proceso de calandrado para un fluido newtoniano …
Post on 01-Feb-2022
5 Views
Preview:
TRANSCRIPT
INSTITUTO POLITÉ
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA
UNIDAD AZCAPOTZALCO
PROCESO DE CALANDRADO PARA UN FLUIDO NEWTONIANO CON
VISCOSIDAD VARIABLE DEPENDIENTE DE LA PRESIÓN
Que para obtener el título de Ingeniero Mecánico
HERNÁNDEZ RODRÍ
DIRECTORES DE TESIS
M. en C. JOSE CARLOS ARCOS HERNÁNDEZ
DR. OSCAR ELADIO BAUTISTA GODÍNEZ
POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA
UNIDAD AZCAPOTZALCO
PROCESO DE CALANDRADO PARA UN FLUIDO NEWTONIANO CON
VISCOSIDAD VARIABLE DEPENDIENTE DE LA PRESIÓN
T E S I S
Que para obtener el título de Ingeniero Mecánico presenta:
HERNÁNDEZ RODRÍGUEZ ALFREDO
DE TESIS:
JOSE CARLOS ARCOS HERNÁNDEZ
DR. OSCAR ELADIO BAUTISTA GODÍNEZ
MARZO
CNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y
PROCESO DE CALANDRADO PARA UN FLUIDO NEWTONIANO CON
VISCOSIDAD VARIABLE DEPENDIENTE
presenta:
GUEZ ALFREDO
JOSE CARLOS ARCOS HERNÁNDEZ
DR. OSCAR ELADIO BAUTISTA GODÍNEZ
MARZO DEL 2012
A mis padres, Edith y Alfredo
por el apoyo incondicional durante toda la vida.
A mis pequeños hermanos, Mariel Edith y Harold Josué
esperando que ésta tesis sea un estímulo para seguir estudiando.
A mi hermano Elmer Suriel,
por las experiencias compartidas a lo largo de éstos años
pues sin él mi vida fuera de casa hubiera sido difícil y aburrida.
Al Dr. José Carlos Arcos Hernández,
por su paciencia y tiempo dedicado asesorando esta tesis,
pero principalmente por inculcarme un carácter científico.
Al Dr. Oscar Eladio Bautista Godínez,
por sus decisivos e importantes comentarios en la realización de ésta tesis.
i
i
CONTENIDO
Resumen ii
Índice de figuras iii
Índice de tablas iii
Nomenclatura iv
CAPÍTULO 1. Introducción
1.1 Motivación 1
1.2 Antecedentes 2
CAPÍTULO 2. Formulación matemática 5
2.1 Planteamiento del problema 6
2.2 Análisis de órdenes de magnitud 9
2.3 Variables adimensionales y adimensionalización de las ecuaciones de
gobierno
10
CAPÍTULO 3. Metodología de solución en el límite <<1 14
3.1 Solución asintótica 15
3.2 Solución orden cero 17
3.2.1 Solución para la velocidad 17
3.2.2 Solución para la presión 18
3.3 Solución orden uno 20
3.3.1 Solución para la velocidad 20
3.3.2 Solución para la presión 21
CAPÍTULO 4. Resultados 25
4.1 Distribución longitudinal de la presión 26
4.2 Perfiles de velocidad 28
4.3 Espesor de entrada y salida adimensionales del material 32
4.4 Conclusiones 35
Referencias 36
Apéndice A 38
Apéndice B 41
Apéndice C 44
Apéndice D 45
ii
ii
RESUMEN
En este trabajo se resuelve de manera analítica el proceso de calandrado de hojas de
materiales de espesor finito, que se comportan de acuerdo a un fluido Newtoniano. Para
llevar a cabo este análisis las ecuaciones de conservación de masa y momentum, de la
teoría de la lubricación, se adimensionalizaron y resolvieron aplicando métodos de
perturbación regular. En este trabajo se presentan los perfiles de velocidad
adimensional, los campos de presión adimensional y las curvas teóricas de los
espesores de salida adimensionales en el material calandrado, este último representa un
valor característico del modelo matemático. El sistema de ecuaciones adimensional
depende de un parámetro adimensional , el cual considera la influencia de los efectos
de la presión en la viscosidad del fluido sobre los campos de presión, velocidad y
espesor de salida adimensionales. Los resultados obtenidos en este trabajo demuestran
que el efecto de la dependencia de la presión con la viscosidad del fluido es incrementar
el espesor de salida adimensional del material calandrado. Se determinó un aumento de
9.4% en el punto de salida del material calandrado y un incremento de
aproximadamente 3.37% en el espesor de salida del material calandrado, en
comparación con el caso del proceso de calandrado para un fluido Newtoniano con
propiedades constantes. En el presente trabajo además se obtuvieron los resultados
reportados por Middleman [3] en el límite de 0 , que corresponde al caso con
propiedades constantes.
iii
iii
ÍNDICE DE FIGURAS
No. Pág.
2.1 Modelo físico de estudio y las variables del problema 6
4.1 Distribución de presión adimensional para 0/ 1.535fH H 26
4.2 Distribución de presión adimensional para 0/ 2.698fH H 27
4.3 Perfiles de velocidad adimensional u , evaluada en 0.55 28
4.4 Perfiles de velocidad adimensional u , evaluada en 0.65 29
4.5 Perfiles de velocidad adimensional u , evaluada en 0.03 30
4.6 Perfiles de velocidad adimensional u , evaluada en 0.03 31
4.7 Curvas teóricas de , como función de para diferentes
valores de . 33
4.8 Curvas teóricas del espesor adimensional de salida como
función de el espesor adimensional de entrada , para diferentes
valores de .
34
A1 Adimensionalización de la variable x . 38
C1 Gradiente de presión del orden cero 44
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla A1 Parámetros característicos en el proceso de calendering. 40
Tabla A2 Valores de 0 y 1 para distintos valores de f 40
P
P
0/fH H
0/H H
0/fH H
iv
iv
NOMENCLATURA
Símbolo Significado Unidades Físicas
0H Mitad de la separación mínima de los rodillos m
fH Mitad del espesor del material a la entrada del laminado m
( )h x Espesor de material como una función de x m
P Presión adimensional
0P Presión adimensional orden cero
1P Presión adimensional orden uno
Q Flujo volumétrico adimensional
0Q Flujo volumétrico adimensional, orden cero
1Q Flujo volumétrico adimensional, orden uno
R Radio de los rodillos m
U Velocidad tangencial de los rodillos m/s u Velocidad adimensional del fluido
0u Velocidad adimensional del fluido orden cero
1u Velocidad adimensional del fluido orden uno
y Coordenada transversal adimensional
Letras Griegas
Parámetro empírico que mide el grado de sensibilidad
de la viscosidad con la presión.
Pa-1
Parámetro definido por 0 0 02 / /R H U H
Viscosidad dinámica del fluido Pa-s
0 Viscosidad dinámica del fluido evaluada a una presión
de referencia0P
Pa-s
Posición de salida del material laminado Densidad kg/m
3
Coordenada longitudinal adimensional
Símbolos testados
P Presión en unidades físicas Pa
Esfuerzo cortante en unidades físicas N/m
2
u Velocidad longitudinal del fluido en unidades físicas m/s v Velocidad transversal del fluido en unidades físicas m/s x Coordenada longitudinal en unidades físicas m
y Coordenada transversal en unidades físicas m
1
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se muestran los antecedentes correspondientes al
proceso de calandrado, además de la motivación de la presente
investigación.
