prop aureas

I.E.S. JOSÉ

ISBERT (TARAZONA)

Consejos sobre Dimensiones Óptimas<Construcción, ubicación, decoración, logotipos, publicidad,…>

Santo Tomás de Aquino (1225‐1274)

Los sentidos se deleitan con  las cosas que tienen las 

proporciones correctas.

Algunos modelos básicos de referencia (cuerpo humano):

La proporción en Geometría

Polígonos 

regulares

Polígonos irregulares

Polígonos irregulares 

(cuadriláteros uniformes)

Matemáticas. 3 números mágicos:

π = 3,141592654…

e = 2,718281828…

φ = 1,618033988…

Especialmente 

útil en Geometría y 

Trigonometría.

Especialmente 

útil en 

Operaciones 

Logarítmicas.

Especialmente 

útil para hallar 

proporciones 

perfectas.

Sílaba inicial del nombre del célebre arquitecto griego Phidias.

Letra griega phi.

EL NÚMERO “FI”

Se obtiene así: [(1 + Raíz Cuadrada de 5)]

/ 2  =  1,61803398

Es el valor del denominado “número áureo”

(número de oro).

Es la referencia de la proporción perfecta, también llamada “áurea”

y 

“divina”.

Phidias (490 AC –

431 AC)

Cuadro de 1868. Phidias mostrando el friso 

del Partenón a sus amigos.

Pasos para construir la división áurea de un segmento:

1º) Se traza una recta de cualquier longitud “AB”. Y sobre la perpendicular a AB 

desde el punto B se traza otra recta de longitud AB/2. El punto del nuevo extremo 

se llamará

H. Y por tanto, BH será

justo la mitad de AB.

Pasos para construir la división áurea de un segmento:

2º) Se une A con H. Hasta aquí

se ha formado un triángulo rectángulo.

Pasos para construir la división áurea de un segmento:

3º) Con centro en H y radio HB se traza un arco hasta determinar el punto C´

(corte 

con la recta AH).

Pasos para construir la división áurea de un segmento:

y 4º) Con centro en A y radio AC´

se traza un arco hasta determinar el punto C (corte 

con la recta AB).

Obteniéndose este resultado:Es decir: AC x φ

= AB    También: AB – AC = CB

Longitud total MayorMenor

Resumen de la proporción perfecta de un  segmento:

Ejercicios:

1.‐

Conocemos la longitud del segmento total (por ejemplo: 24 cms.)

y queremos 

dividirlo “divinamente”. Hállense los valores de los trozos mayor y menor.

2.‐

Conocemos la longitud del segmento mayor (por ejemplo: 12 cms.)

y 

queremos añadirle un segmento menor para alcanzar la longitud total “divina”. 

Hállense los valores del trozo menor y del segmento total.

3.‐

Conocemos la longitud del segmento menor (por ejemplo: 5 cms.) y queremos 

añadirle un segmento mayor para alcanzar la longitud total “divina”. Hállense los 

valores del trozo mayor y del segmento total.

Donde mejor se aprecia y resulta eficaz la proporción divina es en el rectángulo 

áureo

Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado 

un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial. Los griegos lo consideraban 

de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. A la mayoría de 

las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas 

proporciones entre sus lados.

¿Cómo se construye?Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo 

unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia 

sobre el lado inicial a través de un arco de circunferencia, obteniendo el lado 

mayor de un rectángulo. Acto seguido se completa el polígono final.

Una propiedad importante de los rectángulos áureos es que cuando se colocan 

dos iguales, como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.

En un rectángulo divino:

Φ

= lado mayor / lado menor

Es decir, la proporción perfecta se comprueba cuando, tras alinear juntos dos 

rectángulos iguales (ubicando el primero en horizontal y el segundo en vertical), 

al trazar la diagonal, dicha recta resultante pasa por los vértices inferior izquierdo 

y superior derecho del primer rectángulo, así

como por el vértice superior 

derecho del segundo rectángulo.

Algunos ejemplos de rectángulos áureos en la vida cotidiana:

Curiosidades sobre el terreno de juego de los campos de fútbol:

Dimensiones reglamentarias:

Medidas reglamentarias Largo Ancho

Partidos nacionales Mín: 90    Máx: 120 Mín: 45    Máx: 90

Partidos internacionales Mín: 100    Máx: 110 Mín: 64    Máx: 75

Final de un Mundial 105 68

Campo de fútbol Equipo Medidas Proporción

Camp Nou 107 x 72 1,486

Santiago Bernabéu 105 x 68 1,544

Mestalla 100 x 59 1,695

Vicente Calderón 105 x 70 1,500

San Mamés 105 x 68 1,544

Ciutat de Valencia 107 x 68 1,573

Aunque algunas dimensiones se aproximan a la proporción perfecta, 

ninguna da como resultado exacto el número de oro (que se lograría 

por ejemplo con 105x65 ó

110x68). 

Excepción

Ciutat Esportiva Joan GamperEl 1 de junio del año 2006 se inauguró

oficialmente 

la Ciudad Deportiva del FC Barcelona Joan Gamper. 

De los 8 campos construidos 

de fútbol 11, siete de ellos 

son “divinos”: la proporción 

rectangular de sus lados 

guarda la relación áurea, 

pues el cociente obtenido es 

prácticamente el número de 

oro: 105/65 = 1,61538

Ejemplos de rectángulos cotidianos “no áureos”:

Ejercicios:

4.‐

Conocemos la longitud del lado mayor de un rectángulo (por ejemplo: 22 cms.) 

y queremos construir un rectángulo divino. ¿Cuánto debe medir el lado menor del 

rectángulo?

‐‐

Tamaño estándar de las fotografías: 36/24 (relación: 1,5)

‐‐

Pantallas de televisión: 16/9 (relación: 1,77)

‐‐

Hojas DIN A: Raíz cuadrada de 2 (relación: 1,41)

5.‐

Conocemos la longitud del lado menor de un rectángulo (por ejemplo: 10 cms.) 

y queremos construir un rectángulo divino. ¿Cuánto debe medir el lado mayor del 

rectángulo?

El rectángulo áureo tiene otra propiedad muy interesante. A partir de él podemos 

obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo y 

consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado; la superficie que queda 

después de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo. 

Los números de oro de la Serie de Fibonacci

Leonardo Piosano Fibonacci 

(1170‐1250)

La serie la descubrió

cuando resolvió

un 

problema de reproducción de conejos: ¿Cuántas 

parejas de conejos tendremos a fin de año si 

comenzamos con una pareja que produce cada 

mes otra pareja, la cual procrea a su vez a los dos 

meses de vida?

Mes 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11 12ºParejasConejos 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Prácticamente todas las proporciones corresponden al Número de Oro:13/8= 1,625    21/13=1,615    34/21=1,619    55/34=1,618    89/55=1,618   144/89=1,618

El halcón se aproxima a su presa según una espiral logarítmica: 

su mejor visión está

en ángulo con su dirección de vuelo; este 

ángulo es el mismo que el grado de la espiral.

Los insectos se aproximan a la luz según una espiral logarítmica 

porque acostumbran a volar con un ángulo constante a la 

fuente luminosa.

Proporción divina en la morfología de las abejas.

La medida del abdomen de la abeja dividida por Φ

es 

igual a la medida de su tórax y a su vez la medida del 

tórax dividida por Φ

es igual a la medida de su cabeza.

Algunas imágenes ilustrativas de proporciones idóneas de ubicación empresarial

José

Agustín García Talavera

Profesor del IES José

Isbert (Tarazona)