programaciÓn lineal
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MVZ Laura Sánchez
Método algebraico capaz de arrojar soluciones
matemáticas óptimas en función de un objetivo
de maximización o de minimización.
Ideado por Dantzig durante la segunda guerra mundial para
resolver problemas de transporte.
Es una técnica de planeación.
Se utiliza frecuentemente en empresas agropecuarias, para
formular raciones alimenticias a mínimo costo, seleccionar
actividades, diseño de rutas de transporte y calendarización de
actividades.
La programación lineal (PL) se usa para representar mediante ecuaciones matemáticas las relaciones que existen entre los componentes de problemas de planeación.
Se basa en los procesos de álgebra para dar soluciones óptimas a modelos matemáticos de problemas de planeación
Ventajas.
• Evita experimentar con la empresa.
• Evaluar los efectos de la toma de decisiones.
• Encuentra la mejor alternativa.
1. Objetivos
2. Actividades
3. Restricciones
Incrementar utilidades
Elevando ingresos
Reducción de costos
Son los diferentes procesos productivos que se
pueden realizar en una empresa.
Diferentes productos finales.
Diferentes formas de llegar al producto final.
La PL trata de encontrar la mejor combinación, sólo se podrá usar cuando existan dos o más actividades alternativas.
Cantidades limitadas de recursos.
Controles a la producción impuestos por el
gobierno, el mercado o el productor.
Representa los tres elementos de los problemas de planeación mediante ecuaciones algebraicas.
Consta de tres partes: Función Objetivo
Restricciones
Condición de no negatividad.
Representa el objetivo del problema que es obtener el máximo de utilidad.
Z = X1(C1)+ X2(C2)+… +Xn(Cn)
Z = utilidad total a maximizar.
X = actividades
C = utilidades por actividad.
Representan las limitantes.
b1 ≥ X1(A1)+X2(A2)+...+Xn(An)
b = restricción. Ej. Total de capital con que se cuenta.
X = actividad. Ej. Ha a sembrar de maíz. A = cantidad de recurso que necesita la
actividad. Ej. Costo para sembrar una Ha.
Representa un supuesto básico, que indica que
los valores que adopten X1 y X2 deben de ser
iguales o mayores que cero.
X1 + X2 ≥0
Métodos manuales:
Gráfico (Máx. dos actividades)
Simplex
Métodos por computadora:
Excel (Solver)
Un agricultor dispone de 50 ha de tierra
cultivable, en las que puede sembrar
alfalfa o maíz, y $26,000.
El maíz genera $900 de utilidad/ha
La alfalfa genera $1,040 de utilidad/ha
El agricultor quiere saber cuántas ha de
maíz y de alfalfa debe sembrar para
obtener el máximo de utilidad
A
X1 (maíz)
B
X2 (Alfalfa)
Disponibilidad
Producción/
ha
$900 $1040 Máximo Ingreso
Agua m3/ha 40 50 2400m3
Capital /ha 500 600 $26 000
Tierra 1 1 50
Función objetivo:
Maximizar Z = X1 (900) + X2 (1,040)
Z = Utilidad de la empresa
X1 = Maíz
X2 = Alfalfa
Agua 40 X1 + 50 X2 ≤ 2400
Capital 500 X1 + 600 X2 ≤ 26000
Tierra X1 + X2 ≤ 50
Condición de no negatividad
• Donde X1 , X2 ≥ 0
Método gráfico
El primer paso en este método es graficar
las ecuaciones de restricción en un plano
cartesiano
Las ecuaciones son de primer grado, ésta
es una de las condiciones para resolver un
problema de planeación por medio de la
PL
Produciendo sólo maíz:
40X1 + 50X2 = 2400
40X1 + 50(0) = 2400
X1= 2400/ 40 = 60
A ( 60, 0 )
Obtención de coordenadas
AGUA
• Produciendo sólo alfalfa:
40X1 + 50X2 = 2400
40(0) + 50X2 = 2400
X2= 2400/ 50 = 48
B (0 , 48 )
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80
B (0,48)
A (60,0)
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80
B (0,48)
A (60,0)
Área de
solución
Produciendo sólo maíz:
