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Matemáticas 2º E. S. O. Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo
1
PROBLEMAS RESUELTOS TEMA 4: PROPORCIONALIDAD
Razón y proporción
1. Calcula la razón entre los siguientes pares de números:
a) 33 y 36
33
36= 0,916
b) 24 y 42
24
42= 0,57
c) 102 y 98
102
98=
51
49= 1,04
2. Calcula la razón entre las dimensiones de los siguientes rectángulos.
a)
b)
3. Indica que colecciones de números forman proporción.
a) 21,30,140 y 200 21
30= 0,7
140
200= 0,7 SI forman una proporción
b) 16,25,14 y 21 16
25= 0,64
14
21= 0,66 NO forman una proporción
c) 15,5;2,5;24,8;4 15,5
2,5= 6,20
24,8
4= 6,20 SI forman una proporción
d) 10,5;12,5;16,5;18,5 10,5
12,5= 0,84
16,5
18,5= 0,89 NO forman una proporción
4. Calcula el valor que falta en las siguientes proporciones:
a) 𝟒
𝟓=
𝐗
𝟕𝟓 𝑋 =
75∙4
5=
300
5= 60
b) 𝟏𝟎
𝟒𝟎=
𝟕
𝐗 𝑋 =
7∙40
10=
280
10= 28
c) 𝟏𝟖
𝐗=
𝟐𝟕
𝟔 𝑋 =
18∙6
27=
108
27= 4
4,25
8,5
4,25
8,5= 0,5
9
24
9
24= 0,375
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2
d) 𝟒
𝐗=
𝐗
𝟐𝟓 4 =
𝑥2
25 → 𝑋2 = 4 ∙ 25 = 100 = ±10
34. Elige la respuesta correcta en cada caso.
a) La razón entre 25 y 100 es:
A.5
10 B.4 C.
1
4 D.
10
5
b) La fracción que forma proporción con 𝟐
𝟑 es:
A.3
2 B.
10
15 C.
4
9 D.
225
300
c) La razón entre 40 y 88 es:
A.0 B. Menor que 1 C.1 D. Mayor que 1
35. Encuentra el término que falta en cada una de las siguientes proporciones:
a) 𝟏𝟎
𝟑𝟔=
𝐗
𝟗𝟎 𝑋 =
10∙90
36=
900
36= 25
b) 𝟏𝟎
𝟑𝟔=
𝟗𝟎
𝐗 𝑋 =
90∙36
10=
3240
10= 324
c) 𝟐𝟎
𝐗=
𝟏𝟓
𝟔 𝑋 =
20∙6
15=
120
15= 8
d) 𝟏𝟐
𝐗=
𝐗
𝟑𝟎𝟎 300 ∙ 12 = 𝑥2 → 𝑋 = 3600 = ±60
36. Forma dos proporciones con los siguientes conjuntos de números.
a) 4,5,8 y 10 4
5=
8
10
4
8=
5
10
b) 3,6,6 y 12 3
6=
6
12
6
3=
12
6
c) 1,5,8,40 1
5=
8
40
1
8=
5
40
d) 2,9,18,1 1
9=
2
18
1
2=
9
18
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3
38. Encuentra el término que falta en cada una de las siguientes proporciones:
a) 𝟐𝐚
𝟏𝟓=
𝟖
𝟔 2𝑎 ∙ 6 = 8 ∙ 15 𝑎 =
120
12= 10
b) 𝟑+𝐛
𝟗=
𝟖
𝟏𝟐 3 + 𝑏 ∙ 12 = 72 𝑏 =
72−36
12= 3
c) 𝟏𝟓
𝟒−𝐜=
𝟐𝟎
𝟖 15 ∙ 8 = 4 − 𝑐 ∙ 20 𝑐 =
−40
20= −2
Magnitudes directamente e inversamente proporcionales
6. Indica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.
a) El número de comics comprados de una colección y el dinero que
cuestan. SI son directamente proporcionales
b) El número de páginas de un libro y su precio. NO son directamente
proporcionales.
c) La edad de un árbol y su altura. NO son directamente proporcionales
8. Completa la tabla de proporcionalidad directa.
A 3 11 34 x x
B x 5 x 143 202,4
La razón de proporcionalidad es 11
5= 2,2
3
𝑥=
11
5 𝑥 =
3
2,2= 1,36
11
5=
34
𝑥 𝑥 =
34∙5
11= 15,45
11
5=
𝑥
143 𝑥 =
143 ∙11
5=
1573
5= 314,6
314,6 ∙ 202,4 = 143𝑥 𝑥 =63675 ,04
143= 445,28
11
5=
𝑥
202,4 𝑥 = 445,28
A 3 11 34 314,6 445,28
B 1,36 5 15,45 143 202,4
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9. Un coche ha recorrido los 141 km de distancia que hay entre Soria y Burgos
en una hora y media. ¿Qué distancia recorrería en 3 horas yendo a la
misma velocidad?
