solucion taller 1 ed
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1. Para cada una de las siguientes ecuaciones determine si es ordinaria o parcial, además para las ecuaciones ordinarias calcule el orden y el grado si es posible.
a. (1−x ) y ' '−4 xy y '+5 y=cosxED lineal ordinaria de segundo orden
b. ( d3 yd x3
)2
=( d2 yd x2
)6
+3e3 xy
c.d2ud r2
=−k /r2
d2ud r2
+k /r2=0 ED no lineal ordinaria de segundo orden
d. ln ( x ) y(5)−4 x ( y ')7=5 ye.
2. Compruebe que la función y=e3 xcos2 x es una solución explícita de la ecuación y ' '−6 y '+13 y=0
y '=−2e3x sen2 x+3e3 xcos2 xy ' '=−4 e3 xcos2 x−6 e3 xsen 2x−6 e3 x sen2x+9e3x cos2 xy ' '=5e3 xcos 2x−12e3x sen2 xy ' '−6 y '+13 y=05e3x cos2x−12e3x sen2 x−6 (−2e3x sen 2x+3e3xcos 2x )+13 (e3x cos2 x )=0
5e3x cos2x−12e3x sen2 x+12e3x sen2 x−18e3x cos2 x+13e3x cos2 x=0
0=0
3. Verifique que la función y=−cosxln(secx+tanx) es una solución explícita de la ecuación y ' '+ y=tanx
y '=−cosx secxtanx+sec2 x
secx+tanx+senxln ( secx+tanx )
y '=−cosxsecx(tanx+secx)secx+tanx
+senxln (secx+ tanx )
y '=−cosxsecx+senxln (secx+ tanx )
y '=−1+senxln (secx+ tanx )
y ' '=senxln (secx+ tanx )
y ' '=senxsecx+cosxln ( secx+tanx )
y ' '=senx 1cosx
+cosxln (secx+tanx )
y ' '=tanx+cosxln ( secx+tanx )
y ' '+ y=tanx
tanx+cosxln ( secx+tanx )−cosxln(secx+tanx)=tanx
tanx=tanx
4. Compruebe que la expresión ln (2 x−1x−1 )=t es una solución implícita de la ecuación
dxdt
=( x−1 ) (1−2x )
dxdtln( 2 x−1x−1 )=dxdt t
2 ( x−1 )−(2 x−1)(x−1)2
2 x−1x−1
dxdt
=1
2 x−2−2x+1(x−1)2
2x−1x−1
dxdt
=1
−1(x−1)2
2 x−1x−1
dxdt
=1
−1(x−1)(2 x−1)(x−1)2
dxdt
=1
−1(2 x−1)(x−1)
dxdt
=1
−1(2 x−1)(x−1)
dxdt
=1
dxdt
=−(2 x−1)(x−1)
dxdt
=(−2 x+1)(x−1)
5. compruebe que P=c et
1+e t es una solución general de la ecuación P'=P (1−P )
P'−P (1−P )=0
P= c et
1+e t
P'=c et (1+et )−c e t(e t)
(1+e t)2= ce
t+ce2 t−ce2 t
(1+et)2= c e t
(1+e t)2
ce t
(1+e t)2− c et
1+et (1− c et
1+et )=0ce t
(1+e t)2− c et
1+et ( 1+et−ce t
1+e t )=0ce t
(1+e t)2− ce
t+c e2t−c e2t
(1+e t)2=0
ce t
(1+e t)2− c et
(1+e t)2=0
0=0
6. compruebe que y=e−x2
∫0
x
et2
dt+ce− x2
es una solución general de la ecuación
y '+2xy=1
Por teorema ddx
∫a
x
f (t)d t=F (x)
y '=e− x2 ddx
∫0
x
e t2
dt−2 xe− x2
∫0
x
e t2
dt−2cx e−x2
y '=e− x2
ex2
−2 x e−x2
∫0
x
et2
dt−2cx e−x2
y '=1−2x e−x2
∫0
x
et2
dt−2cx e− x2
1−2 x e−x2
∫0
x
et2
dt−2cx e−x2
+2 xe− x2
∫0
x
e t2
dt+2x ce−x2
=1
1=1
7. Determine los valores de m para que la función y=emx sea una solución de la ecuación diferencial y ' '−5 y '+6 y=0
y=emx
9. Verifique que y=1
1+c e−x es solución general de la ecuación diferencial y '= y− y2.
