puntos de una gráfica.. x punto máximo 0 función creciente función decreciente punto de...

Puntos de una gráfica.

. x

Punto máximo

0

Función creciente Función decreciente

Punto de inflexión

Funció

n crec

iente

Punto mínimo

Máximos y Mínimos

Métodos para encontrar estos puntos:

Máximos y mínimos• Criterio de la primera derivada.• Criterio de la segunda derivada.

Punto de inflexión• Criterio de la segunda derivada.

Sentido de la concavidad• Criterio de la segunda derivada.

Función creciente y decreciente• Criterio de la primera derivada.

INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA

La 1ª derivada tiene 4 interpretaciones:

1. Interpretación Geométrica.

Punto tangente

2. Interpretación Trigonométrica.

3. Interpretación Matemática.

4. Interpretación a la Física.

Máximos y Mínimos

• Criterio de la primera derivada.

1. Se obtiene la función2. Se obtiene la 1a derivada.3. Se iguala a cero la 1ª derivada y se obtiene sus raíces o puntos críticos.

mínimo

.máximo

4. Para cada raíz o punto crítico se considerará un valor menor y otro mayor que se sustituirán en la 1ª derivada. Si los resultados cambian de + a – existirá un máximo.

Si los resultados cambian de – a + existirá un mínimo.

5. Se obtienen las coordenadas de los puntos máximos y mínimos, sustituyendo cada raíz o punto crítico en la función original.

..+.. .-

+-

• Criterio de la segunda derivada.

1. Se obtiene la función2. Se obtiene la 1a y 2ª derivada.3. Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces o puntos

críticos. 4. Cada raíz o punto crítico se sustituye en la 2ª derivada y si el resultado es

positivo (+) existirá un mínimo, si el resultado es negativo (-) existirá un máximo y si da cero entonces no existirá ni máximo ni mínimo.

. .máximo - . .mínimo +

Punto de Inflexión

• Criterio de la segunda derivada.

1. Se obtiene la función2. Se obtiene la 1a y 2ª derivada.3. Se iguala la 2ª derivada con cero y se determinan las raíces o puntos

críticos. 4. Se considerará para cada raíz o punto crítico, un valor menor y otro mayor

que se sustituirán en la 2ª derivada, si los resultados cambian de signo de + a - ó – a + se dice que existe un punto de inflexión, si no hay cambio de signo, entonces no existirá un punto de inflexión.

5. Se obtienen los puntos de inflexión, al sustituir cada raíz o punto crítico en la función original.

.Punto de inflexión

Sentido de la concavidad

• Criterio de la segunda derivada.

1. Se obtiene la función2. Se obtiene la 1a y 2ª derivada.3. Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan sus raíces o puntos

críticos. 4. Por separado y para cada raíz se considerará un valor menor y un valor

mayor, si el resultado es positivo se dice que la función es cóncava y si es negativo se tiene una función convexa o cóncava hacia abajo.

(-) (+)

Función Creciente y Decreciente

• Criterio de la primera derivada.

1. Se obtiene la función2. Se obtiene la 1ª derivada.3. Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces o puntos

críticos.

4. Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor menor y otro mayor de forma independiente. Si el resultado es negativo se dice que la función es decreciente, si el resultado es positivo se dice que la función es creciente. Si el resultado es cero, la función no tiene creciente y decreciente.

.Punto de inflexión

máximo

mínimo

Creciente

Creciente

Decreciente

Ejemplo:

Se desea construir una caja de cartón de base rectangular sin tapa a partir de una hoja de 30 x20 cm. De tal manera que su volumen sea máximo y las dimensiones mínimas.

20 20-2x

x

x

30

x x30-2x

Como sólo tenemos la variable , es función .

• Método ó Criterio de la 1era derivada para calcular los máximos y mínimos.

Se obtiene la función Paso 1

Paso 2

Paso 3

Se determina la 1ª derivada

Se iguala a cero y se determinan las raíces ó puntos críticos.

Se resuelve por fórmula general

Raíces ó Puntos críticos

Paso 4 Identificar el punto máximo y mínimo.

V. menor V. mayor

Se sustituye los valores en la 1ª derivada

V. menor

V. mayor

.. .

-

mín

imo

+signos

Existe un mínimo

.. .V. menor V. mayor

Se sustituye los valores en la 1ª derivada

V. menor

V. mayor

signos+ - Existe un máximo

. . .

Paso 5 Obtención de las coordenadas. Se obtienen sustituyendo cada raíz o punto crítico en la función original.

Para el punto mínimo

Para el punto máximo

• Método ó Criterio de la 2ª derivada para calcular los máximos y mínimos.

Paso 1 Se obtiene la 1ª derivada

Paso 2 Se determinan la 1ª y 2ª derivada

Paso 3 Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces ó puntos críticos.

Se resuelve por fórmula general

Raíces ó Puntos críticos

Paso 4 Se sustituye cada raíz en la 2ª derivada.

Mínimo

Máximo

Paso 5 Obtención de las coordenadas de los puntos máximos y mínimos, sustituyendo las raíces ó puntos críticos en la función original.

Para el punto mínimo

Para el punto máximo

• Punto de Inflexión

Método de la 2ª derivada

Paso 1 Se obtiene la función

Paso 2 Se obtiene la 1a y 2ª derivada.

Paso 3 Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan las raíces o puntos críticos.

Paso 4 Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor menor y un valor mayor que se sustituirán en la 2ª derivada.

V. menor V. mayor

Se sustituye los valores en la 2ª derivada

Signos cambian de – a + Existe punto de Inflexión.

Como hay cambio de signo, entonces existe punto de inflexión, es decir, cambió en el sentido de la curva.

.Curva Punto de inflexión

Paso 5 Cálculo de las coordenadas del punto de Inflexión. Se obtienen sustituyendo la raíz ó punto crítico en la función original.

Para se sustituye en la función original.

• Sentido de la Concavidad

Método ó Criterio de la 2ª derivada

Paso 1 Se obtiene la función

Paso 2 Se obtiene la 1a y 2ª derivada.

Paso 3 Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan sus raíces o puntos críticos.

Raíz ó Punto Crítico

Paso 4 Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor mayor y otro menor de manera independiente.

V. menor V. mayor

Se sustituye los valores en la 2ª derivada

Función Convexa

Función Cóncava

. ..

.

• Función Creciente y Decreciente

Se obtiene la función Paso 1

Paso 2

Paso 3

Se determina la 1ª derivada

Se iguala a cero y se determinan las raíces ó puntos críticos.

Se resuelve por fórmula general

Raíces ó Puntos críticos

Paso 4 Para cada raíz ó punto crítico de manera independiente, se considerará un valor menor y otro mayor que se sustituirán en la 1ª derivada.

V. menor V. mayor

Función Decreciente

Función Creciente

V. menor V. mayor

Función Decreciente

Función Creciente

Resultados

Punto Máximo Pmax=(3.92,1056.31)

Punto Mínimo Pmin=(12.74,-315.56)

Punto Inflexión PInf=(8.33,-34.68)

.

.

..

Gráfica

Decreciente Creciente

P. Inflexió

n(8.33

, -34

.68)

Pmax=(3.92, 1056.31)

Creciente ( , 3.92]Decreciente [3.92, 12.74]

Pmin=(12.74, -315.56)

Creciente

DecrecienteCrecie

nte

Creciente

Convexa ( , 8.33]Cóncava [8.33, )

Creciente [12.74, )

Como resultado final se obtiene la caja con las dimensiones siguientes: