sucesiones · 1. si dos series difieren en un número finito de términos, entonces ambas convergen...

Sucesiones

Definición: Se llama sucesión real, a la función:

𝑎: ℕ ⟶ ℝ , tal que

𝑛 ⇝ 𝑎 𝑛 = 𝑎𝑛

Observaciones:

1) Se llaman términos de la sucesión a las imágenes

𝑎 1 , 𝑎 2 ,… 𝑎(𝑛), denotadas por 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … 𝑎𝑛

2) En general, una sucesión se denota por 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ = 𝑎𝑛 𝑛<1∞

Importante:

Notemos que 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ no es un conjunto sino que una

notación de una sucesión.

Ejemplos:

𝑎𝑛 𝑛∈ℕ = (−1)𝑛𝑛∈ℕ = −1, 1, −1, 1, …

𝑎𝑛 𝑛∈ℕ = 1

𝑛 𝑛∈ℕ= 1,1

2,1

3,…

Definición: LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

Si para ℇ > 0, existe 𝑀 > 0 , tal que 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 ,

siempre que 𝑛 > 𝑀, entonces decimos que el límite de

la sucesión 𝑎𝑛 es 𝐿 y escribimos

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿

Sucesiones convergentes y divergentes

Las sucesiones que tienen límite (finito) se llaman

𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔. Las que no tienen límite, se llaman

𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.

• Para estudiar el límite de la función 𝑎, ésta se extiende a cualquier real 𝑥, es decir,

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim

𝑥→∞𝑎(𝑥)

• Son válidos para sucesiones, todos los teoremas de

límites de funciones reales. • En lo sucesivo, usaremos simplemente 𝑛 para calcular

límites de sucesiones.

Observación:

Ejemplos:

a) La sucesión 𝑎𝑛 𝑛<1∞ =

1

𝑛 𝑛<1

∞ es convergente, pues

lim𝑛→∞ 1

𝑛= 0

b) La sucesión 𝑎𝑛 𝑛<1∞ = 𝑛 + 1 𝑛<1

∞ es divergente, pues lim

𝑛→∞(𝑛 + 1) = ∞

PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES

Si lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿 y lim

𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝐾 , entonces son válidas las

siguientes propiedades:

1. lim𝑛→∞(𝑎𝑛±𝑏𝑛) = 𝐿 ± 𝐾

2. lim𝑛→∞𝑐 𝑎𝑛 = 𝑐𝐿 , 𝑐 ∈ ℝ

3. lim𝑛→∞(𝑎𝑛∙ 𝑏𝑛) = 𝐿 ∙ 𝐾

4. lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛=𝐿

𝐾 , 𝑏𝑛 ≠ 0 ; 𝐾 ≠ 0

Definición: Sea 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ una sucesión. Considerando

que las sucesiones son funciones reales, tenemos

que:

i) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es creciente si 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛:1

ii) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es decreciente se 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛:1

iii) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es monótona si 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es creciente o

𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es decreciente

iv) 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 es cota inferior de

𝑎𝑛 𝑛∈ℕ 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑎𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ

v) 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 es cota superior de 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ <=> 𝑥 ≥ 𝑎𝑛,

∀𝑛 ∈ ℕ

vi) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es acotada superiormente sí y sólo si al

menos una cota superior

vii) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es acotada inferiormente sí y sólo si al

menos una cota inferior

viii) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es acotada, sí y sólo si es acotada

superior e inferiormente.

Observación:

1. 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es acotada sí y sólo si, ∃ 𝑀 ∈ ℝ:, tal que

𝑎𝑛 ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ ℕ

2. 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es creciente (o decreciente) si para

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ: se cumple

𝑓′ 𝑥 > 0 ó 𝑓′ 𝑥 < 0

Ejemplo:

La sucesión 1

2𝑛 𝑛∈ℕ es monótona y acotada.

En efecto,

1

2𝑛 𝑛∈ℕ=1

2,1

4 ,1

8 ,1

16 , … está acotada inferiormente

por 1

2 y superiormente por 0, además de ser

decreciente.

Teorema. (Condiciones de convergencia)

1. Toda sucesión creciente y acotada superiormente es

convergente.

2. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es

convergente.

3. Toda sucesión convergente es acotada.

4. Si 𝑎𝑛 𝑛∈ℕes monótona, entonces: 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es convergente ⇔ 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es acotada

SERIES

Definición: Sea 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ una sucesión. Entonces,

una SERIE INFINITA o simplemente SERIE, es la

suma de los términos de la sucesión.

