sistemas de numeración

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

• Polinomio general (número de cualquier base).

• Sistema: decimal, octal, hexadecimal y binario.

• Operaciones aritméticas (métodos generales): suma , resta multiplicación y división; para un número de cualquier base.

• Complementos y resta por complementos en binario.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Un número expresado en un sistema de base r tiene coeficientes multiplicados por potencias de r:

𝑎𝑛−1×𝑏𝑛−1+𝑎𝑛− 2×𝑏𝑛−2+…+𝑎1×𝑏1+𝑎0×𝑏0+𝑎− 1×𝑏−1+…+𝑎− (𝑝−1 )×𝑏− (𝑝− 1)+𝑎−𝑝×𝑏−𝑝

Dónde:• b: base del sistemas numérico• a: dígitos que se puede usar dentro del sistemas

numérico• n: número de dígitos a la izquierda de la coma

(fraccionarios)• p: número de dígitos a la derecha de la coma

Sistema decimal (base 10)

Está compuesto de 10 dígitos o símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y con ellos podemos expresar cualquier cantidad.

Es un sistema de valor posicional, ya que el valor de un dígito depende de la posición en la que se encuentre. Así

Para contar en este sistemas se toma desde el cero (0) hasta el nueve (9), una vez en nueve se reinicia en esa posición y se comienza a la derecha con un uno (1)

2 3 2 3 2 centenas más 3 decenas más 2 unidades más 3 décimas200+30+2+0.3

0 10 20 1001 11 21 101⁞ ⁞ ⁞ ⁞9 19 99 1000

,

Sistema binario (base 2)

Es un sistemas utilizado en casi todos los sistemas digitales como el sistemas básico de operaciones.

Solo hay dos símbolos: 0 y 1. Aun así se puede representar cualquier cantidad que pueda representarse en decimal. Sin embargo se requeriría de un mayor número de dígitos binarios.

De la misma manera este sistema es posicional.

1 0 1 1 + 0* + 1* + 1*

Para contar se lo hace de la misma manera que en decimal solo que ahora solo hay 2 dígitos.

Sistema hexadecimal (base 16)

Tiene 16 símbolos para representar cantidades: 0 al 9 más las letras A, B, C, D, E, F. Las posiciones de los dígitos se ponderan como potencias de 16.

A B 2 F   

Para contar en hexadecimal, puede incrementarse en uno en la posición de cada dígito desde 0 hasta F. Una vez en F, se restablece a 0 y se incrementa la posición del dígito a la izquierda.

0 10 20 1001 11 21 101⁞ ⁞ ⁞ ⁞E 1E FE FFFF 1F FF 1000

Sistema octal (base 8)

Tiene 8 símbolos para representar cantidades: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Las posiciones de los dígitos se ponderan como potencias de 8.

7 3 2 5   

Para contar en octal, puede incrementarse en uno en la posición de cada dígito desde 0 hasta 7. Una vez en 7, se restablece a 0 y se incrementa la posición del dígito a la izquierda.

0 10 20 1001 11 21 101⁞ ⁞ ⁞ ⁞6 16 76 7777 17 77 1000

TRANSFORMACIONES

Decimal a Binario.- se realizan divisiones sucesivas para 2

41

2          

1 20 2          0 10 2          0 5 2          1 2 2          0 1 2          1 0

Se toma los dígitos de esta forma

Hacerlo hasta que el cociente sea 0

4110=1010012

25

2          

1 12 2          0 6 2          0 3 2          1 1 2          1 0         

2510=110012

Decimal a octal.- se realizan divisiones sucesivas para 8 (enteros) o multiplicaciones por 8 (fraccionarios)

153

8    

1 19 8    3 2 8    2 0

Se toma los dígitos de esta forma

Hacerlo hasta que el cociente sea 0

15310=2318

=   0.6875*8 = 5.50.5*8 = 4

Se toma la parte entera de los productos

Hacerlo hasta que el producto sea entero o hasta que se considere suficiente

Decimal a hexadecimal.- se realizan divisiones sucesivas para 16 (enteros) o multiplicaciones por 16 (fraccionarios)

423

16    

7 26 16    10 1 16    1 0

Se toma los dígitos de esta forma

Hacerlo hasta que el cociente sea 0

42310=1 𝐴716

=   0.113328125*8

= 1.8125

0.8125*8 = 13Se toma la parte entera de los productos

Hacerlo hasta que el producto sea entero o hasta que se considere suficiente

Binario a decimal.- Se utiliza el concepto de sistema ponderado

Binario a octal.- hay que agrupar la cantidad binaria en grupos de tres desde la derecha y si es el caso en el último grupo de la izquierda completarlo con ceros.