500X1 +600 X2 = 26000
500X1 +600(0) = 26000
500X1 + 0 = 26000
X1 = 26000/ 500 = 52
C ( 52 , 0 )
Produciendo sólo alfalfa:
500X1 + 600 X2 = 26000
500(0) + 600 X2 = 26000
0 + 600 X2 = 26000
X2 = 26000/ 600 = 43.33
D (0 , 43.33)
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80
D
(0,43.33)
A (60,0)
C (52,0)
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80
D
(0,43.33)
A (60,0)
C (52,0)
Produciendo sólo maíz:
X1 + X2 = 50
X1 + 0 = 50
X1 = 50
E (50 , 0)
Produciendo sólo alfalfa:
• X1 + X2 = 50
• 0 + X2 = 50
• X2 = 50
• F (0 , 50)
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80
E (50, 0)
F (O,50)
Queda delimitada por los puntos E,D y el
vértice de las líneas EF y CD
“La solución gráfica de un problema de
programación lineal se encuentra en un
vértice”
Ya se tiene el área factible de solución,
ahora es necesario encontrar cual de los
vértices proporciona mayor utilidad, para
ello, se sustituye el valor de E y D en la
función objetivo
Sustituir el punto
E (50,0)
Z=50 (900) + 0 (1,040)
Z=45,000 + 0
Z = 45,000
La utilidad del punto E es $45,000
Maximizar Z = X1 (900) + X2 (1,040)
Sustituir el punto
D (0,43.3)
Z = 0 (900) + 43.3 (1,040)
Z = 0 + 45,032
Z = 45,032
La utilidad del punto D es
$45,032
Para encontrar las coordenadas del vértice
de las líneas EF y CD (punto G) es preciso
solucionar el sistema de ecuaciones formado
por:
Tierra X1 + X2 ≤ 50
Capital 500 X1 + 600 X2 ≤ 26000
La solución de un sistema de ecuaciones se localiza en el vértice, en donde las líneas que representan a las ecuaciones se cruzan.
Métodos: Suma y resta
Igualación
Sustitución
Método de suma y resta PRIMER PASO:
Consiste en multiplicar una de las ecuaciones por un
número negativo tal que permita igualar a uno de los
elementos en ambas ecuaciones, pero con signo
contrario.
Esto se logra en este sistema multiplicando la primera
ecuación por -500
X1 + X2 = 50
500X1 +600 X2 = 26,000
• Se multiplica tierra por –500:
-500(X1 + X2= 50)
-500X1 - 500X2 = -25,000
Método de suma y resta
El nuevo sistema queda:
-500X1 - 500X2 = -25,000
500X1 +600 X2 = 26,000
Se suman ambas ecuaciones para
obtener una sola incógnita
-500X1 - 500X2 = -25,000
+
500X1 +600 X2 = 26,000
0 + 100 X2 = 1,000
X2 =1,000/100 = 10
X2 = 10
Método de suma y resta
Se despeja X2
X1 + X2 = 50
X1 + 10 = 50
X1 = 50 – 10 = 40
X1 = 40
Coordenada del Vértice
Punto G (40, 10)
Para saber la utilidad de esta combinación de
sustituyen los valores del PUNTO G en la
función objetivo.
Z= 40 (900) + 10 (1,040)
Z= 36,000 + 10,400
Z= 46,400
Maximizar Z = X1 (900) + X2 (1,040)
Se puede comprobar que ésta solución cumple
con las restricciones establecidas si se sustituyen
los valores obtenidos, en las ecuaciones del
problema: X1= 40 X2 =10
Agua 40 X1 + 50 X2 ≤ 2400
40(40) + 50 (10) = 2,100
Capital 500 X1 + 600 X2 ≤ 26000
500 (40) + 600 (10) = 26,000
Tierra X1 + X2 ≤ 50
(40) + (10) = 50
Un Médico Veterinario atiende un a un paciente el cual sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2,400 mg hierro, 2,100 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1,500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto tiempo.
Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B.
Cada píldora de la marca A contiene 40mg de hierro, 10mg de vitamina B-1, 5mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos.
Cada píldora de la marca B contiene 10mg de hierro, 15mg de vitamina B-1 y 15mg de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos.
¿Cuáles combinaciones de píldoras debe
comprar el dueño del paciente para cubrir sus
requerimientos de hierro y vitamina al menor
costo?
