇒+∞∑n=k
an es Divergente
En cualquier otro caso no hay criterio.
Nota 2.20. Otra manera de escribir el criterio 2.7 del lımite es la siguiente
(a) an ∼ bn =⇒+∞∑n=k
an ∼+∞∑n=k
bn
(b) an � bn ∧+∞∑n=k
bn es Convergente =⇒+∞∑n=k
bn es Convergente
(c) an � bn ∧+∞∑n=k
bn es Divergente =⇒+∞∑n=k
an es Divergente
Ejemplo 2.26. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=3
n+ 4
n5 − 3
Solucion:Tomemos las sucesiones
an =n+ 4
n5 − 3∧ bn =
1
n4
entonces
limn→+∞
anbn
= limn→+∞
n+ 4
n5 − 3· n4 = lim
n→+∞
n5 + 4n4
n5 − 3= 1 6= 0
Entonces por el criterio del lımite
S ∼+∞∑n=3
1
n4que es una p-serie convergente, pues p = 4 > 1.
Se concluye que S es convergente. �
Tema 5. Series Numericas 29
Nota 2.21. Si cuando n→ +∞
an � bn =⇒ α · an + β · bn ∼ bn
siempre que β 6= 0, pues
α · an + β · bnbn
= α · anbn
+ β −−−−−→n→+∞
0 + β = β 6= 0
Nota 2.22. Sean (an)n=k, k+1, ... sucesion real tal que
an =P (n) · h(n)
Q(n)
donde P,Q son expresiones radicales con grados
Grado[P (n)] = p1 ∧ Grado[Q(n)] = p2
mientras que h(n) es una expresion no radical ( log, sen, arctan, . . . ).Se sugiere tomar
bn =np1
np2=
1
np2−p1
Al analizar el lımite se obtiene
L = limn→+∞
anbn
= limn→+∞
P (n) · h(n)
Q(n)· 1
bn= α · lim
n→+∞h(n)
donde
α = limn→+∞
P (n)/Q(n)
bn6= 0, pues
P (n)
Q(n)∼ bn
Nota 2.23. Recuerde que
p1 < p2 =⇒ np1 � np2 cuando n→ +∞
Ejemplo 2.27. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=2
√2n3 − 1 + n+ 2
5n4 − 3n
Solucion:Note que
an =
√2n3 − 1 + n+ 2
5n4 − 3n∼√n3
n4=
1
n4−3/2=
1
n5/2
Entonces
bn =1
n5/2=⇒ lim
n→+∞
anbn
=
√2
56= 0
Por el criterio del lımite
S ∼+∞∑n=2
1
n5/2que es p-serie convergente, pues p = 5/2 > 1.
Luego S es una serie numerica convergente. �
Tema 5. Series Numericas 30
Ejemplo 2.28. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=0
√4n+ 3
n+ 3√n2 − 1
Solucion:Note que
an =
√4n+ 3
n+ 3√n2 − 1
∼ n1/2
n=
1
n1/2
Entonces
bn =1
n1/2=⇒ lim
n→+∞
anbn
=√
4 = 2 6= 0
Por el criterio del lımite
S =+∞∑n=0
√4n+ 3
n+ 3√n2 − 1
∼+∞∑n=1
√4n+ 3
n+ 3√n2 − 1
∼+∞∑n=1
1
n1/2que es p-serie divergente, pues p = 1/2 < 1.
Luego S es una serie numerica divergente. �
Nota 2.24. Para todo p ∈ IR
1 ≤ α < β =⇒ np � αn � βn cuando n→ +∞
Ejemplo 2.29. En caso de ser convergente, calcule el valor numerico de la serie numerica
S =+∞∑n=2
3n+1 + n2 + n− 2
3n (n2 + n− 2)
Solucion:Note que
an =3n+1 + n2 + n− 2
3n (n2 + n− 2)∼ 3n
3n · n2=
1
n2
Entonces
bn =1
n2=⇒ lim
n→+∞
anbn
= limn→+∞
3n+1 n2 + n4 + n3 − 2n2
3n (n2 + n− 2)= 3 6= 0
Por el criterio del lımite
S ∼+∞∑n=2
1
n2que es p-serie convergente, pues p = 2 > 1.