Calcule además la solución particular si
a. y (0 )=−1/3 b.y (−1 )=2
y '= c e−x
(1+ce− x)2
c e−x
(1+c e−x )2= 11+c e−x
− 1(1+c e−x )2
c e−x
(1+c e−x )2=1+c e
−x−1(1+ce− x)2
c e−x
(1+c e−x )2= ce− x
(1+c e− x)2
a. y= 1
1+c e−x= 1
1+ce0= 11+c
−13
= 11+c
−3=1+c c=−4
10. Verifique que y2 (1−x2 )−cos2 x=c es solución general de la ecuación diferencial
y '= x y2−cosxsenxy (1−x2)
. Calcule además la solución particular si
a. y (0 )=2 b. y (π )=0
y2 (−2x )+(1−x2 )2 y dydx
+2cosxsenx=0
y2 (−2x )+(1−x2 )2 y dydx
=−2cosxsenx
(1−x2 )2 y dydx
=−2cosxsenx+2x y2
dydx
=−2cosxsenx+2 x y2
(1−x2 )2 y
dydx
=2 (−cosxsenx+x y2)
(1−x2 )2 y
dydx
=−cosxsenx+x y2
(1−x2 ) y
11. Resuelva cada una de las siguientes ED por separación de variables.
a. dx+e3x dy=0
dy=−dxe3x
∫ dy=∫ dx
e3 x
y=∫ e−3 xdx
por cambio de variable
u=−3x u=−3dx dx=−du3
y=−13 ∫ eudu
y=−13eu+c
y=−13e−3 x+c
b. dy−( y−1)2dx=0
dx= dy
( y−1)2
∫ dx=∫ dy
( y−1)2
u= y−1 d u=dy
∫ dx=∫ du
u2
∫ dx=∫ u−2du
x=u−1
−1+c
x=−1u
+c
x= −1y−1
+c
c. ex ydydx
=e− ye−2x− y
ydye− y
= e−2 xe− y
e xdx
ye−2 y
dy= e−2x
exdx
y e2 ydy=e−x e−2x dx
y e2 ydy=e−3x dx
∫ y e2 y dy=∫ e−3x dx
∫ y e2 y dy
Por partes
∫udv=uv−∫vdu
u= y du=dy
dv=e2 y dy v=12e2 y
por sustitución
u=2 y du=2dy du2
=dy
∫ e2 y dy=12∫eudu
12∫ e
udu=12eu+c=1
2e2 y
∫ e2 y ydy=e2 y y2
2−∫ y2
22e2 y
∫ e2 y ydy=12 e2 y y2−∫ y2e2 y
∫ y e2 y dy= y 12 e2 y−1
2∫e2 y dy
∫ y e2 y dy= y 12 e2 y−1
4e2 y+c
∫ e−3 xdx
por cambio de variable
u=−3x d u=−3 dx d u=−du3
−13 ∫eudu
−13eu+c
−13e−3x+c
y12e2 y− 1
4e2 y=−1
3e−3 x+c
12e2 y ( y−1
2)=−1
3e−3 x+c
d. x2 dydx
= y−xy
x2dydx
= y (1−x)
dyy
=(1−x )x2
dx
∫ dyy
=∫ (1− x)x2
dx
lny=∫ 1
x2dx−∫ x
x2dx
lny=∫ x−2dx−∫ 1xdx
ln ( y )= x−1
−1−ln (x )
ln ( y )=−1x
− ln (x )+c
e.dNdt
+N=Nt e t+2
dNdt
=Nt e t+2−N
dNdt
=N (t e t+2−1)
dNN
=(t e t+2−1)dt
∫ dNN =∫(t e t+2−1)dt
lnN=∫ t et+2dt−t
∫ t et+2dt
Por partes
∫udv=uv−∫vdu
u=t du=dt
dv=et+2dt v=e t+2+c
∫ et+2dt
∫ et e2dt
e2∫ etdt
e2 et=e t+2
∫udv=uv−∫vdu
∫ t et+2dt=t et+2−∫ et+2dt=t e t+2−e t+2+c
lnN=t et+2−et+2−t+c
f. ydy=x (1+x2 )−12 ¿
ydy¿¿
∫ y¿¿ ¿
Sean
u=1+ y2 du=2 ydy du2
= ydy
v=1+x2 dv=2xdx dv2
=xdx
∫ du
2u12
=∫ dv
2v12
12∫ u