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
1
1.1 MOTIVACIÓN
El proceso de calandrado constituye el método más barato y eficiente para reducir el
área transversal de una pieza de material, de tal manera que el espesor final sea
uniforme a lo largo de todo el producto. El calandrado de materiales constituye uno de
los procesos relevantes para la ingeniería de procesamiento de papel, plásticos y caucho
en los cuales el material se deforma hasta obtener su forma final, en rangos de presión
que varían desde 8 hasta 20 MPa [1]. En el proceso de calandrado, el material fundido
se hace pasar a través de un par de cilindros que giran en sentido contrario uno respecto
del otro, mismos que al momento de hacer contacto con el fluido, éste es arrastrado y
deformado debido a los gradientes de presión que se generan en el fluido como
consecuencia de la curvatura de los cilindros, obteniendo al final del proceso películas y
láminas, de espesor uniforme. Uno de los principales problemas en el proceso de
laminado es generar películas o laminas con espesores uniformes con tolerancias de
±0.005 mm, por lo que el espesor del producto laminado debe ser uniforme en la
dirección longitudinal y transversal, cualquier variación en la distancia mínima entre los
rodillos, debido a la dimensión de los cilindros, así como la vibración de estos, deben
ser controlados para evitar espesores no uniformes en el proceso de calandrado [2].
En las últimas décadas, las aplicaciones de películas y laminas de polímeros han ido en
aumento de forma acelerada y las dificultades elementales de la industria manufacturera
ha sido el control de forma de estos materiales, es decir existen dificultades para
controlar el acabado superficial y no se garantiza la obtención de películas y láminas
con superficies planas y acabados superficiales requeridos. Estos inconvenientes en las
películas y láminas generan problemas cuando son sometidos a otros tipos de
procesamientos tales como: impresión, revestimiento adhesivo, laminado con otros
sustratos, termo sellado y procesos de costura entre otros. Las películas y láminas de
polímeros se producen por calandrado. La distribución de presión no uniforme afecta la
posición del punto de separación de la lámina con el cilindro, es decir, la viscosidad del
fluido es afectada por la distribución de presión originando que el espesor final del
material se vea modificado.
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
2
1.2 ANTECEDENTES
El fenómeno de laminado de materiales Newtonianos y No Newtonianos ha sido
estudiado en los últimos 50 años. El primer trabajo que se tiene en la literatura al
respecto, es el desarrollado por Middleman [3], su análisis parte de la teoría de
lubricación de Reynolds para determinar los campos de velocidad para un fluido
newtoniano que fluye a través de dos rodillos que giran a la misma velocidad. Muchos
de los materiales utilizados en el proceso de laminado exhiben un comportamiento de
fluido no-Newtoniano, en este sentido algunos trabajos relacionados con este fenómeno
son el de Ardichvili [4], quien estudió ampliamente deformaciones en plásticos,
tratándolos como fluidos newtonianos, mientras que Gaskell [5], extendió el estudio de
Ardichvili [4] considerando el material laminado como un fluido de Bingham. Se han
estudiado casos donde el material que se va a laminar está derretido y se hace pasar a
través de los rodillos con ayuda de un alimentador; es el caso de Sofou y Mitsoulis [6]
quienes modelaron numéricamente el proceso de laminado, asumiendo una condición de
deslizamiento entre las superficies de los rodillos y material laminado. Los perfiles de
velocidad obtenidos del trabajo de Sofou y Mitsoulis [6] son una extensión de los
resultados de Gaskell [5].
Posteriormente, Evan Mitsoulis y Sofou [7], emplearon diferencias finitas para resolver
el problema hidrodinámico del proceso de laminado con materiales viscoplásticos
considerando en su análisis el modelo reológico de Herschel-Bulkley-Papanastasiou, fue
válido para todos los rangos de velocidad de deformación. En el presente trabajo se
estudió la influencia de la presión y la viscosidad sobre el espesor de salida del material
laminado, considerando la viscosidad dependiente de la presión.
Los desarrollos tecnológicos modernos en el laminado de materiales termoplásticos son
una rama del arte de fabricación y laminado elástico, los cuales datan desde inicios de
1800.
Por otro lado, Gaskell [5] desarrolló un análisis más realista, en el que se trataron
nuevos desarrollos en el modelado del fluido. Un intento por presentar un trabajo en el
que se incluían efectos visco elásticos fue presentado por Paslay [8].
McKelvey [9] continuó con el trabajo de Gaskell [5], para un fluido newtoniano y lo
extendió hasta incluir los efectos para un fluido no newtoniano. Brazinsky et al., [10]
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
3
presentaron un análisis para los fluidos, considerando la ley de potencia, además
presentaron un modelo hiperbólico de la viscosidad. Algunas faltas de exactitud en los
trabajos de McKelvey [9] fueron corregidas por Ermann y Vlachopoulos [11].
Kiparissides y Vlachopoulos [12] desarrollaron un análisis del elemento finito para
laminado simétrico y asimétrico, considerando diferente velocidad en los rodillos y
diferentes diámetros. Los efectos de la disipación viscosa fueron incluidos en soluciones
de diferencia finita de la ecuación de la energía en coordenadas bipolares por Bekin [13]
y en coordenadas rectangulares por Kiparissides y Vlachopoulos [12].
El problema no isotérmico fue tratado por Dobbels y Mewis [14] mediante el método de
colocación ortogonal. Agassant [15] et al., presentaron un método para el cálculo del
promedio de la temperatura máxima y otros cálculos de separación de fuerzas, torques y
condiciones críticas para la aparición de defectos en el proceso de laminado. Los
cálculos no isotérmicos fueron dados a conocer en los trabajos de Dimitrijew y
Sporjagin [16] por el método de elementos finitos. Seeger [17] et al., presentaron una
solución por elementos finitos y calculó perfiles de la velocidad y los esfuerzos para el
modelo de la ley de potencia.
El modelo isotérmico con deslizamiento fue desarrollado por Vlachopoulos y Hrymak
[18], usando la lubricación por aproximación y el método de Runge Kutta. Otras
investigaciones fueron dadas a conocer para los fluidos plásticos de Bingham y fluidos
compresibles por Suto y T. Fujimura [19].
Agassant [15] et al., dieron a conocer un estudio experimental muy extenso del
laminado, usando PVC y silicón para medidas seguras, y comparó sus resultados con el
modelo de predicciones para separación de fuerzas y torques. Su trabajo también
incluyó los estudios realizados por Unkrüer [20].
Recientemente J. C. Arcos et al. [21] estudiaron el proceso de laminado para un fluido
inelástico, en su estudio consideraron la dependencia de la temperatura con la
viscosidad y obtuvieron una reducción en el espesor de salida del material hasta de
6.91%.
En la literatura se considera que la viscosidad es función de la temperatura, por lo que
en este trabajo se estudiará la influencia de la presión con la viscosidad, en el laminado
de fluidos newtonianos y su efecto sobre el espesor de salida del material laminado.
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
4
Por otra parte, S. Middleman [3] estimó la variación del espesor del material laminado,
como consecuencia de las fluctuaciones que se presentan en la temperatura,
considerando que el índice de viscosidad K varía de manera exponencial con la
temperatura. Retomando el análisis que S. Middleman [3] realizó para el caso no
isotérmico, la expresión que representa el cambio en el espesor del material debido a los
incrementos en la presión en órdenes de magnitud se representa por la siguiente
expresión1.
HP
H
De acuerdo con Laun HM [1], el coeficiente es del orden de 2X10-8
Pa-1
, entonces,
para un incremento de presión de 10 MPa la viscosidad variará hasta un 22%,
considerando además que la separación mínima entre rodillos toma valores del orden de
0.0001. Como consecuencia de los cambios en la presión, se concluye que un
incremento en la presión de 10 MPa puede causar una variación hasta del 20%
aproximadamente, en el espesor del material.
1 En el apéndice D, se realiza un análisis para la expresión que representa el cambio del espesor del
material debido a los incrementos de presión, análogo al realizado por Middleman [3], en el cual
consideró la variación de la viscosidad dependiente de la temperatura.
5
CAPÍTULO 2
FORMULACIÓN
MATEMÁTICA
En éste apartado se determinan los órdenes de magnitud de las
principales variables en cuestión. Se lleva a cabo la adimensionalización
de las variables físicas, así como de las ecuaciones de gobierno, ecuación
de cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad.
CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA
6
2.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El modelo físico en estudio se muestra en la Fig. 2.1, el cual consiste de dos cilindros de
radio R que giran en sentido contrario uno respecto del otro a la misma velocidad
angular. La distancia mínima entre los cilindros está representada por 02H y la altura
del claro se expresa como 2h x , donde 02H R . Una lámina de material fundido de
espesor conocido 2 fH , se introduce para ser deformada con los cilindros que tienen una
velocidad tangencial constante representada por U . La posición fx x , representa el
punto donde el material hace contacto por vez primera con los cilindros, y la posición
0x x representa la distancia de separación del fluido con los rodillos. Esta distancia se
desconoce y es parte fundamental del problema ya que está directamente relacionada
con el espesor de salida de la lámina, 2H . Para el análisis, se considera un sistema
coordenado cartesiano, cuyo origen se muestra en la Fig. 2.1, el eje y apunta en
dirección contraria al vector gravedad, mientras que el eje x apunta en dirección del
flujo. Debido a la simetría geométrica y física del modelo, se formulan las ecuaciones
que describen el problema únicamente para valores positivos de la coordenada y .
Figura 2.1 Modelo físico de estudio y las variables del problema.
CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA
7
A continuación se presentan las siguientes consideraciones del problema físico:
1. Flujo laminar.
2. Estado estacionario.
3. Espesor finito del material a la entrada, fH .
4. Propiedades termo físicas del fluido constantes, excepto la viscosidad.
5. Sin deslizamiento de los cilindros con el fluido.
6. El material se considera como fluido Newtoniano, considerando la viscosidad P
como función de la presión.
7. La distancia mínima de separación entre los cilindros es mucho menor que el radio de
los cilindros, 0H R .
8. El movimiento del fluido se da en la dirección de x , la velocidad del fluido en la
dirección de y es despreciable, es decir v u .
9. El gradiente de la velocidad v en la dirección de y , es despreciable comparado con
su gradiente en la dirección de x .
10. El gradiente de la presión es sólo función de la variable longitudinal x .
De acuerdo a las hipótesis señaladas, las ecuaciones de continuidad y de cantidad de
movimiento en las direcciones longitudinal y transversal se representan como:
0u v
x y
(2.1)
yxu u P
u vx y x y
, (2.2)
xyv v P
u vx y y x
(2.3)
donde xy y yx son los esfuerzos de corte, definidos por la siguiente expresión,
( )xy yx
u vP
y x
(2.4)
CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA
8
Por otro lado la función ( )P representa la viscosidad del fluido como una función de
la presión y está representa como:
0( ) PP e (2.5)
Al sustituir las Ecs. (2.4) y (2.5) en las ecuaciones de gobierno (2.2) y (2.3), se
transforman en:
0
Pu u P u vu v e
x y x y y x
(2.6)
0
Pv v P u vu v e
x y y x y x
(2.7)
Las condiciones de frontera asociadas a las Ecs. (2.6) y (2.7) son:
0, 0, 0u
y vy
(2.8)
( ), , 0y h x u U v (2.9)
Considerando que el material ingresa con espesor finito a los rodillos, las condiciones
de frontera para la presión y su derivada se representan de la siguiente forma [6]:
, 0fx x P (2.10)
0 , 0P
x x Px
(2.11)
En las Ecs. (2.1) a (2.11) u y v representan la velocidad longitudinal y transversal
respectivamente, del fluido en unidades físicas. Por otra parte, x y y son las
coordenadas horizontal y vertical del modelo físico; P representa la presión absoluta en
el fluido; y 0 , refieren a la densidad y la viscosidad del fluido evaluada a una
presión de referencia 0P , sus valores son del orden de
41 5 10 Pa-s [12]. El coeficiente
mide la sensibilidad de la viscosidad con la presión [25], y toma valores del orden
de8 -12 10 Pa [1].
CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA
9
2.2 ANÁLISIS DE ÓRDENES DE MAGNITUD.
Con el propósito de establecer la dependencia paramétrica de los valores característicos
de las variables2 , , ,x y u v y P se recurre a un análisis de órdenes de magnitud [26].
0 0~ 2 , ~ , ~ , ~ , ~ ,cx RH y H u U v V P P (2.12)
con estas escalas establecidas, como se muestra en la siguiente sección se obtienen las
variables adimensionales de importancia del problema en cuestión y se sustituirán en las
ecuaciones de gobierno Ecs. (2.6) y (2.7) y en las Ecs. (2.8) a (2.11) que representan las
condiciones de frontera del sistema de ecuaciones diferenciales, esto con el propósito de
obtener el sistema de ecuaciones en su forma adimensional. Cabe mencionar, que el
valor característico de P se determinará durante la adimensionalización de la ecuación
de cantidad de movimiento, surgiendo éste de forma natural de la manipulación
algebraica. Respecto de la obtención del valor característico de la variable v , se aplica
un análisis de órdenes de magnitud a la ecuación de continuidad Ec. (2.1), de la
siguiente manera:
00
~ ,2
U V
HRH (2.13)
al despejar la velocidad característica V en dirección transversal, y considerando que el
término 0 / 2 1H R , se tiene que la velocidad característica V , es mucho menor que
la de los rodillos, es decir
0~ 1
2
HV U
R (2.14)
2 En el apéndice A, se describe el proceso para la obtención de la escala característica de la variable
correspondiente a la Ec. (2.12). x
CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA
10
2.3 VARIABLES ADIMENSIONALES Y ADIMENSIONALIZACIÓN
DE LAS ECUACIONES DE GOBIERNO
Con el propósito de resolver el problema de calandrado considerando la viscosidad del
fluido dependiente de la presión, en esta sección se presentan las variables
adimensionales y las ecuaciones de gobierno adimensionalizadas. Utilizando las
variables características que se obtuvieron mediante un análisis de órdenes de magnitud
en la sección 2.2, se definen las siguientes variables adimensionales:
u
uU
(2.15)
0
yy
H (2.16)
c
PP
P (2.17)
02
x
RH (2.18)
v
vV
(2.19)
2
0
1H
H (2.20)
0
.2
UH (2.21)
En las relaciones anteriores Ecs. (2.15) a (2.21) y y son las variables adimensionales
longitudinal y transversal, respectivamente; u y v representan las componentes de las
velocidades adimensionales longitudinal y transversal respectivamente; Q es el flujo
volumétrico adimensional; P es la presión adimensional y es la posición de salida
adimensional del fluido. Sustituyendo las variables adimensionales, Ecs. (2.15) a (2.21),
CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA
11
en las Ecs. (2.6) y (2.7), y después de llevar a cabo el correspondiente desarrollo
algebraico, las ecuaciones en forma adimensional están dadas por:
0 0 0
0
Re2 2
cP PcH H P Hu u P uu v e
R y R U y y
(2.22)
de manera similar, la ecuación de cantidad de movimiento en dirección transversal
adquiere la siguiente forma,
0 0 0 0
0 0
Re2 22
cP PcH P H H Hv v P u vu v e
R y U y y y RRH
(2.23)
donde Re es el número de Reynolds y toma valores del orden de -410 [12], y se define
por la siguiente expresión,
0
0
ReUH
(2.24)
de las Ecs. (2.22) y (2.23) se observa que los órdenes de magnitud de la presión
característica cP en dirección longitudinal y transversal son:
0,
0 0
2c x
URP
H H
(2.25)
0,
0
c y
UP
H
(2.26)
donde podemos concluir que,
, ,c y c xP P (2.27)
Al sustituir la Ec. (2.25) en la Ec. (2.17), se obtiene una expresión para la presión
adimensional P :
0 0
02
H PHP
R U (2.28)
Debido a que Re 1 y 0 12
H
R en la Ec. (2.22) los términos inerciales son
despreciables comparados con los términos de presión y viscosos, por otro lado en la
CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA
12
Ec. (2.23) tanto los términos inerciales y viscosos son despreciables respecto de los
términos de presión, de tal manera que las Ecs. (2.22) y (2.23) se transforman en:
cP PP ue
y y
(2.29)
0P
y
(2.30)
El significado físico de la Ec. (2.30) implica que la presión solo depende de la variable
longitudinal, es decir ( , ) ( )P y P , por tanto la Ec. (2.29) se puede escribir como:
2
2cP P dP u
ed y
(2.31)
Matemáticamente, el término cP Pe
se puede linealizar, considerando que el término
1cP como se muestra a continuación:
(1 )cP P
ce P P
(2.32)
Sustituyendo la Ec. (2.32) en la ecuación de cantidad de movimiento adimensional
relacionada a la teoría de la lubricación Ec. (2.31) [2,23], se obtiene,
1/2 00
2
2
0
(2 )1 / U P
R HH
d uP
d y
(2.33)
Ahora definimos un parámetro de perturbación el cual considera los principales
parámetros físicos y geométricos del proceso de calandrado y que surge de manera
natural en la Ec. (2.33) expresado de la siguiente manera:
0
0 0
2 UR
H H
(2.34)
Realizando la sustitución correspondiente del parámetro de perturbación , la Ec. (2.33)
se escribe como:
2
21 .