Luego S es una serie numerica convergente.Notemos ahora que
3n+1 + n2 + n− 2
3n (n2 + n− 2)=
3n+1
3n (n2 + n− 2)+
n2 + n− 2
3n (n2 + n− 2)
=3
(n− 1)(n+ 2)+
1
3n
Tema 5. Series Numericas 31
Note que
S1 =+∞∑n=2
3
(n− 1)(n+ 2)∼
+∞∑n=2
1
n2∧ S2 =
+∞∑n=2
1
3n=
1
9· 1
1− 1/3=
1
6
son series convergentes por criterio del lımite y geometrica respectivamente, entonces S = S1 + S2.Tenemos que S1 es combinacion de sumas telescopicas convergentes
S1 =+∞∑n=2
[1
n− 1− 1
n+ 2
]
=+∞∑n=2
[1
n− 1− 1
n+
1
n− 1
n+ 1+
1
n+ 1− 1
n+ 2
]
=+∞∑n=2
[1
n− 1− 1
n
]+
+∞∑n=2
[1
n− 1
n+ 1
]+
+∞∑n=2
[1
n+ 1− 1
n+ 2
]=
[1
2− 1− 1
+∞
]+
[1
2− 1
+∞
]+
[1
2 + 1− 1
+∞
]= 1 +
1
2+
1
3
=11
6
Finalmente
S =11
6+
1
6= 2
�
Ejemplo 2.30. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=0
arctan(3n)
n2 − 5
Solucion:Sean
an =arctan(3n)
n2 − 5∧ bn =
1
n2
Entonces
limn→+∞
anbn
= limn→+∞
n2 arctan(3n)
n2 − 5= 1 · arctan(+∞) =
π
26= 0
Por el criterio del lımite
S ∼+∞∑n=1
arctan(3n)
n2 − 5∼
+∞∑n=1
1
n2que es p-serie convergente, pues p = 2 > 1.
Entonces S es convergente. �
Ejemplo 2.31. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=0
n+ 3√n4 + 2n − 1
6n3 +√
5n+ 7n· ln[n+ 1
n+ 3
]
Tema 5. Series Numericas 32
Solucion:Note que
an =n+ 3√n4 + 2n − 1
6n3 +√
5n+ 7n∼=
3√
2n√7n
=
(3√
2√7
)n=
(6
√4
73
)nEntonces
bn =
(6
√4
73
)n=⇒ lim
n→+∞
anbn
= 1 · limn→+∞
ln
[n+ 1
n+ 3
]= 1 · 0 = 0
Como 6
√473< 1, entonces la serie
+∞∑n=0
(6
√4
73
)nes una serie geometrica convergente.
Luego S es convergente por el criterio del lımite. �
Ejemplo 2.32. Determine la convergencia de la serie numerica
S =
+∞∑n=0
√n · ln(2 + n)
n+ 5
Solucion:Note que
an =
√n
n+ 5∼=√n
n=
1
n1/2
Entonces
bn =1
n1/2=⇒ lim
n→+∞
anbn
= limn→+∞
ln(2 + n) = +∞
Como p = 1/2 < 1 entonces+∞∑n=1
1
n1/2es p-serie divergente.
Luego
S ∼+∞∑n=1
√n · ln(2 + n)
n+ 5es serie divergente por el Criterio del Limite.
Ası S es una serie numerica divergente. �
Ejemplo 2.33. Determine la convergencia de la serie numerica
S =
+∞∑n=2
ln(2 + n)
n2
Solucion:Si tomamos
an =ln(2 + n)
n2∧ bn =
1
n2=⇒ lim
n→+∞
anbn
= limn→+∞
ln(2 + n) = +∞
Tema 5. Series Numericas 33
Como p = 2 > 1 entonces
+∞∑n=2
1
n2es p-serie convergente =⇒ El Criterio del Lımite NO se puede aplicar!
Por otro lado, tenemos que por el criterio integral
S =+∞∑n=2
ln(2 + n)
n2∼∫ +∞
2
ln(2 + x)
x2dx = I
Si hacemos u = ln(2 + x) =⇒ x = eu − 2 ∧ dx = eu du, entonces
I =
∫ +∞
ln(4)
u eu du
(eu − 2)2
Note queu eu
(eu − 2)2∼=
u eu
(eu)2=
u
eu=⇒ I ∼
∫ +∞
ln(4)
u
eudu
Note que ∀a > 1, u� au, en particular u < 2u para todo u ≥ ln(4).Tenemos ası que ∫ +∞
ln(4)
u du
eu≤∫ +∞
ln(4)
2u du
eu=
∫ +∞
ln(4)
(2
e
)udu
que es una integral impropia exponencial convergente, pues 2e < 1.
