siste made co orden a das polar es
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7/24/2019 Siste Made Co Orden a Das Polar Es
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1Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
CURSO: GEOMETRA ANALTICA Y LGEBRA
Tema :
Un sistema de coordenadas es un mtodo para especificar el lugar de un punto en el plano.
Hasta ahora hemos manejado el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) que
describe los lugares mediante una cuadrcula ortogonal en el cual se representa a un punto
mediante un par ordenado de nmeros llamados coordenadas.
El uso de las coordenadas rectangulares es similar a localizar un lugar en una ciudad cuando se
dice, por ejemplo, que est en la esquina de la calle 48 y la Avenida 7. Pero tambin podramos
describir lo anterior diciendo que est a 3 millas al noroeste del centro. En lugar de especificar
su ubicacin con una cuadrcula de calles y avenidas, la podemos describir citando su distancia
y direccin respecto a un punto fijo.
Aqu se describe un sistema de coordenadas introducido por Newton, llamado sistema
coordenado polar, que es ms conveniente para muchos propsitos.
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
El sistema de coordenadas polares es un sistemade coordenadas bidimensional en el cual cada
punto o posicin del plano se determina por un
ngulo y unadistancia.
Se elige un punto en el plano que se llama polo
(origen) y se identifica con O . Luego se dibuja un
rayo (semirrecta) que empieza en O llamado ejepolar. Este eje se traza por lo comnhorizontalmente a la derecha, y corresponde al eje
COORDENADAS POLARES
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas -
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x positivo en coordenadas cartesianas.
Si P es cualquier otro punto en el plano, sea r la distanciade O a P y sea el ngulo
(medido grados o en radianes) entre el eje polar y la recta OPcomo en la figura, por lo tanto
el punto P se representa mediante otro par ordenado ,r y llamaremos r, coordenadas polares de P.
Usaremos la convencin de que es un ngulo es positivosi se mide en el sentido contrarioalas manecillas del reloj desde el eje polar y negativosi se mide en el sentido de las manecillasdel reloj.
Si 0r ,entonces 0P , independientemente del valor de , por lo que 0, representaal polo para cualquier valor de .
Se considera que la distancia r es una distancia no dirigida, es decir que es un nmero nonegativo. Sin embargo, en algunos casos es conveniente pensar que r es una distanciadirigida, que puedes ser a veces un nmero negativo. Se aceptar esta posibilidad de aqu en
adelante.
Interpretaremos a la distancia positiva r como la distancia medida sobre el lado final del
ngulo de direccin , a partir de O .
Interpretaremos una distancia negativa r como la distancia r medida a lo largo del
segmento cuyo punto inicial es O pero que tiene el sentido opuesto al del lado final de .
Grficas de puntos en coordenadas polares
Ubicaremos en el plano al punto P cuyas coordenadas polares son:
2, 85 .Para ello mediremos un ngulo cuya medida sea -85, como elngulo es negativo, entonces dibujaremos el ngulo en sentido
horario.
Entonces sobre el lado final de , mediremos dos unidades de
distancia a partir del polo O , y llamaremos Pal punto as localizado.
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3Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
Ejemplo:Ubique en el plano al punto P cuyas coordenadas polares son:
a) 51,4
b) 2,3
c) 2
2,
3
d) 33,
4
En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene slo una representacin, pero en elsistema de coordenadas polarescada punto tiene muchas representaciones. Por ejemplo, el
punto5
1,4
del ejemplo anterior se podra escribir como 1, 3 / 4 o 1, 13 / 4 , o
1, /4
De hecho, puesto que una rotacin completa en sentido contrario a las manecillas del reloj
est dada por un ngulo 2 , el punto representado por coordenadas polares ,r serepresenta tambin por:
, 2r n y , 2 1r n Donde n es cualquier entero. Recordar 180
Ejemplo Ubique en el plano al punto Pcuyas coordenadas polares son 1,30 , y escriba
tres pares ms de coordenadas de P.Solucin:
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4Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
Los tres pares de coordenadas de Prequeridas son:
Para 1n , 1r , 30 , entonces 1,30 360 1,390
Para 1n 1,30 360 ( 1, 330 )
Para 0n ,en , 2 1r n tenemos 1 , 30 180 1, 210
Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, puede ser muy
sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ngulos y magnitudes.