Así, si la sucesión 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … ,

entonces la serie infinita es

𝑎𝑛 =

∞

𝑛<1

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯

Observación: La serie puede comenzar desde un

valor distinto de 1, por lo que en general se

escribe simplemente 𝑎𝑛 . Llamaremos

términos de la serie a los términos de las

sucesión 𝑎𝑛

Para hallar la suma de una serie infinita,

consideramos la siguiente sucesión de sumas

parciales:

𝑆1= 𝑎1

𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2

𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ;

⋮

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛

Es decir, hemos formado una sucesión de sumas

parciales 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, … , 𝑆𝑛

Definición: CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA PARA SERIES

Para la serie infinita 𝑎𝑛 , la enésima suma parcial viene

dada por

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛

Si la sucesión de sumas parciales 𝑆𝑛 converge a 𝑆,

diremos que la serie 𝑎𝑛 converge. Llamaremos a 𝑆 suma

de la serie y escribiremos

𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯

Si 𝑆𝑛 diverge, diremos que la serie 𝑎𝑛 es divergente.

Definición: CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA PARA SERIES

Para la serie infinita 𝑎𝑛 , la enésima suma parcial viene

dada por

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛

Si la sucesión de sumas parciales 𝑆𝑛 converge a 𝑆,

diremos que la serie 𝑎𝑛 converge. Llamaremos a 𝑆 suma

de la serie y escribiremos

𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯

Si 𝑆𝑛 diverge, diremos que la serie 𝑎𝑛 es divergente.

Ejemplo: Dada la serie 1

𝑛(𝑛:1) queremos saber si tiene o

no suma, es decir, es o no convergente.

Formando las sumas parciales, tenemos:

𝑆1 =1

2

𝑆2 =1

2+ 1

6= 4

6=2

3

𝑆3 =1

2+ 1

6+1

12=2

3+1

12=9

12=3

4

⋮ = ⋮

𝑆𝑛 =𝑛

𝑛 + 1

Luego, el límite de la sucesión 𝑆𝑛 =𝑛

𝑛:1 es

lim𝑛→∞𝑆𝑛 = lim

𝑛→∞

𝑛

𝑛:1= 1

∴ la serie 1

𝑛(𝑛:1)∞𝑛<1 es convergente y su

suma es 𝑆 = 1

Observación: En general, No siempre es posible

encontrar una fórmula para encontrar 𝑆𝑛. Surgen

así teoremas y criterios para analizar la convergencia

o divergencia de una serie.

SERIES CONVERGENTES Y DIVERGENTES

TEOREMA:

Si la serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 es convergente, entonces

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0

Ejemplo: Sabemos que la serie 1

𝑛(𝑛:1) converge,

luego,

lim𝑛→∞

1

𝑛(𝑛 + 1)= 0

¡¡CONSECUENCIA IMPORTANTE !!

TEOREMA: CRITERIO DE LA DIVERGENCIA

Si lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0 ó lim

𝑛→∞𝑎𝑛 ∄ ⟹ 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒

𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆.

𝑎𝑛

∞

𝑛<1

Ejemplo:

2𝑛

𝑛

∞

𝑛<1

𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆

En efecto,

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim

𝑛→∞

2𝑛

𝑛=∞

∞ aplicando L’Hôpital

lim𝑛→∞2𝑛𝑙𝑛2 = ∞ , 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

∴ 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 2𝑛

𝑛

∞

𝑛<1

𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

SERIES ESPECIALES

1. Definición: SERIE GEOMÉTRICA

Una serie dada por

𝑎𝑟𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯∞𝑛<0 + 𝑎𝑟𝑛 +⋯

Se llama serie geométrica de razón 𝒓

TEOREMA: En la serie geométrica

𝑎𝑟𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯∞𝑛<0

• Si 𝑟 ≥ 1 , la serie es divergente.

