solución - aprendiendo con misteryansen · pdf filem+ ,mœ #( + ,...
Post on 14-Feb-2018
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Sergio Yansen Núñez
Sergio Yansen Núñez
1. Calcule la longitud del vector cuyo punto inicial es y suT œ Ð"ß � "ß � #Ñpunto final es .U œ Ð$ß � #ß %Ñ
Solución:
→TU œ Ð$ß � #ß %Ñ � Ð"ß � "ß � #Ñ œ Ð#ß � "ß 'Ñ
m TU m œ # � Ð � "Ñ � ' œ %"→ È È# # #
2. Sean los vectores y .? œ Ð"ß &ß � #Ñ @ œ Ð%ß 'ß � $Ñ
Determine: a) m?m
b) ? @ì
c) ángulo entre y ? @
d) ? ‚ @
e) m#Ð? ‚ @Ñ � %? � $@m
Solución:
a) m?m œ " � #& � % œ $!È È b) ? @ œ % � $! � ' œ %!ì
Sergio Yansen Núñez
Sergio Yansen Núñez
c) como ? @ m?m m@mì œ † † -9=Ð Ñ!
se tiene que : %! $! '"œ † † -9=Ð ÑÈ È !
es decir, el ºángulo entre y es ? @ ! œ #!ß ('
d) ? ‚ @ œ3 4 5" & � #% ' � $
â ââ ââ ââ ââ ââ â
œ 3 � 4 � 5& � # " � # " &' � $ % � $ % 'º º º º º º
œ � "& � "# 3 � � $ � ) 4 � ' � #! 5a b a b a b œ � $3 � &4 � "%5
œ Ð � $ß � &ß � "%Ñ
e) m#Ð? ‚ @Ñ � %? � $@m
œ m#Ð � $ß � &ß � "%Ñ � %Ð"ß &ß � #Ñ � $Ð%ß 'ß � $Ñm œ mÐ#ß � "#ß � #*m
œ % � "%% � )%" œ *)*È È
Sergio Yansen Núñez
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3. Determine:
a) un vector unitario (de longitud igual a ) y que sea paralelo, con"sentido opuesto, al vector .#3 � %4 � $5
b) un vector de norma igual a y que sea paralelo al vector&$3 � #4 � 5.
Solución:
a) Sea , ? œ #3 � %4 � $5 œ Ð#ß %ß $Ñ m ?m œ #*È tiene longitud igual a y es paralelo a "
#*È Ð#ß %ß $Ñ " ?
es unitario y tiene sentido opuesto a � Ð#ß %ß $Ñ ?"
#*È
b) Sea , ? œ $3 � #4 � 5 œ Ð$ß #ß � "Ñ m ?m œ "%È es unitario y es paralelo a "
"%È Ð$ß #ß � "Ñ ?
tiene longitud igual a y es paralelo a & † Ð$ß #ß � "Ñ & ?"
"%È
Por lo tanto, existen dos posibilidades:
i) tiene longitud igual a y es paralelo (con el &
"%È Ð$ß #ß � "Ñ &
mismo sentido) a .?
ii) tiene longitud igual a y es paralelo (con el � &
"%È Ð$ß #ß � "Ñ &
sentido opuesto) a .?
Sergio Yansen Núñez
Sergio Yansen Núñez
4. Determine un vector perpendicular al vector .? œ Ð#ß � $ Ñ
Solución:
se tiene que un vector pedido es pues @ œ Ð$ß # Ñ @ ì ? œ !
Observación:
Existen infinitas posibilidades. Basta determinar cualquier vector queÐ+ß ,Ñcumpla Ð+ß ,Ñ ì Ð#ß � $ Ñ œ ! #+ � $, œ !, o sea
Sergio Yansen Núñez
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5. Considere el triángulo de vértices , yE œ Ð"ß $ß #Ñ F œ Ð$ß � #ß %ÑG œ Ð%ß #ß $Ñ EFG. Determine el valor del ángulo .
Solución:
Sean
? œ œ Ð � #ß &ß � #Ñ→FE Ð"ß $ß #Ñ � Ð$ß � #ß %Ñ œ
@ œ œ Ð"ß %ß � "Ñ→FG Ð%ß #ß $Ñ � Ð$ß � #ß %Ñ œ
como ? ì @ œ m m † m m † -9=Ð Ñ? @ !
se tiene que : #! œ $$ † ") † -9=Ð ÑÈ È !
es decir : ºel valor del ángulo EFG ! œ $%ß )&%
Sergio Yansen Núñez
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6. Determine , si existe, tal que los vectores y- − + œ Ð"ß #-ß � "Ñ‘
, œ Ð!ß "ß "Ñ %& formen un ángulo de grados.
