sistemas de ecuaciones de primer grado prof. josé mardones cuevas e- mail: cumarojo@yahoo.com

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Prof. José Mardones Cuevas

E- Mail: cumarojo@yahoo.com

Dos o más ecuaciones lineales forman un SISTEMA DE ECUACIONES.

Ejemplos:

42

5

yx

yx

62

52

6

zyx

zyx

zyx

SISTEMA DE ECUACIONES

Las ecuaciones se satisfacen con un mismo conjunto de valores.

Es decir, las ecuaciones tienen UNA SOLUCIÓN EN COMÚN.

ECUACIONES SIMULTÁNEAS

42

5

yx

yxAquí x = 3, y = 2

Porque 3+2=5 y 2(3)-2=6-2=4

Ejemplo:

Es aplicar un procedimiento para establecer cuál es la solución del sistema.

RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

CON DOS INCÓGNITAS

Se conocen distintos métodos para resolverlos.

Cada método aplica procedimientos específicos para encontrar la solución del sistema.

Este método consiste en graficar rectas, para luego determinar las coordenadas del punto de intersección de ellas.

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES

a

b

Ejemplo:

P

x

y

RESOLUCIÓN ANALÍTICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Aplicación de métodos basados en el análisis previo de las variables involucradas en el sistema.

METODO ANALÍTICO DE ELIMINACIÓN

Método que permite obtener de un sistema una sola ecuación con una incógnita.

Para eliminar una incógnita existen tres procedimientos.

REDUCCIÓN

NSUSTITUCIÓ

IGUALACIÓN

Eliminación por:

METODO DE ELIMINACIÓN

POR IGUALACIÓN

Este procedimiento consiste en despejar una de las incógnitas, en ámbas ecuaciones, para luego igualarlas.

De esta manera, se elimina la incógnita despejada y se obtiene una ecuación con la otra incógnita.

En un cine, 17 entradas de niño y 15 de adulto cuestan $83.100, y 10 entradas de adulto y 9 de niño $51.200. ¿Cuánto cuesta una entrada de adulto?

PROBLEMA

Solución:

Definimos variables

Precio de una entrada de niño: n

Precio de una entrada de adulto: a

Formamos un sistema

5120010an9

83100a15n17

9

a1051200

17

a1583100

17

a1583100n

a1583100n17

83100a15n17

9

10a-51200n

10a-51200n9

5120010an9

Resolvemos el sistema

Eliminación de la incógnita n. Despejamos n en cada ecuación.

Resolvemos esta nueva ecuación, aplicando producto cruzado.

Eliminamos n igualando ambos resultados.

170a-870400135a-747900

747900-870400135a-170a

12250035a

35

122500a

3500a Por lo tanto, la entrada de adulto cuesta $3.500.

17a)1051200(9a)1583100(

RESUELVE EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES POR EL PROCEDIMIENTO DE IGUALACIÓN.

42

5

yx

yx

Solución: (Meta: debes llegar a los siguientes resultados)

x = 3 , y =2

ACTIVIDAD

1) Elige una incógnita para eliminar. Por ejemplo, y.

2) Despeja y en ambas ecuaciones.

3) Iguala los valores algebraicos de y. Así se elimina y.

4) Resuelve la ecuación que queda para obtener el valor de x.

5) Reemplaza el valor de x, en cualquiera de las ecuaciones del sistema, para obtener y.

METODO DE ELIMINACIÓN

POR IGUALACIÓN

METODO DE ELIMINACIÓN

POR SUSTITUCIÓN

Este procedimiento consiste en despejar una de las incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones del sistema.

Luego, la incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación para lograr eliminarla.

PROBLEMA

Solución:

Edad de Loreto: L

Edad de Nicolás: N

N4L

L3N

Nicolás tiene 3 veces la edad de Loreto. Si Loreto tuviese 4 años más, ambos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene cada uno?

Respuesta:

Loreto tiene 2 años y Nicolás 6 años de edad.

Como N está ya despejada en la primera ecuación, basta sustituirla en la segunda. Luego resolvemos la ecuación resultante.