Distancia 141 X
Horas 1,5 3
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
141
1,5=
𝑋
3 141 ∙ 3 = 1,5 ∙ 𝑋 𝑿 = 𝟐𝟖𝟐 𝑲𝒎
En el doble de tiempo, el coche recorrerá el doble de distancia, 282 Km.
10. Para un viaje, Marco ha cambiado 120€ y le han dado 1692 pesos
argentinos. Si cambia 230€ mas ¿Cuántos pesos recibirá?
Euros 120 230
Pesos argentinos 1692 X
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
120
1692=
230
𝑋 120 ∙ 𝑋 = 230 ∙ 1692 𝑿 =
389160
120= 𝟑𝟐𝟒𝟑
Solución: Marco recibirá 3243 pesos argentinos si cambia 230€.
25. Indica si las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. En caso
afirmativo, calcula la constante de proporcionalidad inversa.
A 23 35 40 56 70
B 14 9,2 8,05 5,85 4,68
23 ∙ 14 = 322 35 ∙ 9,2 = 322 40 ∙ 8,05 = 322
K de proporcionalidad inversa = 322
56 ∙ 5,85 = 327,6 70 ∙ 4,68 = 327,6
K de proporcionalidad inversa = 327,6
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27. Leyendo 100 páginas diarias, Raquel terminó un libro en 8 días. Si hubiera
leído 80 páginas diarias, ¿Cuántos días habría tardado?
Páginas diarias 100 80
Días 8 X
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
100 ∙ 8 = 80 ∙ 𝑋 𝑿 =800
80= 𝟏𝟎 𝒅í𝒂𝒔
Solución: Raquel habría tardado 10 días si hubiera leído 80 páginas diarias.
28. En un juego de ordenador se dan puntos de forma inversamente
proporcional al tiempo que se tarda en resolver un acertijo. Jesús lo ha
resuelto el 45 s y ha ganado 300 puntos. Cuando juega María, resuelve el
mismo acertijo en 40 s, ¿Cuántos puntos obtendrá?
Tiempo (segundos) 45 40
Puntos 300 X
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
45 ∙ 300 = 40 ∙ 𝑋 𝑿 =13500
40= 𝟑𝟑𝟕,𝟓
Solución: María obtendrá 337,5 puntos si resuelve el acertijo en 40 segundos.
39. Copia en tu cuaderno y completa las tablas sabiendo que las magnitudes son
directamente proporcionales.
X 28 a b 10 1 e
Y 12 6 18 c d 1
La razón de proporcionalidad es 28
12= 2,33
28 ∙ 6 = 12𝑎 𝑎 =168
12= 14
14 ∙ 18 = 6𝑏 𝑏 =252
6= 42
28
12=
10
𝑐 𝑐 =
12∙10
28=
30
7= 4,28
28
12=
1
𝑑 𝑑 =
12
28=
3
7 = 0,428
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6
28
12=
𝑒
1 𝑒 =
28
12=
7
3= 2,33
X 4 a 16 c d 1
Y 6 3 b 27 1 e
La razón de proporcionalidad es 4
6= 0,66
4 ∙ 3 = 6𝑎 𝑎 =12
6= 2
2 ∙ 𝑏 = 16 ∙ 3 𝑏 =48
2= 24
16
24=
𝑐
27 𝑐 =
16∙27
24=
432
24= 18
18
27=
𝑑
1 𝑑 =
18
27=
2
3
2/3
1=
1
𝑒 𝑒 =
3
2
40. Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales. Cuando A vale 3,
el valor de B es 8. Calcula los valores indicados.
a) La razón entre las magnitudes A y B
𝐴
𝐵=
3
8= 0,375
b) El valor de A cuando B vale 1
𝐴
1= 0,375 𝐴 = 0,375 =
3
8
c) El valor de B cuando A vale 1
1
𝐵= 0,375 𝐵 =
1
0,375 =
1
38
=8
3
d) La razón entre B y A
𝐵
𝐴=
8
3= 2,66
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41. Al estudiar dos magnitudes directamente proporcionales, se han obtenido
las siguientes igualdades.
