quants peixos hi ha en un llac? quants taxis en una ciutat?

Quants peixos hi ha en un llac?Quants taxis en una ciutat?

Idees per activitats i projectes fent servir l’estadística

Pere Grimapere.grima@upc.edu

http://www-eio.upc.es/~grima/

CREAMat, 28 de gener de 2009

2. Peixos, taxis, i més

Contingut. Objectiu

Peixos (estimació de la grandària d’una població pel mètode de la captura, marcatge i recaptura)

Taxis (estimació de la grandària d’una població ambels elements numerats)

“Fent servir l’estadística” (més exemples)

Objectiu: Donar idees sobre possibles

activitats o treballs relacionats amb l’estadística

El llac

Quants peixoshi ha?

Si poguéssim veure el que hi ha a dins...

Pesquem, marquem i els deixem anar

15 peixos

Els peixos marcats s’escampen...

Tornem a pescar

Hipòtesi. Càlculs

N: Nombre total de peixos

M: Marcats R: Apareixen marcats

C: Capturats

Segona MostraPrimera Mostra

N C= = M·C

= =·N̂

15 1575

Si poguéssim veure el que hi ha a dins...

Hi ha 67 peixos. Error del 12% sobre el valor real

La realitat:

Qualitat de la estimació

Què vol dir que N està “al voltant de” 75?

Quina és la “bondat” del nostre estimador?

Quina és la qualitat de la estimació si:

N = 1000

M = 100

C = 100

Simulació amb Excel

Podem simular amb l’Excel

Applet

Peixos que es troben marcats

en la repesca

Freqüència absoluta

PercentatgePercentatge

acumulat

Estimació grandària població

1 3 0,03 0,03 100002 14 0,14 0,17 50003 35 0,35 0,52 33334 141 1,41 1,93 25005 279 2,79 4,72 20006 533 5,33 10,05 16677 860 8,6 18,65 14298 1183 11,83 30,48 12509 1378 13,78 44,26 1111

10 1454 14,54 58,8 100011 1202 12,02 70,82 90912 1066 10,66 81,48 83313 744 7,44 88,92 76914 494 4,94 93,86 71415 296 2,96 96,82 66716 170 1,7 98,52 62517 75 0,75 99,27 58818 46 0,46 99,73 55619 16 0,16 99,89 52620 10 0,1 99,99 50023 1 0,01 100 435

Simulant 10.000 vegades amb Minitab:

≅ 80 %+ 429

Fent gràfics

23222120191817161514131211109876543210

Peixos que es troben marcats en la repesca

üènc

30002500200015001000500

Grandària estimada

80% 80%

= M·CN̂

RÉs un estimador esbiaixat

7 13 769 1429

Es pot millorar?

Es pot calcular un estimador que no tingui biaix?

Com varia la qualitat de l’estimador en augmentar M i/o C ?

I si es fan vàries repesques?

I si...?

Amb boles....

Quants cigrons hi ha en 1 kg?

• Pesca i repesca

• Comptar-los

• Pesar-ne 100 i fer la proporció

Quants taxis hi ha a Barcelona?

Fàcil!

http://www.taxibarcelona.cat/tabid/308/Default.aspx

Sense repesca....

Els taxis estan numerats !

Fent servir la intuïció

16 28 45 48 68 72 81

Mostra de valors d’una població numerada:

Quants elements té la població?

Possibilitats

Si tenim tota la població numerada es verifica que:

Grandària de la població: N

Mitjana:

Mediana:

N X2 1= −

N X2 1= −%

Exemple:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Mitjana = Mediana = 5,5

Possibilitats

A la nostra mostra:

16 28 45 48 68 72 81

Mediana: 48

Mitjana: 51,14

Estimacions: N X1 2 1 2 51 14 1 101ˆ : ,− = ⋅ − ≅

N X2 2 1 2 48 1 95ˆ : − = ⋅ − ≅%

Inconvenient d’aquest sistema ?

L’inconvenient

Pot donar una estimació evidentment falsa...

Exemple: 3, 4, 6, 15

Mitjana: 7

Mediana: 5

N̂ : X − = ⋅ − =1 2 1 2 7 1 13

N̂ : X − = ⋅ − ≅2 2 1 2 5 1 9%

7 + 5 + 7 + 4 + 7

Solucionant l’inconvenient...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Suposem que els valors són: 8, 14, 22, 27, 35

?36 37 38 39 40 41 42

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

7 + 5 + 7 + 4 + 7

36 37 38 39 40 41

Aquest és un estimador excel·lent! (UMVUE)

La fórmula !!

El promig de les diferències és:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )n n nX X X X X X X X

− − + − − + − − + + − − = −

1 2 1 3 2 11 1 1 11

Per tant:

: Primer valor, ordenats de menor a major

: Últim valor, ordenats de menor a major

( n )( n )

XN̂ X

n= + − 1

( )X 1

Comprovem que funciona

20 vegades

El valor més gran:

+ − =1101

1101 1 115520

Millor estimació:

Cas pràctic

+ − =10 46710 467 1 10989

Altres situacions similars

Roger W. Johnson: “Estimating the Size of a Population. Teaching Statisticshttp://www.rsscse.org.uk/ts/gtb/contents.html

Iceberg i estadística

• Calidad y costos

Costos de la calidad

Costos de la no calidad

Costos totales de la calidad

• El tratamiento de los costes en los proyectos Seis Sigma

Hi ha més del què es veu

PercentatgesSondejos electorals

Mitjanes

Control de la Qualitat: Què podem

fer per millorar?

Previsions:Quanta electricitat es

gastarà demà?

Estudis sociològics:

Què volen els joves?

Biologia:Animals en

extinció

Fiabilitat.Cada quant

s’han de revisar les peces d’un

avió?

Economia:Quant

augmenten els preus?

Estudis de mercat:

Què volen els consumidors?

Investigació mèdica:

És millor un nou medicament?

AutorA

AutorB

Autordisputat

Quantificació de l’estil literari: longitud de les frases, freqüènciad’ús de determinades paraules (paraules eina), selecció entrepossibles alternatives,...

Estilometria. Software

Exercicis

Quantificació d’una imatge

Testimoni de fusta

Esquema de la secció del tronc

1992 ..93 ..94 ..95 ..96 ..97 (any actual)

Homes Dones

302520151050

Nombre de vegades que han coincidit

Posició sortida

242322212019181716151413121110987654321