Un plano con estas caractersticas se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste decircunferencias concntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ngulos
de inclinacin.
RELACIN ENTRE LAS COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES
Con frecuencia se presentan casos en donde se deben manejar en forma simultnea
coordenadas polares y rectangulares.la relacin
entre los dos sistemas se ilustra a continuacin:
Supongamos que la parte positiva del eje x coincida
con el eje polar, y el polo con el origen. Entonces un
punto dado P tendr coordenadas rectangulares
,x y y coordenadas polares ,r .
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5Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
Trazando por Pla perpendicular AP, en el tringulo rectngulo OAP, se tiene:
cosx r y rsen 2 2 2r x y
De donde se obtiene
2 2r x y 2 2 2 0r x y
2 2cos
x
x y
2 2
ysen
x y
Luego, tan yx
, por tanto
arctan y
x
Sistema rectangular ,x y a Sistema polar ,r
,P x y 2 2r x y
arctan y
x
Sistema polar ,r a Sistema rectangular ,x y
,P r cosx r y rsen
Ejemplo (Conversin de coordenadas rectangulares a polares) Determinar las coordenadas
polares correspondientes al punto P 1, 3 Solucin:
Con 1x e 3y , obtenemos
2
21 3 2r
Por lo que 2r 2r
Tambin tan 3y
x , por lo que
360 60 300 180 60 120
O bien5
3
2
3
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6Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
Como el punto Pest en el cuarto cuadrante, se representa en coordenadas polares en la
forma P 52,
3
, o como P 22,
3
Ejemplo (Conversin de coordenadas polares a rectangulares) Determinar la
coordenada cartesiana correspondiente al punto P 12,6
Solucin
Con 12r y 306
,
tenemos:
cos 12cos 303
12cos 30 12 6 32
x r
12s 30
1 12 30 12 6
2
y rsen x en
sen
Por lo tanto, la coordenada rectangular es
6 3 , 6P
Ejemplo Hallar la ecuacin polar del lugar geomtrico cuya ecuacin rectangular es
2 3y x
Solucin:
Sustituyendo cosx r , y rsen ; en la ecuacin:
2 3
2 cos 3
y x
rsen r
2 cos 3rsen r
2cos 3r sen
3
2cosr sen
Ejemplo Hallar la ecuacin rectangular del lugar geomtrico cuya polar es2
1 cosr
Solucin:
Excluyendo los valores de para los cuales 1 cos 0 , se puede escribir
1 cos 2r
cos 2r r
Teniendo en cuenta que, cosx r y 2 2r x y
Sustituyendo esto en la ecuacin:
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7Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
cos 2r r
2 2 2x y x
2 2 2x y x
Elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene:
2
22 2 2x y x
2 2 24 4x y x x 2 4 4y x
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES
Sean 1 1 1,P r , 2 2 2,P r dos puntos dados
cualesquiera. Se trata de hallar la distancia d entre1
Py
2P , en donde 1 2d PP
2 2
1 2 1 2 1 22 cos( )d r r r r
Ejemplo Hallar la distancia entre los puntos
6;15 y 8;75 .Solucin:
2 26 8 2(6)(8)cos(75 15 )d
36 64 96cos(60)d
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8Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
136 64 96 2 13 7.21
2
d
REA DE UN TRINGULO
Sean los vrtices del tringulo (0,0) ,
1 1,r y 2 2,r
1
1( )
2Area OP h
Pero, 2 2 1h OP sen
2 2 1 r sen
Entonces
1 2 2 11
2Area r r sen
EJERCICIOS
1. Trace la grafica de los puntos cuyas coordenadas polares se dan, y escriba tres pares
mas de coordenadas polares de ese punto
a. 3;
6
b. 2;23
c. 1;
d.
5; 2 3
e. 3;56
f.
120,3
g.
6
11,4
h. 2;2
i.
2
11,3
j.
