sistemas de ecuaciones no lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Ulises Umaña Palma

German Vásquez Araya

Un sistema de ecuaciones no lineales con dos incógnitas “x” y “y”

0573),(

010),(2

2

xyyyxv

xyxyxu

Así la solución de este sistema son los valores de ( x , y ) que hacen a las funciones u y v iguales a cero.

Para resolver estas ecuaciones se utilizan extensiones de los métodos abiertos antes vistos.

Resolución del sistema de ecuaciones no lineales Utilizando la iteración de punto fijo.

La aproximación de la iteración de punto fijo, vista anteriormente, se puede modificar para resolver dos ecuaciones simultáneas no lineales

Las modificaciones y las desventajas de este método se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.10

0573),(

010),(2

2

xyyyxv

xyxyxu

Solución

i

ii y

xx

2

1

10

Con base en los valores iniciales

21429.25.3

)5.1(10 2

x

21 357 iii yxy

37516.24)5.3()21429.2(357 2 y

La aproximación diverge, pero si se cambia la formulación, los resultados difieren.

Sistema de ecuaciones no lineales. Valores iniciales x=1.5 y=3.5.

La solución es x=2 y=3

98340.202046.23

04955.357

02046.204955.394053.110

º3

04955.394053.13

86051.257

94053.186051.217945.210

º2

86051.217945.23

5.357

17945.25.35.110

3

57

10

y

x

Iteración

y

x

Iteración

y

x

Evaluandox

yy

xyx

%22.2

%96.3

_

_

ya

xa

E

E

%55.0

%02.1

_

_

yt

xt

E

E

Como se observa en esta ocasiónla aproximación no diverge.

Resolución del sistema de ecuaciones no lineales

y

vyy

x

vxxvv

yu

yyxu

xxuu

iii

iiiii

iii

iiiii

)()(

)()(

111

111

)()(

'1i

iii xf

xfxx

Utilizando Newton-Raphson.

Este cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden

y con ella se obtiene la ecuación para este método.

La serie de Taylor de primer orden para el caso de dos variables.

)()()()( '11 iiiii xfxxxfxf

xv

yu

yv

xu

xv

uxu

vyy

xv

yu

yv

xu

yu

vyv

uxx

iiii

ii

ii

ii

iiii

ii

ii

ii

1

1

Por medio de manipulación matemática y la regla de Cramer.

El denominador de ambas ecuaciones es conocido como el determinante

Jacobiano del sistema.

Ejemplo 6.11. Para el mismo ejercicio anterior

0573),(

010),(2

2

xyyyxv

xyxyxu

5.32)5.3)(5.1(6161

75.36)5.3(33

5.1

5.65.3)5.1(22

0

220

0

0

xyy

v

yx

v

xy

u

yxx

u

Solución.

El Jacobiano para la primera iteración.

125.156)75.36)(5.1()5.32)(5.6(

Evaluando en las funciones.

84388.2125.156

)75.36)(5.2()5.6(625.15.3

03603.2125.156

)5.1(625.1)5.32(5.25.1

625.157)5.3)(5.1(35.3

5.210)5.3(5.1)5.1(

1

1

20

20

y

x

v

u

Iteración Variable Valor Error Aprox Error True

2

x 1,9986 1,87% 0,07%

y 3,0027 5,29% 0,09%

3

x 2 0,07% 0%

y 3 0,09% 0%