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1
Tema 4. ESTÁTICAFísica, J.W. Kane, M. M. Sternheim, Reverté, 1989
Tema 4 Estática Caps. 4 y 8Estática Cap. 4, pp 70-88Propiedades elásticas Cap. 8, pp 183-195
TS 4.8 Las mandíbulas de los animales Cap.4, pp 89-90
Problema clásico de la masa colgante: http://www.youtube.com/watch?v=dxM9lsbUbpw
2
X
Y
Z
CENTRO DE MASAS
n
nnCM mmm
rmrmrmr
...
...
21
2211
n
i
n
ii
m
rm
1
1
n
ii rmM 1
1
1r
2r
nr
1m
2m
nm
CMr
Sistema de partículas
El sistema de partículas responde ante la acción de fuerzas exterioresdel mismo modo que respondería si la resultante de todas ellas seaplicase en el centro de masas.La ecuación vectorial anterior contiene tres ecuaciones escalares,una por cada coordenada
n
nnCM mmm
xmxmxmx
...
...
21
2211
n
i
n
ii
m
xm
1
1
n
ii xmM 1
1
M es la masa total
Sólido rígidoSistema de partículas en el cual las distancias relativas entre ellas son invariables. Es decir, se trata de un sólido indeformable.
X
Y
Z
dm
dmrrCM
dmr
M 1
Nosotros no acometeremos cálculoscomplicados, nos basaremos sobretodo en propiedades de simetría.r
dmPosición del CM
en un sólido rígido
3
CENTRO DE MASAS
Ejemplo.El polo inferior de la esfera mostradaen el esquema está en contacto con elcentro de la base superior delcilindro. Determinar la posición delCM del conjunto, sabiendo que elcilindro y la esfera tienen el mismodiámetro, que la altura del cilindro esdos veces su diámetro y que ladensidad del material que forma laesfera es la mitad de la del materialdel cilindro.
Resolución1. Elegimos arbitrariamente un origen de coordenadas en elpunto de contacto de ambos sólidos.
X
Y
Z
Por razón de la simetría del problema, esta elección implicaque el CM va a estar sobre el eje Z.
2. Tanto la esfera E como el cilindro C son figuras consimetría, y sus centros de masas respectivos están situados enlos respectivos centros de las figuras, cuyas coordenadas son
RE ,0,0 RC 2,0,0 R es el radio de la esfera
3. Calculamos las masas. Sea la densidad de la esfera.
34 3RM E 82 4 32 RRRM C
4. Ahora representamos la esfera y el cilindro por dos masaspuntuales ocupando la posición de su CM respectivo.
X
Y
Z
RC 2,0,0
RE ,0,0 EM
CM
8 3/4
8 2 3/433
33
RRRRRRzCM
8 3/4163/4
RzCM R711
RE ,0,0
RC 2,0,0
Discusión: ¿cuál sería elresultado de haber elegidootro origen de coordenadas?
4
F
Okzjyixr
FrO
sin FrOO
O
MOMENTO DE UNA FUERZA
kFjFiFF zyx
zyx FFFzyxkji
Momento de una fuerza con respecto a un punto
Dirección: perpendicular al plano determinado por yr F
Sentido: el indicado por la regla de la mano derecha
Módulo:
Punto de aplicación: el punto O
El momento respecto a unpunto está asociado con unarotación en el sentido indicadopor la regla de la manoderecha.
Puesto que un sólido rígido puedegirar además de trasladarse, parasu equilibrio de rotación espreciso que sobre él no actúeningún momento neto.
Brazo de la fuerza
Terminología alternativa: Momento de una fuerza Torque
r
F
O
O
5
MOMENTO DE UNA FUERZA
r
F
O
Línea de acción de la fuerza
O
Momento de una fuerza con respecto a un puntoVista desde arriba (vector normal y saliente)O
Ejemplo
Nótese que sin FrO Fd pues sin rd
Brazo de la fuerza
El momento respecto a O es igual al producto del brazo por la componente de la fuerza perpendicular a dicho brazo . sinF
(a) (b) (c)
Ejemplo 2. ¿En qué caso se ejerce mayor fuerza? ¿En qué caso se ejerce mayor momento?
6
CONDICIONES DE EQUILIBRIO ESTÁTICO DE UN CUERPO RÍGIDO
Equilibrio de traslación: Suma de fuerzas externas igual a ceroEquilibrio de rotación: Suma de momentos de las fuerzas externas igual a cero
0F
0
Ejemplo. Barra homogénea horizontal sostenida por un pivote y un cable.Longitud de la barra L = 75 cm. Peso W = 650 N.
A W
Tº12
cm 15
Calcular la tensión y la reacción en el pivote A.