Entonces
∫ +∞
ln(4)
u
eudu converge por el criterio de comparacion directa para integrales impropias.
Finalmente I es convergente =⇒ S es serie convergente. �
Ejemplo 2.34. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=0
√n
n+ 5· ln[n+ 3
n+ 1
]Solucion:
Note que
an =
√n
n+ 5∼=√n
n=
1
n1/2
Entonces
bn =1
n1/2=⇒ lim
n→+∞
anbn
= limn→+∞
ln
[n+ 3
n+ 1
]= ln(1) = 0
Como 1/2 < 1 entonces
+∞∑n=0
1
n1/2es p-serie divergente =⇒ El Criterio del Lımite NO se puede aplicar!
“ Ver la solucion final en el Ejemplo 2.36. ”
�
Tema 5. Series Numericas 34
2.7.1 Aplicando Desarrollos Generalizados
Notas 2.25 (Sobre Desarrollos Generalizados).
1. Recordemos que
f(x) = O[g(x)] cuando x→ a ⇐⇒ limx→a
f(x)
g(x)= 0
Por defecto a = 0, ademas de que a puede cambiarse por a+, a−,+∞ o −∞.
2. En el caso de sucesiones vamos a decir que
an = O(bn) ⇐⇒ limn→+∞
anbn
= 0
3. Si f(x) = P (x) +O(xα) para algun α ∈ IR+ es un desarrollo generalizado, entonces para la sucesionan = f(1/n), n ∈ IN satisface
an = f(1/n) = P (1/n) + O(1/nα)
En general, si ρ(n) converge a 0 cuando n → +∞ y si |ρ(n)| decreciente para n suficientementegrande, entonces
f [ρ(n)] = P [ρ(n)] + O[ρ(n)α]
Ejemplo 2.35. Considere la sucesion
an = arctan
[3n+ 4
3n+ 1− 1
]Note que
an = arctan
[3n+ 4− 3n− 1
3n+ 1
]= arctan
[3
3n+ 1
]Recordemos el desarrollo limitado
arctan(x) = x− x3
3+ O(x5)
Como x =3
3n+ 1↘ 0 cuando n→ +∞ entonces
an =3
3n+ 1− 1
3
[3
3n+ 1
]3+ O
[33
(3n+ 1)3
]=
3
3n+ 1− 9
(3n+ 1)3+ O
[1
(3n+ 1)3
]Nota 2.26.
1. Recuerde que an ∼ bn ⇐⇒ Existe limn→+∞
anbn6= 0 y es finito.
2. Recuerde tambien que por el criterio del lımite
an, bn > 0 ∧ an ∼ bn =⇒+∞∑n=0
an ∼+∞∑n=0
bn
Tema 5. Series Numericas 35
3. Si an = bn + O(bn) =⇒ an ∼= bn =⇒ an ∼ bn.
4. Si an > 0 y an = bn + O(bn), entonces
+∞∑n=0
an ∼+∞∑n=0
bn
Como consecuencia del criterio del lımite.
5. Si an ∼ bn =⇒ un · an ∼ un · bn.
6. Si an ∼ bn y siG(x) es una aplicacion monotona y definida en el rango de an, entoncesG(an) ∼ G(bn).
Ejemplo 2.36 (Ver ejemplo 2.34). Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=0
√n
n+ 5· ln[n+ 3
n+ 1
]Solucion:
Note que
ln
[n+ 3
n+ 1
]= ln
[n+ 1 + 2
n+ 1
]= ln
[1 +
2
n+ 1
]Recordemos que ln(1 + x) = x+ O(x), luego
x =2
n+ 1
decreciente−−−−−−−→n→+∞
0 =⇒ ln
[n+ 3
n+ 1
]= ln
[1 +
2
n+ 1
]=
2
n+ 1+ O
[2
n+ 1
]Luego √
n
n+ 5· ln[n+ 3
n+ 1
]∼=√n
n+ 5· 2
n+ 1∼ n1/2
n2=
1
n3/2
Entonces
S ∼+∞∑n=1
√n
n+ 5· ln[n+ 3
n+ 1
]∼
+∞∑n=1
1
n3/2que es p-serie convergente ( p = 3/2 > 1 ).