Marca A Marca B Requerimientos
mínimos
Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg
Vitamina B-1 10 mg 15 mg 2100 mg
Vitamina B-2 5 mg 15 mg 1500 mg
Costo por
píldora 6 centavos 8 centavos
Función objetivo:
Minimizar Z = X1 (6) + X2 (8)
Z = Costo de las píldoras
X1 = píldora A
X2 = píldora B
Fe 40 X1 + 10X2 ≥ 2400
Vitamina B1 10X1 + 15 X2 ≥ 2100
Vitamina B2 5X1 + 15 X2 ≥ 1500
Condición de no negatividad
• Donde X1 , X2 ≥ 0
Comprando sólo Píldora A:
40X1 + 10X2 = 2400
40X1 + 10(0) = 2400
X1= 2400/ 40 = 60
A ( 60, 0 )
Obtención de coordenadas
Fe
• Comprando sólo Píldora B:
40X1 + 10X2 = 2400
40(0) + 10X2 = 2400
X2= 2400/ 10 = 240
B (0 , 240 )
Comprando sólo Píldora A:
10X1 +15 X2 = 2100
10X1 +15(0) = 2100
10X1 + 0 = 2100
X1 = 2100/ 10 = 210
C ( 210 , 0 )
Comprando sólo Píldora B:
10X1 + 15 X2 = 2100
10(0) + 15 X2 = 2100
0 + 15 X2 = 2100
X2 = 2100/ 15 = 140
D (0 , 140)
Comprando sólo Píldora A :
5 X1 + 15 X2 = 1500
5 X1 + 0 = 1500
X1 = 300
E (300 , 0)
Comprando sólo Píldora B :
• 5X1 + 15 X2 = 1500
• 0 + 15 X2 = 1500
• X2 = 100
• F (0 , 100)
230
300
250
200
150
100
50
50
10
0
15
0
20
0
25
0
30
0
Queda delimitada por los vértices de las líneas AB y CD; y el
vértice de las líneas CD y EF.
230
300
250
200
150
100
50
50
10
0
15
0
20
0
25
0
30
0 A (60,0)
B (0,240)
C (210,0)
D (0,40)
E (300,)0
F (0,100)
“La solución gráfica de un problema de
programación lineal se encuentra en un
vértice”
Ya se tiene el área factible de solución,
ahora es necesario encontrar cual de los
vértices proporciona mayor utilidad, para
ello, se sustituye el valor de E y B en la
función objetivo
Para encontrar las coordenadas del vértice
de las líneas AB y CD (punto G) es preciso
solucionar el sistema de ecuaciones formado
por:
Fe 40X1 + 10X2 = 2400
Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100
La solución de un sistema de ecuaciones se localiza en el vértice, en donde las líneas que representan a las ecuaciones se cruzan.
Métodos: Suma y resta
Igualación
Sustitución
Método de suma y resta
Fe 40X1 + 10X2 = 2400
Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100
• Se multiplica Vitamina B1 por –4:
Se realiza la suma
40X1 + 10X2 = 2400
+
-40X1 - 60 X2 = -8400
0 - 50X2 = -6000
X2 =-6000/-50 = 120
X2 = 120
Se sustituye
10X1 + 15 X2 = 2100
10X1 + 15(120) = 2100
10X1 = 2100-1800
X1 = 300/10
X1 = 30
Coordenada del Vértice
Punto G (30, 120)
Para encontrar las coordenadas del vértice de las líneas CD y EF (punto H) es preciso solucionar el sistema de ecuaciones formado por:
Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100 Vitamina B2 5X1 + 15X2 = 1500
Método de suma y resta
Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100
Vitamina B2 5X1 + 15X2 = 1500
• Se multiplica Vitamina B1 por (–):
Se realiza la suma
10X1 + 15X2 = 2100
+
-5X1 - 15 X2 = -1500
5 X1 = 600
X1 =600/5= 120
X1= 120
Se sustituye
5X1 + 15 X2 = 1500
5( 120) + 15X2 = 1500
15 X2= 1500-600
X2 = 900/15
X2 = 60
Coordenada del Vértice
Punto H (120, 60)
Sustituir el punto
E (300,0)
Z=300 (6) + 0 (8)
Z=1800 + 0
Z = 1800
El costo en el punto E es $18.00
MINIMIZAR Z = X1 (6) + X2 (8)
Sustituir el punto
B (0, 240)
Z = 0 (6) + 240 (8)
Z = 0 + 1920
Z = 1920
El costo en el punto B es
$19.20
Sustituir el punto
G (30,120)
Z=30 (6) + 120 (8)
Z=180 + 960
Z = 1140
El costo en el punto G es $11.40
MINIMIZAR Z = X1 (6) + X2 (8)
Sustituir el punto
H (120,60)
Z = 120 (6) + 60 (8)
Z = 720 + 480
Z = 1200
El costo en el punto H es
$12.00
¿Cuáles combinaciones de píldoras debe
comprar el dueño del paciente para cubrir
sus requerimientos de hierro y vitamina al
menor costo?
30 PÍLDORAS A Y 120 PÍLDORAS B, A UN
COSTO DE $ 11.40
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