dP uP
d y
(2.35)
Las condiciones de frontera correspondientes a la Ec. (2.35) en su forma adimensional
están representadas por:
CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA
13
0, 0u
yy
(2.36)
2(1 ), 1y u (2.37)
, 0f P (2.38)
, 0dP
Pd
(2.39)
La condición de frontera representada por la Ec. (2.36), representa la condición de
simetría en la velocidad, por otro lado las condiciones de frontera están representadas
por las Ecs. (2.38) y (2.39) [12]. Es importante resaltar que el calandrado es un
problema de valores característico, para resolver el problema matemático solo existe un
valor de que satisface las Ecs. (2.38) y (2.39).
Se requiere una ecuación de balance de masa en su forma integral adimensionalizada.
Por lo tanto, la rapidez de flujo volumétrico adimensional se expresa como:
21
2
01 ,
y
yQ u dy
(2.40)
en esta formulación, Q mantiene valor constante; representa un valor característico
del problema matemático, que deberá determinarse. Dicho parámetro está relacionado
con el espesor de salida de la lámina durante el proceso de calandrado y está definido
por la relación, 2
0( / ) 1H H . El sistema de ecuaciones (2.35) y (2.40) representan
las ecuaciones de la teoría de la lubricación [3]. En el análisis clásico del fenómeno de
calandrado [2,7] de materiales con comportamiento Newtoniano y no-Newtoniano,
existen dos regiones de estudio en la dirección del eje de las x : una de estas se localiza
cerca de la entrada en dirección hacia el origen coordenado, y la otra a la salida. La
primera región experimenta un gradiente de presión positivo en el dominio
comprendido por f y la otra región desarrolla un gradiente de presión
negativo, en el dominio . En la siguiente sección, se obtendrán los perfiles
de velocidad y presión para cada región.
14
CAPÍTULO 3
METODOLOGÍA DE
SOLUCIÓN EN EL
LÍMITE << 1
En este capítulo se muestra el procedimiento para la solución de las
ecuaciones de la teoría de la lubricación para el proceso de calandrado.
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1
15
3.1 SOLUCIÓN ASINTÓTICA
Para determinar los perfiles adimensionales de velocidad, presión y de la posición de
separación entre el fluido y los cilindros, se propone una solución asintótica, aplicando
la técnica de perturbación regular y considerando a como parámetro de perturbación
se proponen las siguientes expansiones, para la velocidad, presión, flujo volumétrico,
así como para el valor característico de .
1 ,oP P P (3.1)
1, , , ,ou u uy y y (3.2)
0 1( ) ( ) ( ) ,Q Q Q (3.3)
0 1 , (3.4)
Donde 0 0 0, ,u P Q y
0 son el orden principal de las expansiones y representan la
solución clásica del caso con viscosidad constante en el problema de calandrado [2,3,9].
Por otro lado 1 1 1, ,u P Q y
1 son correcciones a los términos de orden cero.
Sustituyendo las relaciones (3.1) a (3.4) en las ecuaciones (2.35) y (2.40) se obtiene:
2
0 1 0 10 1 2
( ) ( )1
d P P u uP P
d y
(3.5)
0 10, 0y u uy
(3.6)
2
0 1(1 ), 1y u u (3.7)
0 1, 0f P P (3.8)
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1
16
0 1 0 1 0 1, 0d
P P P Pd
(3.9)
21
2
0 1 0 1 0 10
1 ( ) ( ) ,y
yQ Q u u dy
(3.10)
Agrupando términos de la misma potencia de de las Ecs. (3.5) a (3.9), se obtienen los
siguientes sistemas de ecuaciones, para 0 y
1 , respectivamente:
0 :
2
0 0
2
dP u
d y
(3.11)
21
2
0 0 00
1 Q u dy
(3.12)
Las condiciones de frontera asociadas a las Ecs. (3.11) y (3.12) son:
00, 0u
yy
(3.13)
2
0(1 ), 1y u (3.14)
0, 0f P (3.15)
00 0, 0
dPP
d
(3.16)
1 :
2
01 10 2
dPdP uP
d d y
(3.17)
21
1 0 1 10
2Q u dy
(3.18)
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1
17
Las correspondientes condiciones de frontera para las Ecs. (3.17) y (3.18) son:
10, 0u
yy
(3.19)
2
1(1 ), 0y u (3.20)
1, 0f P (3.21)
11 1, 0
dPP
d
(3.22)
Para resolver el orden uno del sistema de ecuaciones, Ecs. (3.17) y (3.18), se requiere
de la solución del orden cero de las ecuaciones de la conservación de la masa, de la
conservación del momentum, Ecs. (3.11) y (3.12).
3.2 SOLUCIÓN ORDEN CERO
3.2.1 SOLUCIÓN PARA LA VELOCIDAD
Con el propósito de obtener la velocidad adimensional 0u , la Ec. (3.11) se integra una
vez con respecto a y , ya que 0P solo es función de la variable longitudinal .
0 01
u dPy C
y d
(3.23)
Sustituyendo la primera condición de frontera Ec. (3.13) en la Ec. (3.23), se obtiene el
valor de 1 0C . Es decir la Ec. (3.23) se escribe como:
0 0u dPy
y d
(3.24)
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1
18
Integrando nuevamente la Ec. (3.24) se obtiene:
20
0 2
1
2
dPu y C
d (3.25)
Aplicando la segunda condición de frontera, Ec. (3.14) en la Ec. (3.25) y despejando
2C , se obtiene que,
2
202
11 1
2
dPC
d
(3.26)
Sustituyendo el valor de 2C en la Ec. (3.25) y realizando el álgebra requerida, se obtiene
la ecuación adimensional para obtener los campos de velocidad, de forma explícita con
y y de forma implícita con el gradiente de presión:
2
2 200
11 1
2
dPu y
d
(3.27)
3.2.2 SOLUCIÓN PARA LA PRESIÓN
Para determinar los campos de presión 0P , se aplica la ecuación de flujo volumétrico
adimensional Ec. (3.12),
21
0 00
Q u dy
(3.28)
Sustituyendo la velocidad adimensional 0u en la Ec. (3.28) y realizando la integración
correspondiente, se obtiene el flujo volumétrico adimensional como función del
gradiente de presión y de la variable longitudinal adimensional :
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1
19
3
2 2013
11
o
dPQ
d
(3.29)
aplicando la condición de frontera, Ec. (3.6) a la Ec. (3.29), es decir,
00 , 0
dP
d
(3.30)
se obtiene que 2
0 01Q , de manera que al ser sustituida en la Ec.(3.29) se obtiene,
3
22
002 1
1
3
dP
d
(3.31)
Despejando 0 /dP d de la Ec. (3.31), se obtiene el gradiente de presión del orden cero:
2 2
00
32
31
dP
d
(3.32)
El gradiente de presión3
0 /dP d , toma valores positivos y negativos, la región positiva
corresponde al intervalo0f , y la región negativa en el intervalo
0 0 .
