primera clase: miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00

Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00

• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace

Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas

• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger

Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas

df xkf x x

d xm Fdt

it m x

Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de sólo una variable

df xkf x x

d xm Fdt

it m x

Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de sólo una variable

sin cosdf x

x xf x xdx

dvav x

d y dyx xy y x ydx dx

Una ecuación diferencial es parcial si la función desconocida depende de varias variables

2 2 2 2 2

, ,, 0

1 1 1sin 4 , ,

sin sin

it m x

q x y q x yq x y

r rr r r r r

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparezca en ella

Segundo orden

Tercer orden

Primer orden

Orden 5i

d f x dfkf x x

b at x

d za b

Sea , ,..., una función de variables

, ,..., .

Una ecuación diferencial parcial está definida como

, , 0...

El orden de la ecuación es el orden de la de

i i il m nN

u x u x x x n

F x u x u xx x x

rivada

mayor que aparece

ˆUn operador es lineal si

ˆ ˆ ˆ

L au bv aL u bL v

...0 ... 1 2

La ecuación diferencial parcial lineal más general,

es de la forma

donde los coeficientes , , , son en general,

funciones de , ,..., .

i jk l ij k lj k l M N

q ru x s u xx x x

1 2Supondremos que , ,..., son reales.nx x x

A una ecuación diferencial parcial de la forma

ˆdonde es un operador lineal, se le llama lineal.

* Si es cero, la ecuación es homogénea

* Si es distinta de cero, la ecuación es

inhomogénea ó

no homogénea

2 2 2 2 2

La ecuación de Poisson:

La ecuación de onda con fuentes:

f x y zx y z

vx y z t

x y z c t

2 2 2 2

La ecuación de difusión:

1, , ,

La ecuación de Schrodinger:

u u u ux y z t

x y z k t

i Vt m x y z

Una función es solución de una

ecuación diferencial parcial si la

ecuación se transforma en una

identidad cuando la función y sus

derivadas son sustituidas en ella.

2 21 2

Las funciones

, y , cos

son soluciones de esta ecuación.

u x y x y u x y e y

La solución general de una

ecuación diferencial parcial

es la colección de todas las

soluciones posibles de ella.

1, es una solución particular

1, es la solución general

x y x xf y g y

en una variable espacial y el tiempo

, ,T x t T x tk

La ecuación diferencial parcial de

segundo orden lineal en dos variables

es una ecuación parabólica

T x t T x tk

, , , 0

Tipos de ecuaciones:

Eliptica: 4 0

Parabólica: 4 0

Hiperbólica: 4 0

u u uA x y B x y C x y

x x y y

u uD x y E x y F x y

Tipos de cónica:

Elipse: 4 0

Parábola: 4 0

Hipérbola: 4 0

Ax Bxy Cy Dx Ey F

1 2 1 2

22 21 21 2

aT bTT T Ta b

t t t t

aT bTT Tak bk k

, , es lineal

T x t T x tk

La combinación lineal

siendo y soluciones y, y constantes

también es solución.

T aT bT

T T a b

Ecuación diferencial parcial:

, ,; 0 , 0

0, 0Condiciones a la frontera: ; 0

Condiciones iniciales: ,0

T x t T x tk t x L

T x f x

Derivando:

1 1Dividiendo entre :

, Separación de variables

X x t X x tk

d t d X xX x k t

d t d X xkX

k t dt X x

T x t X x t

, ,T x t T x tk

La única posibilidad es

donde es una constante arbitraria,

que será determinada por el problema mismo.

d t d X x

k t dt X x dx

, ,T x t T x tk

d t d X x

, ,T x t T x tk

Condiciones a la frontera: 0

d X xX x

, , ; ,

T x t T x tk T x t X x t

0 0Condiciones a la frontera:

d X xX x x L

1 d X x

X x dx

Ecuación diferencial ordinaria de

segundo orden lineal homogénea:

Ecuación característica: 0

cos sini x i x

d X xX x

X x c e c e A x B x

sin cos

cos sin

dX xA x B

d X xX x

d X xA x B x X x

, ,T x t T x tk

; cos sind X x

X x X x A x B xdx

Condiciones iniciales:

0 0 y 0

1) 0 y 0 0

de donde necesariamente 0

Por tanto, la solución es p

or ahora

X x X x L

X x A X x

; sind X x

X x X x B xdx

0 0 y 0

2) sin 0

Esto impli

.0 .ó n

X x X x L

X x L B

d X xX x

X x X x L

n xX x B n

Condiciones iniciales: 0 0 y 0

sin 1,2,3,...n

d X x nLX x X x

X x X x L

n xX x B n

ˆElementos de matriz de

ˆ,ij i j

ˆ ; sin ; 1,2,3,...n n n

n n xLX x X x X x B n

ˆ ˆElementos de matriz de , ,ij i jL L L

1 0 0 0 ...