101 110 100 010 0115 6 4 2 3

Para hacerlo con facilidad basta ayudarse de la tabla que se muestra, pero también hay que saber que los dígitos octales se pasan a binario individualmente como decimales.

𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐=564238

Octal Binario

1 0012 0103 0114 1005 1016 1107 111

Binario a octal.- hay que agrupar la cantidad binaria en grupos de cuatro desde la derecha y si es el caso en el último grupo de la izquierda completarlo con ceros.

0101 1101 1000 01005 13 8 4

Para hacerlo con facilidad basta ayudarse de la tabla que se muestra, pero también hay que saber que los dígitos hexadecimales se pasan a binario individualmente como decimales.

𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟐=5𝐷8416

Hexadecimal

Binario

1 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001A 1010B 1011C 1100D 1101E 1110F 1111

Hexadecimal a decimal.- se debe remplazar el valor de las letras si las hubiere, por números del mismo valor en decimal y usar el concepto de un sistema ponderado.

A B 2 F   

0 A E 5,

𝐴𝐵2𝐹 16=43823  10

0 ,𝐴 𝐸516=0,680908210

Hexadecimal a binario.- Tomamos en cuenta el valor en decimal que tienen los dígitos hexadecimales y los pasamos a binario de uno en uno para completar grupos de cuatro, si no, añadimos ceros a la izquierda (enteros) y derecha (fraccionarios) para completar los grupos de cuatro dígitos. O nos podemos ayudar de la tabla.

Hexadecimal

Binario

1 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001A 1010B 1011C 1100D 1101E 1110F 1111

9 D B A 5

1001 1101 1011 1010 0101

𝟗𝑫𝑩𝑨𝟓𝟏𝟔=100111011011101001012

5 F E

0101 1111 1110

𝟓 ,𝑭𝑬𝟏𝟔=101,11111112

,

NOTA: Los ceros, a la izquierda en enteros y a la derecha en fraccionarios , no afectan el valor de la cantidad.

Hexadecimal a octal.- hay que pasar el numero hexadecimal a binario para luego pasarlo a octal.

9 D B A 5

1001 1101 1011 1010 0101

𝟗𝑫𝑩𝑨𝟓𝟏𝟔=23556458

010 011 101 101 110 100 101

2 3 5 5 6 4 5

Octal a decimal.- se debe usar el concepto de un sistema ponderado.

7 0 2 1   

0 7 4 5,

70218=3601  10

0,74516=0,947265610

Octal a binario.- pasamos a binario de uno en uno para completar grupos de tres, si no, añadimos ceros a la izquierda (enteros) y derecha (fraccionarios) para completar los grupos de tres dígitos. O nos podemos ayudar de la tabla.

4 7 3 2 1

100 111 011 010 001

𝟒𝟕𝟑𝟐𝟏𝟖=1001110110100012

5 3 2

101 011 010

𝟓 ,𝟑𝟐𝟖=101,011012

,

NOTA: Los ceros, a la izquierda en enteros y a la derecha en fraccionarios , no afectan el valor de la cantidad.

Octal Binario

1 0012 0103 0114 1005 1016 1107 111

Octal a hexadecimal.- hay que pasar el numero octal a binario para luego pasarlo a hexadecimal.

1001 1101 1011 1010 0101

9 D B A 5

𝟐𝟑𝟓𝟓𝟔𝟒𝟓8=9𝐷𝐵𝐴516

2 3 5 5 6 4 5

010 011 101 101 110 100 101

100111011011101001012

OPERACIONES ARITMETICAS

Suma.- de manera general, si la suma de los dígitos en la misma posición excede a un múltiplo de la base del sistema en que se lo hace, se escribe el exceso y se lleva las veces en que ese resultado excede a la base.