• Es convergente si 𝑟 < 1, en este caso su suma es

𝑆 =𝑎

1;𝑟

Ejemplos:

a) −5𝑛∞𝑛<0 , serie geométrica divergente, pues

−5 ≥ 1

b) 3𝑛+2

5𝑛+1=

3𝑛32

5𝑛5=9

5

3

5

𝑛 ∞

𝑛<0∞𝑛<0

∞𝑛<0 ,

con 𝑟 = 3

5 < 1 Luego, la serie converge y suma es

𝑆 =9

5∙1

1;3

5

=9

2

2. Definición: SERIE TELESCÓPICA

Una serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 es una serie telescópica si y sólo si es

posible encontrar una sucesión 𝑏𝑛 tal que:

𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛:1 , ∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ó

𝑎𝑛 = 𝑏𝑛:1 − 𝑏𝑛 , ∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁

TEOREMA: La serie telescópica 𝑎𝑛∞𝑛<1 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛:1

∞𝑛<1

i) Diverge si 𝑏𝑛 diverge.

ii) Converge si 𝑏𝑛 converge, en este caso la suma de la serie

es 𝑆 = 𝑏1 − lim𝑛→∞𝑏𝑛 , siendo 𝑏1 el primer término de la serie.

Ejemplo:

1

𝑛2:𝑛∞𝑛<1 =

1

𝑛−1

𝑛:1∞𝑛<1

donde 𝑏𝑛 = 1

𝑛

y lim𝑛→∞

1

𝑛= 0

la sucesión converge, luego la serie converge y su suma es

𝑆 = 1 − lim𝑛→∞

1

𝑛= 1

3. Definición: SERIE 𝒑

Toda serie de la forma

1

𝑛𝑝∞𝑛<1 = 1 +

1

2𝑝+1

3𝑝+⋯+

1

𝑛𝑝+⋯ ;

donde 𝑝 es una constante, se llama “serie 𝑝”.

En el caso particular si 𝑝 = 1, tenemos

1

𝑛𝑝∞𝑛<1 , llamada 𝑺𝒆𝒓𝒊𝒆 𝒂𝒓𝒎ó𝒏𝒊𝒄𝒂

TEOREMA: La serie 𝑝, 1

𝑛𝑝∞𝑛<1 , es:

i) convergente, si y sólo si 𝑝 > 1

ii) divergente si y sólo si 0 < 𝑝 ≤ 1.

Como consecuencia de este teorema, se

tiene que la serie armónica es divergente.

Es decir,

1

𝑛∞𝑛<1 diverge

Ejemplo:

a) 1

𝑛∞𝑛<1 , se puede escribir como

1

𝑛1/2∞𝑛<1 así, 𝑝 =

1

2< 1, luego la

serie es divergente.

b) 2

𝑛3∞𝑛<1 , se puede expresar como

2 1

𝑛3/2∞𝑛<1 , donde 𝑝 =

3

2> 1, luego la serie

converge.

PROPIEDADES DE LAS SERIES INFINITAS

Dadas las series 𝑎𝑛∞𝑛<1 y 𝑏𝑛

∞𝑛<1 , entonces

también son series:

a) 𝑎𝑛∞𝑛<1 + 𝑏𝑛

∞𝑛<1 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛

∞𝑛<1

b) (𝛼𝑎𝑛)=∞𝑛<1 α 𝑎𝑛 , 𝛼 ∈ ℝ

∞𝑛<1

c) 𝑎𝑛∞𝑛<1 − 𝑏𝑛

∞𝑛<1 = 𝑎𝑛

∞𝑛<1 + (−1) 𝑏𝑛

∞𝑛<1

TEOREMAS

1. Si dos series difieren en un número finito de términos,

entonces ambas convergen o ambas divergen.

2. Dadas dos series convergentes, la suma o la resta de las

series es convergente. Si una de la serie es convergente y a

otra es divergente, entonces la suma es divergente.

3. Si la serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 es convergente a la suma 𝑆,

entonces la serie 𝛼 𝑎𝑛∞𝑛<1 converge a la serie 𝛼𝑆, ∀𝛼 ∈

ℝ, 𝛼 ≠ 0

Consideraremos a la serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 de términos

positivos, es decir 𝑎𝑛 ≥ 0, ∀𝑛 ∈ ℕ.

Para estudiar la convergencia de una serie de

términos positivos, siempre es útil comenzar con

el criterio de la divergencia, pero si ésta no da la

información requerida, se analizan otros

criterios, que estudiaremos a continuación.

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

1.Criterio de Comparación

S ean 𝑎𝑛∞𝑛<1 y 𝑏𝑛

∞𝑛<1 son series con

términos positivos.

i) Si 𝑏𝑛∞𝑛<1 es convergente y 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 , ∀𝑛,

entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 también es convergente.

ii) Si 𝑏𝑛∞𝑛<1 es divergente y 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛 , ∀𝑛 ,

entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 también es divergente.