�
Ejemplo 2.37. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=2
13√n· sen3
[1√n+ 1
]Solucion:
Como sen(x) = x+ O(x) y x = 1/√n+ 1→ 0 cuando n→ +∞, entonces
sen
[1√n+ 1
]=
1√n+ 1
+ O
[1√n+ 1
]Por lo tanto
S ∼+∞∑n=2
13√n·[
1√n+ 1
]3∼
+∞∑n=2
1
n1/3 · n3/2=
+∞∑n=2
1
n11/6
que es una p-serie convergente, pues p = 11/6 > 1, luego S es convergente por el criterio del lımite.�
Tema 5. Series Numericas 36
Ejemplo 2.38. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=4
1− cos(1/n)
3n− 2
Solucion:
Recordemos que cos(x) = 1− x2
2+ O(x2), como x = 1/n→ 0 cuando n→ +∞
1− cos(1/n) =1
2n2+ O(1/n2) =⇒ S ∼
+∞∑n=4
1/(2n2)
3n− 2=
+∞∑n=4
1
6n3 − 4n2∼
+∞∑n=4
1
n3
que es una p-serie convergente ( p = 3 > 1 ), entonces S converge por el Criterio del lımite.�
Ejemplo 2.39. Determine la convergencia de la serie numerica
S =
+∞∑n=0
arctan
[1
n2 + 9n+ 21
]Calcule en caso de convergencia.
Solucion:Recordemos que arctan(x) = x+ O(x), entonces
arctan
[1
n2 + 9n+ 21
]=
1
n2 + 9n+ 21+ O
[1
n2 + 9n+ 21
]Entonces
S ∼+∞∑n=0
1
n2 + 9n+ 21∼
+∞∑n=1
1
n2que es p-serie convergente ( p = 2 > 1 ).
Entonces S es una serie numerica convergente.Para el calculo notemos primero que
arctan
[1
n2 + 9n+ 21
]= arctan
[1
1 + n2 + 9n+ 20
]= arctan
[1
1 + (n+ 4)(n+ 5)
]= arctan
[(n+ 5)− (n+ 4)
1 + (n+ 4)(n+ 5)
]
Recordemos que
tan(a− b) =tan(a)− tan(b)
1 + tan(a) tan(b)
Entonces si tomamos tan(a) = (n+ 5) y tan(b) = (n+ 4) obtenemos que
(n+ 5)− (n+ 4)
1 + (n+ 4)(n+ 5)= tan(a− b) = tan
[arctan(n+ 5)− arctan(n+ 4)
]
Tema 5. Series Numericas 37
Por lo tanto
arctan
[1
n2 + 9n+ 21
]= arctan(n+ 5)− arctan(n+ 4)
Finalmente vemos que S es una serie telescopica
S =
+∞∑n=0
[arctan(n+ 5)− arctan(n+ 4)
]= arctan(+∞)− arctan(0 + 4)
=π
2+ arctan(4)
�
Nota 2.27. Para todo α, β ∈ IR se cumple la igualdad
arctan
[β − α
1 + α · β
]= arctan(β)− arctan(α)
Tema 5. Series Numericas 38
2.8 Convergencia absoluta
Criterio 2.8 (Convergencia Absoluta). Sea (an)n=k, k+1, ... una sucesion real y sean
S =+∞∑n=k
an ∧ A =+∞∑n=k
|an|
si la serie numerica A es Convergente, entonces S es Convergente.En tal caso se dice que S converge absolutamente.Si S es Convergente y A es Divergente, entonces se dice que S converge condicionalmente.
Ejemplo 2.40. Analice la convergencia de la serie
S =+∞∑n=0
cos(nπ/4)√n3 + 2
Solucion:Tenemos que, como | cos(u)| ≤ 1 siempre
A =
+∞∑n=1
∣∣∣∣cos(nπ/4)√n3 + 2
∣∣∣∣ =
+∞∑n=1
| cos(nπ/4)|√n3 + 2
≤+∞∑n=1
1√n3 + 2
≤+∞∑n=1
1√n3
+∞∑n=1
1√n3
es una p-serie convergente, pues p = 3/2 > 1, entonces A es convergente por el criterio de
Comparacion Directa.