−12 du=1
2∫ v
−12 dv
12u
−12 =12v
−12 +c
1
2u12
= 1
2v12
+c
1
2√u= 1
2√v+c
1
2√1+ y2= 1
2√1+x2+c
g. dPdt
=P−P2
dP
P−P2=dt
∫ dP
P−P2=∫dt
∫ dPP(1−P)
=∫dt
∫ 11−P
dt=∫ dt
ln (1−P )=t+c
h.dydx
= xy+2 y−x−2xy−3 y+ x−3
dydx
=x ( y−1 )+2( y−1)x ( y+1 )−3 ( y+1)
dydx
=( y−1 )(x+2)( y+1 )( x−3)
( y+1 )( y−1 )
dy=(x+2)(x−3)
dx
∫ ( y+1 )( y−1 )
dy=∫ (x+2)(x−3)
dx
u= y−1 y=u+1 v=x−3 x=v+3
du=dy dv=dx
∫ u+1+1udu=∫ v+2+3v
dv
∫ u+2u du=∫ v+5v dv
∫(1+ 2u)du=∫(1+ 5
v)dv
u+2 lnu+c1=v+5 lnv+c2
y−1+2 ln ( y−1 )+c1=x−3+5 ln (x−3)+c2
y−1+2 ln ( y−1 )=x−3+5 ln ( x−3 )+c
12. Verifique que cada una de las siguientes ecuaciones es lineal, determine la solución general para cada una y calcule el mayor intervalo en el cual está definida esta solución
a. x2 y '+xy=1
y'+ xx2y= 1
x2
y '+ 1xy= 1
x2
P ( x )=1x
f ( x )= 1
x2
FI=e∫ 1x dx=e lnx=x
ddx
( xy )=x 1x2
ddx
( xy )=1x
xy=∫ 1x dx
xy=lnx+c
y= lnx+cx
b. y '=2 y+x2+5
y '−2 y=5+x2
P ( x )=−2
f ( x )=5+ x2
FI=e∫−2dx=e−2x
ddx
(e−2 x y )=x (5+ x2)
e−2x y=∫(5x+x3)dx
e−2x y=5 x2
2+ x
4
4+c
y=
5x2
2+ x
4
4+c
e−2x
y= 1e−2x
(5 x2
2+ x
4
4+c )
c. xdydx
− y=x2 senx
dydx
−1xy=xsenx
P ( x )=−1x
f ( x )=xsenx
FI=e∫−1xdx=e−lnx=−x
ddx
(e−lnx y )=−x . xsenx
e−lnx y=∫−x2 senxdx
e−lnx y=−∫ x2 senxdx∫ x2 senxdx
Por partes
∫udv=uv−∫vduu=x2 du=2 xdx
du2
=xdx
d v=senxdx v=−cosx
−∫ x2 senxdx=−x2 cosx+∫2 xcosxdx
−∫ x2 senxdx=−x2 cosx+2∫ xcosxdx
2∫ xcosxdx
u=x du=dx
d v=cosxdx v=senx
∫ xcosxdx=xsenx−∫ sendx∫ xcosxdx=xsenx+cosx
−∫ x2 senxdx=−x2 cosx+2(xsenx+cosx )
e−lnx y=x2 cosx−2 xsenx−2cosx+c
y= x2 cosx−2 xsenx−2cosx+c
e−lnx
d. ( x+1 ) dydx
−xy=x+x2
dydx
− xx+1
y= x+x2
x+1dydx
− xx+1
y=x (1+x )x+1
dydx
− xx+1
y=x
P ( x )= xx+1
f ( x )=x
FI=e∫ xx +1
dx
u=x+1 x=u−1 du=dx
∫ xx+1
dx=∫ u−1u du=∫( uu−1u)du=∫(1−1
u)du=u−lnu+c=x+1−ln (x+1 )+c
FI=ex+1−ln ( x+1 )
ddxex+1−ln ( x+1 ) y=ex+1−ln ( x+1 ) x
ex +1−ln (x +1) y=∫ ex+1−ln ( x+1 ) xdx
∫udv=uv−∫vduu=x dv=ex+1−ln ( x+1 )dxdu=dx v=ex+1− ln ( x+1 )
∫ x ex+1−ln ( x+1 )dx=x ex+ 1−ln ( x+1 )−∫ex+ 1−ln ( x+ 1) dx
∫ x ex+1−ln ( x+1 )dx=x ex+1−ln ( x+1 )−ex +1−ln (x+1)
∫ x ex+1−ln ( x+1 )dx=ex+1−ln ( x+1 ) ( x−1 )+c
ex +1−ln (x +1) y=ex+1−ln ( x+1 ) ( x−1 )+c
