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Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836
1
Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo:
11)(−
=x
xf
1º) Dominio. { }1)(Dom −ℜ=xf 2º) Simetrías.
⎩⎨⎧
−≠≠
−−=−
impar es No)(par es No)(
11)(
xfxf
xxf
No hay simetría. 3º) Puntos de corte.
Eje x: ⇒≠−
⇒= 01
10)(x
xf No corta el eje x.
Eje y: )1,0(110
1)0( −⇒−=−
=f
4º) Asíntotas
Asíntota vertical: 11
1lim)(lim11
=⇒±∞=−
=→→
xx
xfxx
Asíntota horizontal: 001
1lim)(lim =⇒=−
=±∞→∞±→
yx
xfxx
Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
0)1(
10)(')1(
1)(' 22 ≠−
−⇒=→
−
−=
xxf
xxf
No tiene puntos candidatos a máximos y mínimos. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x = 1
-1 – – 2)1( −x + +
)(' xf – – Siempre es decreciente excepto en x = 1. 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
0)1(
20)('')1(
2)('' 33 ≠−
⇒=→−
=x
xfx
xf
No tiene puntos candidatos a puntos inflexión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = 1
2 + + 3)1( −x – + )('' xf – +
Convexa en ),1( ∞ y cóncava en )1,(−∞
Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836
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7º) Representación gráfica:
Segundo ejemplo:
1)( 2 +=
xxxf
1º) Dominio. ℜ=)(Dom xf 2º) Simetrías.
)(11)(
)( 22 xfx
xx
xxf −=+
−=+−
−=− Simetría impar
Eje de simetría perpendicular a los ejes x e y. 3º) Puntos de corte.
Eje x: )0,0(001
0)( 2 ⇒=⇒=+
⇒= xx
xxf
Eje y: )0,0(010
0)0( ⇒=+
=f
4º) Asíntotas Asíntota vertical: Al ser siempre continua, carece de asuntotas verticales.
Asíntota horizontal: 001
lim)(lim 2 =⇒=+
=±∞→∞→
yx
xxfxx
Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
10)1(
10)(')1(
1)1(
·2)1()(' 22
2
22
2
22
2±=→=
+
−⇒=→
+
−=
+
−+= x
xxxf
xx
xxxxxf
1±=x Son puntos candidatos a máximos y a mínimos.
Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836
3
Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x = – 1 x = 1
21 x− – + – 22 )1( +x + + +
)(' xf – + – Decreciente en ),1()1,( ∞∪−−∞ . Creciente en )1,1(− .
Máximo por tanto en x = 1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=
+=⇒
21,1
21
111)1( 2f
Mínimo en x = – 1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⇒−=
+
−=−⇒
21,1
21
111)1( 2f
6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
0)1(620)(''
)1(62
)1()1)(1(2·2)1(2)('' 32
3
32
3
42
2222=
+
−⇒=→
+
−=
+
−+−+−=
xxxxf
xxx
xxxxxxxf
60 ±== xx Tres puntos candidatos a puntos inflexión, . Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = 6− x = 0 x = 6
xx 62 3 − – + – + 32 )1( +x + + + +
)('' xf – + – + Cóncava en )6,0()6,( ∪−−∞ y convexa en ),6()0,6( ∞∪− Los puntos candidatos, son por tanto puntos de inflexión con coordenadas:
)0,0(010
0)0(0 2 ⇒=+
=⇒= fx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±±⇒±=
+±
=±⇒±=76,6
76
166)6(6 fx
7º) Representación gráfica:
Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836
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Tercer ejemplo:
11)( 2 −
=x
xf
1º) Dominio. { }1)(Dom ±−ℜ=xf 2º) Simetrías.
)(1
11)(
1)( 22 xfxx
xf =−
=−−
=− Simetría par
Eje de simetría y. 3º) Puntos de corte.
Eje x: 01
10)( 2 ≠−
⇒=x
xf No tiene.
Eje y: )1,0(110
1)0( ⇒=−
=f
4º) Asíntotas.
Asíntotas verticales: 11
1lim)(lim 211=⇒±∞=
−=
→→x
xxf
xx
11
1lim)(lim 211−=⇒±∞=
−=
−→−→x
xxf
xx
Asíntota horizontal: 001
1lim)(lim 2 =⇒=−
=±∞→∞→
yx
xfxx
Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
00)1(
20)(')1(
2)(' 2222 =→=−
−⇒=→
−
−= x
xxxf
xxxf
0=x Punto candidato a máximo o a mínimo. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x = – 1 x = 0 x = 1
x2− + + – – 22 )1( −x + + + +
)(' xf + + – – Decreciente en { }1),0( −∞ . Creciente en { }1)0,( −−−∞ . Y como se puede ver, hay un máximo en x = 0, cuyas coordenadas son:
x = 0 ( )1,0110
1)0( 2 −⇒−=−
=⇒ f
6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
0)1(260)(''
)1(26
)1()1(2·2·2)1(2)('' 32
2
32
2
42
222≠
−+
⇒=→−+
=−
−+−−=
xxxf
xx
xxxxxxf
No hay puntos candidatos a puntos inflexión.
Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836
5
Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = –1 x = 1
26 2 +x + + + 32 )1( −x + – +
)('' xf + – + Cóncava en )1,1(− y convexa en ),1()1,( ∞∪−−∞ 7º) Representación gráfica:
Cuarto ejemplo:
1)(
2
+=
xxxf
1º) Dominio. { }1)(Dom −−ℜ=xf 2º) Simetrías.
⎩⎨⎧
−≠≠
−=
+−−
=−impar es No)(
par es No)(11
)()(22
xfxf
xx
xxxf
No hay simetría. 3º) Puntos de corte.
Eje x: )0,0(01
0)(2
⇒=+
⇒=xxxf
Eje y: )0,0(110
0)0( ⇒=+
=f
4º) Asíntotas.
Asíntotas verticales: 11
lim)(lim2
11−=⇒±∞=
+=
−→−→x
xxxf
xx
Asíntota horizontal: ⇒±∞=+
=±∞→∞→ 1
lim)(lim2
xxxf
xx No tiene asíntota horizontal.
Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836
6
Asíntota oblicua: 11
lim)(lim 2
2=
+==
±∞→±∞→ xx
xxfm
xx
11
lim1
lim))((lim2
−=+−
=−+
=−=±∞→±∞→±∞→ x
xxxxmxxfn
xxx
La asíntota oblicua es y = x – 1. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
⎩⎨⎧
−==
⇒=+
+⇒=→
+
+=
+
−+=
20
0)1(20)('
)1(2
)1()1(2)(' 2
2
2
2
2
2
xx
xxxxf
xxx
xxxxxf
Dos puntos candidatos a máximo o a mínimo. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x = – 2 x = – 1 x = 0
xx 22 + + – – + 2)1( +x + + + +
)(' xf + – – + Creciente en ),0()2,( ∞∪−−∞ y decreciente en { }1)0,2( −−− . Por tanto:
Máximo x = – 2 )4,2(412
)2()2(2
−−⇒−=+−
−=−⇒ f
Mínimo x = 0 )0,0(010
0)0(2
⇒=+
=⇒ f
6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.
0)1(
20)('')1(
2)1(
)1(2)·2()1)(22()('' 334
22≠
+⇒=→
+=
+
++−++=
xxf
xxxxxxxxf
No tiene puntos candidatos a puntos de inflexión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = –1
2 + + 3)1( +x – + )('' xf – +
Cóncava en )1,( −−∞ y convexa en ),1( ∞− . 7º) Representación gráfica:
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