3
5=
6
10=
9
15=
12
20
a) Comprueba que las dos fracciones intermedias son equivalentes. 6
10= 0,6
9
15= 0,6 15 ∙ 6 = 10 ∙ 9 = 90 Si son equivalentes
b) Forma una fracción cuyo numerador sea la suma de todos los
numeradores anteriores, y cuyo denominador sea la suma de los
denominadores. ¿Formará proporción con las anteriores? Compruébalo.
3 + 6 + 9 + 12
5 + 10 + 15 + 20=
30
50= 0,60
SI forman proporción con los anteriores 6
10= 0,6 𝑦
9
15= 0,6
42. Por 6 kg de naranjas se han pagado 14,4€.¿ Cuánto costarían 5 kg de esas
naranjas? ¿Y 17 kg?
Kilogramos 6 5
Euros (€) 14,4 X
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
6
14,4=
5
𝑥 𝑿 =
5 ∙ 14,4
6= 𝟏𝟐 €
6
14,4=
17
𝑥 𝑿 =
17 ∙ 14,4
6= 𝟒𝟎, 𝟖 €
Solución: 5kg de naranjas costarían 12 €, y 17 kg de naranjas costarían 40,8 €
62. Copia en tu cuaderno y completa las siguientes tablas, sabiendo que las
magnitudes son inversamente proporcionales.
X 4 a 8 160 1 e
Y 10 8 b c d 1
La razón de proporcionalidad inversa es 4 ∙ 10 = 40
4 ∙ 10 = 8𝑎 𝑎 =40
8= 5
5 ∙ 8 = 8𝑏 𝑏 =40
8= 5
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8
8 ∙ 5 = 160 ∙ 𝑐 𝑐 =40
160=
1
4
4 ∙ 10 = 1 ∙ 𝑑 𝑑 = 40
1 ∙ 40 = 𝑒 𝑒 = 40
X 5 a 50 c d 1
Y 3 2 b 30 1 e
La razón de proporcionalidad inversa es 5 ∙ 3 = 15
5 ∙ 3 = 2𝑎 𝑎 =15
2= 7,5
5 ∙ 3 = 50𝑏 𝑏 =15
50= 0,3
5 ∙ 3 = 𝑐 ∙ 30 𝑐 =15
30=
1
2
5 ∙ 3 = 1 ∙ 𝑑 𝑑 = 15
5 ∙ 3 = 𝑒 𝑒 = 15
63. Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales. Cuando A vale 4,
B vale 9. Calcula los siguientes valores:
a) Valor de A si B=3
𝐴 ∙ 3 = 36 𝐴 =36
3= 12
b) Valor de B si A=12
12 ∙ 𝐵 = 36 𝐵 =36
12= 3
c) El valor de A si B=0,01
𝐴 ∙ 0,01 = 36 𝐴 =36
0,01 = 3600
d) Valor para el que A=B
𝐴 ∙ 𝐴 = 36 → 𝐴2 = 36 𝐴 = 36 = ±6
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66. Cuatro pintores tardan 6h en pintar una casa ¿Cuántos días hubiesen
tardado si solo hubiesen trabajado 3 pintores?
Pintores 4 3
Horas 6 X
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
4 ∙ 6 = 3 ∙ 𝑋 𝑿 =24
3= 𝟖
Solución: 3 pintores habrían tardado 8 horas.
Repartos directa e inversamente proporcionales
11. Los alcaldes de Restal, Alpedrito y Arroyosalinos han desarrollado un plan para
remodelar 600 m, 900 m y 1300 m, de las carreteras de entrada a cada pueblo.
En total han tenido que pagar entre los tres 70000 €. ¿Qué parte corresponde a
cada pueblo?
𝑟 =70000
600 + 900 + 1300= 25 € 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎
Restal: 600 ∙ 25 = 15000€
Alpedrito: 900 ∙ 25 = 22500€
Arroyosalinos: 1300 ∙ 25 = 32500€
12. Tres amigos han trabajado durante varios días en una obra. Rodrigo ha trabajado
25 horas, Rodolfo ha trabajado 36 horas y Alberto ha trabajado 60 horas. En
total han recibido 1512,5 € ¿Cuánto cobrará cada uno?