Ejemplo:

La 2𝑛:𝑛2

𝑛3:1∞𝑛<1 la compararemos con la serie

armónica 1

𝑛∞𝑛<1 que es divergente

Solución

Tenemos que,

𝑎𝑛 =2𝑛:𝑛2

𝑛3:1 𝑦 𝑏𝑛 =

1

𝑛 ,donde 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛, ya que

1

𝑛≤2𝑛:𝑛2

𝑛3:1 ⟺ 𝑛3 + 1 ≤ 2𝑛2 +𝑛3

Luego, por el criterio de comparación, la serie

2𝑛:𝑛2

𝑛3:1 , ∞

𝑛<1 diverge.

2. Criterio de Comparación por límite

Sean 𝑎𝑛∞𝑛<1 y 𝑏𝑛

∞𝑛<1 series con términos

positivos, y

lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛= 𝐿

Donde 𝐿 es un número finito y 𝐿 > 0, entonces

ambas series convergen o ambas series

divergen.

En este caso:

i) Si 𝐿 = ±∞ y 𝑏𝑛∞𝑛<1 diverge, entonces

𝑎𝑛∞𝑛<1 diverge.

ii) Si 𝐿 = 0 y 𝑏𝑛∞𝑛<1 converge, entonces

𝑎𝑛∞𝑛<1 converge.

Ejemplo

𝑠𝑒𝑛 1/𝑛∞𝑛<1 . Compararemos con serie

armónica 1

𝑛∞𝑛<1 divergente

Así, lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛= lim𝑛→∞

𝑠𝑒𝑛 1/𝑛

1/𝑛= lim𝑢→0

𝑠𝑒𝑛 𝑢

𝑢= 1 > 0

Luego, la serie 𝑠𝑒𝑛 1/𝑛∞𝑛<1 diverge.

3. Criterio de la razón o cociente

Dada la serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 de términos positivos, y sea

lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛= 𝐿 , se tiene

i. Si 𝐿 < 1 , entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 converge

ii. Si 𝐿 > 1 ó 𝐿 = ∞ , entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 diverge

iii.Si 𝐿 = 1 , el criterio no da información.

Ejemplo

Analizar la convergencia de la serie 2𝑛 !

2∙4∙6∙⋯∙2𝑛∞𝑛<1

Solución:

Sean 𝑎𝑛 =2𝑛 !

2∙4∙6∙⋯∙2𝑛 , y 𝑎𝑛:1 =

2𝑛:2 !

2∙4∙6∙⋯∙2𝑛∙(2𝑛:2)

Luego, L = lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛= lim𝑛→∞

2𝑛+2 !

2∙4∙6∙⋯∙2𝑛∙(2𝑛+2)

2𝑛 !

2∙4∙6∙⋯∙2𝑛

L = lim 𝑛→∞

2𝑛 + 1 = ∞

Por lo tanto la serie 2𝑛 !

2∙4∙6∙⋯∙2𝑛∞𝑛<1 diverge.

4. Criterio de la raíz

Dada la serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 de términos positivos, y sea

lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑛

= 𝐿 , se tiene

i. Si 𝐿 < 1 , entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 converge

ii. Si 𝐿 > 1 ó 𝐿 = ∞ , entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 diverge

iii.Si 𝐿 = 1 , el criterio no da información.

Ejemplo:

Analizar la convergencia de la serie 2𝑛

𝑛2∞𝑛<1 ,

Solución:

Sea 𝑎𝑛 =2𝑛

𝑛2 . Así,

𝐿 = lim𝑛→∞

2𝑛

𝑛2

𝑛

= lim𝑛→∞

2

𝑛2𝑛 = 2 lim

𝑛→∞ 1

𝑛2 𝑛 =

2

lim𝑛→∞ 𝑛2 𝑛

Aplicando L′Hôpital L = 2 > 1 ∴ 2𝑛

𝑛2

∞

𝑛<1

𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

5. Criterio de la integral

Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) la función obtenida al cambiar 𝑥 por 𝑛, en el

enésimo término de la serie de términos positivos 𝑎𝑛∞𝑛<1

Entonces, si 𝑓 es una función continua decreciente y de

valores positivos, para todo 𝑥 ≥ 𝑚, con 𝑚 fijo en ℕ, se

tiene:

i. Si existe 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,∞

𝑚 la serie 𝑎𝑛

∞𝑛<1 converge.

ii. Si 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∞∞

𝑚 , la serie 𝑎𝑛

∞𝑛<1 diverge.