Como A es convergente, entonces S ∼+∞∑n=1
cos(nπ/4)√n3 + 2
es una serie absolutamente convergente.
∴ S es convergente�
Tema 5. Series Numericas 39
2.9 Series Alternadas
Criterio 2.9 (Serie numerica alternada). sea (an)n∈IN una sucesion numerica real positiva y sea
S =
+∞∑n=0
(−1)n an = a0 − a1 + a2 − a3 + . . .
La serie numerica S es llamada Serie Numerica Alternada, y es convergente si se cumplen lassiguientes dos condiciones.
(a) limn→+∞
an = 0
(b) La sucesion an es decreciente.
Este criterio es llamado criterio de las series alternadas o Criterio de Leibniz.Ademas se cumple que
ε = |Rm| ≤ am+1
donde Rm = S − Sm =
+∞∑n=m+1
(−1)nan es la cola de la serie y ε el error cometido al calcular Sm.
Ejemplo 2.41. Considere la serie numerica
S =
+∞∑n=2
(−1)n
n
Resuelva los siguientes problemas:
(a) Verifique que la serie numerica S converge condicionalmente.
(b) Aproxime el valor numerico de S sumando los 3 primeros terminos de la serie y halle una cota delerror cometido.
(c) ¿Cuantos terminos de la serie hay que sumar para que el error ε sea menor que 1/100?
Solucion:
(a) S es una serie numerica alternada convergente, pues
limn→+∞
1
n= 0 ∧ 1
n↘
Note ademas que+∞∑n=2
∣∣∣∣(−1)n
n
∣∣∣∣ =
+∞∑n=2
1
nes p-serie divergente ( p = 1 )
Entonces S converge condicionalmente.
(b) Sumar tres terminos significa sumar los terminos de ındice 2, 3 y 4:
S ≈ S4 =
4∑n=2
(−1)n
n=
1
2− 1
3+
1
4=
5
12= 0.416
Usando el criterio de las series alternadas con an = 1/n, el error cometido corresponde a
ε4 = |R4| ≤ a5 =1
5= 0.2
Tema 5. Series Numericas 40
(c) Para que el error ε sea menor que 1/100, es suficiente que
ε = |Rm| =1
m+ 1≤ 1
100⇐⇒ m+ 1 > 100 ⇐⇒ m > 99
entonces S100 nos garantiza un error menor que 1/100.
Como el ındice de la serie comienza en n = 2, hay que sumar 100 − 1 = 99 terminos de la sumaparcial.
�
Nota 2.28. La serie numerica
S =
+∞∑n=1
(−1)n
n
es llamada serie armonica alternada y es convergente condicionalmente, ademas
+∞∑n=1
(−1)n
n= − ln(2)
Esto pues como
ln(1 + x) =
m+1∑n=1
(−1)n+1 xn
n+
(−1)m+1xm+2
(m+ 2)(1 + θ)m+2, θ ∈ V (0, x)
ln(2) = −m+1∑n=1
(−1)n
n+
(−1)m+1
(m+ 2)(1 + θ)m+2, θ ∈ V (0, 1) = [0, 1]
entonces+∞∑n=1
(−1)n
n= − ln(2) + lim
m→+∞
(−1)m+1
(m+ 2)(1 + θ)m+2, θ ∈ [0, 1]
Como1
1 + θ< 1 =⇒ lim
m→+∞
∣∣∣∣ (−1)m+1
(m+ 2)(1 + θ)m+2
∣∣∣∣ ≤ limm→+∞
1
m+ 2= 0
=⇒+∞∑n=1
(−1)n
n= − ln(2)
En el ultimo ejemplo tenemos la serie
+∞∑n=2
(−1)n
n=
+∞∑n=1
(−1)n
n+ 1
= − ln(2) + 1
≈ 0.30685
Nota 2.29 (p-series alternadas). En general las series alternadas de la forma
+∞∑n=1
(−1)n
np
son convergentes siempre que p > 0.