L2

2L4

L-3L4

3L4L

N4L

6N

23N

L3N

Reemplazamos este valor en la primera ecuación.

N es reemplazada por 3L

RESUELVE EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES POR EL PROCEDIMIENTO RECIÉN ESTUDIADO

Solución: (Meta: debes llegar a los siguientes resultados)

x = 5 , y = 4

ACTIVIDAD

132

9

yx

yx

1) Elige una incógnita para eliminar. Por ejemplo, y.

2) Despeja y en una de las ecuaciones.

3) En la otra ecuación sustituye y por su valor algebraico. Así se elimina y.

4) Resuelve la ecuación que queda para obtener el valor de x.

5) Reemplaza el valor de x, en cualquiera de las ecuaciones del sistema, para obtener y. (También puedes reemplazar x en la ecuación despejada)

METODO DE ELIMINACIÓN

POR SUSTITUCIÓN

METODO DE ELIMINACIÓN

POR REDUCCIÓN

Este procedimiento reduce dos ecuaciones a una sola, sumando una ecuación con otra.

Para lograrlo una o las dos ecuaciones se multiplican por un factor adecuado, de tal manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean inversos aditivos (así, se eliminarán al sumar).

En un cine, 17 entradas de niño y 15 de adulto cuestan $83.100, y 10 entradas de adulto y 9 de niño $51.200. ¿Cuánto cuesta una entrada de niño?

PROBLEMA

Solución:

Definimos variables

Precio de una entrada de niño: n

Precio de una entrada de adulto: a

Formamos un sistema

5120010an9

83100a15n17

Resolvemos el sistema

Eliminación de la incógnita a

3/5120010an9

2/83100a15n17

Para igualar los coeficientes usamos m.c.m.(15,10)=30

-1/536001a30n27

166200a30n34

El 15 cabe en el 30 dos veces, por lo tanto multiplicamos por 2 la primera ecuación.

El 10 cabe en el 30 tres veces, por lo tanto multiplicamos por 3 la segunda ecuación.

Ahora, multiplicamos por -1 una de las ecuaciones para obtener el inverso aditivo de uno de los coeficientes.

536001a30-n27

166200a30n34Debemos sumar hacia abajo para obtener una ecuación con una sola incógnita.

Resolvemos esta ecuación. 12600n 7

7

12600n

800.1n

Por lo tanto, la entrada de niño cuesta $1.800.

RESUELVE EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES POR EL PROCEDIMIENTO RECIÉN ESTUDIADO

1723

854

yx

yx

Solución: (Meta: debes llegar a los siguientes resultados)

x = - 101/23 , y = - 44/23

ACTIVIDAD 1

1) Elige una incógnita para eliminar. Por ejemplo, y.

2) Para igualar los coeficientes de y puedes usar el m.c.m. (Mínimo Común Múltiplo).

3) Multiplica cada ecuación por el factor adecuado.

4) Verifica si los coeficientes de la incógnita a eliminar son inversos aditivos. Si no es así, en una de las ecuaciones multiplica cada término por -1.

5) Suma las ecuaciones, miembro a miembro. Así se elimina y.

6) Resuelve la ecuación que queda para obtener x.

7) Reemplaza el valor de x, en cualquiera de las ecuaciones del sistema, para obtener y.

Si tuvieras que resolver el siguiente sistema de ecuaciones, ¿qué procedimiento de eliminación aplicarías?

¿por qué aplicarías éste y no los otros procedimientos?

ACTIVIDAD 2

056

832

yx

yx

Cecilia reemplazó a su mamá atendiendo la caja en la librería por un par de horas. Para hacer los recuentos semanales de existencia de artículos en la bodega, utilizan las boletas de compraventa, por lo que es necesario anotar la cantidad y el tipo de artículos vendido.

Al hacer el recuento de boletas, se constató que en una de ellas Cecilia anotó un total de 30 cuadernos y un valor de $21.000.

Si sólo hay dos tipos de cuadernos a la venta, unos de $500 y los otros de $800, ¿se puede calcular cuantos cuadernos de cada clase vendió? Justifica.

ACTIVIDAD 3