problema casio solución menú problema nº 4: la pirÁmide de topolicÁn el famoso arqueólogo...

PROBLEMA CASIO

SoluciónSolución MenúMenú

Problema nº 4: LA PIRÁMIDE DE TOPOLICÁN

El famoso arqueólogo Indiana Barrow está estudiando la conocida pirámide de Topolicán, que está construida por distintos prismas de base cuadrada, con la superficie externa recubierta de oro. Indiana ha escrito en su cuaderno de notas los siguientes datos:

• La base del monumento es un prisma cuadrangular de 9,72 m de lado, el prisma situado en lo más alto es otro cuadrangular que tiene 4,28 m de lado y la altura total del monumento es de 5,25 m.

• Todos los prismas tienen la misma altura y los lados de sus caras cuadradas decrecen regularmente (o lo que es lo mismo, su diferencia entre dos caras consecutivas es constante).

Calcula, razonando la respuesta, la superficie de oro que tiene la pirámide de Topolicán.

Solución:

EnunciadoEnunciado

Si miramos la pirámide desde los cinco puntos posibles, obtendríamos las siguientes vistas:

Mirando desde arriba, veríamos todos los cuadrados

dentro del más grande:

Desde cualquiera de los CUATRO laterales veríamos:

MenúMenú

Solución:

Dadas estas vistas, se proponen varias soluciones:

Solución aritméticaSolución aritmética

Solución geométricaSolución geométrica

Solución generalSolución general

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución:

El cálculo del área del cuadrado, es fácil:

Por lo tanto, área del cuadrado:9,72 m · 9,72 m = 94,4784 m2

Solución Aritmética

1/5

9,72 metros

Aproximadamente 94,48 m2

para la vista desde arribaAproximadamente 94,48 m2

para la vista desde arriba

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución:

La vista lateral está compuesta de cinco rectángulos, conociendo las siguientes medidas.

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros

Solución Aritmética

2/5

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución:

Por lo tanto, habrá que «echar números» para calcular el área de cinco rectángulos. Todos medirán 1,05 m de alto (5,25 : 5) y del ancho de cada rectángulo, conocemos que están en progresión aritmética. Por lo tanto, lo primero será calcular la razón de dicha progresión:

Calculamos dicha razón:

9,72 - 4,28 = 5,445,44 / 4 = 1,36

Con estos cálculos, buscamos el área de los rectángulos…

Solución Aritmética

3/5

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución:

Base Altura Área

Rectángulo 1 4,28m 1,05 m 4,494 m2

Rectángulo 2 5,64 m 1,05 m 5,922 m2

Rectángulo 3 7 m 1,05 m 7,35 m2

Rectángulo 4 8,36 m 1,05 m 8,778 m2

Rectángulo 5 9,72 1,05 m 10,206 m2

Sumando todas las áreas de los rectángulos nos daría 36,75 m2Sumando todas las áreas de los rectángulos nos daría 36,75 m2

Solución Aritmética

4/5

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución:

Área del cuadrado:

94,48 m2

Área de UNO de los cuatro laterales:

36,75m2

Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2

SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2

SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2

Solución Aritmética

5/5

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Otra forma de resolución

Otra forma de resolución

Resultado finalResultado final

Solución:

El cálculo del área del cuadrado, es fácil:

Por lo tanto, área del cuadrado:9,72 · 9,72 = 94,4784

Aproximadamente 94,48 m2

Solución Geométrica

1/6

9,72 metros

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución:En la vista lateral, vemos que a la izquierda de

la línea discontinua aparecen cuatro triángulos más oscuros. ¿Los podremos «encajar» en otro sitio?

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros

Solución Geométrica

2/6

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución:

Los trasladamos a otro sitio.Realizamos en cada uno una simetría respecto un vértice…

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros

Solución Geométrica

3/6

MenúMenúEnunciadoEnunciado

MenúMenú

Solución:

Nos encontramos que encajan perfectamente, formando el área de un…

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros

Solución Geométrica

4/6

EnunciadoEnunciado

Solución:

¡Un trapecio!¡Un trapecio!

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros

Solución Geométrica

5/6

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución:

Área del cuadrado:

94,48 m2

Calculamos el área del trapecio:

Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2

SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2

SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2

Solución Geométrica

6/6

MenúMenú

4,28 metros

9,72 metros

Siendo:BM=Base mayorBm=Base menorh=Altura

5,25 m

EnunciadoEnunciado

Otra forma de resolución

Otra forma de resolución

Resultado finalResultado final

Solución:

¿Qué pasaría si nuestra pirámide tuviese otro número de «escalones»?

Solución General

1/7

Solución General

1/7

MenúMenúEnunciadoEnunciado

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros… más escalones…

Solución:

Supongamos que la pirámide tuviese «n» escalones:

Solución General

2/7

Solución General

2/7

MenúMenúEnunciadoEnunciado

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros

… más escalones…

Solución:

Vamos ahora con las áreas de los rectángulos:

Solución General

3/7

Solución General

3/7

MenúMenúEnunciadoEnunciado

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros

Está claro que las anchuras de los escalones siguen una progresión aritmética. Por lo tanto, las áreas de dichos escalones (las alturas son siempre fijas) seguirán también una progresión aritmética.

… más escalones…

Solución:

Sumamos todos los escalones como progresión aritmética…

Solución General

4/7

Solución General

4/7

MenúMenúEnunciadoEnunciado

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros

… más escalones…

Solución:

Aplicamos la fórmula…

Solución General

5/7

Solución General

5/7

MenúMenúEnunciadoEnunciado

9,72 metros

4,28 metros

5,25 metros

… …

Solución:

Está claro que el área de la pirámide «vista desde arriba» sigue sin cambiar, la única diferencia será que hay más cuadrados, pero el área será la misma:

94,48 m2

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución General

6/7

Solución General

6/7

Por lo tanto, área del cuadrado:9,72 m · 9,72 m = 94,4784 m2

9,72 metros

Solución:

Área del cuadrado:

94,48 m2

Área de UNO de los cuatro laterales:36,75 m2

Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2

SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2

SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución General

7/7

Solución General

7/7

… …

Otra forma de resolución

Otra forma de resolución

Resultado finalResultado final

MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

La superficie de la Pirámide de Topolicán que se encuentra recubierta de oro es de 241,48 m2

HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN ...

… pero ¿habrá más formas de calcularla?