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Ing. Eduardo Orcés
Sistemas de Control
Clase 17
Ing. Eduardo Orcés P. Febrero 03/2014
2013-II
Ing. Eduardo Orcés
TEMAS
Diseño de Sistemas de Control: Método
de Ajuste de Ganancia
2013-II
Diseño de sistemas mediante el LGR
Especificaciones típicas de Diseño
2013-II Ing. Eduardo Orcés P.
Diseño por Ajuste de Ganancia
• Trazar el LGR.
• Hallar la ganancia K requerida para satisfacer las especificaciones de diseño, usando las correlaciones de 2° orden.
• Justificar la suposición de 2° orden si:
- polos de orden superior están más alejados del eje
imaginario (>5x) que los polos dominantes de 2°
orden.
- ceros de LC son cancelados aproximadamente por
polos de LC de orden superior, ó, están más alejados
(>5x) que los polos dominantes de LC.
2013-II Ing. Eduardo Orcés P.
Aproximaciones de Segundo Orden
2013-II Ing. Eduardo Orcés P.
• Ejemplo 8.8 (Nise): Seleccione la ganancia K requerida
para obtener un sobrepaso de 1.52 %. También estime
el tiempo de asentamiento, tiempo pico y error de estado
estable. (Usar programa ch8p2)
2013-II Ing. Eduardo Orcés P.
2013-II Ing. Eduardo Orcés P.
a. Caso 2;
b. Caso 3
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% (ch8p2) Example 8.8: We can couple the design of gain on the root locus with a
% step response simulation for the gain selected. We introduce the command
% rlocus(G,K), which allows us to specify the range of gain, K, for plotting the root
% locus. This command will help us smooth the usual root locus plot by equivalently
% specifying more points via the argument, K. Notice that the first root locus
% plotted without the argument K is not smooth. We also introduce the command,
% x = input('prompt'), which allows keyboard entry of a value for x in response to a
% prompt. We apply this command to enter the desired percent overshoot. We also add
% a variable's value to the title of the root locus and step response plots by
% inserting another field in the title command and use num2str(value) to convert
% value from a number to a character string for display. Let us apply the concepts
% to Example 8.8 in the text.
'(ch8p2) Example 8.8' % Display label.
clear % Clear variables from workspace.
clf % clear graph on screen.
numg=[1 1.5]; % Define numerator of G(s).
deng=poly([0 -1 -10]); % Define denominator of G(s).
'G(s)' % Display label.
G=tf(numg,deng) % Create and display G(s).
rlocus(G) % Draw root locus (H(s)=1).
title('Original Root Locus') % Add title.
pause
K=0:.5:50; % Specify range of gain to smooth root locus.
rlocus(G,K) % Draw smoothed root locus (H(s)=1).
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title('Smoothed Root Locus') % Add title.
pos=input('Type %OS '); % Input desired percent overshoot
% from the keyboard.
z=-log(pos/100)/sqrt(pi^2+[log(pos/100)]^2) % Calculate damping ratio.
sgrid(z,0) % Overlay desired damping ratio line
% on root locus.
title(['Root Locus with ',num2str(pos),'% overshoot line'])
% Define title for root locus
% showing percent overshoot used.
[K,p]=rlocfind(G) % Generate gain, K, and closed-loop
% poles, p, for point selected
% interactively on the root locus.
pause
'T(s)' % Display label.
T=feedback(K*G,1) % Find closed-loop transfer function
% with selected K and display.
step(T) % Generate closed-loop step response
% for point selected on root locus.
title(['Step Response for K=',num2str(K)])
% Give step response a title which
% includes the value of K.
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• Ejemplo de Diseño: Diseño de una balanza automática
de auto-nivelación en que la operación de pesaje se
realiza controlando la posición lineal de un contrapeso
Wc, y la posición angular de la balanza.
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• Wc = 2 N, Lw = 5 cm, Li = 20 cm, f = 98√3 N/m/s, Ebb = 24 V.
Tornillo, 20 vueltas/cm: Ks = 1/20 (cm/rev) = 1/4000π (m/rad)
I = 0.05 kg.m2
• Potenciómetros:
a) entrada: longitud = 0.5 cm, Ki = 24V/0.5cm = 4800 V/m
b) retroalimentación: longitud = 6 cm, Kf = 24V/6cm = 400 V/m
• Especificaciones: 1) ess = 0 (tipo 1)
2) respuesta amortiguada, ζ = 0.50
3) tiempo de estabilización < 2 s
• Modelo matemático:
s
K
ss
K
sV
s
xKyKtV
dt
dyflxWWl
l
yII
l
y
m
m
m
m
m
fim
icw
i
i
)1()(
)(
)(
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• Función de transferencia:
iismcfsmi
smiiw
lKKKWKKKsflIss
KKKll
sW
sX
))(()(
)(2
• Ecuación característica (remplazando los valores numéricos):
010
96
10)38( mm KK
sss
• Obtenemos el LGR en función de la ganancia del motor:
0)38(
93.693.693.693.6)10/(1
0)38(
96)38()10/(1
2
2
ss
jsjsK
ss
ssK
m
m
2013-II Ing. Eduardo Orcés P.
2013-II Ing. Eduardo Orcés P.
2013-II Ing. Eduardo Orcés P.
• Con K = 25.3 = Km /10π, las raíces dominantes se colocan en ζ =
0.5. Para obtener esta ganancia,
Km = 795 (rad/s)/V = 7600 rpm/V
• Se necesitará un amplificador para proporcionar parte de esta
ganancia. La parte real de las raíces dominantes es mayor que
cuatro y por lo tanto el tiempo de asentamiento, 4/ζωn, es menor
que 1 segundo, y se satisface la especificación del Ts. La tercera
raíz de la ecuación característica es una raíz real en s = -30.2, y las
raíces complejas subamortiguadas claramente dominan la
respuesta del sistema.
• La ganancia de estado estable del sistema es:
Wkg
cmW
Wl
W
Wlx
c
w
c
wss 5.2
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