Integrando la Ec. (3.32) mediante fracciones parciales y aplicando la condición de
frontera representada por la Ec. (3.16), donde en 0 0, 0P , se obtiene:
2 2 2 2
2 1 10 0 00 0 0 02 2 2
0
(1 3 ) 1 5 1 331 3 tan tan
8 (1 ) 1P
(3.33)
así mismo para determinar el espesor de salida del material, para un espesor de entrada
dado, en la Ec. (3.33) se aplica la condición de frontera donde en 0, 0f P , de
tal manera que se transforma en:
3 En el apéndice C, se muestra la figura C1, la cual muestra la distribución del gradiente de presión,
correspondiente a la Ec. (3.32).
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1
20
1/22
02 1 1/200 02
0 0
2 10 00 02 2
0 0
( / 1)2(1 )1 3 tan ( / 1)
( / ) /
2(1 3 ) tan
1 1
f
f
f f
H HH H
H H H H
(3.34)
Finalmente al sustituir el gradiente de presión, Ec. (3.32) en la ecuación de la velocidad
adimensional Ec. (3.27) se obtiene:
2 22
2 200 3
2
( )31 1
2 1u y
(3.35)
3.3 SOLUCIÓN ORDEN UNO
3.3.1 SOLUCIÓN PARA LA VELOCIDAD
El procedimiento de solución para el orden uno es de forma similar al que se desarrolló
en el procedimiento de solución del orden cero; para encontrar 1u se integra la Ec. (3.17)
obteniendo 1u de manera explícita en función de y , y de forma implícita respecto de
1 /dP d .
01 10 1
dPu dPP y C
y d d
(3.36)
donde 1( )C representa una constante de integración, que depende de . Después de
aplicar la condición de frontera, Ec. (3.19), 1( ) 0C .
Integrando por segunda vez la Ec. (3.36),
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1
21
2011 0 2
1
2
dPdPu P y C
d d
(3.37)
aplicando la condición de frontera Ec. (3.20), y resolviendo para 2C
2 2 012 0
1(1 )
2
dPdPC P
d d
(3.38)
Sustituyendo el valor de 2 ( )C
en la Ec. (3.37), y simplificando la expresión, se
obtiene la ecuación para 1u :
2 2 201
1 0
1(1 )
2
dPdPu P y
d d
(3.39)
3.3.2 SOLUCIÓN PARA LA PRESIÓN
Para determinar la rapidez de flujo volumétrico, se sustituye 1u en la Ec. (3.18):
21
2 2 2011 0
0
1(1 )
2
dPdPQ P y dy
d d
(3.40)
Al integrar el perfil de velocidad 1u y reducir algebraicamente la expresión, se obtiene:
2 3 01
1 0
1(1 )
3
dPdPQ P
d d
(3.41)
aplicando la siguiente condición de frontera a la Ec. (3.39)
11 0
dP
d
, (3.42)
el valor de 1Q evaluado en 1 está representado por,
2 3 0 1
1 1 0 1
( )1(1 ) ( )
3
dPQ P
d
(3.43)
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1
22
Sustituyendo Ec. (3.43) en Ec. (3.41), obtiene la siguiente expresión,
2 3 2 30 1 01
1 0 1 0
( )1(1 ) ( ) (1 )
3 3
dP dPdPP P
d d d
(3.44)
Despejando de la ecuación anterior 1 /dP d y simplificando se obtiene la ecuación
para el campo de presión longitudinal del orden uno:
32
0 0 11 10 0 1 2
( ) 1( ) ( )
1
dP dPdPP P
d d d
(3.45)
donde 0dP
destá dado por la Ec. (3.32), 0 1( )dP
d
implica evaluar la Ec. (3.32) en 1 .
Sustituyendo las relaciones antes mencionadas, la Ec. (3.45) se puede escribir como:
2 2 2 2
0 0 0 1 0 11
2 3
( ) ( )3
(1 )
P PdP
d
(3.46)
Con el objetivo de determinar 1P , se integra la Ec. (3.46) en los límites
f y
:
2 2 2 2
3
0 0 11 0 0 13
2 21 13
f
P P P d
(3.47)
Para determinar 1 de la Ec. (3.46), se aplica la condición de frontera 1 1, 0P ;
entonces la Ec. (3.47) se transforma en:
1
2 2 2
3 32
2
0 0 10 1
20
10
1f
P P d
(3.48)
Para resolver la Ec. (3.48), primero se resolverá la integral y se sustituyen en la
expresión obtenida los límites correspondientes, a continuación para valores dados de
0 y f se encuentra la raíz de 1 que corresponderá a la solución de la Ec. (3.47). Este
valor característico de 1 corresponde a el valor de donde . Las expresiones
obtenidas se muestran a continuación.
1 0P
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1
23
1
2 2 4 2 2 4
0 0 0 0
4 3 4 32 2
0 0
2 2 4 3 2 4 1
0 0 0 0 0 0 0 0
2 2
0
2 4 3
0 0 0 0
0
4(1 ) 8( 1) 4(1 ) 8( 1)1
16 1 11 1 1 1
(3 1)(1 2 2 6 2(2 1 3 ) tan ( )
(1 )(1 )
5 14 3 4 1 12
f f
f f
P
H H
H H
H H
H
2 4 1
0 0 0
0 0
2
02 2 2 1
0 0
2 2
2 3 4 2 1 120 0 0 0 0 0 2 1 2
02
0
2 2 231 1 0 12 2 0 0
0 1 22 20 1
1 4(2 1 3 ) 1tan ( )
2 3 1 1 (5 3 ) tan ( )
(1 )
2 3 1 3 (3 2 1)tan ( ) tan ( )1 3 tan ( )
1
1 (5 3 )32( )
1 1
f
f
H
H H
H
H
2 1 1
0 0 1
2 2 1
0 02
0 0 0 01
22 2
0
2 3 4 2 1 1
0 0 0 0 0 0
0
(3 1) tan ( ) tan ( )
2(3 1) 1 5 3 tan 1(5 3 )
3tan ( )(1 )
2 3 1 3 (3 2 1)tan ( ) tan 1
f f f f
f
f
H H H H
H H H H
H
H
H
H
2
0
22 1
0
0
2 2 231 1 0 12 2 2 1 10 0
0 1 0 0 122 20 1
0 0 1
2
0
0
1
1 3 tan 1
1 (5 3 )32( ) (3 1) tan ( ) tan ( )
1 1
1 4 3
3tan 1
f
f f
f
f
H
H
H H
H H H
HH
H
(3.49)
Aplicando condiciones de frontera a Ec. (3.49) y para valores dados de
0 y
0/fH H , se determina el valor de 1 .
