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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”12
Unidad 12. Estadística
PÁGINA 256
■ Resuelve problemas
17 A la pregunta: ¿cuántas personas forman tu hogar familiar?, 40 personas res-pondieron esto:
4 5 3 6 3 5 4 6 3 2
2 4 6 3 5 3 4 5 3 6
4 5 7 4 6 2 3 4 4 3
4 4 5 3 2 6 3 7 4 3
a) Haz la tabla de frecuencias y el diagrama correspondiente.
b) Calcula la media, la mediana, la moda y la desviación típica.
a) Diagrama de barras
N.O DE PERSONAS EN EL HOGAR FAMILIAR
FREC.
234567
41111662
40
FRECUENCIA
N.º DE PERSONASEN EL HOGAR FAMILIAR
2
2
2 4 5 6 7
4
6
8
10
12
b)
x– = ∑ fi xi∑ fi
= 16540
= 4,125
Me = 4
b)
xi fi fi · xi fi · xi2
234567
41111661
83344303614
169917615021698
40 165 755
4 veces 11 veces 11 veces 6 veces 6 veces 2 veces 678 678 678 678 678 678
(2, 2, 2, 2, 3 … 3, 4 … 4, 5… 5, 6… 6, 7, 7. En el lugar 20 y 21 hay un 4).
Mo = 3 y 4. (Los datos que más se repiten).
q = √ ∑ fi xi2
∑ fi – x– 2 = √ 755
40 – (4,125)2 ≈ 1,364
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Unidad 12. Estadística
18 En estos dos diagramas se muestra la composición del organismo en dos eda-des distintas:
Tejido graso
Agua corporal
Músculos,órganos…
Masa ósea
A LOS 25 AÑOS A LOS 75 AÑOS
62%
17%
15%
6%
30%
12%
53%
5%
a) ¿Cómo varía el porcentaje de agua corporal, de masa ósea, de tejido graso y de músculos, órganos… en esos 50 años?
b) Si una persona de 25 años pesa 80 kg, ¿cuál es la cantidad de agua que compone su organismo? ¿Y de tejido graso?
c) Responde a las preguntas del apartado anterior para el caso de una persona de 75 años con el mismo peso.
a) A medida que envejecemos, se observa que la cantidad de agua corporal, músculos, órganos y masa ósea disminuye, siendo el tejido graso lo único que aumenta.
b) Agua corporal: 62 · 80100
= 49,6 kg Tejido graso: 15 · 80100
= 12 kg
c) Agua corporal: 53 · 80100
= 42,4 kg Tejido graso: 30 · 80100
= 24 kg
19 En un test de inteligencia realizado a una muestra de 200 personas, se han obtenido los re-sultados siguientes:
a) Dibuja un histograma para representar gráfi-camente los datos y haz también el polígono de frecuencias.
b) Calcula la media y la desviación típica.
PUNTUACIÓN N.º DE PERSONAS
30 - 40 640 - 50 1850 - 60 7660 - 70 7070 - 80 2280 - 90 8
c) ¿Qué porcentaje de individuos tiene una inteligencia superior a x– + 2q? ¿Y cuán-tos inferior a x– – 2q? Haz una estimación razonada.
a)
N.º DE PERSONAS
PUNTUACIÓN
30
20
40 50 60 70 80 90
40
60
80
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b)
b)INTERVALO xi fi fi · xi fi · xi
2
30-4040-5050-6060-7070-8080-90
354555657585
6187670228
210810
4 1804 5501 650
680
7 35036 450
229 900295 750123 75057 800
200 12 080 751 000
x– = 12 080200
= 60,4; q = √751 000200
– (60,4)2 = 10,336
c) Como x– + 2q = 60,4 + 2 · 10,336 ≈ 81 y en el intervalo 80-90 hay 8 personas, esti-mamos que en el intervalo 81-90 hay, aproximadamente, 7 personas. Como en total hay 200 personas, el porcentaje de individuos con una inteligencia superior a x– + 2q es 7
200 = 0,35 ≈ 3,5%.
Por otro lado, como x– – 2q = 60,4 – 2 · 10,336 ≈ 39,7, y en el intervalo 30-40 hay 6 personas, estimamos que en el intervalo 30-39,7 hay, aproximadamente, 6 personas. Como en total hay 200 personas, el porcentaje de individuos con una inteligencia
inferior a x– – 2q es 6200
= 0,3 = 3%.
