sol taller 3

UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS EINFORMATICA

INGENIERIA DE SISTEMAS EINFORMATICA

Solucionario del Taller No 3 de Algebra Lineal

Prof. Pascual Fermn Onofre Mayta.Ciclo Academico: 2009-II

1. (a) Sean las matrices

A1 =[a bc d

], A2 =

[a b

c d

] R22

y R.(i) Debemos probar queT (A1 +A2) = T (A1) + T (A2).En efecto,

T (A1 +A2) = T([

a+ a b+ b

c+ c d+ d

])=

[a+ a d+ d

0 a+ a

]=

[a d0 a

]+[a d

0 a

]= T (A1) + T (A2)

(ii) Debemos probar queT (A1) = T (A1)En efecto,

T (A1) = T([

a bc d

])=

[a d0 a

]=

[a d0 a

]= T (A1)

(b) Sean las matrices

A1 =[

0 23 0

], A2 =

[0 40 0

],

y A3 =[

0 11 0

].

Como T (A1) =[

0 00 0

],

T (A2) =[

0 00 0

]y T (A3) =

[0 00 0

]es claro ver que A1, A2 y A3 pertenecen alnucleo de T .

(c) Los vectores de la imagen de T son matrices

de la forma T (A) =[a d0 a

], donde a, d R.

La unica matriz que se encuentra en la imagende T es A2.

2. Considere los vectores

u = (1, 2) y v = (1,1) ,

entonces

T (u+ v) = T (2, 1) = ((2 1, 2 + 1)) = (2, 3)

Ademas,

T (u) + T (v) = T (1, 2) + T (1,1)= (2, 3) + (1, 0)= (1, 3)

As,T (u+ v) 6= T (u) + T (v)

3. Es claro ver que los vectores

v1 = (1, 1) y v2 = (1, 2)

forman una base de R2. Luego, para cualquier vec-tor (a, b) R2, existen escalares y tales que

(a, b) = v1 + v2 (3.1)

Luego (3.1) es equivalente a{+ = a+ 2 = b

(3.2)

Resolviendo (3.2) tenemos que

= b a , = 2a b (3.3)

Aplicando T en (3.1) y usando el hecho de que Tes una transformacion lineal se tiene

T (a, b) = T (v1 + v2)= T (v1) + T (v2)

i.e.,T (a, b) = T (v1) + T (v2) (3.4)

Segun la hipotesis del problema

T (v1) = (1, 2,1) y T (v2) = (3, 0, 4) (3.5)

Reemplazando (3.3) y (3.5) en (3.4), obtenemos que

T (a, b) = (2b a, 4a 2b, 5b 6a)

1

A continuacion encontremos la nulidad y el rangode T .

Sea un vector arbitrario v = (a, b) Nuc(T ), en-tonces

T (v) = (0, 0, 0)

i.e.,

(2b a, 4a 2b, 5b 6a) = (0, 0, 0)obteniendose, a = b = 0. As,

Nuc (T ) = {(0, 0)} .Luego, la nulidad de T es cero. Ahora, por el Teo-rema del rango,

dim(R2

)= Nulidad de T + Rango de T

Por tanto, el rango de T es 2.

4. Sea p (x) = ax2+bx+c P2, entonces la definicionde la transformacion lineal T puede ser escrita dela siguiente manera

T(ax2 + bx+ c

)= (c, a+ b+ c)

(i) Nuc(T )

Sea un polinomio arbitrario

p (x) = ax2 + bx+ c Nuc (T ) ,entonces

T (p (x)) = (0, 0)

i.e.,(c, a+ b+ c) = (0, 0)

Entoncesc = 0 , a = b

Luego,

p (x) = ax2 + bx+ c= bx2 + bx= b

(x2 + x) , b RAs,

Nuc (T ) = L{x2 + x}(ii) Im(T )

Sea T (p (x)) = (c, a+ b+ c) Im(T ), entoncesT (p (x)) = (c, a+ b+ c)

= c (1, 1) + (a+ b) (0, 1)= c (1, 1) + d (0, 1)

donde c, d = a+ b son reales cualesquiera. As,

Im (T ) = L{(1, 1) , (0, 1)}

5. Hecho en clase.

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