𝑟 =1512,5
25 + 36 + 60= 12,5 € 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎
Rodrigo: 25 ∙ 12,5 = 312,5 €
Rodolfo: 36 ∙ 12,5 = 450 €
Alberto: 60 ∙ 12,5 = 750€
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10
26. Reparte 510 de forma inversamente proporcional a 𝟏
𝟐,𝟏
𝟓 𝒚
𝟏
𝟏𝟎
𝐾 =510
112
+115
+11
10
=510
2 + 5 + 10= 30
Solución: 11
2
∙ 30 = 2 ∙ 30 = 60 11
10
∙ 30 = 10 ∙ 30 = 300
1
15
∙ 30 = 5 ∙ 30 = 150
29. En una carrera benéfica reciben premios los 3 primeros clasificados, de forma
inversamente proporcional a la posición de llegada a la meta. En total, se
reparten 9460 € ¿Qué cantidad corresponden a cada uno?
𝐾 =9460
11 +
12 +
13
=9460
6 + 3 + 26
= 5160
1º Clasificado: 1 ∙ 5160 = 5160 €
2º Clasificado: 1
2∙ 5160 = 2580 €
3º Clasificado: 1
3∙ 5160 = 1720 €
43. Reparte 312 en partes directamente proporcionales a 15, 11 y 4
𝑟 =312
15 + 11 + 4= 10,4
Solución:
15 ∙ 10,4 = 156
11 ∙ 10,4 = 114,4 Comprobación: 156 + 114,4 + 41,6 = 312
4 ∙ 10,4 = 41,6
44. Un rollo de alambre de 1200m se quiere dividir en tres partes que sean
proporcionales a 4, 6 y 10¿Cuanto medirá cada parte?
𝑟 =1200
4 + 6 + 10= 60
Solución:
4 ∙ 60 = 240
6 ∙ 60 = 360 Comprobación: 240 + 360 + 600 = 1200
10 ∙ 60 = 600
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11
46. Reparte 1020 en partes directamente proporcionales a 1
2,
2
5 𝑦
3
8
𝑟 =1020
12 +
25
+38
=1020
20 + 16 + 1540
= 800
Solución:
1
2∙ 800 = 400
2
5∙ 800 = 320 Comprobación: 400 + 320 + 300 = 1020
3
8∙ 800 = 300
64. Reparte de forma inversamente proporcional las cantidades:
a) 500, inversamente proporcional a 2 y 6
𝑟 =500
12 +
16
=500
46
= 750
Solución:
1
2∙ 750 = 375
1
6∙ 750 = 125 Comprobación: 375 + 125 = 500
b) 2220, inversamente proporcional a 12, 15 y 18
𝑟 =2220
112 +
115
+1
18
=2220
37180
= 10800
Solución:
1
12∙ 10800 = 900
1
15∙ 10800 = 720 Comprobación: 900 + 720 + 600 = 2220
1
18∙ 10800 = 600
c) 1690, inversamente proporcional a 20, 15 y 10
𝑟 =1690
120 +
115
+1
10
=1690
3 + 4 + 660
= 7800
Solución:
1
20∙ 7800 = 390
1
15∙ 7800 = 520 Comprobación: 390 + 520 + 780 = 1690
1
10∙ 7800 = 780
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12
Proporcionalidad compuesta
32. En el huerto de Paco hay una plaga de voraces insectos. Cincuenta de ellos son
capaces de atacar 225 plantas en 12 días. ¿Cuánto tardaría el doble de insectos en
atacar el triple de plantas?
Insectos Plantas días
50 225 12
100 3 ∙ 225 = 675 X
1º Paso: Para el mismo número de plantas (225 plantas), calculamos cuantos días
tardarían 100 insectos en atacar las plantas.
Insectos 50 100
Días 12 X
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el resultado
igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
50 ∙ 12 = 100 ∙ X X =600
100= 6 días
2º Paso: El resultado obtenido (6 días) lo utilizamos ahora para hacer la relación entre
las plantas y los días. Para el mismo número de insectos (100 insectos).
Plantas 225 675
Días 6 X
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el resultado
igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
225
6=
675
𝑋 𝑿 =
675 ∙ 6
225=
4050
225= 𝟏𝟖 𝐝í𝐚𝐬
Solución: Tardarán 18 días en atacar el triple de plantas el doble de insectos
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13
33. Un ganadero necesita 324 kg de pienso para alimentar a 21 vacas durante
7días.
a) ¿Durante cuánto tiempo podrá alimentar el ganadero a 15 vacas con 840 kg
de pienso?
