sistemas de medidas angulares
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AÑO 2015
UNIDAD:1
DEFINICIÓN:
Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final.
O<
)
A
B
OA : Lado InicialOB : Lado final O : Vértice
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
O<
) Un ángulo es positivo si susentido de giro es contrario alas manecillas del reloj.
POSITIVO
SENTIDO DE GIRO HORARIO
O <
) NEGATIVO
Un ángulo es negativo si susentido de giro es a favor delas manecillas del reloj.
La medida de un ángulo se puede expresar en cualquiera de estos 3 sistemas:
SISTEMA SEXAGESIMAL
( S )
SISTEMA CENTESIMAL( C )
SISTEMA RADIAL( R )
SISTEMA SEXAGESIMAL (S)
Llamado también ingles, es aquel sistema cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal (º) que es igual a la 360ava parte de una vuelta ( circunferencia)
nciaCircunfere 360
1
O
A
B
1º
NOTACIÓN:1º: un grado sexagesimal1’: un minuto sexagesimal1’’: un segundo sexagesimal
SISTEMA SEXAGESIMAL (S)
o1 GRADO : MINUTO : '1 SEGUNDO : "1
EQUIVALENCIAS
'o 601 "' 601
"o 36001
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 60 x 60
: 60 : 60
: 3600
< <
<<
<
<<<
< <
x 3600
Ejercicios de aplicación
1) Expresar 3945’ en grados sexagesimales
Resolución
''60
'1''30
Usando las equivalencias respectivas tenemos
º75,65
2) Expresar 45º25’30’’ a grados sexagesimales
Primero pasamos los 30’’ a minutos
'60
º1'3945
'5,0
Ahora tenemos 45º25,5’
'60
º1'5,25 º425,0
Sumamos: 45º + 0,425º
45,425º
45º25’30’’ 45,425º
Ejercicios de aplicación
3) Expresar 87,32º en grados, minutos y segundos sexagesimales
Resolución
º1
'60º32,0
87º + 0,32º
'2,19
87º + 19’ + 0,2’
'1
''60'2,0 ''12
87º +19’ + 12’’ 87,32º 87º19’12’’
Ejercicios de aplicación
4) Expresar 4058’’ en grados, minutos y segundos sexagesimales
Resolución
4058’’ 4058’’ 1º7’38’’60’’6458 7’
38’’
67’ 60’1º7’
5.- Expresa la medida de cada ángulo en grado, minutos y segundo
13,45º=
4600’’ =
7884’’ =
15,23º =
189º =
13º26’60’’
1º16’40’’
188º59’60’’
15º13’48’’
2º11’24’’
SISTEMA CENTESIMAL (C)
Llamado también sistema francés, es aquel sistema que tiene como unidad de medida angular el grado centesimal (g), que es igual a la 400ava parte del ángulo de una vuelta
nciaCircunfere 400
1
NOTACIÓN:1g: un grado centesimal1m :un minuto centesimal1s :un segundo centesimal
O
A
B
1g
SISTEMA CENTESIMAL (C)
GRADO : g1 MINUTO : m1 SEGUNDO : s1
EQUIVALENCIAS
g m1 100m s1 100
g s1 10000
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 100 x 100
x 10 000
: 100 : 100
: 10 000
< <
<<
<
<<<
< <
Ejercicios de aplicación
1) Expresar 50g 25m 45s a grados centesimales
Resolución
m
gm
100
125
g0045,0
Primero pasamos los 45s a grados centesimales
s
gs
10000
145
g25,0
La expresión 50g 25m 45s podemos escribirla
50g +25m +45s 50g +0,0045g +0,25g
50g +25m +45s 50,2545g
Ejercicios de aplicación
2) Expresar 20,3465g a grados , minutos y segundo centesimales
Resolución
g
mg
1
1003465,0
La expresión 20,3465g se puede escribir así
m65,34
La expresión 20,3465g podemos escribirla
20g +34m +65s 20g 34m 65s
20g + 0,3465g
m
sm
1
10065,0
s65
mm 65,034
SISTEMA RADIAL (R)
.. 1rad
R
R
R)
1 VUELTA = 2Π RAD
1 RAD = 57°17’ 45’’
LLAMADO TAMBIEN SISTEMA CIRCULAR. EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN.
UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO.
