semana 2 cs
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Trigonometría SEMANA 2
LONGITUD DE ARCO
1. Calcule la longitud de un arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 1º y su radio mide 1800 cm.
A)2π
m B) 5π
m C) 8π
m
D)10π
m E) 20π
m
RESOLUCIÓN
Si:
1º rad180
π= ; 1800 cm = 18 m
Se pide:
L x 18180
L m10
π=
π=
RPTA.: D
2. Se muestra sectores circulares concéntricos, donde S representa área, obtener x. si S = 8L²
A) 2 L
B) 4 L
C) 5 L
D) 6 L
E) 8 L
RESOLUCIÓNS = 8 L²
( ) ( )13L x 2L 8L²
23L x 8L
x 5L
+ =
+ ==
RPTA.: C
3. Si: AB + CD = 26. Halle el área del sector circular EOF.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
RESOLUCIÓN
{
( ) ( )
AB CD 26
12 3 8 2 26
52 2612
+ =
θ + θ =
θ =
θ =
123
( )2
EOF
EOF
R 1 1S 4 ²
2 2 2
S 4
θ ∆ = = ∆ =
RPTA.: D
4. Una regadera instalada en un parque, tiene un alcance de 8 m y barre un ángulo de 120g. Calcule
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 112
S3 L
x
2 L
A
B
F
C
DE
o2θ
θ
4 4
4
18
L1º
A
B
F
C
DE
o2θ
θ
4 4
4
8
Trigonometría el área del sector circular que genera esta regadera.
A) 19,2 π m² B) 17,6 π m²C) 18,9 π m² D) 12,6 π m²E) 14,4 π m²
RESOLUCIÓN
Si: 120g = 3
rad5π
Se pide:1 3
S 8²2 5
π= g g
S = 19,2 π m²RPTA.: A
5. Si CAE es un sector circular y »»ED
AB BC. Halle : VDC
= =
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
RESOLUCIÓN
Se pide:
R3V
R9
π
=π
g
g
V = 3RPTA.: B
6. Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5 m a su radio, se obtendrá un nuevo sector circular que tiene un área que es 49 veces el área del sector circular inicial. Determine el radio del nuevo sector.
A) 2 m B) 3 m C) 5 mD) 7 m E) 9 m
RESOLUCIÓNInicialmente:
R²S
2θ=
Finalmente:
( ) ( )
( )
( )
4 R 5 ²49S
2
4 R 5 ²R²49
2 2
7R 2 R 5
R 2m
R 5m 7m
θ +=
↓θ +θ =
= +
=
∴ + =
g
RPTA.: D
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 113
20º
E
A
CD
B
S8
8
120 g
20º
E
A
CD
B
20º
R
80º80º
R60º
radθ S
rad4 θ 49 S
R + 5m= ?
Trigonometría
7. Halle el área sombreada:
A) π
B) 2 π
C) 3 π
D) 4 π
E) 5 π
RESOLUCIÓN
Sx = S∆AOB − S∆COD
x
x
x
x
x
S a² b²2 2
S a² b²21
S 6²2 6
36S
12S 3
θ θ= −
θ= −
π = π=
= π
RPTA.: C
8. Calcule: E = x³ − x² − 1, si:
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x 15 x x 1 .........(1)
5Luego :
x 1x x 1 x² 5 x
5
−θ = − → θ =
− + = + 5(x+1) = (x²+5)(x−1)5x + 5 = x³ − x² + 5x − 5 10 = x³ − x² ∴ E = x³ − x² − 1 E = 9
RPTA.: E
9. En la figura, el trapecio circular ABCD y el sector circular COD
tienen igual área. Halle: mn
A) 22
B)12
C) 2
D) 2
E) 1
RESOLUCIÓN
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 114
30ºo
C
DB
A
6
x (x - 1)x (x + 1)
A
C
o
D
B
5
x²
nmo
DA
BC
30ºo
C
DB
A
6
a
b
x (x - 1)x (x + 1)
5
x²
θ
nmradθ S S
Trigonometría m²
menor :S2
n²mayor :2S
21 m²2 n²
1 m m 2n n 22
= θ ÷=θ
=
= → =
RPTA.: A
10. Se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro; luego la medida, en radianes, de su ángulo central correspondiente resulta ser:
A) 1 rad B) 2 rad C) 1
rad2
D) 4 rad E) 14
rad
RESOLUCIÓN
Condiciones:
i) S = S → L R
a²2
=g
→ R.L = 2a²
ii) Perímetro = Perímetro
→ 2R + L = 4a