1 1, 0P
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1
24
La solución correspondiente a la Ec. (3.48) está definida por la siguiente expresión
matemática:
2 2 4 2 2 4
0 0 0 0
4 3 4 32 2
1 1
0 0
2 2 4 3 2 4 1
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
2 2
0 1
2 4
0 0 0
0
0
4(1 ) 8( 1) 4(1 ) 8( 1)1
16 1 11 1 1 1
(3 1)(1 2 2 6 2(2 1 3 ) tan ( )
(1 )(1 )
5 14 3 4 1 12
f f
f
H H
H H
H
H
3 2 4 1
0 0 0 0
0 0
2
02 2 2 1
0 1 1 0 1 1
2 2
12 3 4 2 1 1
20 0 0 0 0 0 1 2 1 2
0 12
0
2 231 1 02 2 0 0
0 1 2
0
1 4(2 1 3 ) 1tan ( )
2 3 1 1 (5 3 ) tan ( )
(1 )
2 3 1 3 (3 2 1)tan ( ) tan ( )1 3 tan ( )
1
1 (532( )
1
f f
f
H H
H H
H
H
2
1 2 1 1
0 0 122
1
2 2 1
0 02
0 0 0 011 11 22 2
1
0
2 3 4 2 1
0 0 0 0 0 0
3 )(3 1) tan ( ) tan ( )
1
2(3 1) 1 5 3 tan 1(5 3 )
3tan ( )(1 )
2 3 1 3 (3 2 1)tan (
f f f f
f
H H H H
H H H H
H
H
1
0
2
0
22 1
0
0
2 2 231 1 0 12 2 2 1 10 0
0 1 0 0 122 20 1
0 0 1
2
0
0
) tan 1
1
1 3 tan 1
1 (5 3 )32( ) (3 1) tan ( ) tan ( )
1 1
1 4 3
3tan 1
f
f
f f
f
f
H
H
H
H
H H
H H H
HH
H
(3.50)
25
CAPÍTULO 4
RESULTADOS
En este capítulo se presentan los resultados analíticos de la velocidad,
presión y del espesor adimensionales de salida del material calandrado
para distintos valores del parámetro .
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
26
En las figuras 4.1 a 4.8 se muestran las soluciones analíticas representadas por las
Ecs.(3.1), (3.2) y (3.4) que corresponden a los gradientes de presión, y perfiles de
velocidad adimensionales y a los espesores de salida del material calandrado,
respectivamente.
4.1 DISTRIBUCIÓN LONGITUDINAL DE LA PRESIÓN
En las Figs. 4.1 y 4.2, se muestra la solución de orden de la presión adimensional
0 1( ) ( ) ( ) ...,P P P para distintos valores del parámetro .
Fig. 4.1. Distribución de presión adimensional P para 0/ 1.535fH H
La Figura 4.1 muestra la distribución de la presión adimensional P como una función
de la coordenada longitudinal , para un espesor adimensional del material de entrada
, para distintos valores del parámetro . De la Fig. 4.1 se observa que
cuando el material hace contacto con los rodillos (entrada del material de espesor
finito), aguas arriba, su presión es cero, conforme el material pasa a través de los
rodillos se incrementa la presión adimensional , alcanzando un valor máximo en
0/ 1.535fH H
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
27
, después la presión disminuye aguas abajo, de tal forma que en 0 la
presión adimensional es , así mismo cuando el fluido se separa de los
rodillos (punto de salida del material calandrado) . Así mismo, se
observa que el parámetro e no influye de manera importante en los perfiles de presión,
ya que los valores de la presión máxima se incrementan de manera insignificante a
medida que el parámetro de perturbación se incrementa es decir cuando se incrementa la
velocidad de los rodillos.
Fig. 4.2. Distribución de presión adimensional para 0/ 2.698fH H
De manera similar, la Figura 4.2 muestra la distribución de la presión adimensional
como una función de la coordenada longitudinal , para un espesor adimensional de
entrada del material y distintos valores del parámetro . Los valores
de presión máxima se incrementan de forma insignificante a medida que el parámetro
de perturbación se incrementa como se observa en la figura correspondiente.
max / 2P P
0.3, 0P
P
P
0/ 2.698fH H
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
28
Comparando la Fig. 4.1 con la Fig. 4.2, para los mismos valores de y 0 ,
se observa que a medida que el espesor de entrada del material es mayor se alcanzan
presiones mayores en , y el punto de salida del material también se incrementa.
4.2 PERFILES DE VELOCIDAD
De la Fig. 4.3 a la Fig. 4.6, se muestran los perfiles de la velocidad adimensional
como función de la variable transversal
adimensional y considerando la viscosidad del fluido dependiente de la presión para
distintos valores del parámetro . Las Figs. 4.3 y 4.4 muestran los perfiles de la
velocidad adimensional evaluados en la región comprendida entre f y , donde el
gradiente de presión /dP d es positivo.
Fig. 4.3. Perfiles de velocidad adimensional u evaluada en 0.55
La Fig. 4.3 muestra la solución de la velocidad adimensional , como una función de
0, ,U R H
1, , , ,ou u uy y y
u
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
29
la coordenada transversal , evaluada en 0.55 , con un para
distintos valores del parámetro .
La influencia del parámetro sobre los perfiles de velocidad adimensional es más
significativa en el plano central localizada en , e insignificante la influencia de
sobre los perfiles de velocidad adimensional, en la región comprendida en la periferia de
los cilindros.
Como se observa el perfil de velocidades es perturbado por el parámetro . Cuando
se incrementa, los perfiles de velocidad disminuyen habiendo una variación
aproximadamente de 2.2% en 0y , para 0.08 , comparado con el caso donde
0 , Middleman [3] .
Fig. 4.4. Perfiles de velocidad adimensional u evaluada en 0.65
En la Figura 4.4 se muestra la solución de la velocidad adimensional u , como una
función de la coordenada transversal y , evaluada en 0.65 , con un 0/ 2.698fH H
para distintos valores del parámetro . Los perfiles de velocidad disminuyen cuando
y0/ 1.535fH H
0y
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
30
se incrementa, habiendo una variación del 0.3% en 0y cuando 0.08 en
comparación con el caso donde 0 , Middleman [3].
Las Figs. 4.5 y 4.6 muestran los perfiles de la velocidad adimensional evaluados en la
región comprendida entre y , donde el gradiente de presión /dP d es negativo.
Fig. 4.5. Perfiles de velocidad adimensional u evaluada en 0.03
En la Fig. 4.5 se presenta el perfil de velocidad adimensional u , como una función de la
coordenada transversal evaluada en , con un 0/ 1.535fH H para distintos
valores del parámetro . En esta figura se observa que el perfil de velocidades es
modificado de manera insignificante por el parámetro , de manera que cuando se
incrementa, los perfiles de velocidad disminuyen habiendo una variación del 0.42%
para 0.08 , con respecto al caso de viscosidad constante, 0 . También se observa,
que en la región comprendida entre y , la velocidad adimensional del fluido u ,
y 0.03
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
31
es mayor que la velocidad de los rodillos, de tal manera que en la posición donde el
fluido se separa de los rodillos, en el perfil de velocidad es uniforme e igual a la
velocidad de los rodillos.
Fig. 4.6. Perfiles de velocidad adimensional u evaluada en 0.03
De manera similar, en la Fig. 4.6 se presenta la solución de la velocidad adimensional
u , como una función de la coordenada transversal y , evaluada en 0.03 , con un
0/ 2.690fH H , para distintos valores del parámetro , habiendo una variación del
0.26% respecto del caso con propiedades constantes, 0 .
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
32
4.3 ESPESOR DE ENTRADA Y SALIDA ADIMENSIONALES DEL
MATERIAL
De acuerdo con S. Middleman [3], el espesor de salida adimensional del material
0/H H , y su correspondiente punto de separación del material calandrado, están
relacionados mediante la siguiente expresión,
2
0
1H
H , (4.1)
donde el valor de y 0/H H son desconocidos y son parte fundamental del problema
expuesto en esta tesis. Así mismo el espesor adimensional finito del material a la
entrada del proceso de calandrado y su correspondiente punto de contacto del fluido con
los rodillos, están relacionadas mediante la expresión [3],
2
0
1f
f
H
H , (4.2)
en este sentido, en este trabajo el valor de 0/fH H es conocido. Para un valor dado del
espesor adimensional de entrada 0/fH H , se determinó el orden principal de la posición
de salida y su correspondiente espesor adimensional final del material laminado 0 y
0/H H mediante la Ec. (3.34). Por otro lado para determinar la corrección a 0 debido
a la influencia de la presión sobre la viscosidad del fluido, para los mismos valores de
0/fH H y 0 se determinó el valor de 1 a partir de la Ec. (3.50). De ésta manera
0 y
1 se sustituyeron en la expansión representada por la Ec. (3.4).