150,4
2. Escribe las coordenadas polares los de cada uno de los puntos siguientes en
coordenadas rectangulares, y traza la grafica.
a. 5;5I
b. 2 3 ; 2J
c.3 1
;
3 3
K
d. 1; 1L
e. 3;1M
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f. 5;0N 3. Encuentra las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas polares
son:
a. 3;3
F
b. 5;7
4G
c. 3;34
H
d. 3;I
e.3
2;4
J
f.5
4;6
K
g.
71;
6L
4. Transforme la ecuacin rectangular dada en una ecuacin polar y trazar la grafica
a. 2 26x y y
b. 1xy
c. 3 4 0x y
d.
2 4y x
e. xy3
3
f. 2 2 2 0x y x
g.
2 2 9x y
h. 2 2 4x y
i. 09643 22 xyx
j.
142 xy
k.
02
22 yyx
l. 2 2 2 24x y x y
m.
22322 4 yxyx n. 0;222322 ayxayx o.
222322 yxyx p. 22222322 16 yxyxyx
5. Transforme la ecuacin polar dada en una ecuacin rectangular
a. cos 1r b. 2cos 3r sen
c. 2 cosr d.
1 2cosr
e. 0)(cos4)(sin 32 r
f.3
2 3r
sen
g. 2cos(2 )r
h.
2 9s (2 )r en
i.1
1 cosr
j. 22 2
20
5cos 4r
sen
k.3
2 cosr
l. 2 2cosr
m. 2 cos 2 2r
n.
csc cotr
6. Demostrar que los puntos 1;3
A
, 3;6
B
, 1;0C , son los vrtices de un
triangulo equiltero.
7. Hallar el permetro del cuadriltero cuyos vrtices son 0;19 , 1;3
, 2;4
,
3;0
8.
Hallar el area del triangulo cuyos vrtices son los puntos:
a. 0;0A , 6;20B , 9;50C
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b. 2;23
A
, 2;3
B
, 3;6
C
c. 1;3
A
, 5;6
B
, 3;6
C
d. 0;0A , 5;4
B
, 4;12
C
9. Hallar la longitud de los lados y el area del triangulo cuyos vrtices son:
a. 1;3
A
, 2;6
B
, 3;6
C
b. 2;8
A
, 4;38
B
, 3;78
C
10.
Encuentra la distancia entre cada uno de los siguientes casos. Usa coordenadas
polares. Traza la grafica
a)
3;6
S
, 4;56
T
b) 7;135Q , 4;225R
c) 3;60A , 5;315B
d) 5; 120M , 4;150N
GRFICA DE ECUACIONES POLARES
La grfica de una ecuacin polar es el conjunto de puntos con al menos un par de coordenadas
polares que satisfagan dicha ecuacin ( ( )r f ).
Para trazar la grfica de una ecuacin en coordenadas polares ( , ) 0E r es conveniente
realizar los siguientes pasos:
I)
Intersecciones
a) Con el eje polar:
i) Hacer 0 , para hallar valores
reales de r en el eje polar
ii)
Hacer , para hallar valores
reales de r .En general, hacer n ,n Z .
b) Con el eje normal.
i) Hacer2
, para hallar.
ii) Hacer3
2
, para hallar r. En
general hacer 2 12
n ,
donde k es un nmero entero
II) Simetras
a) Con relacin al origen (Polo):
Al cambiar:
i) por
ii)
rpor r Si la ecuacin de la curva no vara, es simtrica
P ( r , )
( r , )
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b) Con relacin al eje polar:
Al cambiar:
i) por
ii) por y r por r simultneamente
Si la ecuacin de la curva no vara, es simtrica.
c) Con relacin al eje normal:
La ecuacin debe verificar:
i) por
ii)
por y r por r simultneamente
Si la ecuacin de la curva no vara, es simtrica
III) Extensin Se determina la variacin de ry
IV) Tangentes Cuando el polo (origen) pertenece a la curva, al hacer 0r se obtiene
( ) 0f que es una ecuacin trigonomtrica que al resolverla para da:
1 2, , ...., n .