→ (2R+L)²=16a²→(2R+L)² = 8(2a²)→ 4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)→ 4R² − 4R.L +L² = 0→ (2R−L)² = 0 → 2R − L = 0→ 2R = L → 2R = θ R → θ = 2
RPTA.: B
11. De la figura mostrada, AOF, BOE y COD son sectores circulares, además:
BC = DE = a, AB = EF = 2a, » » »CD BE AF
L x, L y, L Z= = =
Calcule: M = (2x + z) y−1
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
RESOLUCIÓN
De la figura:
y x z ya 2a− −θ = =
→ 2y − 2x = z − y→ 3y = 2x + z
Luego: M = (3y) . y−1
∴ M = 3RPTA.: C
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 115
A
B
C
o
D
E
F
R
Lradθ S
R
S
a
a
a
a
A
B
C
o
D
E
F
θ x y z
2a
a
a
2a
Trigonometría
12. Calcule: 2 3
1
S SM
S+
=
Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones sombreadas
A)127
B) 132
C) 112
D) 5π + 2 E) 5π − 2
RESOLUCIÓN
S1 = 2SS2 = 3SS3 = 10S
2 3
1
S S 13M
S 2+
= =
RPTA.: B
13. Dos postulantes de la UNAC, observan un reloj eléctrico cuyas agujas están detenidas, luego de la falla eléctrica en el Callao, uno de los estudiantes dice que el área que hacen las agujas es de 7,2 m² y si el reloj tiene un radio de 6 m. ¿Cuál será el arco entre las agujas?
Considere 227
π =
A)12
mts5
B) 11
mts5
C) 5
mts12
D) 12
mts7
E)5
mts11
RESOLUCIÓN
S = 1 1
L R 7,2 L(6)2 2
⇒ =
24144
L(6)10
12L mts
5
⇒ =
=
RPTA.: A
14. Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen por radios R1 y R2
(R1 < R2); cuando la rueda menor gira αº la mayor gira αg. ¿En qué relación se encuentra los radios?
A)37
B) 813
C)
910
D)3
10E)
94
RESOLUCIÓNSi θ1 y θ2 son los ángulos que giran la rueda menor y mayor respectivamente.
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 116
θS2
S1
S3
2 θ
θS1 = 2S2 θ
S2 = 3S
6SS3. = 10S
gαºα
R1
R2
Trigonometría
En una bicicleta se cumple que:θ1R1 = θ2R2
αºR1 = (αg)R2
( )1 2
1
2
9ºR º R
10
R 9R 10
α = α
=
RPTA.: C
15. Se tienen dos ruedas conectadas por una faja; si hacemos girar la faja, se observa que las ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas que dan estas ruedas si sus radios miden 3 m y 5 m
A)13
B) 18
C) 19
D)14
E) 110
RESOLUCIÓNθ1 + θ2 = 144º
→ L1 = L2 → θ1R1 = θ2R2
1 2 1
2 1 2
R V 5R V 3
θ= ⇒ =
θ
1 2 144 12 2 180 2θ θ π+ =π π π
g
1 2 1 2
1 2
2 2V V 8k V V 2k
5 51 1
k V V 220 20
110
+ = ⇒ = ⇒ − =
= − =
=
g
RPTA.: E
16. En el sistema mostrado, si la
rueda A da 34
de vuelta, entonces
la longitud recorrida por la rueda C es:
A) 3,6 π B) 36 π C) 1,8 π
D) 18 π E) 94π
RESOLUCIÓN
( )
A
A
3#V V
43 3
2 rad rad4 2
=
π⇒ θ = π =
* A − B: LA = LB
θARA = θBRB
( ) ( )B
B
36 2
2
92
π = θ πθ =
* B − C:
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 117
2 6
AC
8
B
5
3
26
A
C
8
B
Trigonometría θB = θC =
92π
( )C C C
9L R 8 36
2π∴ = θ = = π
RPTA.: B
17. Determine el área de la región sombreada, sabiendo que las áreas de los sectores AOB y COD son iguales (α y θ en radianes)
A) ( )1R²
2α − θ B) ( )1
R²2
α + θ
C) ( )1R² ² ²
2α − θ D) ( )1
R² ²2
α − θ
E) ( )1R² ²
2α − θ
RESOLUCIÓN
21
2 21 2
1S r
2r R
1S R²
2
= α
⇒ α = θ
= θ
S + Sx = ST
Sx = ST − S
( )
2x 1
x
x
1 1S R² r Reemplazando
2 21 1
S R² R²2 21
S R²2
= α − α
= α − θ
= α − θ
RPTA.: A
18. Del gráfico, halle el número de vueltas que dará una ruedita de radio 1, al ir de A hasta B si CB = 8π y AOC es un sector circular.
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
L1 + L2 = 2π (1) . N
4 8 2 N2
10 2 NN 5
π + π = π
π = π=
g g
g
RPTA.: D
19. Halle el número de vueltas que da la rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A hasta la posición B.
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 118
θα
B
R
o
A
M
C
D
5
oA
C B
r o
rBoA
20
θα
SX
S S
r1R2
4
oA
C B
L2L1
8π
Trigonometría
A) 85 B) 9 C) 10D) 10,5 E) 11
RESOLUCIÓNRECORRIDA#V2 r
=π
Sabemos: r = (π) (21) = 21π
⇒ # vueltas = ( )21
2 1π
π#v = 10,5
RPTA.: D
20. De la figura mostrada, la rueda de radio r, gira sin resbalar sobre la superficie de radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida por el centro de la rueda hasta que el punto B este en contacto con la superficie de la curva, si: mS AOB = 120º, r = 18u?
A) 24 π B) 24,1π C) 24,2π
D) 24,3π E) 24,4π
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 119
A
rB
B
A240 r
Trigonometría RESOLUCIÓN
»ABL = ( )240º 18u 24
180π = π
De la figura:
L 24241r 240r
π=
L = 24,1 πRPTA.: B
21. Sobre una superficie curva de radio “R” gira una rueda cuyo radio es “r” (ver figura). Si dicha rueda da una vuelta al ir de “M” a “N”. Calcule la longitud del arco MN. (O y O′ son centros).
A)R r
Rr+
πB)
RrR rπ
+
C) ( )2 Rr R rπ + D) 2 RrR r
π+
E) R r2 Rr
+π
RESOLUCIÓN
Del gráfico:
i)( )R rL
n 12 r 2 r
θ += → =
π π
→ θ = 2 rR r
π+
ii) »MNR= θ g
∴ »MN
2 RrR r
π=+
RPTA.: D
22. Dos móviles A y B parten al mismo tiempo y en las direcciones indicadas en la figura de los puntos P y Q respectivamente, si la velocidad de A es a la velocidad de B como 3 es a 7. Calcule cuando mide “α” si se encuentran por 1era. vez en el punto R.
A)5π
rad
B) 4π
rad
C) 10π
rad
D)20π
rad
E) 710
πrad
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 120
r
o
M
N
R
O′
α
P
R
Q
A
r
B
B
240
r
L
RADθ
r
rRθ
N
M
o
Trigonometría RESOLUCIÓNEspacio recorrido por el móvil A será »PR y del móvil B es el arco »QR .eA = VAtA y eB = VBtB
Pero ambos parten al mismo tiempo tA = tB
A AA B
B B
e V 37e 3e
e V 7⇒ = = ⇒ =
» » ( )A BPR QRe L r y e L r
2π = = − α = = π + α
Reemplazando:
( )7 r 3 r2
77 3 3 10
2 2
rad20
π − α = π + α π π− α = π + α ⇒ α =
π⇒ α =
RPTA.: D
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 121
α
P
R
Q
2π − α
r
rr
r
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