En la Fig. 4.7, se presentan los resultados para , como función del espesor
adimensional de entrada 0/fH H , para distintos valores del parámetro .
La Fig. 4.7 también muestra que al incrementar el valor de 0/fH H también se
incrementa, por otro lado los valores de crecen al incrementar el parámetro ; pero
si 0 se recupera el caso donde la viscosidad no depende de la presión [3].
0 1 ...
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
33
Para valores de 0.01 la influencia de es insignificante sobre como se muestra
en la Fig. 4.7. Por ejemplo para 0/ 10fH H el valor de con un 0.09 aumentó
aproximadamente 9.4% comparado con el valor de con un 0 .
Fig. 4.7. Curvas teóricas de , como función de para diferentes valores de .
Para valores aproximadamente de 0/ 1.5fH H , la influencia de sobre es
despreciable, por otro lado para 0/ 100fH H los valores de no son afectados por ,
presentando las curvas un comportamiento asintótico. Cabe hacer mención que se han
presentado resultados de para 0/fH H hasta de 1000 con el único propósito de
mostrar el comportamiento asintótico de con . En aplicaciones de interés ingenieril
[2], los valores usados en el procesamiento de calandrado son hasta de 0/ 20fH H .
Por otro lado para determinar la corrección a 0/fH H debido a la influencia de la
presión sobre la viscosidad del fluido, para los mismos valores de 0/fH H y 0 se
0/fH H
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
34
determinó el valor de 1 a partir de la Ec. (3.50). De ésta manera 0 y 1 se sustituyeron
en la expansión 2
0 0 0 1/ 1 2 ...fH H .
Figura 4.8. Curvas teóricas del espesor adimensional de salida 0/H H como función de
el espesor adimensional de entrada 0/fH H , para diferentes valores de .
En la Fig. 4.8 se muestra que al incrementar el valor de también se
incrementa, por otro lado los valores de crecen al incrementar el parámetro ;
pero si 0 se recupera el caso donde la viscosidad no depende de la presión [3]. Por
ejemplo para 0/ 20fH H el valor de 0/H H con un 0.09 aumentó
aproximadamente 3.37% comparado con el valor de 0/H H con un 0.
0/fH H 0/H H
0/H H
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
35
4.4 CONCLUSIONES
En este trabajo, se presenta el estudio teórico de la influencia de la viscosidad
dependiente de la presión sobre el espesor de salida del material calandrado para un
fluido Newtoniano que fluye a través de dos cilindros girando a la misma velocidad
angular. Las ecuaciones que se resolvieron tienen la forma de las ecuaciones de la teoría
de la lubricación. Los resultados del presente trabajo predicen el campo de velocidades
adimensional, la distribución de la presión adimensional y la posición del punto de
separación del fluido con los cilindros. Se puede decir que el efecto que presenta la
dependencia de la presión con la viscosidad del fluido en el proceso de calandrado de
fluidos Newtonianos como se muestra en esta tesis es incrementar el espesor de salida
del material calandrado, por ejemplo en esta investigación se determinó un aumento de
9.4% en el punto de salida del material calandrado y un incremento de
aproximadamente 3.37% en el espesor de salida del material calandrado, en
comparación con el caso del proceso de calandrado para un fluido Newtoniano con
propiedades constantes. En el presente trabajo además se obtuvieron los resultados
reportados por Middleman [3] en el límite de 0 , que corresponde al caso con
propiedades constantes.
36
REFERENCIAS
[1] Laun HM. Pressure dependent of viscosity and dissipative heating in capillary
rheometry of polymer melts. Rheologica acta 42 (4): 295-308, july 2003.
[2] Z. Tadmor y C. G. Gogos. Principles of Polymer Processing. (2006) Wiley
Interscience. p.p. 263 -273
[3]S. Middleman. Fundamentals of Polymer Processing. McGraw-Hill. United States of
America, (1977).
[4] G. Ardichvili. Kautschuk, 14:23.
[5] R. E. Gaskell. The calendering of plastic materials. Journal of Applied Mechanics,
17: 334, 1950.
[6]S. Sofou and E. Mitsoulis. Calendering of Pseudoplastic and viscoplastic sheets of
finite thickness. Journal of Plastic Film & Sheeting, 73:291-299, 2006.
[7] E. Mitsoulis and S. Sofou. Calendering of pseudoplastic and viscoplastic fluids with
slip at the roll surface. Journal of Applied Mechanics, 73:291-299, 2006.
[8] P. R. Pasay, J. Appl. Mech., 17, 334 (1950)
[9] J. M. McKelvey. Polymer Processing. John Wiley and Sons, New York,1962.
[10] I. Brazinsky, H. F. Cosway, C. F. Valle Jr, R. Clarck, R. Jones, and V. Story. A
Index on the exiting sheet thickness in the calendering of power law fluids.
International Journal of Heat and MAss Transfer. Article in Press 2011.
[11] G. Ermann and J. Vlachopoulos, Rheol. Acta. 14, 761 (1975).
[12] C. Kiparissides y J. Vlachopoulos, A study of viscous dissipation in the calende-
ring of power law fluids (1978). Ontario, Canada.
[13] N. G. Bekin, et al. Inter. Polym. Sci., 18, 210 (1978)
[14] F. Dobbels and J. Mewis, AIChEJ., 23,224 (1977)
37
[15] J. F. Agassant and P. Avenas, J. Macromol Sci. Phys., 14, 345 (1977)
[16] J. G. Dimitrijew and E. A. Sporjagin, Plast, Kautsch, 24, 484 (1977)
[17] R. Seeger, R. Schnabel and E. O. Reher, Plast. Kautsch, 29, 406 (1982)
[18] J. Vlachopoulos and A. N. Hyrmak, Polim. Eng. Sci., 20, 725 (1980)
[19] S. Suto and T. Fujimura, Kobunsh Ronb, 37, 627 (1980)
[20] W. Unkrüer, Doctoral Thesis, IKV, Techn. Hochschule, Aachen, FRG (1979)
[21] J. C. Arcos, O. Bautista, F. Méndez. Effect of temperature dependent consistency
index on the exiting sheet thickness in the calendering of power law fluids. Inter-
national Journal of Heat and Mass Transfer. 54, 2011. p.p. 3979-3986.
[22] Ibarrola, Esteban Luis. Introducción a los fluidos no newtonianos. Cátedra de Me-
cánica de Fluidos. UNCor.
[23] T. Osswald y J. P. Hernández - Ortiz. Polymer Processing. (2006) Carl Hanser
Verlag. p.p. 278 - 288.
[24] E. Mitsoulis. Some Issues Arising in Finding the Detachment Point in Calendering
of Plastic Sheets. Journal of Plastic Film and Sheeting. 26, (2010). Pags. 141-165.
[25] K. R. Rajagopal, G. Saccomandi, L. Vergori. Couette flow with frictional heating
in a fluid with temperature and presurre dependent viscosity. International Journal
of Heat and Mass Transfer. 54: 783-789, (2011).
[26] A. Bejan. Convetcion Heat Transfer. John Wiley & Sons, Inc. Pags. 19-42
38
Apéndice A
En este apéndice se describe el proceso para la obtención de la variable física
correspondiente a la Ec. (2.18).
Mediante el análisis geométrico del esquema correspondiente al problema en cuestión,
Figura A1, se han de obtener las expresiones que permiten adimensionalizar la variable
x .
Figura A1. Adimensionalización de la variable x .