Solución:
como + , + ,ì œ m m † m m † -9=Ð%&Ñ
se tiene que
#- � " #- � " % !œ # � %- † # †È È#È#
#ß
#- � " œ # � %- Î ÐÑÈ # #
%- � %- � " œ # � %-# #
� %- � " œ #
� %- œ "
- œ � "
%
este valor no satisface la condición #- � " % !
por lo tanto, no existe valor de que cumpla las condiciones establecidas.-
Sergio Yansen Núñez
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7. Determine un vector de longitud que sea paralelo a , siendo$ ? ‚ @ y .? œ Ð"ß %ß &Ñ @ œ Ð#ß %ß $Ñ
Solución:
? ‚ @ œ3 4 5" % &# % $
â ââ ââ ââ ââ ââ â œ 3 � 4 � 5
% & " & " %% $ # $ # %º º º º º º
œ "# � #! 3 � $ � "! 4 � % � ) 5a b a b a b œ � )3 � (4 � %5
œ Ð � )ß (ß � %Ñ
m m œ m m œ "#*? ‚ @ Ð � )ß (ß � %Ñ È es un vector unitario paralelo a "
"#*È Ð � )ß (ß � %Ñ ? ‚ @
tiene longitud y es paralelo a $ † Ð � )ß (ß � %Ñ $ ? ‚ @"
"#*È
Por lo tanto, existen dos posibilidades:
$
"#*È Ð � )ß (ß � %Ñ ? ‚ @ (con el mismo sentido de )
(con el sentido opuesto a )� Ð � )ß (ß � %Ñ ? ‚ @$
"#*È
Sergio Yansen Núñez
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8. Si ¿son los vectores y perpendiculares ?m + m œ m , m + � , + � ,→ → →→ → →
Solución
Se tiene que Ð + � , Ñ † Ð + � , Ñ œ + † Ð + � , Ñ � , † Ð + � , Ñ→ → → → →→ → → → →
œ + † + � + † Ð � , Ñ � , † + � , † Ð � , Ñ→ → → →→ → → →
œ + † + � + † , � , † + � , † ,→ → → →→ → → →
œ m + m � + † , � , † + � m , m→ → →→ → →# #
œ � + † , � + † , œ !→ →→ →
luego Ð + � , Ñ ¼ Ð + � , Ñ→ →→ →
9. Determine un vector perpendicular a la recta que pasa por los puntos : y .E œ Ð"ß $Ñ F œ Ð$ß &Ñ
Solución
se tiene que es un vector director de la recta→ →? œ EF œ Ð#ß #Ñ
por lo tanto, un vector perpendicular a ella es : →? ¼ œ Ð � #ß #Ñ 10. Determine un vector perpendicular a la recta de ecuación .C œ #B � $
Solución
se tiene que son puntos de la rectaE œ Ð!ß $Ñ ß F œ Ð � ß !Ñ$#
con lo cual es un vector director de la recta→ →? œ EF œ Ð � ß � $Ñ$
#
por lo tanto, un vector perpendicular a ella es : →? ¼ $#œ Ð$ß � Ñ
Sergio Yansen Núñez
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11. Determine un vector unitario que sea perpendicular a una recta de pendiente igual a .$&
