serie de nÚmeros reales. - escuela superior de ... de numeros... · i si la serie xn converge y c...

SERIE DE NÚMEROS REALES.

Definición: Dada una sucesión denúmeros reales xn , se considera unanueva sucesión sn de la forma :s1 x1s2 x1 x2s3 x1 x2 x3

..

sk sk1 xkAl par ordenado (xn, sn se le llamaserie infinita o simplemente serie y laescribiremos como

n1

xn.

- A la sucesión sn se le denominasucesión de sumas parciales.- A los xk términos de la sucesión .- En ocasiones no empezaremos la seriepor n 1, sino que será convenienteempezar por n 5,n 0, . . .Aún cuando

por lo general los subíndices de loselementos de una serie son los númerosnaturales.CARACTER DE UNA SERIE.

- Si sn es convergente,nlim sn s ,

diremos que la serie es convergente y s

será la suma de la serie:n1

xn s.

- Si sn es divergente, diremos que laserie es divergente y su suma será

:

n1

xn .

- Si sn no tiene límite , diremos que laserie es oscilante.

Nota: El carácter de una serie no sealtera si se suprime un número finito de

sumandos.

SERIES CONVERGENTES.PROPIEDADES.

Teorema:i Si las series xn y yn convergen,entonces la seriexn yn converge ysu suma será :

xn yn xn yn

i Si la serie xn converge y c ,entonces la serie cxn converge y susuma será :

cxn c xn

Teorema:(condición necesaria deconvergencia)

Sin1

xn es convergente nlim xn 0

SERIES DE TÉRMINOS NONEGATIVOS.

Definición: Se dice quen1

xn es de

términos positivos si xn 0,n .- Las series de términos negativos setratan de forma análoga a la de terminospositivos.- Se pueden considerar y tratar comoserie de términos positivos aquellas paralas que xn 0, n N 0.

Teorema: Una serie de términospositivos, o es convergente o divergente,no puede ser oscilante.

CRITERIOS DE CONVERGENCIA.

Definición: Dadas dos series de términos

positivosn1

xn yn1

yn, diremos que

n1

xn es mayorante den1

yn, si n0

tal que xn yn, n n0.

n1

xn es minorante den1

yn, si n0

tal que xn yn, n n0.

1.Criterio de comparación de la mayorante

Seann1

xn yn1

yn series de términos

positivos.

i Sin1

xn es mayorante den1

yn yn1

xn

es convergente n1

yn es convergente.

ii Sin1

xn es minorante den1

yn yn1

xn

es divergente n1

yn es divergente.

2. Comparación con paso al límite.

Seann1

xn yn1

yn dos series de

términos positivos connlim xn

yn l 0,.

i Si l 0 y l , las dos series tienen elmismo carácter, es decir, convergen odivergen simultáneamente.

ii Si l 0 yn1

yn es convergente

n1

xn es convergente.

Si l 0 yn1

xn es divergente n1

yn es

divergente.

iii Si l yn1

yn es divergenten1

xn

es divergente.

Si l yn1

xn es convergenten1

yn

es convergente.

3. Serie armónica.Definición: Llamamos serie armónicageneralizada de orden a la serie

n1

1n

Teorema: (Convergencia de la seriearmónica generalizada).

La serien1

1n converge si 1 y

diverge si 1.

4. Criterio de la raíz.

Sean1

xn una serie de términos

positivos con

limn n xn l 0,

Entonces se cumple:

i) Si l 1 n1

xn es convergente.

ii) Si l 1 n1

xn es divergente.

iii) Si l 1 no se sabe.

5. Criterio del cociente.

Sean1

xn una serie de términos

positivos con

limnxn1xn l 0,

Entonces se cumple:

i Si l 1 n1

xn es convergente.

ii Si l 1 n1

xn es divergente.

iii Si l 1 no se sabe.

6. Criterio de Raabe.

Sean1

xn una serie de términos

positivos con

limn n1 xn1xn l

Entonces se cumple:

i Si l 1 n1

xn es convergente.

ii Si l 1 n1

xn es divergente.

iii Si l 1 no se sabe.