AW
Tº12
cm 15N M
0º12sin15.02
LTLWA
N 1954º12sin60.02
75.0650
T
Tomamos momentos respecto al punto A
Diagrama de sólido libre de la barra
X
Y
012cosTMFX
012sinTWNFY
N 191112cos TM
N 24412sin TWN
La resultante de estas fuerzas es
N 192722 NM
N
M
7
PALANCAS
Las palancas son máquinas simples que constan de un fulcro o punto de apoyo f, una fuerzaaplicada F y una fuerza resistente o resistencia R. El propósito de las palancas es equilibrar laresistencia R con la fuerza F mediante la elección apropiada del fulcro, aprovechando el hechode que los momentos respecto al fulcro de ambas fuerzas sean iguales.Se denomina ventaja mecánica (VM) de la palanca al cociente R/F.
RF xRxF
R
F
xx
FRVM
f
R
F
f
RF
f
F
R
1er género 2º género 3er género
Fx Rx FxRx
Fx Rx
RF xRxF
R
F
xx
FRVM
VM puede ser mayor o menor que la unidad
VM siempre es mayor que la unidad
RF xRxF
R
F
xx
FRVM
VM siempre es menor que la unidad
Clases de palancas
8
PALANCAS EN EL CUERPO HUMANO
Adaptado de http://www.periodictable.com/Properties/A/YoungModulus.html
f
R
F
f
RF
f
F
R
f
f
FR F
R f
F
R
1er género2º género 3er género
9
A
T
º12
W
cm 15
Un hombre de 102 kg cuya columna vertebral mide 75 cm desde las cervicales hasta el final dela zona lumbar se inclina manteniendo la espalda recta. En esta postura el tronco pivotaalrededor del sacro. Si suponemos que los diversos músculos de la espalda que actúan paramantenerla recta equivalen a un único músculo unido a la columna 15 cm por debajo de lascervicales y de manera que la tensión que ejerce forma 12º con la horizontal, calcular la tensiónde ese hipotético músculo y cuál es la fuerza que se aplica sobre el sacro. Puede suponerse queel peso del tronco, la cabeza y los brazos es un 65% del peso del hombre y que el CM estásituado en el centro de la columna vertebral.
PALANCAS EN EL CUERPO HUMANO. EJEMPLO.
Sacro
cm 75
El peso del tronco, cabeza y brazos del hombre es N 65065.08.9102 WObserve que el diagrama de fuerzas y las dimensiones son las mismas que en el ejemplo anterior.
AW
Tº12
cm 15N M
El sacro es el pivote A del caso de la barra
N 1954º12sin60.02
75.0650
T
N 191112cos TM
N 24412sin TWN
Haciendo el mismo planteamiento de antes, la solución es
La resultante de estas fuerzas es
N 192722 NM
NM
Observación: véase que la fuerza sobre el sacro es casi dos veces el peso del hombre, debido a que el ángulo de la tensión con la horizontal es pequeño.
f R
F
10
La figura muestra el diagrama de fuerzas sobre la cadera izquierda de una persona de 70 kgpuesta en pie que apoya todo su peso sobre el pie izquierdo (ha encogido la pierna derecha demodo que el pie derecho no toca el suelo). Los músculos de la cadera izquierda debencontraerse para mantener la pelvis horizontal contrarrestando el peso del cuerpo.
AFW
º75
cm 41
cm 5
EJEMPLO 2. PROBLEMA 2 (1º parcial 2012-2013)
(a) ¿Qué género de palanca es el mostrado en la figura? Identifíquese el fulcro, la potencia y laresistencia.(b) Usando los valores de distancias y ángulos dados en la figura, calcular la fuerza FArealizada por los músculos de la cadera.
AFW
º75
cm 41
cm 5
075sin · 5 · º90sin · 14 · AFW
a) Palanca de primer género Fulcro
Res
iste
ncia
b) Cálculo de la fuerza:aplicamos la ecuación demomentos
N 1989.96590 · 5
.89 · 07 · 14
a
b
0sin · · º90sin · · bFaW A
sin · º90sin · ·
baWFA
11
AF
gF
mF040203 gAm FFF
Suma de momentos respecto al codo (C):
3408.93208.94.2
34020
gAm
FFF N 8.548
311764.470
C
0 gAmC FFFFSuma de fuerzas (eje vertical)8.94.28.94.28.548 gAmC FFFF
CF
N 88.49540.2952.238.548
El signo negativo del resultado quiere decir que el vector FC tiene en realidad sentido contrario al indicado en el esquema
Calcular la fuerza de reacción en el codo y la fuerza Fm que ha de ejercer elbíceps para contrarrestar el peso del antebrazo (cuya masa es 2.4 kg) y delobjeto que sostiene la mano (peso indicado con Fg, masa 3 kg). Puedesuponerse que el centro de masa del antebrazo está a 20 cm de la articulacióndel codo. Datos de distancias en la figura.