Solución
como la pendiente es se tiene que un vector director de la recta es7 œ ß$&
y como por lo tanto, un vector unitario que sea→ →? œ Ð "ß Ñ m ? m œ$& &
$%È
perpendicular a ella es : →? � ß "¼ &
$%œ Ð ÑÈ
$&
12. Determine un vector de norma igual a y que sea perpendicular a la recta& .$B � #C œ &
Solución
como la pendiente es se tiene que un vector director de la recta7 œ � ß$#
es y como por lo tanto, un vector de norma→ →? œ Ð � "ß Ñ m ? m œ$# #
"$È
igual a y que sea perpendicular a ella es : & ? � ß � "→¼ œ Ð Ñ1013È
$#
13. Determine un vector perpendicular a la recta de ecuación ,C œ 7B � 8 .7 Á !
Solución
como la pendiente es se tiene que un vector director de la recta7ß
es por lo tanto, un vector que sea perpendicular a ella es :→? œ Ð "ß7 Ñ
→? � 7ß "¼ œ Ð Ñ
Sergio Yansen Núñez
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14. Sean y vectores no nulos de .→ →? @ ‘$
¿ son los vectores y perpendiculares ?m ? m @ � m @ m ? m ? m @ � m @ m ?→ → → → → → → →
Solución
Ð m ? m @ � m @ m ? Ñ † Ð m ? m @ � m @ m ? Ñ→ → → → → → → →
œ m? m @ † Ð m ? m @ � m @ m ? Ñ � m @ m ? † Ð m ? m @ � m @ m ? Ñ→ → → → → → → → → → → →
œ m? m Ð @ † @ Ñ � m ? m @ † m @ m ? � m? m ? † m @ m @ � m @ m Ð ? † ? Ñ→ → → → → → → → → → → → → →# #
œ m? m m @ m � m? m m @ mÐ @ † ? Ñ � m @ m m ? mÐ ? † @ Ñ � m @ m m ? m→ → → → → → → → → → → →# # # #
œ !
es decir, son perpendiculares
15. Sean , dos vectores tales que:→ →+ ,
la magnitud de es , el ángulo formado por y es y el vector→ →→, # "( + ,È 1
$→ →→ →+ � , , + es perpendicular a . Calcule la magnitud del vector .
Soluciónconsiderando los datos, se tiene que , con los vectores , ,→ →→ →
+ , + � ,
es posible formar un triangulo rectángulo de hipotenusa →+
se tiene : con lo cual : -9=Ð=Ñ œ Í œ m + m œ % "(m , m
m + m m + m"#
# "(→
→ →È → È
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16. Sean los vectores y , tales que es→ → → → →→ →? œ + � $ , @ œ + � & , ?
perpendicular a y , . Determine el ángulo formado por→ → →@ m + m œ % m , m œ "
los vectores y .→ →+ ,
Solución
como → → → →? ¼ @ ? † @ œ !se tiene que Í Ð Ñ † Ð Ñ œ !→ →→ →
+ � $ , + � & ,
Í † Ð Ñ † Ð Ñ œ !→ → →→ → →+ + � & , � $ , + � & ,
Í Ð † † Ñ † † Ñ œ !→ → → →→ → → →+ + Ñ � &Ð + , � $Ð , + Ñ � "&Ð , ,
Í m+ m † Ñ œ !→ # � #Ð + , � "&m , m→ → → #
Í "' † Ñ œ !� #Ð + , � "&→ →
Í † œ �→ →+ , "
#
por otro lado,si es el angulo formado por los vectores, se tiene que :!
→ →→ →+ , + ,† œ m m † m m † -9=Ð Ñ!
Í � "# œ % † -9=Ð Ñ!
ºÍ ! œ E<--9=Ð � Ñ œ *(ß ")!(")
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17. Dados y determine dos vectores y que cumplan→ → →→+ œ Ð#ß $Ñ , œ Ð"ß #Ñ ? @
simultáneamente: i) tenga la dirección de .→ →? +
ii) sea perpendicular a .→ →@ +
iii) .→ → →? � @ œ ,
Solución
De las condiciones, se puede concluir que : →+ œ Ð � $ß #Ѽ
→ →? œ :<9C , œ Ð#ß $Ñ→+
→ →→, † + )m + m "$#
† + œ †→
→ →→@ œ :<9C , œ + œ Ð � $ß #Ñ→
→→++
+
¼¼
¼
¼
→, † "
m m "$#† †
con lo cual y satisfacen las condiciones pedidas→ →? @
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18. Sean , , tres vectores no nulos de .→ →→+ , - ‘$
Si , , .u uÐ + - Ñ œ Ð , - Ñ→ → →→
¿ es el vector perpendicular al vector ?m , m + � m + m , -→ →→ → →
Solución
como , , se tiene que :u uÐ + - Ñ œ Ð , - Ñ→ → →→
→ → → → → →→ →- + - + - , - ,† †œ m m † m m † -9=Ð Ñ œ m m † m m † -9=Ð Ñ! ! y
con lo cual ,dado que :
→ → → → → → →→ → → →- m , m + � m + m , - m , m + � - m + m ,† Ð Ñ œ † †
œ † †m , m - + � m + m - ,→ →→ → → →
œ m m † m m † -9=Ð Ñ m m † m m † -9=Ð Ñm , m - + � m + m - ,→ →→ → → →! !
œ !
con lo cual : Ð m , m + � m + m , Ñ ¼ -→ →→ → →
19. Sean y dos vectores no nulos. Determine tal que :→ →
+ , −! ‘
sea perpendicular a .→ → →+ � , ,!