0 g180 200 rad
FÓRMULA DE CONVERSIÓN
S180
C200
R
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
R : NÚMERO DE RADIANES
Ejercicios de aplicación
1) Convertir 72º a grados centesimales y radianes
Resolución
g10
C
º9
S g10
C
º9
º72 9
)10(72C g80C
rad
R
º180
S
rad
R
º180
º72
º180
)rad (º72R
rad5
2R
Ejercicios de aplicación
2) Convertir 120g a grados sexagesimales y radianes
Resolución
g10
C
º9
S g
g
10
120
º9
S g
g
10
)º9(120S º108S
rad
R
200
Cg
rad
R
200
120g
g
g
g
200
)rad (120R
rad5
3R
Ejercicios de aplicación
Resolución
rad
R
º180
S
rad
rad4
5
º180
S
rad
rad4
5º180
S
º225S
escentesimaly lessexagesima grados a rad4
5 Expresar )3
rad
R
º200
C
rad
rad4
5
º200
C
rad
rad4
5º200
S
g250S
Ejercicios de aplicación
4) Convertir 24,5g a grados sexagesimales y radianes
Resolución
g10
C
º9
S g
g
10
5,24
º9
S 10
)9(5,24S º5,22S
rad
R
º200
C
rad
R
200
5,24g
g
200
)rad (5,24R
rad400
49R
Ejercicios de aplicación
5) Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes, si se cumple que: C – S = 4
Resolución
4SC 4rad
R180
rad
R200
rad5
R
rad
R
º200
C
rad
R200C
rad
R180S
rad
R
º180
S
4rad
R20
6) Calcular la medida de un ángulo expresado en radianes si:
Resolución
rad10
R
10
5x3
9
7x5
S = 5x - 7 C = 3x + 5y
Calculando el valor de “x”
g10
C
º9
S 45x2770x50
7045x27x50 115x23 5x S = 5x - 7
S = 18Calculando “R”
rad
R
º180
S
rad
R
º180
º18
S = 5(5) - 7
Ejercicios propuestos
1) Expresar el complemento de 30º en el Sistema Circular.
a) rad3
rad
6
rad4
rad
5
rad
8
c)b) d) e)
2) Determinar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que 2
8
CR
20
SR
a) rad6
rad
8
rad4
rad
5
rad
10
c)b) d) e)
3) Los ángulos congruentes de un triangulo isósceles son ( 8x – 3 ) º y ( 9x – 4 )g hallar la medida del ángulo desigual expresado en radianes
a) rad3
rad
5
2 rad10
rad
5
4rad
2
c)b) d) e)
Ejercicios propuestos
4) Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes si se cumple que 3S – 2C = 14
a) rad9
rad
10
rad2
rad
5
rad
8
c)b) d) e)
5) Determinar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que
m
mg
1
11
'1
'1º1E
a) rad rad 2 rad4
rad 5 rad
10
c)b) d) e)
6) Calcular el valor de
a) 160 171 162 163 174c)b) d) e)
202
CRSR5
*SECTOR CIRCULAR
*SECTOR CIRCULAR
*Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia
De la figura se obtiene:
A0B Sector Circular
*LONGITUD DE ARCO (l)*Es aquella porción de un arco de circunferencia,
se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia.
l = . r
Donde:
l : longitud de arco
: número de radianes del ángulo central
r : radio de la circunferencia
*ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S)*El área de un Sector Circular se calcula mediante
el producto del número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos.
También se tiene:
2
2rS
2
rlS
2
2lS
*ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR
*EJERCICIOS1. A partir de la figura, hallar: B = θ2 + θ + 2
Resolución:
Del sector AOB:
Del sector COD:
Entonces:
2. Del gráfico, hallar el área de la región sombreada
Resolución:
Entonces:
Del triángulo BOC:
3. A partir del gráfico, halle la longitud recorrida por la esfera, hasta impactar en CD. Si AB = BC = 4m
Resolución:
Longitud total:
4. Si una circunferencia se encuentra inscrita en un triángulo equilátero de lado 6 cm., entonces su longitud, es:
Resolución:
5. Del gráfico, calcular x/y siendo S1 = S2
Resolución:
6. Del gráfico, hallar L1 /L2 , siendo S1 = S2
Resolución:
7. En la figura: S1 = 2S2. Hallar: “θ”
Resolución:
8. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 36º. ¿Cuánto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?
Resolución:
Como el área no varía, entonces:
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