y=ex +1−ln (x +1) ( x−1 )+c
ex+1−ln ( x+1)
y=x−1+ c
e x+1−ln ( x+1)
e.dPdt
+2tP=P+4 t−2
dPdt
+2tP−P=4 t−2
dPdt
+P (2 t−1)=4 t−2
P ( t )=2t−1f ( t )=4 t−2
FI=e∫ (2 t−1 )dt=e t2−t
ddte t
2−t P=et2−t (4 t−2)
e t2−t P=∫ et
2−t(4 t−2)
f. ydx=( y ey−2x )dyy
( y e y−2x )=dydx
0=dydx
− y
( y e y−2 x )
P ( x )= 1
( y ey−2x )f ( x )=0
FI=e∫( 1
ye y−2x )dx
g. ( x+1 ) dydx
+ y=lnx
dydx
+ yx+1
= lnxx+1
P ( x )= 1x+1
f ( x )= lnxx+1
FI=e∫ ( 1x+1 )dx=e ln ( x+1)=x+1
ddx
(x+1) y= ( x+1) lnxx+1
ddx
(x+1) y= lnx
(x+1) y= ∫ lnx( x+1 ) y=xlnx−x+c
y= xlnx−x+cx+1h. cos2 x senxdy+ ( y cos3 x−1 )dx=0
cos2 x senxdy=−( y cos3 x−1 )dxdydx
=− ycos3 x−1cos2 x senx
dydx
= − y cos3 xcos2 x senx
+ 1cos2 x senx
dydx
+ cosxsenx
y= 1
cos2 x senxcosxsenx
=cotx 1senx
=cscx 1
cos2 x=sec2 x
dydx
+(cotx) y=sec2 xcscx
P ( x )=cotxf ( x )=sec2 xcscxFI=e∫cotxdx=e ln (senx )=senx
ddx
(senx) y=senx sec2 xcscx
senxcscx=1ddx
(senx) y=sec 2 x
(senx) y=∫ sec2 x( senx ) y=tanx+c
y= tanx+csenx
y= tanxsenx
+ 1senx
c
tanxsenx
=secx
y=secx+c(cscx)
13. determine si la ecuación es exacta, en caso de serlo, resuélvala
a. (x2− y2 )dx+(x2−2 xy )dy=0
M=(x2− y2 )
N= (x2−2xy )
ddyM= d
dy(x2− y2)=−2 y
ddxN= d
dx(x2−2xy )=−2 y
df (x , y)dx
=x2− y2
f (x , y )=∫ (x2− y2 )dx+g ( y )= x3
3− y2 x+g ( y )
df (x , y)dy
=−2 yx+g' ( y )
−2 yx+g' ( y )=x2−2xy
g' ( y )=x2−2 xy+2 yx
g' ( y )=x2
∫ g' ( y )=∫ (x2 )dy
g ( y )=x2 y+c
b. (3 x2 y+ey )dx+(x3+x ey−2 y )dy=0M=3 x2 y+ey
N=x3+x e y−2 ydMdy
=3 x2+e y
dNdx
=3 x2+e y
ddxf (x , y )=3 x2 y+e y
f ( x , y )=∫(3x¿¿2 y+e y)dx+g( y )¿
f ( x , y )=x2 y+x e y+g ( y )ddyf ( x , y )=x2+ xe y+g' ( y )
x2+ xe y+g' ( y )=x3+x e y−2 yg' ( y )=x3+ xe y−2 y−x2−x e y
g' ( y )=x3−2 y−x2
g ( y )=∫(x3−2 y−x2)dy
g ( y )=x3 y− y2−x2 y+cf ( x , y )=x2 y+x e y+x3 y− y2−x2 y+cf ( x , y )=x ey+x3 y− y2+c
c. (5 y−2 x ) y '−2 y=0
(5 y−2 x ) dydx
−2 y=0
(5 y−2 x ) dydx
=2 y
(5 y−2 x )dy=2 ydx(5 y−2 x )dy−2 ydx=0M=−2 yN=5 y−2xdMdy
=−2
dNdx
=−2
ddxf ( x , y )=−2 y
f ( x , y )=∫(−2 y )dx+g ( y )
f ( x , y )=−2 yx+g( y )ddyf ( x , y )=−2 x+g ' ( y )
−2 x+g ' ( y )=5 y−2xg' ( y )=5 y−2 x+2xg' ( y )=5 yg ( y )=∫5 ydyg ( y )=5
2y2+c