Solución se tiene que :
→ → → → →→ →, + � , , + � , ,† Ð Ñ œ ! Í † † Ñ œ !! ! (
Í † † Ñ œ !→ → →→, + � , , (!
Í œ !→ →→ →, +
, ,
†
†
Í œ !→ →→, +
,
†
m m
#
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20. Sean → → → →+ œ 3 � 4 � 5
→ →→ →, œ � 3 � $ 4 � 5-
→ → → →- œ # 3 � 4 � 5
Calcule, si es posible, el valor de tal que el ángulo formado por y- → →+ ‚ -
→, es igual a .1
%
Solución
se tiene que À + œ Ð"ß "ß � "Ñ à , œ Ð � "ß � $ß � Ñ à - œ Ð#ß � "ß "Ñ→ →→-
y como : → →→ → →
+ ‚ - œ œ Ð!ß � $ß � $Ñ3 4 5" " � "# � " "
â ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual, ya que Ð Ñ † œ m m † m m † -9=Ð Ñ→ → → →→ →
+ ‚ - , + ‚ - , 1
%
se debe cumplir que À * � $- -œ $ # "! �È È # ##
È
Í $ � Í Ð$ �- - - -œ "! � Ñ œ "! �È # # #
Í * � ' Í- - - -� œ "! � œ# # "'
Sergio Yansen Núñez
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21. Determine el área del triángulo de vértices :
, y .EÐ"ß #ß %Ñ FÐ � "ß $ß &Ñ GÐ$ß � #ß $Ñ
Solución
Dados los puntos considertemos los vectoresEßFßG
→ → →→+ œ EF œ Ð � #ß "ß "Ñ à , œ EG œ Ð#ß � %ß � "Ñ
se tendra que : E œ m , m † m + m � m:<9C + m><3+Þ"#
# #,
→ → →É →
pero : m , m œ #" ß m + m œ ' ß→ →È È
:<9C + œ Ð#ß � %ß � "Ñ œ Ð � #ß %ß "Ñ →,
→ → →→+ † , * $
m , m #" (#
† , œ � † †→
con lo cual: E œ #" † ' � † #" œ><3+Þ" *# %* #
$ &È É È
otra forma, es considerando el producto cruz
E œ m + ‚ , m><3+Þ"# → →
donde → →+ ‚ , œ
â ââ ââ ââ ââ ââ â→ → →3 4 5
� # " "# � % � "
œ Ð$ß !ß 'Ñ
luego E œ m m œ><3+Þ"# #
$ &Ð$ß !ß 'ÑÈ
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22. Sean y dos vectores de , pruebe que el área del paralelógramo→ →+ , ‘$
generado por y es igual al área del paralelógramo generado→ →→+ , � +-
por y .→ →+ ,
Solución
el área del paralelógramo generado por y esta dado por :→ →+ ,
E œ m + ‚ , m:+<+6Þ → →
con lo cual, se tendra que :
el área del paralelógramo generado por y esta dado por :→ →→+ , � +-
E œ m + ‚ Ð Ñm:+<+6Þ → → →, � +-
œ m + ‚ + ‚ Ð Ñm→ →→ →, � +-
œ m + ‚ + ‚ Ñm→ →→ →, � Ð +-
œ m + ‚ m→ →,
Sergio Yansen Núñez
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23. de Sean y vectores tales que es perpendicular a ,→ → →→ → →+ , + � , + � ,‘$
m + � , m œ #( + , '!→ →→ →È , el ángulo formado por y es . o Determine el áreadel paralelógramo generado por los vectores y .→ →→
+ , � & +
Solución
el área del paralelógramo generado por y es la misma que el→ →→+ , � & +
área del paralelógramo generado por y , luego→ →+ ,
E œ m + ‚ m œ m + m † m , m † =/8Ð Ñ:+<+6Þ → → →→, !