Kilogramos vacas días
324 21 7
840 15 X
1º Paso: Para el mismo número de vacas (21 vacas), calculamos cuantos días
tardarían en comer 840 kg de pienso.
Kilogramos 324 840
Días 7 X
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
324
7=
840
𝑋 𝑿 =
840 ∙ 7
324= 𝟏𝟖, 𝟏𝟒𝟖 𝒅í𝒂𝒔
2º Paso: El resultado obtenido (18,148 días) lo utilizamos ahora para hacer la
relación entre las vacas y los días.
Para el mismo número de kilogramos (840 kilogramos)
Vacas 21 15
Días 18,148 X
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
21 ∙ 18,148 = 15𝑥 𝑿 =381,108
15= 𝟐𝟓 𝐝í𝐚𝐬
Solución: Tardarán 25 días en alimentar 15 vacas con 840 kg
b) ¿Cuántos kilos de pienso necesitará para alimentar a 25 vacas durante 10
días?
Kilogramos vacas días
324 21 7
X 25 10
1º Paso: Para el mismo número de vacas (21 vacas), calculamos cuantos kilos se
comerán en 10 días.
Matemáticas 2º E. S. O. Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo
14
Kilogramos 324 X
Días 7 10
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
324
7=
X
10 X =
324 ∙ 10
7= 462,85 kg
2º Paso: El resultado obtenido (462,85 kg) lo utilizamos ahora para hacer la
relación entre las vacas y los kilos.
Para el mismo número de kilogramos (840 kilogramos)
Vacas 21 25
kilogramos 462,85 X
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
21
462,85=
25
𝑋 𝑿 =
462,85 ∙ 25
21=
11571,25
21= 𝟓𝟓𝟏 𝐤𝐠
Solución: Necesitarán 551 kg de pienso para alimentar a 25 vacas en 10 días.
71. Una tuneladora trabajando 8 horas al día, abre un túnel de 2 km en 5 días.
¿Cuánto tardará en excavar 5 km trabajando 10 horas diarias?
horas Kilómetros días
8 2 5
10 5 X
1º Paso: Para la misma distancia (2 km), calculamos cuantos días tardarían si
trabajamos 10 horas cada día.
horas 8 10
Días 5 X
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
8 ∙ 5 = 10 ∙ X X =40
10= 4 días
2º Paso: El resultado obtenido (4 días) lo utilizamos ahora para hacer la relación
entre la distancia y los días.
Para el mismo número de insectos (100 insectos).
Matemáticas 2º E. S. O. Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo
15
Distancia 2 5
Días 4 X
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
2
4=
5
𝑋 𝑿 =
5 ∙ 4
2=
20
2= 𝟏𝟎 𝐝í𝐚𝐬
Solución: Tardarán 10 días en excavar 5 km trabajando 10 horas cada día.
72. Dos mecanógrafos han escrito un texto en 64 minutos a un ritmo de 30 palabras
por minuto. ¿Cuántos mecanógrafos hacen falta para copiar el mismo texto en la
mitad de tiempo y a un ritmo de 20 palabras por minuto?
Mecanógrafos minutos palabras
2 64 30
X 642 = 32 20
1º Paso: Para 64 minutos, calculamos que cantidad de mecanógrafos se
necesitan si el ritmo de palabras es de 20 palabras por minuto.
Mecanógrafos 2 X
Palabras 30 20
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
2 ∙ 30 = 20𝑥 𝑋 =60
20= 3 mecanógrafos
2º Paso: El resultado obtenido (3 mecanógrafos) lo utilizamos ahora para
hacer la relación entre los mecanógrafos y los minutos.
En este caso, el número de palabras por minuto (20 palabras) se mantiene fijo.
Mecanógrafos 3 X
Minutos 64 32
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
3 ∙ 64 = 32𝑥 𝑿 =192
32= 𝟔 𝐦𝐞𝐜𝐚𝐧ó𝐠𝐫𝐚𝐟𝐨𝐬
Solución: Se necesitan 6 mecanógrafos para el mismo texto en la mitad de
tiempo y escribiendo a un ritmo de 20 palabras por minuto.
Matemáticas 2º E. S. O. Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo
16
80. Cinco imprentas tardan tres horas en imprimir 100000 periódicos. ¿Cuántas
imprentas harán falta para imprimir el doble de periódicos en cinco horas?