Entonces, las rectas 1 2, , ...., n son las rectas tangentes en el
origen de la curva ( )r f
V) Tabulacin Se determina los valores de rcorrespondiente a los valores asignados a
VI) Trazado de la grfica En un sistema de coordenadas polares (es preferible usar la roseta
polar) se localizan los puntos obtenidos y se traza la curva
EJEMPLO1 Construir la grfica de la ecuacin polar 1 cosr
Solucin:Intersecciones:
a) Con el eje polar:
0 . Entonces, 1 cos0 0r
. Entonces, 1 cos 2r
Hay dos puntos de interseccin, dado que
los puntos 0,0 y 2, son distintos.
b)
Con el eje normal.
2
. Entonces, 1 cos 1
2r
3
2
. Entonces, 1 cos 1
2r
Hay dos puntos de interseccin, dado que
los puntos 1,2
y3
1,2
son
distintos.
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12Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
Simetras:
a)
Con relacin al origen (Polo): por
1 cos 1 ( cos ) 1 cosr .Entonces no es simtrica porque la ecuacin de la curva cambia.
b)
Con relacin al eje polar: por
1 cos 1 cosr .Essimtricaporque la ecuacin de la curva no cambia.
c) Con relacin al eje normal: por
1 cos 1 cosr .No es simtricaporque la ecuacin de la curva cambia.
Extensin:Determinaremos la variacin de ry
- - Como 1 cos 1
Multiplicando por (-1), se tiene 1 cos 1 Sumando 1: 2 1 cos 0
r
Se tiene: 0 2r
Tangentes: Hacer 0r , entonces: 1 cos 0 cos 1 0, 2
Las tangentes son: 0, 360
Tabulacin:Trazado de la grfica:
r
0 0
10 0.015
30 0.134
603
0.5
902
1
2120
3
31.5
2
150 1.86
2
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EJEMPLO2 Construir la grfica de la
ecuacin polar 10 3r sen Solucin:Intersecciones:
a)
Con el eje polar:
0 . Entonces, 10 0 0r sen
. Entonces, 10 3 0r sen
El nico punto de interseccin es el polo.
b) Con el eje normal.2
.
Entonces,10 3 102r sen
3
2
. Entonces,
910 10
2r sen
Hay un punto de interseccin, dado que
los puntos 10,2
y
310,
2
son los
mismos.
Simetras:
a) Con relacin al origen (Polo): por
10 3 10 3r sen sen .Entonces no es simtricaporque la ecuacin de la curva cambia
b) Con relacin al eje polar: por
10 3 10 3r sen sen .No es simtricaporque la ecuacin de la curva cambia
c)
Con relacin al eje normal: por
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10 3 10 3r sen sen .Essimtricaporque la ecuacin de la curva no cambia.
Tangentes: Hacer 0r , entones:
10 3 0sen
3 0sen 3 n , nes entero
3
n
Para 0n , 0
Para 1n , 603
Para 2n ,2
1203
Para 3n ,3
1803
Para 4n ,4
2403
Para 5n ,5
3003
Las tangentes son: 0, 60 , 120, 180, 240 , 300 , 360
Extensin:Determinaremos la variacin de ry
- R - Como 1 3 1sen
Multiplicando por (10), se tiene 10 3 10sen Se tiene: 10 10r
Tabulacin: Trazado de la grfica:
r
0 0
10 5
15 5 2
30 10
40 5 3
60 0
90 -10
100 5 3
120 0130 5
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15Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
EJEMPLO3 Construir lagrfica de la ecuacin polar
1 2cosr
Solucin:Intersecciones:
a)
Con el eje polar:
0 . Entonces,1 2cos(0 ) 1r
. Entonces,1 2cos 3r
Hay dos puntos de interseccin, los cualesson dados por 1,0 y 3,
b) Con el eje normal.
2
. Entonces, 1 2cos 1
2r
3
2
. Entonces, 1 2cos 1
2r
Hay dos puntos de interseccin, los cuales
son dados por 1,2
y3
1,2
Simetras:
a)
Con relacin al origen (Polo): por
1 2cos 1 2( cos ) 1 2cosr .Entonces no es simtrica porque la ecuacin de la curva cambia.
b) Con relacin al eje polar: por
1 2cos 1 2cosr .Essimtricaporque la ecuacin de la curva no cambia.
c) Con relacin al eje normal: por
1 2cos 1 2cosr .No es simtricaporque la ecuacin de la curva cambia.