º œ m + m † m , m † =/8Ð'! Ñ œ m + m † m , m→ →→ →È$#
pero es perpendicular a → →→ →+ � , + � ,
luego : Ð + � , Ñ Ð + � , Ñ œ !→ →→ →†
Í † † Í m + m � m , m œ ! Í m + m œ m , m→ → → →+ + � , , œ ! → →→ →# #
luego se tiene que : E œ m + m:+<+6Þ$
##È →
por otro lado,como : m + � , m œ #( m + � , m œ #(→ →→ →È Í #
Í †Ð + � , Ñ Ð + � , Ñ œ #(→ →→ →
Í m+ m � # † � m , m→ → # #→ →
+ , œ #(
Í #m + m � # †→ # → →+ , œ #(
pero →→
+ , œ œ† m + m † m , m † -9=Ð'! Ñ m + m→ →→ º "
##
luego : #m + m � # †→ # → →+ , œ #(
Í #m + m � m + m→ → # # œ #(
9Í m+ m → # œ por lo tanto : E œ m + m œ:+<+6Þ
$ $# #
#È È→ 9
Sergio Yansen Núñez
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24. Sean y vectores no nulos de , que satisfacen las condiciones→ →+ , ‘$
→ →+ , œ #† , m + m œ " m , m œ % - œ #Ð + ‚ , Ñ � $ ,→ → →→ → →
, . Considere .
a) Determine →→
+ Ð , �†→- Ñ
b) Expresar →- como combinación lineal de →→
+ ,y Solución
a) → → → → →→ → →+ Ð , � + , � + + , � + Рц † † † †
→ → → → →- Ñ œ - œ #Ð + ‚ , Ñ � $ ,
œ # Ð + ‚ , Ñ , œ !→ → →→+ , � + � $ + # � � ' œ � %† † †
→ → →
b) → → → →→, ‚ - œ , ‚ Ð Ñ œ # , ‚ , ‚ Ñ#Ð + ‚ , Ñ � $ , Ð + ‚ , Ñ � $Ð ,→ →→ → → →
œ # , ‚ Ð , † , Ñ + � #Ð , † + Ñ ,→ → → → →→ →Ð + ‚ , Ñ œ #→ →
œ $# → →+ � % ,
Sergio Yansen Núñez
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25. Dada la recta ,P À ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß !Ñ � Ð #ß � "ß #Ñ à −- - ‘
los puntos que están a una distancia del punto T ßV − P $ W œ Ð"ß #ß !Ñ y el punto . Calcular el área del triangulo de vértices :U œ Ð"ß !ß "Ñ T ßUßV
Solución
sea X œ ÐBß Cß DÑ − P Í X œ Ð" � # ß # � ß # Ñ- - -
tal que À .ÐX ß WÑ œ $ Í Ð # Ñ � Ð � Ñ � Ð# Ñ œ $È - - -# # #
Í $ œ $ Í œ " ” œ � "¸ ¸- - -
con lo cual : T œ Ð � "ß $ß � # Ñ ß V œ Ð$ß "ß # Ñ
consideremos los vectores : → →TU œ Ð#ß � $ß $Ñ à TV œ Ð%ß � #ß %Ñ
se tiene que E œ m ‚ m œ m m œ #*><3+Þ" "# #
→ →TU TV Ð � 'ß %ß )Ñ È
ya que → →
→ → →
TU TV œ Ð � 'ß %ß )Ñ3 4 5# � $ $% � # %
‚ œ
â ââ ââ ââ ââ ââ â
Sergio Yansen Núñez
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26. Dada la recta y el plano :P À œ œ œB�" D" �" #
C�" -
Determinar : 1 À B œ � # �C œ # � �D œ " � � #
- .
- .
- .
a.- tal que b.- T − P .ÐT ß Ñ œ P :1 1#
$È
c.- 1 1 1 1" " " plano tal que : P © • ¼
Solución
a.- se tiene que con lo cual , si se cumple queP À B œ � " � T − PC œ " �D œ #
-
-
-
T œ Ð � " � ß " � ß # Ñ- - -
por otro lado como se tiene que1 À B œ � # �C œ # � �D œ " � � #
- .
- .
- .