Los dos porcentajes deberían ser aproximadamente iguales.
20 Al medir el peso al nacer en una determinada especie de animales, hemos obtenido los datos si-guientes:
a) Representa estos datos con el gráfico adecuado.
b) Calcula la media y la desviación típica.
c) ¿Qué porcentaje de animales pesó entre x– – q yx– – q? ¿Y más que x– + q? ¿Y menos que x– – q?
PESO (kg) N.º DE ANIMALES
3,5 - 4,5 1
4,5 - 5,5 8
5,5 - 6,5 28
6,5 - 7,5 26
7,5 - 8,5 16
8,5 - 9,5 1
a)
N.º DE ANIMALES
PESO AL NACER (kg)
3,5
5
4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5
10
15
20
25
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Unidad 12. Estadística
b)
x– = 53180
= 6,638
q = √3 60380
– (6,638)2 = 0,997
b)
INTERVALO xi fi fi · xi fi · xi2
3,5-4,54,5-5,55,5-6,56,5-7,57,5-8,58,5-9,5
456789
18
2826161
440
168182128
9
16200
1 0081 2741 024
81
80 531 3 603
c) x– – q = 6,638 – 0,997 = 5,641 ≈ 5,5; x– + q = 6,638 + 0,997 = 7,635 ≈ 7,5
En el intervalo que va de x– – q a x– + q hay 28 + 26 = 54 individuos, que supone un 5480
= 0,675 = 67,5%.
Con más de x– + q hay 16 + 1 = 17 individuos, que supone un 1780
= 0,2125 = 21,25%
Con menos de x– – q hay 1 + 8 = 9 individuos, que supone un 980
= 0,1125 = 11,25%.
21 Estas son las horas de estudio semanal de un grupo de alumnas y alumnos:
14 9 9 20 18 12 14 6 14 8
15 10 18 20 2 7 18 8 12 10
20 16 18 15 24 10 12 25 24 17
10 4 8 20 10 12 16 5 4 13
a) Reparte estos datos en intervalos de extremos:
1,5 - 6,5 - 11,5 - 16,5 - 21,5 - 26,5
Haz la tabla de frecuencias y el histograma.
b) Calcula la media y la desviación típica.
c) Utilizando los parámetros x– y q, haz cinco intervalos con las siguientes caracte-rísticas: estudia muy poco, estudia poco, estudia normal, estudia mucho, estudia muchísimo. ¿Qué proporción de individuos hay en cada uno?
a)
a)INTERVALO FRECUENCIA
1,5-6,56,5-11,511,5-16,516,5-21,521,5-26,5
5111293
N.º DE HORAS DE
ESTUDIO SEMANAL
1,5
2
6,5 11,5 16,5 21,5 26,5
4
6
8
10
12FRECUENCIA (n.º alumnos)
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b)
x– = 53040
= 13,25 h
q = √8 30040
– (13,25)2 = 5,6513
b)
INTERVALO xi fi fi · xi fi · xi2
1,5-6,56,5-11,511,5-16,516,5-21,521,5-26,5
49141924
5111293
2099
16817172
80891
2 3523 2491 728
40 530 8 300
c) x– – 2q = 13,25 – 2 · 5,6513 ≈ 1,9
x– – q = 13,25 – 5,6513 ≈ 7,6
x– + q = 13,25 + 5,6513 ≈ 18,9
x– – 2q = 13,25 + 2 · 5,6513 ≈ 24,6
Por tanto:
Esudian muy poco los que están entre 0 h y 1,9 h a la semana.
Estudian poco los que están entre 1,9 h y 7,6 h a la semana.
Estudian normal los que están entre 7,6 h y 18,9 h a la semana.
Estudian mucho los que están entre 18,9 h y 24,6 h a la semana.
Estudian muchísimo los que están más de 24,6 h a la semana.
Construimos una tabla para hallar la proporción de individuos que hay en cada inter-valo:
INTERVALO fi %
menos de 1,9 0 0%
1,9 - 7,6 6 15%
7,6 - 18,9 27 67,5%
18,9 - 24,6 6 15%
más de 24,6 1 2,5%
40 100%
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