Tangentes: Hacer 0r , entones: 1 2cos 0
150 10
180 0
210 -10
240 0270 10
300 0
330 -10
360 0
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16Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
1cos
2
60, 300
Las tangentes son: 60, 300
Extensin:Determinaremos la variacin de ry
- R - Como 1 cos 1
Se tiene: 1 3r
Tabulacin:
0 10 30 40
603
902
2
1203
135 150 170
r -1 -0.96 -0.73 -0.53 0 1 2 2.41 2.76 2.96 3
Trazado de la grfica:
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17Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
EJEMPLO4 Construir la grfica de la ecuacin polar 2 9cos2r
Solucin:
Intersecciones:
a) Con el eje polar:
0 . Entonces, 2 9cos2(0) 9r 2 9 3r r
. Entonces,2 9cos2( ) 9cos360 9r
2 9 3r r
Hay dos puntos de interseccin, dado que
los puntos 3,0 y 3,0
equivalentemente 3, , 3,
b) Con el eje normal.
2
. Entonces,
2 9cos 2 9cos 92
r
2 9r , no existe3
2
. Entonces,
2 39cos2 9cos3 92
r
2 9r , no existe
No existen puntos de interseccin.
Simetras:La curva es simtrica con respecto al polo y con respecto al eje polar.
Tangentes:Hacer 0r , entones: 9cos 2 0
cos2 0 3
2 , 22 2
3
4 4
Las tangentes son: 45, 135
2 cos2 3 cos2r 0 0 1 3
15 30 0,866 8,2
30 60 0,5 1,2
45 90 0 0
-
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18Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
La grfica de una ecuacin de cualquiera de las formas
cos; 0, 0
r a ba b
r a bsen
Se denomina limazn(figura en forma de caracol) y su forma depende de las relaciones entrea y b as:
- Si a b
-
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19Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
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Si 0 1a
b , se llama limazncon nudo.
- Si1 2a
b , se llama
cardioidecon hendidura.
- Si 2a
b , se llama limaznconvexo.
La grfica de una ecuacin de cualquiera de las formas:
2 2
2 2
cos2
s 2
r a
r a en
Representan curvas en forma de aspa de hlice y se denominan lemniscatas
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20Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
La grfica de una ecuacin de cualquiera de las formas:
cosr a n
r a sen n
Representa una rosade nptalos, si n es impar.Representa una rosade 2nptalos, si n es par.
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21Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0
EJERCICIOS
1.
Trace la grfica de las siguientes ecuaciones:
a.
5
1 cosr
b.
4
1 cosr
c. 4cos3r
d. 2cos 4r (rosa de 8 ptalos)
e.
16
4 5sinr
f.
1 2sinr
g. 2 16sin 2r
h. 2 6sin 2r
i.
3sin
2r
j.3
r cos2
k. 2 4sin 2r l. 2 2cosr
m. 2 cos 4r
n. 3 cos 4r
o. 2 3cosr
p. 2cos 2r
q. sin 2r r.
2 3sinr
s.22sec
2r
t.
cos 24r
u. 2 cos 4r
v. 2 24 5sin 1r
w. 2 4 2r sen (lemniscata)
x. 2 tanr sen (Cisoide)
y. 2sec 1r (concoide de Nicmedes)z.
2 3r sen (caracol con lazo)
ECUACIN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES
Sea L una recta cualquiera que no pasa por el polo. Tracemos por el polo una perpendicular a
L , que se intercepta en N . Sea el ngulo que hace el eje polar con la normal ONy p la
medida del segmento ON. Finalmente sea ( , )P r un punto cualquiera de L .
En el tringulo ONPse tiene:
cos p
r
Por lo tanto cosr p
Es la ecuacin polar de la recta L .
Casos particulares:
-
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a)
Recta perpendicular al eje polar, est a la derechadel polo; haciendo
0 , entonces cosr p
b) Recta perpendicular al eje polar, est a la izquierda del polo; haciendo
0 , entonces cosr p
c)
Rectaparalela al eje polar, est arribadel polo; haciendo
902
, entonces cos 90r p
r sen p d) Recta paralela al eje polar, est debajodel polo; haciendo
3
2702
, entonces cos 270r p
Que es lo mismo que r sen p e)
Rectas tales que contienen al polo.