Imprentas Horas Periódicos
5 3 100000
X 5 200000
1º Paso: Para el mismo número de horas (3 horas), calculamos cuantas
imprentas se necesitan para producir 200000 periódicos.
Imprentas 5 X
Periódicos 100000 200000
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
5
100000=
𝑋
200000 X =
1000000
100000= 10 imprentas
2º Paso: El resultado obtenido (10 imprentas) lo utilizamos ahora para
hacer la relación entre las imprentas y las horas.
Para el mismo número de periódicos (200000 periódicos)
Imprentas 10 X
horas 3 5
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
10 ∙ 3 = 5𝑥 𝑿 =30
5= 𝟔 𝐢𝐦𝐩𝐫𝐞𝐧𝐭𝐚𝐬
Solución: Se necesitan 6 imprentas para imprimir 200000 periódicos en 5 horas.
83. Tres cosechadoras en tres horas han segado un campo de trigo de 27 hectáreas.
¿Cuántas cosechadoras serán necesarias para segar en 2 horas 36 hectáreas de un
campo de trigo?
Cosechadoras horas Hectáreas
3 3 27
X 2 36
1º Paso: Para el mismo número de horas (3 horas), calculamos cuantas
cosechadoras se necesitan para segar 36 hectáreas.
Matemáticas 2º E. S. O. Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo
17
Cosechadoras 3 X
Hectáreas 27 36
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
3
27=
𝑋
36 𝑿 =
108
27= 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝒂𝒅𝒐𝒓𝒂𝒔
2º Paso: El resultado obtenido (4 cosechadoras) lo utilizamos ahora para
hacer la relación entre las cosechadoras y las horas.
Para el mismo número de hectáreas (36 hectáreas)
Cosechadoras 4 X
horas 3 2
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
4 ∙ 3 = 2𝑥 𝑿 =12
2= 𝟔 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝐡𝐚𝐝𝐨𝐫𝐚𝐬
Solución: Se necesitan 6 cosechadoras para segar 36 hectáreas en 2 horas.
89. Por 1200 garrafas de 5 L de aceite, un bodeguero ganó 28800€. ¿Cuántas
garrafas de 3L debería vender para obtener 12240 €?
Garrafas Litros Precio €
1200 5 28800
X 3 12240
1º Paso: Para el mismo número de litros (5 litros), calculamos cuantas
garrafas se necesitan si pagamos 12240 €.
Garrafas 1200 X
Precio 28800 12240
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
1200
28800=
𝑋
12240 X =
1200 ∙ 12240
28800=
14688000
28800= 510 garrafas
2º Paso: El resultado obtenido (510 garrafas) lo utilizamos ahora para
hacer la relación entre las garrafas y los litros.
Para el mismo precio (12240 €)
Matemáticas 2º E. S. O. Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo
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Garrafas 510 X
Litros 5 3
Como la relación entre magnitudes es inversamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los productos entre las dos magnitudes diferentes.
5 ∙ 510 = 3𝑥 𝑿 =2550
3= 𝟖𝟓𝟎 𝐠𝐚𝐫𝐫𝐚𝐟𝐚𝐬
Solución: Se necesitan 850 garrafas de 3 litros para obtener 12240 €
90. En una ciudad se ha contratado a cinco pintores para que decoren un muro de
2 m de alto y 15 m de largo en 3 horas. En el siguiente encargo tienen que pintar
otro muro de 3 m de alto y 24 m de largo y cuentan con un pintor más en la
cuadrilla ¿Cuánto tardarán?
1º Paso: Para el mismo número de horas (3 horas), calculamos cuanta
superficie será pintada por 6 pintores.
pintores 5 6
Superficie muro 30 X
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
5
30=
6
𝑋 X =
6 ∙ 30
5= 36
2º Paso: El resultado obtenido (36 m2) lo utilizamos ahora para hacer la
relación entre la superficie del muro y las horas.
Para el mismo número de pintores (6 pintores)
horas 3 X
Superficie muro 36 72
Como la relación entre magnitudes es directamente proporcional, se calcula el
resultado igualando los cocientes entre las dos magnitudes diferentes.
3
36=
𝑋
72 𝑿 =
72 ∙ 3
36=
216
36= 𝟔 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬
Solución: 6 pintores tardarán 6 horas en pintar 72 metros cuadrados de
superficie.
Pintores Superficie muro horas
5 2 ∙ 15 = 30 3
6 3 ∙ 24 = 72 X
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