f ( x , y )=−2 yx+52y2+c
d. ( 1
1+ y2+cox−2xy ) dydx= y ( y+senx)
( 1
1+ y2+cox−2xy )dy= y ( y+senx)dx
( 1
1+ y2+cox−2xy )dy− y ( y+senx)dx=0
M=− y ( y+senx)
N= 1
1+ y2+cosx−2 xy
dMdy
=−2 y−senx
dNdx
=−senx−2 y
ddxf (x , y )=− y ( y+senx)
ddxf ( x , y )=− y2+ ysenx
f ( x , y )=∫ [− y2+ ysenx ]dx+g ( y)
f ( x , y )=− y2 x− ycosx+g( y)ddyf ( x , y )=−2 yx−cosx+g '( y)
−2 yx−cosx+g '( y)= 1
1+ y2+cosx−2 xy
g' ( y )= 1
1+ y2+cosx−2xy+2 yx+cosx
g' ( y )= 1
1+ y2
g ( y )=∫( 1
1+ y2 )dyg ( y )=ln (1+ y2)+cf ( x , y )=− y2 x− ycosx+ ln (1+ y2 )+c
e. (e x+ y )dx+(2+x+ y e y )d y=0(e x+ y )dx+(2+x+ y e y )d y=0M=ex+ yN=2+ x+ y e y
dMdy
=1
dNdx
=1
ddxf (x , y )=ex+ y
f ( x , y )=∫ (e x+ y )dx+g( y)f ( x , y )=ex+ yx+g( y)ddyf ( x , y )=x+g' ( y)
x+g' ( y)=2+x+ y ey
g' ( y )=2+x+ y ey−xg' ( y )=2+ y e y
g ( y )=∫ (2+ y e y )dyg ( y )=∫ (2+ y e y )dy∫ y e y dy∫udv=uv−∫vduu= y d v=e ydydu=dy v=e y
∫ y e y dy= y e y−∫e y dy∫ y e y dy= y e y−e y+cg ( y )=2 y+ y e y−e y+cf ( x , y )=ex+ yx+2 y+ y e y−e y+c
f. ( seny− ysenx )dx+( cosx+xcosy− y )dy=0M=seny− ysenxN=cosx+xcosy− ydMdy
=cosy−senx
dNdx
=−senx+cosy
ddxf (x , y )=seny− ysenx
f ( x , y )=∫ ( seny− ysenx )dx+g( y)f ( x , y )=xseny− ycosx+g( y )ddyf ( x , y )=xcosy−cosx+g' ( y )
g' ( y )=cosx+xcosy− y−xcosy+cosxg' ( y )=2cosx− yg ( y )=∫ (2cosx− y )dy
g ( y )=2 ycosx−12y2+c
f ( x , y )=xseny− ycosx+2 ycosx−12y2+c
f ( x , y )=xseny+ ycosx−12y2+c
g. (1+lnx+ yx )dx= (1−lnx )dy
(1+lnx+ yx )dx− (1−lnx )dy=0
M=1+lnx+ yx
N=−1+ lnxdMdy
=1/ x
dNdx
=1/ x
ddxf (x , y )=1+lnx+ y
x
f ( x , y )=∫(1+ lnx+ yx )dx+g ( y)f ( x , y )=x+xlnx−x+ ylnx+g ( y )f ( x , y )=xlnx+ ylnx+g( y )
ddyf ( x , y )=lnx+g' ( y )
lnx+g' ( y )=−1+lnxg ' ( y )=−1+lnx−lnxg ' ( y )=−1g ( y )=−1∫dyg ( y )=− y+cf ( x , y )=xlnx+ ylnx− y+cf ( x , y )=( x+ y ) lnx− y+c
h. (2 y−1x +cos 3x ) dydx + yx2
−4 x3+3 ysen 3x=0
(2 y−1x +cos 3x ) dydx=− yx2
+4 x3−3 ysen3 x
(2 y−1x +cos 3x )dy=(− yx2 +4 x3−3 ysen3 x)dx(2 y−1x +cos 3x )dy−(− yx2 +4 x3−3 ysen3 x)dx=0M= y
x2−4 x3+3 ysen3 x
N=2 y−1x+cos3 x
dMdy
= 1
x2+3 sen3 x
dNdx
=−1x2
−3 sen3 x
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