problemas maxim

Universidad Católica los Ángeles de Chimbote Facultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas Asignatura: Investigación de Operaciones

1 Elaborado por: Ing. Humberto Chavez Milla Versión 02- 2013

FORMULACIÓN DE MODELOS P. L. DE MAXIMIZACIÓN

A continuación, mostramos algunos problemas tipo de maximización de beneficios o ganancias; utilizando el procedimiento definido en la sesión anterior, formularemos el Modelo de programación lineal, que consiste en determinar los elementos básicos de un modelo matemático: definición de las variables, definición de la función objetivo y determinación de las restricciones de los recursos.

Desarrollamos lo indicado, a través de los siguientes problemas:

1) Problema de línea de producción

Un empresario tiene 80 kgs de acero y 120 kgs de aluminio, y quiere hacer dos modelos de bicicletas: bicicletas de paseo y bicicletas de montaña, para venderlas en el mercado a S/. 200 y S/. 150 respectivamente cada modelo, a fin de obtener el máximo beneficio. Para la bicicleta de paseo empleará 1 kg de acero y 3 kgs de aluminio, y para la bicicleta de montaña usará 2 kgs de ambos metales. Formular el modelo matemático de programación lineal, que permita determinar la cantidad óptima de bicicletas a producir, para obtener el mayor beneficio económico.

Formulación del Modelo matemático de Programación Lineal:

● Definición de variables de decisión

x1 = Cantidad de bicicletas de paseo a fabricar.

x2 = Cantidad de bicicletas de montaña a fabricar.

● Definición de la Función objetivo

Precio de venta de cada modelo de bicicleta de paseo = S/. 200

Precio de venta de cada modelo de bicicleta de montaña = S/. 150

Beneficio económico total = Precio de venta unitario x cantidad a fabricar

Beneficio económico total del modelo de bicicleta de paseo = 200 x1

Beneficio económico total del modelo de bicicleta de montaña = 150 x2

El objetivo del problema es maximizar los beneficios económicos totales de las bicicletas que producirá el empresario. Luego definimos la Función objetivo será:

Maximizar: Z = 200 x1 + 150 x2

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● Definición de las restricciones

Elaboramos una tabla de materia prima empleado por cada modelo de bicicleta y la disponibilidad maxima:

Modelo de bicicleta Acero Aluminio

Paseo 1 kg. 3 kg.

Montaña 2 kg. 2 kg.

Disponibilidad máx. MP 80 kg. 120 kg.

Restricción del consumo de Acero en la fabricación de bicicletas:

1 x1 + 2 x2 < 80

Restricción del consumo de Aluminio en la fabricación de bicicletas:

3 x1 + 2 x2 < 120

Observación: El lado derecho de las inecuaciones (80 y 120), en las restricciones, representa la disponibilidad máxima de materia prima (acero y aluminio).

● Condición de no negatividad: La producción de cada modelo de las bicicletas pueden ser cero (0) o mayor que cero, o sea: x1, x2 ≥ 0

Luego el Modelo matemático de Programación Lineal será:

Maximizar: Z = 200 x1 + 150 x2

Sujeto a: x1 + 2 x2 < 80

3 x1 + 2 x2 < 120

x1, x2 ≥ 0

2) Problema de línea ensamblaje

Una compañía de productos electrónicos, produce dos modelos de radio: 1 y 2, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 radios del modelo 1 y la segunda es de 75 radios del modelo 2. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas del componente electrónico especial, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere 8 piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 piezas.

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La ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es $ 30 y $ 20, respectivamente. Formule el modelo matemático que determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio. Formulación del Modelo matemático de programación Lineal:

Resumimos el problema en el siguiente cuadro, que nos ayudará a formular el modelo matemático de PL.

Modelo de Radio

Consumo de pieza por modelo

Capacidad diaria de

producción

Ganancia por modelo de

radio ($ / mod.)

Radio modelo 1 10 60 30 $

Radio modelo 2 8 75 20 $

Disponibilidad diaria total de piezas

800 piezas

● Definición de variables de decisión

x1 = Cantidad de producción de Radios del modelo 1

x2 = Cantidad de producción de Radios del modelo 2

● Definición de la Función objetivo

Ganancia total de Radios del modelo 1 = 30 x1

Ganancia total de Radios del modelo 2 = 20 x2

El objetivo del problema es maximizar las ganancias totales de los modelos de radios. Luego la Función objetivo será:

Maximizar: Z = 30 x1 + 20 x2

● Definición de las restricciones

Restricción de capacidad diaria de producción por cada modelo:

Del modelo 1: x1 < 60

Del modelo 2: x2 < 75

Restricción del consumo de piezas del componente especial:

10 x1 + 8 x2 < 800

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El lado derecho de las inecuación (800) representa la disponibilidad máxima de piezas del componente especial para los dos modelos.

Luego el Modelo matemático de Programación Lineal será:

Maximizar: Z = 30 x1 + 20 x2

Sujeto a: x1 < 60

x2 < 75

10 x1 + 8 x2 < 800

x1, x2 ≥ 0

3) Problema de decisión de Inversiones

A una persona le toca 10 mil Euros en una herencia y le aconsejan que los invierta en dos tipos de acciones: A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones y análisis, decide invertir como máximo 6 mil en la compra de acciones tipo A y por lo menos 2 mil en la compra de acciones tipo B. Además, decide que lo invertido en A sea por lo menos, igual a lo invertido en B. Formule el modelo matemático, que le permita a la persona, invertir toda su herencia para obtener el máximo beneficio anual.

Formulación del Modelo matemático de programación Lineal:

Resumimos el problema en el siguiente cuadro, que nos ayudará a formular el modelo matemático de PL.

CONCEPTO TIPO DE INVERSION

Tipo A Tipo A

Beneficio por tipo de inversión 10 % 7 %

Inversión deseada por tipo de inversión

6 mil Euros como máximo

2 mil Euros por lo menos

Relación de por tipo de inversión

Mayor o igual que el tipo B

Menor o igual que el tipo A

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● Definición de variables de decisión

x1 = Cantidad invertida en acciones de tipo A

x2 = Cantidad invertida en acciones de tipo B

● Definición de la Función objetivo

Beneficio anual de Inversión del tipo A = 10 % x1 ó 0.1 x1

Beneficio anual de Inversión del tipo B = 7 % x2 ó 0.07 x2

El objetivo del problema es maximizar el beneficio anual total de los dos tipos de inversión. Luego la Función objetivo será:

Maximizar: Z = 0.1 x1 + 0.07 x2

● Definición de las restricciones

Restricción por tipo de inversión deseada del tipo A: x1 < 6 (miles de Euros)

Restricción por tipo de inversión deseada del tipo B: x2 > 2 (miles de Euros)

Relación según tipo de inversión: x1 > x2

Inversión total de la herencia por tipo: x1 + x2 < 10 (miles de Euros)

Luego el Modelo matemático de Programación Lineal será:

Maximizar: Z = 0.1 x1 + 0.07 x2

Sujeto a: x1 < 6

x2 > 2

x1 - x2 > 0

x1 + x2 < 10

x1, x2 > 0