EJEMPLO 3. PROBLEMA 3 (junio 2013)
12
Fig. 4.57. Centro de gravedad del cuerpo(CG), articulaciones (círculos negros) yposición del CG. de las partes del cuerpo(círculos blancos) de un hombre típicoen posición erguida (K & S, p. 92)
Fig. 4.58. Centro de gravedad del cuerpo(CG), articulaciones (círculos negros) yposición del CG. de las partes del cuerpo(círculos blancos) de un hombre típico enposición inclinada (K & S, p. 92)
Datos biométricos promedio para el cuerpo de un hombre (Figuras 4.57 y 4.58). Masa m , altura h Fuente: K & S, p. 93
Posición del centro de gravedad Figura 4.57 (erguido) Figura 4.58 (inclinado)
Parte del cuerpo Masa (% m ) x (% h ) y (% h ) x (% h ) y (% h )Tronco y cabeza 59,3 10 70 26 52Brazos 5,3 14 75 35 45Antebrazos y manos 4,3 24 64 34 29Muslos 19,3 12 42 11 40Piernas y pies 11,8 10 19 17 18
Algunos datos biométricos del cuerpo humanoh %
80
60
40
20
100
h %20 40
60
40
20
h %
h %20 40
13
Causa deformadora (fuerza)
Def
orm
ació
n
Límite elástico
Esfuerzo máximo
Deformación residual
ELASTICIDAD y DEFORMACIÓN
Comportamiento elástico: la deformación D es proporcional a la causa C que la produce
Cuando desaparece la causa C, se recupera la forma original
Deformación permanente
Los cuerpos sometidos a esfuerzos se deforman
Punto fractura
14
ELASTICIDAD y DEFORMACIÓN. LEY DE HOOKE
Causa deformadora (fuerza)
Def
orm
ació
n
Límite elástico
Incr
emen
to d
e lo
ngitu
d
Fuerza aplicada
Aplicación a un sistema simple: el resorte
En ausencia de fuerza aplicada
0l
l
Aplicando fuerzaF
La deformación en este caso consiste en un alargamiento
0llx
x
kFx Ley de Hooke La deformación es proporcional a
la fuerza aplicada
Fuerza a aplicar para conseguir un
incremento unitario de la longitud
k: Constante elástica del
resorte
pendiente /1 kN/m (S.I.)
Aplicación directa: el dinamómetro
Válida mientras no sobrepasemos el límite elástico
F
x
xkF
pendiente k
Límite elástico
Forma alternativa
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ELASTICIDAD y DEFORMACIÓN. LEY DE HOOKE (2)
Formulación más general de la ley de Hooke. Tracción en materiales. Módulo de Young.
Causa deformadora (fuerza)
Def
orm
ació
n
Límite elástico
0l
S
0ll
l
F
Causa deformadora: fuerza aplicada por unidad de superficie
Deformación: Alargamiento relativo
SF
0
0
lll
SF
Elll 1
0
0Ley de Hooke
E: módulo de Young
Ala
rgam
ient
o re
lativ
o
Fuerza aplicada por unidad de superficie
El alargamiento relativo es proporcional a la fuerza aplicada
por unidad de superficieUnidades S.I. Nm-2
pendiente /1 E
Pendiente pequeña E grande
Mayor E Material más elástico
• Sólo depende del material (no de la forma, geometría)• Sólo tiene sentido por debajo del límite elástico• Es tanto mayor cuanto más elástico sea el material
Valores típicosMaterial E (´1010 N×m-2)Goma 0,0007
Cartílago 0,0024Tendón 0,06Hueso 2Vidrio 7Acero 20
E
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ELASTICIDAD y DEFORMACIÓN. LEY DE HOOKE (3)
Formulación más general de la ley de Hooke. Tracción y compresión. Módulo de Young.
TRACCIÓN. Cambio de forma y de volumen
COMPRESIÓN. Cambio de forma y de volumen
Fuerza por unidad de superficie (tracción)
Ala
rgam
ient
o re
lativ
o
Límite elástico
Diferente comportamiento elástico entracción y en compresión. (La gráficarepresenta un material más elástico bajotracción que en compresión).
Aco
rtam
ient
o re
lativ
o
Fuerza por unidad de superficie (compresión)
Límite elástico
Más elástico
Menos elástico
Los materiales homogéneos (p. ej. el acero) tienen módulos de Young iguales en tracción y en compresión. Pero los materiales heterogéneos (p. ej. el hormigón o los huesos) tienen módulos de Young diferentes en tracción y en compresión.
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