Tema 5. Series Numericas 41
Notas 2.30. A continuacion las sumas de algunas p-series alternadas
+∞∑n=1
(−1)n+1
n2=π2
12
+∞∑n=1
(−1)n+1
n4=
7π4
720
+∞∑n=1
(−1)n+1
n6=
31π6
30 240
Ejemplo 2.42. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=2
(−1)n sen(1/n)
Solucion:S es una serie convergente, pues ∀n ≥ 2, sen(1/n) > 0.Tenemos que
limn→+∞
sen(1/n) = sen(0) = 0
Ademas
[sen(1/x)]′ = − 1
x2· cos(1/x) < 0, ∀x ≥ 2 =⇒ ∀x ≥ 2, sen(1/x)↘
Luego la sucesion sen(1/n)↘ 0, entonces S es una serie alternada convergente. �
Ejemplo 2.43. Determine la convergencia de la serie numerica
S =+∞∑n=2
(−1)n+1 arctan(1/n)
5 + 3√n2 + 4
Solucion:S es una serie convergente, pues
arctan(1/n)
5 + 3√n2 + 4
> 0
Tenemos que
limn→+∞
arctan(1/n)
5 + 3√n2 + 4
=arctan(0+)
+∞= 0+
Ademas
arctan(n)↗ ∧ 1
n↘ =⇒ arctan(1/n)↘
Adicionalmente 5 + 3√n2 + 4↗ , entonces an ↘ por ser producto de sucesiones decrecientes.
Se concluye que S es una serie alternada convergente. �
Tema 5. Series Numericas 42
2.10 Criterios de la Razon y de la Raız
Criterio 2.10. Sea (an)n=k, k+1, k+2, ... una sucesion real y sean
S =+∞∑n=k
an
entonces
(a) Criterio de D’Alambert: Tambien llamado “criterio de la razon”, establece que si
L = limn→+∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣entonces
i. L < 1 =⇒ S es Convergente Absolutamente
ii. L > 1 =⇒ S es Divergente
iii. NO hay criterio si L = 1
(b) Criterio de Cauchy: Tambien llamado “criterio de la raız”, establece que si
L = limn→+∞
n√|an|
entonces
i. L < 1 =⇒ S es Convergente Absolutamente
ii. L > 1 =⇒ S es Divergente
iii. NO hay criterio si L = 1
Ejemplo 2.44. Analice la convergencia de la serie
S =+∞∑n=2
3n
(n+ 1)!
Solucion:
an =3n
(n+ 1)!=⇒ an+1
an=
3n+1
(n+ 2)!· (n+ 1)!
3n
=3 (n+ 1)!
(n+ 2)(n+ 1)!
=3
n+ 2−−−−−→n→+∞
0 < 1
entonces S es una serie convergente por en criterio de la razon. �
Nota 2.31. Notemos que ∀α 6= 0 y ∀k ∈ IR
limn→+∞
[1 +
α
n
]n= eα ∧ lim
n→+∞n√αn+ k = 1
Tema 5. Series Numericas 43
Ejemplo 2.45. Analice la convergencia de la serie
S =
+∞∑n=2
(1 +
1
n
)−n2
Solucion:
an =
(1 +
1
n
)−n2
=⇒ n√an =
(1 +
1
n
)−n→ e−1 < 1
entonces S es una serie convergente por en criterio de la raız. �
Ejemplo 2.46. Analice la convergencia de la serie
S =+∞∑n=2
(2n)!
3n (n!)2
Solucion:
an =(2n)!
3n (n!)2=⇒ an+1
an=
(2n+ 2)!
3n+1 [(n+ 1)!]2· 3n (n!)2
(2n)!
=(2n+ 2)(2n+ 1)(2n)! · (n!)2
3 (n+ 1)2 (n!)2(2n)!
=1
3· 4n2 + 6n+ 2
n2 + 2n+ 1−−−−−→n→+∞
4
3> 1
entonces S es una serie divergente por en criterio de la razon. �
2.10.1 La formula de Stirling
Teorema 2.6 (Formula de Stirling). Cuando n→ +∞
n! ∼=(ne
)n √2π n
Es decir que
limn→+∞
n!