La ecuacin cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella es de la forma: y mx
Realizando las transformaciones respectivas:
cos
costan tan
y mx
rsen mr
senm
Por lo tanto si la recta L pasa por el polo, su ecuacin es de la forma k . Siendo kunaconstante que puede restringirse a valores no negativos menores de 180 .
Ejemplo Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 2;30P y es perpendicular aleje polar OX .Solucin:
La ecuacin de la recta es de la forma: cosr p . Pero como L est a la derecha
entonces la ecuacin es de la forma: cosr p .
Si 2;30P L , entonces: 2cos 30 p
32
2p
3 p
Luego la ecuacin de la recta es: cos 3r
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EJERCICIOS
1.
Deduce la ecuacin polar de la recta que pasa por el punto 4;3
P
y es
perpendicular al radio vector, y traza la grafica.
2.
Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 2;150 y por el polo.
3. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 3; 30 y es paralela al eje OY.
4. Hallar la ecuacin de la recta que pase por el punto 4;30 y forme un ngulo de150 con el eje polar.
5. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 2 2;34
P
y es paralela al eje
polar.
6. Hallar la ecuacin en coordenadas polares de una recta que pasa por el punto
26;
3P
y es perpendicular al eje polar.
7. Hallar la ecuacin polar de la recta que pasa por los puntos1
24;
3P
y
2 2 2;
4P
.
8.
Deducir la ecuacin polar de una recta que pasa por el punto 2; 6P
con una
inclinacin respecto al eje polar de un ngulo2
3
.
9.
Hallar la ecuacin en coordenadas polares de una recta paralela al eje polar y situado
por debajo de l una distancia de 4 unidades.
10.Deducir la ecuacin de la recta si se dan, el segmento 2a que intercepte la recta en
el eje polar partiendo del polo, y el ngulo polar2
3
de la normal a esta recta.
11.
Deducir la ecuacin polar de la recta si se dan el ngulo
6
de inclinacin de la
recta respecto al eje polar y el segmento 6a , que intercepta la recta en el eje polar.
ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES
Sea 1( , )C r el centro de una circunferencia cualquiera de
radio R. Sea ( , )P r un punto cualquiera de la
circunferencia.
Teorema La ecuacin polar de una circunferencia de centro
-
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en el punto 1( , )C r , y radio igual R es:
2 2 2
1 12 cos( )r r r r R
Casos particularesa) Si el centro de la circunferencia est en eje polar, a la derechadel polo, y la circunferencia
pasa por l, se tiene :1
r R y 0 , entonces:
2 cos( )r R
- Si el centro de la circunferencia est en eje polar, a la izquierdadel polo, y la circunferencia
pasa por l, se tiene: r R y , entonces:2 cos( )r R
b)
Si el centro de la circunferencia est en eje normal OY, arriba del polo, y la circunferencia
pasa por l, entonces:1
r R ,2
, entonces:
2 sr R en - Si el centro de la circunferencia est en eje normal OY, debajo del polo, y la circunferencia
pasa por l, entonces:1r R ,
3
2
, entonces:
2 sr R en
c)
Si el centro de la circunferencia est en el polo,1
0r y la circunferencia se reduce a:
r R
Ejemplo Hallar la ecuacin polar de la circunferencia con centro (4,30)C y radio igual a 5.
Solucin
Por datos del problema se tiene,1
4r , 5R , 30 . Luego:2 2 22(4) cos( 30) 4 5r r
2 8 cos( 30) 16 25r r 2 8 cos( 30) 9 0r r
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Ejemplo Hallar el centro y el radio de la circunferencia 02034cos42 rsenrr .Solucin
Aplicando la ecuacin de la circunferencia 2 2 21 12 cos( )r r r r R , desarrollando seobtiene:
2 2 21 12 cos cos 0r rr sen sen r R
2 2 21 1 12 cos cos 0r r r r sen sen r R
O bien2 2 2
1 1 12 cos cos 2r r r r sen rsen r R
Comparando la ecuacin dada 02034cos42 rsenrr con esta ltima, tenemos:
(1) 12 cos 4r
(2) 12 4 3rsen y
(3)2 2
1 20r R
Dividiendo la ecuacin (2) por (1) 3tg , entonces 120 . Sustituyendo en (1),
4221
1 r
de donde
41 r .