1 À
â ââ ââ ââ ââ ââ âB C � # D � "
� # " � "" " #
œ ! $B � $ÐC � #Ñ � $ÐD � "Ñ œ !Í
Í 1 À B � C � D œ " luego
.ÐT ß Ñ œ Í œ1# #
$ $ $
Ð�"� ß"� ß# цР"ß"ß�"Ñ�"
È È È¸ ¸- - -
Í # � " œ # Í œ ” œ �¸ ¸- - -" $# #
por lo tanto : T œ Ð � ß ß "Ñ à T œ Ð � ß ß � $Ñ" #" " & &# # # #
Sergio Yansen Núñez
Sergio Yansen Núñez
b.- sea T œ Ð � " � ß " � ß # Ñ − P- - - si T − Í � " � " � # Í1 - - - -� � œ " œ � "
#
luego P : Ð � ß ß � "Ñ1 œ Ö ×$ $# #
c.- 1 1" " : :â ââ ââ ââ ââ ââ â
B � " C � " D" � " #" " � "
œ ! Í � B � $ C � #D œ %
27. Dadas la recta y el plano ,donde :P 1
B œ � " � #-P C œ " � à − %B � C � $D œ "': ; : - - ‘ 1
D œ $ � -
Determinar: a.- L b.- tal que : P © • ¼1 1 1 1 1
" " "
c.- d.- tal que , )1 1 1": T − P .ÐT œ #'È
Solución
a.- sea T œ Ð � " � # ß " � ß $ � Ñ − P- - - si T − Í � " � # " � $ � Í1 %Ð Ñ � Ð Ñ � $Ð Ñ œ "'- - - - œ $
luego P : Ð&ß %ß !Ñ1 œ Ö ×
b.- 1 1" " : :â ââ ââ ââ ââ ââ âB � " C � " D � $
# " � "% � " $
œ ! Í #B � "! C � ' D œ � $!
c.- hay que resolver el sistema : # B � "! C � ' D œ � $!
%B � C � $D œ "'
” • ” •# � "! � ' � $! " � & � $ � "&% � " $ "' % � " $ "'
J Ð Ñ J Ð � %Ñ" #""#
Sergio Yansen Núñez
Sergio Yansen Núñez
” • ” •" � & � $ � "&! "* "& (' ! " %
J Ð Ñ J Ð&Ñ" � & � $ � "&
# "#""* "&
"*
– —" ! &
! " %
")"*"&"*
B � D œ &")"*
C � D œ %"&"*
B œ � D � &")"*
C œ � D � %"&"*
luego 1 1 -": œ P À œ D œ#
B�& C�%
�� ") "&
"* "*
œ
d.- T œ Ð � " � # ß " � ß $ � Ñ − P- - -
.ÐT ß Ñ œ Í œ1 È È#' #'¸ ¸
ÈÐ�"�# ß"� ß$� цР%ß�"ß$Ñ�"'
#'
- - -
Í � ' � # œ Í œ ” œ �¸ ¸- - -"$ "* (# #
por lo tanto : T œ Ð � " � "*ß ß � Ñ à T œ Ð � )ß � ß Ñ" ##" "$ & "$# # # #
Sergio Yansen Núñez
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28. Dadas la recta L y el plano ,donde :1
L: ; :
B œ � " � # à − B œ % � � à ß −C œ " � C œ $ � � #D œ $ � D œ " � � #
- - ‘ 1 - . - . ‘
- - .
- - .
Determinar: a.- L b.- tal que L : © • ¼1 1 1 1 1
" " "
c.- d.- P L tal que P, )1 1 1": − .Ð œ #'È
Solución
se tiene que : : 1 - . 1
- .
- .
B œ % � � Í œ !C œ $ � � #D œ " � � #
B � % C � $ D � "� " " "
" � # #
â ââ ââ ââ ââ ââ â : Í %B � $C � D œ #'1
sea T œ Ð � " � # ß " � ß $ � Ñ − P- - - si T − Í � " � # " � $ � Í1 %Ð Ñ � $Ð Ñ � Ð Ñ œ #'- - - - œ "#
&
luego P : Ð ß ß Ñ1 œ Ö ×"* "( $& & &
b.- 1 1" " : :â ââ ââ ââ ââ ââ âB � " C � " D � $
# " � "% $ "
œ ! Í #B � $C � D œ � #
c.- hay que resolver el sistema : %B � $C � D œ #' Í D œ "# � $B
%B � $C � D œ #'#B � $C � D œ � #
Í D œ "# � $B Í B œ Í B œB � $C œ "%
"#�D "#�D$ $
B œ "% � $C
"% � $C œ
luego 1 1 -": œ P À œ œ#
D�"#�$
B�!"
C�
�œ
"%
$
"
$
Sergio Yansen Núñez
Sergio Yansen Núñez
d.- T œ Ð � " � # ß " � ß $ � Ñ − P- - -
.ÐT ß Ñ œ Í œ1 È È#' #'¸ ¸
ÈÐ�"�# ß"� ß$� цР%ß$ß"Ñ�#'
#'
- - -
Í � "# � & œ Í œ & ” œ �¸ ¸- - -"$ "&
por lo tanto : T œ Ð*ß 'ß � #Ñ à T œ Ð � ß ß Ñ" #( % "'& & &
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