1 1 11 0 1 1 0

+ 1 0 1 1 11 0 1 1 0 1

Base 2

llevo

1+1+1=3

Excede en 1 a 2 (2x1), y lo hace 1 vez (2/2=1)

1+1=2

Excede en 0 a 2 (2x1), y lo hace 1 vez (2/2=1)

1 1 16 7 7 1

+ 7 4 3 11 6 4 2 2

Base 8

llevo

1+7+4=12

Excede en 4 a 8 (8x1), y lo hace 1 vez

7+3=10

Excede en 2 a 8 (8x1), y lo hace 1 vez

1 1 16 C D A

+ F F E 11 6 C B B

Base 16

llevo

1+12+15=28

Excede en 12 a 16 (16x1), y lo hace 1 vez

13+14=27

Excede en 11 a 16 (16x1), y lo hace 1 vez

+2 +2 +2 +21 0 0 0 0 11 1 1 1

1 0 1 1 10 0 1 0 1 0

He pagado 1.1+1=20<2, le añado la base (+2)Sin olvidarse de pagar

0<1, le añado la base (+2)2-1=1Sin olvidarse de pagar.

Resta.- se resta dígitos de la misma posición, si el digito del minuendo es menor, se le añade el número base y se le paga al digito de la siguiente posición del sustraendo sumándose los dos valores, para luego comparar nuevamente.

Base 2

-

+8 +82 1 3 11 1

3 4 01 5 7 1

He pagado 1.1+3=41<4, le añado la base (+8)(8+1)-(1+3)=5Sin olvidarse de pagar

3<4, le añado la base (+8)(8+3)-4=7Sin olvidarse de pagar.

Base 8

-+16 +16

A 2 3 11 1

B B 19 6 8 0

He pagado 1.1+11=122<12, le añado la base (+16)(16+2)-(1+11)=6Sin olvidarse de pagar

3<11, le añado la base (+16)(16+3)-11=8Sin olvidarse de pagar.

Base 16

-

Multiplicación.- si el producto sobrepasa la base, se escribe lo que sobrepasa y se lleva tantas veces contiene el producto a la base. Se utiliza el procedimiento común para una suma.

1 1 1 1x 1 0 1

1 1 1 1+ 0 0 0 0

1 1 1 11 0 0 1 0 1 1

Base 2

3 93 A

x F3 6 6

llevo

AxF=150

150-(16x9)=6

Escribo el 6 y llevo 9

Base 8 Base 16

3 63 7

x 73 3 1

llevo

7 x 7 = 49

49 - (8 x 6) = 1

Escribo el 1 y llevo 6

COMPLEMENTOS

Complemento r-ésimo

• El complemento de 2 se puede obtener dejando intactos los 0 menos significativos y el primer 1 menos significativo y cambiando todos los demás 1 por 0 y los 0 por 1.

• El complemento de 10 se puede obtener restando el digito menos significativo de 10 y los siguientes de 9.

r: base del sistema numéricon: número de dígitos de N

Resta con complemento a 2

Sean M y N números binarios, si se realiza M-N, hay que hallar el complemento a 2 de N y sumarle con M.

¿Existe acarreo final?

• Si: El resultado de M-N es el resultado de la suma sin tomar en cuenta el acarreo y es positivo

• No: Se halla el complemento a 2 del resultado y la respuesta es negativa.

Complemento (r-1)-ésimo

Se resta cada dígito del dígito mayor del sistema que se use.

r: base del sistema numéricon: número de dígitos enteros de Nm: número de dígitos fraccionarios de N

Resta con complemento a 1

Sean M y N números binarios, si se realiza M-N, hay que hallar el complemento a 1 de N y sumarle con M.

¿Existe acarreo final?

• Si: se agrega 1 al dígito menos significativo que se obtuvo en la suma y ese es el resultado de M-N.

• No: Se halla el complemento a 1 del resultado y la respuesta es negativa.