De (3) se tiene,216 20R , 6R .
Luego el centro de la circunferencia es el punto 1( , )C r = 4; 120 y su radio vale 6.
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EJERCICIOS
1. Deduce la ecuacin polar de la circunferencia que pasa por el polo y su centro est en
3;0C , y traza la grafica.2. Encuentra la ecuacin polar de la circunferencia con centro en 4;45C y que pasa
por el polo, y traza la grafica.
3.
Hallar la ecuacin polar de la circunferencia con centro en 8;3
y que pasa por el
punto2
4;3
.
4.
Halla la ecuacin polar de la circunferencia que pasa por el polo, por 3;90K y
4;0J , y traza la grafica.5.
Hallar la ecuacin polar de la circunferencia cuyo centro y radio son:
a. 4;0 , 4C R b. 5; , 5
2C R
3; ; 86
C R
6. Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuacin polar:
a.
03)sin(3)cos(2 rrr
b.
05)sin(3)cos(332 rrr
c. )sin(32)cos(2 r
d.
05)sin(22)cos(222 rrr
e.
2 4 3 cos( ) 4 sin( ) 15 0r r r
ECUACIN POLAR DE CNICAS
Antes, se defini una parbola en funcin de un foco y una directriz, pero definimos a la elipse
e hiprbola en trminos de dos focos.
En esta seccin presentaremos un tratamiento ms unificado de los tres tipos de cnicas, en
funcin de un foco y una directriz.
Si colocamos el foco en el origen, entonces la ecuacin polar de una cnica es ms sencilla.
Adems, en la forma polar, la rotacin de las cnicas es simple. Las ecuaciones polares de las
elipses son fundamentales para deducir las leyes de Kepler del movimiento planetario.
Descripcin equivalente de las cnicas
Sean F un punto fijo (el foco) luna recta fija (la directriz) y e un nmero positivo fijo (la
excentricidad). El conjunto de todos los puntos P tales que la razn de la distancia de P a
F , y la distancia de Pa les igual a la constante e , es una cnica. Esto es, el conjunto de
todos los puntos tales que:
( , )
( , )
d P Fe
d P l
es una cnica.
La cnica es una: parbola si 1e , una elipse 1e o una hiprbola 1e .
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Supongamos una cnica cuyo foco coincide con el polo, el eje focal con el eje polar. Sea l la
directriz correspondiente del foco O; sta recta es perpendicular al eje polar, y seaD el punto
de interseccin. Designemos la distancia OD , entre el foco y la directriz, por la cantidad
positiva.
Si ( , )P r es cualquier punto cualquiera de la cnica,
entonces, por definicin de excentricidad:
POe
PC
Vemos que PC DB DO OB
cosp r Luego reemplazando
cos
PO re
PC p r
Despejando r:
1 cos
epr
e
0e , excentricidad; donde p es la distancia entre el foco (ubicado en el polo) y la directriz
correspondiente.
Directriz vertical
- Si el foco est en el polo y la directriz se encuentra a p unidades a la derecha del polo, la
ecuacin:
1 cos
epr
e
- Si el foco est en el polo y la directriz se encuentra apunidades a la izquierda del polo, la
ecuacin:
1 cos
epr
e
Directriz horizontal
- Si el eje focal coincide con el eje a 90, la ecuacin de la cnica es de la forma:
1
epr
e sen
En donde el signo depende si la directriz est arriba abajo del eje polar. Veamos los cuatro
tipos de ecuaciones polares para una parbola.
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Ejemplo1 Hallar la naturaleza de la cnica definida por la ecuacin12
4 3cosr
.