Partiendo del análisis de la Figura A1, se tiene la siguiente expresión:
2 2 2x y R (A.1)
2 2y R x (A.2)
39
Por otro lado:
0( )h x H Y (A.3)
de donde se tiene que:
Y R y (A.4)
Realizando el álgebra necesaria con las Ecs. (A.2) a (A.4) y además considerando que
( )h x toma un valor igual a H , se obtiene una expresión para el espesor de salida del
material:
2 2
0H H R R x (A.5)
Asumiendo que x R el término 2 2R x se puede aproximar usando los dos
primeros términos de una serie binomial de la forma:
2 4
2 2
3
1 1...
2 8
x xR x R
R R (A.6)
Sustituyendo los dos primeros términos de la serie binomial, Ec. (A.6) en Ec. (A.5) y
realizando el álgebra requerida, obtenemos una ecuación que expresa la relación del
espesor de salida H , respecto del espesor entre rodillos 0H :
2
0 0
12
H x
H RH (A.7)
Trabajando el término
2
02
x
RH:
22
0 02 2
x x
RH RH
(A.8)
Introduciendo la variable adimensional y sustituyéndola en la Ec. (A.7):
02
x
RH (A.9)
40
De acuerdo con Z. Tadmor y C. G. Gogos [2], en la tabla A1 se presentan los valores
característicos de los parámetros utilizados en el proceso de calandrado.
Tabla A1. Parámetros característicos en el proceso de calendering.
PARÁMETRO SÍMBOLO VALOR
Radio del rodillo R 0.10-0.20 m
Separación de los rodillos 0.001-0.0001 m
Velocidad de los rodillos U 0.10-0.30 m/s
En la tabla A2, se presenta la tabulación de valores de para 0 y 1 correspondientes a
cada valor de f .
Tabla A2. Valores de 0 y 1 para distintos valores de f
f
0/f
H H 0 1
-0.01958 1.00038338 0.01 0.006275 -0.03965 1.00157212 0.02 0.01507 -0.07803 1.00608868 0.04 0.03424 -0.1207 1.01456849 0.06 0.05553 -0.1617 1.02614689 0.08 0.07354 -0.2034 1.04137156 0.1 0.09052 -0.2457 1.06036849 0.12 0.1033 -0.2893 1.08369449 0.14 0.1182 -0.3343 1.11175649 0.16 0.1327 -0.3812 1.14531344 0.18 0.1483 -0.4305 1.18533025 0.2 0.1656 -0.4823 1.23261329 0.22 0.1816 -0.5374 1.28879876 0.24 0.1981 -0.5969 1.35628961 0.26 0.2207 -0.6314 1.39866596 0.28 0.2421
-0.7325 1.53555005 0.3 0.2562 -0.8121 1.65950641 0.32 0.2778 -0.9029 1.81522841 0.34 0.3005 -1.0089 2.01787921 0.36 0.323 -1.1376 2.29413376 0.38 0.3484
-1.3007 2.6980009 0.4 0.3721 -1.5251 3.32593001 0.42 0.3998 -1.8778 4.52613284 0.44 0.4248 -2.6494 8.01932036 0.46 0.4445 -11.9208 143.105473 0.475 0.459 -14.9444 224.335091 0.4751 0.4593
0H
41
Apéndice B
Dado que en el presente estudio los efectos de la presión en dirección transversal han
sido despreciados, en el apéndice B se demuestra que la distribución de presión en
dirección transversal es insignificante, comparada con la distribución de presión
longitudinal.
Partiendo de la Ec. (2.3), que representa a la ecuación de cantidad de movimiento en
dirección transversal, se ha de comprobar que el gradiente de presión 0P
y
.
( )
0
P xv v P u vu v e
x y y x y x
(B.1)
Para la adimensionalización de la ecuación de cantidad de movimiento en dirección
transversal, Ec. (B.1) se sustituyen las variables en unidades físicas por las variables
adimensionales, Ecs. (2.15) a (2.21) descritas en el capítulo 2.
2
0
0 0 00 0 0
1
2 2 2
cP PcPUV v V v dP U u V vu v e
H y H dy H yRH RH RH
(B.2)
Retomando la Ec. (2.14), descrita en el capítulo 2, donde:
0
2
HV U
R (B.3)
y sustituyendo Ec. (B.3) en Ec. (B.2)
42
2
2 20 0 0
0
0 0 00 0 0
12 2 2
2 2 2
cP Pc
H H HU U U
Pv v dP U u vR R Ru v eH y H dy H yRH RH RH
(B.4)
Multiplicando la Ec. (B.4) por 0H y realizando el álgebra requerida:
2 0 00
0 0
1
2 22
cP PcH P Hv v dP u vU u v e U
R y H dy y RRH
(B.5)
Dividiendo la Ec. (B.5) entre 0 0H U :
0 0
0 0 0 0 00
1
2 22
cP P
cH P HU v v dP e u vu v U
H R y H U dy H U y RRH
(B.6)
De la Ec. (B.6) se desprende que 0
0
ReUH
y 0 es evaluado a una presión de
referencia0P , sus valores son del orden de 1-5X10
4Pa-s [12], además, en este caso
Reynolds es del orden de 1X10-5
.
0
0 0 0 0 0
1 1Re
2 22
cP PcP Hv v dP u vu v e
RH y H dy y RH RH
(B.7)
Multiplicando Ec. (B.7) por 2
0H :
0 0 0 0
0 0
Re2 22
cP PcH P H H Hv v dP u vu v e
R y U dy y RRH
(B.8)
además, considerando que:
2 0 1
2
H
R (B.9)
43
0,
0
c y
UP
H
(B.10)
0
02 2Re
UP
Hv v dP u vu v e
y dy y
(B.11)
De ésta manera los términos de la expresión (B.11) multiplicados por son
aproximadamente igual a cero, de donde queda que:
0dP
dy (B.12)
44
Apéndice C
En la Figura C1 se muestra el gradiente de presión para 0.7325f . El gradiente de
presión vale cero en ; el punto situado en f es la posición donde la placa
hace contacto con los rodillos, en es el punto de máxima presión y
representa la posición donde el material abandona los rodillos.
Figura C1. Gradiente de presión del orden cero.
0
0 0
45
Apéndice D
La fuerza ejercida por el fluido sobre los rodillos desde fx
hasta el punto 0x , como se
aprecia en la Fig. 2.1, se puede escribir como,
0
( )f
x
xF Pd Wx
(D.1)
donde W representa la profundidad del material calandrado. Adimensionalizando la Ec.
(D.2) utilizando las variables adimensionales descritas por las Ecs. (2.15) a (2.21), se
obtiene la siguiente expresión:
0
2
f
F RP U P d
W H
(D.2)
si consideramos que está definida como,
f
P d
(D.3)
Sustituyendo en la Ec. (D.2) y despejando 0H :
0
2 ( )
/
R P UH
F W
(D.4)
Tomando en cuenta que la función está establecida como 0( ) PP e , se
sustituye en la Ec. (D.4) y se obtiene que,
0 0
2
/
PRUH e
F W
(D.5)
de la Ec. (D.6) se define a 0,0H como,
00,0
2
/
R UH
F W
(D.6)
( )P
46
El término 0,0H representa el espesor del material calandrado en la región de
separación mínima entre los rodillos considerando la viscosidad 0 constante y evaluada
a una presión de referencia 0P . En este sentido, la Ec. (D.5) se escribe como:
0 0,0
PH H e (D.7)
La derivada del espesor 0H con respecto de la presión P se expresa como:
00,0
PdHe H
dP
. (D.8)
Debido a que el parámetro 8 12 10 Pa 1 [1], se linealiza la función Pe de la
siguiente manera,
1Pe P (D.9)
Sustituyendo Ec. (D.9) en Ec. (D.8),
200,0
dHH P
dP , (D.10)
despreciando los términos de orden superior de , en órdenes de magnitud la Ec.
(D.10) se escribe como:
H
PH
, (D.11)
ya que en el proceso de calandrado 0 0,0H H H . La Ec. (D.11) representa en órdenes
de magnitud el cambio en el espesor del material calandrado debido a la influencia de
la presión en la viscosidad del fluido.
top related