7.Criterio de condensación de Cauchy.

Sean1

xn una serie de términos

positivos decreciente, es decir, xn1xnn.

Entonces las seriesn1

xn yn1

2n x2n

tienen el mismo carácter.

SERIES ALTERNADAS.CRITERIO DELEIBNITZ .

Definición: Diremos que una serie detérminos reales es alternada si sussumandos son alternativamente positivosy negativos . Es decir si xn xn1 0,n .

Nota1. La forma más común depresentar una serie alternada es1n1xn ó1nxn con xn 0.

Nota 2. La serie xn también puedeconsiderarse alternada si xn xn1 0,n n0.

Criterio de Leibnitz.

Sean1

1n1xn una serie alternada. Si

la sucesión de términos positivos xnverifica:

i)nlim xn 0

ii) xn1 xn n (monótonadecreciente).Entonces la serie alternada esconvergente.Nota1:Observar que las condicionespara aplicar el criterio son dos, no hayque olvidar la monotonia.

Ej: 11 15 12

152

. . . . . . . 1n 15n . .

Esta serie es divergente aunque sutérmino general tienda a cero. Falla lamonotonía.

Nota 2: El criterio de Leibnitz es unacondicion suficiente pero no esnecesaria.

Ej: 113 122

133 142

. . . 12n 13

12n2

Esta serie es convergente , aunque nosea monótona.

SERIES DE TÉRMINOS ARBITRARIOS.CONVERGENCIA ABSOLUTA.

Definición: Una serie de términosarbitrarios, es aquella que no esnecesariamente ni de términos positivosni alternada.

Definición: Diremos que una serie xnes absolutamente convergente si|xn |es convergente.

Teorema: Si una serie xn esabsolutamente convergente, entonces esconvergente.

Nota: El teorema anterior es unaestrategia a seguir cuando intentamosestudiar el carácter de una serie detérminos arbitrarios. Estudiamospreviamente|xn | que es de términospositivos y que por tanto tenemos los

criterios para deducir su carácter.

Definición: Una serie escondicionalmente convergente cuandoes convergente pero no absolutamenteconvergente.

1. Criterio de Dirichlet.

La serien1

xnyn es convergente si se

cumple:i La sucesión de sumas parciales

den1

xn está acotada.

ii) yn es una sucesión monótonadecreciente con

nlim yn 0

2. Criterio de Abel.

La serien1

xnyn esconvergente si se

cumple:

iLa serien1

xn es convergente.

ii yn es una sucesión monótona yacotada.

SUMA DE SERIES.

1. Series aritmético -geométricas.Son de la forma:

n0

Pnrn

Donde Pn es un polinomio de gradomayor o igual que 1 y r es la razón.Será convergente cuando r 1.La suma se obtiene de forma similar alas geométricas.

2. Series hipergeométricas.

Son la que cumplen xn1xn an ban c

donde a,b,c , a 0.Son convergentes cuando c b a.Su suma vale S x1c

c a b

3. Series cuyo término general es dela forma Pn

n k! .

Se hace la descomposición en fraccionessimples del término general (en p 1) yentonces a partir de la fórmula

n0

1n! 1 1

1! 12!

13! . . . .

1n! . . e

se suman todas las series.

4. Series telescópicas.

La serie

n0

xn es telescópica si su

término general se puede poner de laforma.xn yn yn1 donde yn es otra sucesión.La serie será convergente cuando

nlim yn l

En este caso

n0

xn x1 l.

5. Series de StirlingSon aquellas cuyo término general es elcociente de dos polinomios de la forma:

xn PnQn

donde Pn es un polinomio de grado p yQn es un polinomio de grado m p 2.

xn Pn

n b1n b1 b2 . . .n b1 bmdonde b1 , b2,b3,.........,bm .Se hace la descomposición en fraccionessimples y al identificar coeficientesllegamos a que:a0 a1 . . . . . . . .am 0.

Una vez hecho esto se suman las seriesde las fracciones.