Solucin:Dividiendo numerador y denominador por 4 se obtiene la ecuacin
1234
4 3cos1 cos
4
3
4
r
Luego3
1
4
e , entonces la curva es una elipse. Como 3ep , entonces 4p , con lo cual
la directriz es perpendicular al eje polar y est a 4 unidades a la derecha del polo.
Como se trata de una elipse que tiene uno
de sus focos coincidentes con el polo y
directriz correspondiente: 4x p . Y la
ecuacin polar de la directrizes: cos 4r
a) Para 0 entonces12
4 3cos0
r
12 12
4 3 7
-
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b) Para entonces12 12
124 3cos 4 3
r
Luego las coordenadas de los vrtices son:
1
12,0
7V
, 2 12,V
Ejemplo2 Hallar la naturaleza de la cnica definida por la ecuacin2
1 cosr
.
Solucin
Por el dato del ejercicio se sabe qu; 1e , por lo tanto es una parbola. Como 2ep
entonces 2p , con lo cual la directriz es perpendicular al eje polar y est a 2 unidades a la
izquierda del polo.
Cuya ecuacin correspondiente a la directriz es: 2x p . Y su ecuacin polar
cos 2r
Para entonces2 2 2
11 cos 1 ( 1) 2
r
Por lo tanto el vrtice est en 1,V y directriz correspondiente: x p
2
Y la ecuacin polar de la directrizes:
cos 2r
Ejemplo3 Hallar la naturaleza de la cnica definida por la ecuacin3
2 4cosr
.
Solucin:Dividiendo numerador y denominador por 2 se obtiene la ecuacin
3 3
2 22 4cos 1 2cos
2
r
Comparando con la ecuacin1 cos
epr
e
tenemos: 2 1e .
Por lo que se trata de una hiprbola.
3
2ep
32
2p
3
4p
-
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Por lo tanto se tiene una hiprbola que tiene uno de sus focos en el polo y por directriz ms
prxima al polo.3
4x p .
Y la ecuacin polar de la directrizes:3
cos 4r
a) Para 0 entonces,3 3 1
2 4 cos0 2 4 2r
b) Para entonces,3 3 3
2 4cos 2 4 2r
Luego las coordenadas de los vrtices son:1
1,0
2V
,2
3,
2V
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar en la elipse12
3 2 cosr
, los puntos cuyos radios polares son iguales a 4 .
2. Hallar la ecuacin de la curva con foco en el polo, excentricidad1
2e y directriz
perpendicular al eje polar en el punto 4;0 .3.
Hallar la ecuacin de la parbola con foco en el polo y directriz perpendicular al eje
polar en el punto 3;0 4. En los siguientes ejercicios, decir la naturaleza de las cnicas siguientes, dar
excentricidad, vrtices, focos, directrices en funcin de sus direcciones con respecto al
eje polar y su distancia al polo y hacer la grafica
a.
12
6 sinr b.
6
3 5cos( )r
-
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c.3
2 cos( )r
d.3
2 2sin( )
r
e.12
1 4sin( )r
f.6
2 3sin( )r
g.8
2 sin( )r
h.10
2 cos( )
r
i.16
5 3sin( )r
j. 1 2cos( ) 4r
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Un satlite viaja alrededor de la Tierra en una rbita elptica que tiene a la tierra como
un foco y una excentricidad de1
3. La distancia ms cercana entre el satlite y la Tierra
es de 300 millas. Calcula la distancia ms lejana si el satlite se separa de la Tierra, y
traza la grafica.
2. Un satlite tiene rbita elptica en la cual la Tierra est en uno de los focos. En su
punto ms cercano (perigeo) se encuentra a 100 millas sobre la superficie terrestre; en
su punto ms alejado (apogeo) est a 500 millas. Determina una ecuacin polar de su
rbita. Considera que el radio de la Tierra es de 4000 millas.3.
Se pueden usar ecuaciones polares de cnicas para describir el movimiento de
cometas. Estas trayectorias se pueden graficar empleando la ecuacin polar:
1
1 cos
perr e
re
Donde e es la excentricidad de la cnica y perr es la distancia del perihelio medida en
UA. Determina la trayectoria para el cometa Halley: 0.5871perr , 0.9673e , y para
el cometa Encke: 0.3317perr , 0.8499e .
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