(n/e)n√
2π n= 1
En tal caso, si an = G(n, n!) es una sucesion positiva ( no nula ) entonces
+∞∑n=0
G(n, n!) ∼+∞∑n=0
G[n,(ne
)n √2π n
]Ejemplo 2.47. Use la formula de Stirling para analizar la convergencia de la serie
S =+∞∑n=2
nn
n! · 5n
Tema 5. Series Numericas 44
Solucion:Usando la formula de Stirling, tenemos que
S =+∞∑n=2
nn
n! · 5n∼
+∞∑n=2
nn
(n/e)n√
2π n · 5n=
+∞∑n=2
(e5
)n· 1√
2π n
Tenemos que
n
√(e5
)n· 1√
2π n=e
5· 1√
n√
2π n→ e
5· 1√
1=e
5< 1
Entonces por aplicacion de la formula de Stirling y el criterio de la raız, S es convergente. �
Ejemplo 2.48. Use la formula de Stirling para analizar la convergencia de la serie
S =+∞∑n=2
(2n)!
3n (n!)2
Solucion:Usando la formula de Stirling, tenemos que
n! ∼=(ne
)n √2π n ∧ (2n)! ∼=
(2n
e
)2n √4π n
Luego
S =+∞∑n=2
(2n)!
3n (n!)2
∼+∞∑n=2
(2n
e
)2n √4π n · 1
3n ·[(n/e)n
√2π n
]2=
+∞∑n=2
(2n
e
)2n
·√
4π n · 1
3n·( en
)2n· 1
2π n
=
+∞∑n=2
(4
3
)n· 2√π n
2π n
=
+∞∑n=2
(4
3
)n· 1√
π n
Finalmente, como
n
√(4
3
)n· 1√
π n=
4
3· 1√
n√π n−−−−−→n→+∞
4
3· 1√
1=
4
3> 1
Entonces por aplicacion de la formula de Stirling y el criterio de la raız, S es divergente. �
Tema 5. Series Numericas 45
2.11 Criterio de Raabe
Criterio 2.11 (Criterio de la Raabe). Sea (an)n=k, k+1, ... una sucesion real y sea
S =+∞∑n=k
an ∧ L = limn→+∞
n ·(
1−∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ )entonces
(a) L > 1 =⇒ S es Convergente Absolutamente
(b) L < 1 =⇒ S es Divergente
(c) NO hay criterio si L = 1
Nota 2.32 (El doble Factorial). Para todo n ∈ IN se define el doble factorial de n como
n!! =
{1 , si n ≤ 1
(n− 2)!! · n , si n > 1
En tal caso
n!! =
{1 · 3 · 5 · 7 · . . . (2k − 1) · (2k + 1) , si n = 2k + 1
1 · 2 · 4 · 6 · . . . (2k − 2) · (2k) , si n = 2k
Ejemplo 2.49. Analice la convergencia de la serie
S =+∞∑n=1
(2n− 1)!!
2n · n!
Solucion:
an =(2n− 1)!!
2n · n!=⇒ an+1
an=
(2n+ 1)!!
2n+1 · (n+ 1)!· 2n · n!
(2n− 1)!!
=3 · 5 · . . . (2n− 1) · (2n+ 1)
2 · (n+ 1) · n!· n!
3 · 5 · . . . (2n− 1)
=2n+ 1
2 · (n+ 1)→ 1
entonces el criterio de la razon NO concluye nada.Consideremos entonces el criterio de Raabe
limn→+∞
n ·(
1− an+1
an
)= lim
n→+∞n ·(
1− 2n+ 1
2 · (n+ 1)
)= lim
n→+∞n ·(
2n+ 2− (2n+ 1)
2 · (n+ 1)
)=
1
2· limn→+∞
n
n+ 1
=1
2< 1
entonces S es una serie divergente por en criterio de Raabe. �
Tema 5. Series Numericas 46
Referencias
[1] Pisa Volio E., Introduccion al Analisis real en una variable, Editorial de la Universidad de CostaRica, Costa Rica, 2003
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[3] Duarte A. & Cambronero S., Construccion de conjuntos Numericos, 2007
[4] Duarte A. & Cambronero S., Complementos de Calculo, 2011
[5] Ugalde W. J., MA0350 Calculo en una Variable II, 2011
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[7] Spivak M., Calculo Infinitesimal, Editorial Reverte, 1988
[8] Apostol T.M., Analisis Matematico, Editorial Reverte, Mexico, 1982
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[14] Spiegel M. R., Manual de formulas y tablas matematicas, Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1970
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