0 4 0 0 ...

0 0 9 0 ...

0 0 0 16 ...

... ... ... ... ...

; , 1,2,3,...

exp ; 1,2,3,.

d t nk t n

, , ; ,

1 2, exp sin

1,2,3,...

n k n xT x t C t

, ,T x t T x tk

Comportamiento de los modos

, ,; 0 , 0

, exp sin ;

0, 0Condiciones a la fronter

1,2,3,...

Condiciones inicia

les: ,0

T x t T x tk t x L

n k n xT x t C t n

, ,; 0 , 0

, exp sin ;

0, 0Condiciones a la fronter

1,2,3,..

Condiciones iniciale

T x t T x tk t x L

n k n xT x t C t n

Ecuación diferencial pa

rcial:

, ,; 0 , 0

in ; 1,2,3,.

T x t T

xT x C n

k t xt x

,0 sin

, exp si

n k n xT x t b t

n xT x b f x

, ,T x t T x tk

,0 sin

, exp sin

n k n xT x t b t

n xT x b

, ,T x t T x tk

¡Ahora sí se puede!

,0 sinnn

n xT x b f x

sin sin sin

sinsin sin

n x m x m xb dx f x dx

n x mf x d

,0 sinnn

n xT x b f x

L m xb f x dx

,0 sinnn

n xT x b f x

n xb f x dx

Condicion

Ecuación difere

es iniciales:

2, exp sin ; s

al parcial:

, ,; 0 , 0

T x tk t x L

k n x n xT x t b t b f x

L L L L

T x f x

, exp sin

Condiciones iniciales: ,0 1

n k n xT x t b t

n xb f x dx

T x f x

2, exp sin sin

n k n x n xT x t b t b f x dx

L L L L

2 2sin cos

2 2 21

0 es par

4 es i

n x n xb dx

L L n L

2, exp sin sin

L L L L

2 1 2 14 1, exp sin

n k n xT x t t

Animación

Condiciones iniciales: ,

, exp sin

LT x f x x

n xT x t b t

n xb f x dx

Condiciones iniciales: ,0 / 2

2, exp sin sin

T x x L

L L L L

2 2/ 2 sin sin

n x nb x L dx

2, exp sin sin

T x x L

L L L L

2, exp sin sin

n k n n xT x t t

Animación

Hasta aquí llegue el miércoles 24 de febrero del 2010 después de 1 clase de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00

Segunda Clase: Miércoles 3 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00

Repaso de la Segunda Clase: Miércoles 3 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00

en una variable espacial y el tiempo

, ,T x t T x tk

La ecuación diferencial parcial de

segundo orden lineal en dos variables

es una ecuación parabólica

T x t T x tk

, ,; 0 , 0

0, 0Condiciones a la frontera: ; 0

Condiciones iniciales: ,0

T x t T x tk t x L

T x f x

d X xX x

, ,; ,

d X xX x

, , ; ,

0 0Condiciones a la frontera:

d X xX x x L

cos sin

d X xX x

dxX x A x B x

, ,T x t T x tk

2; cos sin

d X xX x X x A x B x

dxX x X x L

1) 0 y 0 0

de donde necesariamente 0

Por tanto, la solución e

s por ahora

X x A X x

X x B x

2) sin 0

Esto implica que

0 ó 1,2,3,...n

X x L B L

2; cos sin

d X xX x X x A x B x

dxX x X x L

d X xX x

X x X x L

n xX x B n

; , 1,2,3,...

exp ; 1,2,3,.

d t nk t n

, , ; ,

1 2, exp sin

1,2,3,...

n k n xT x t C t

, ,T x t T x tk

Comportamiento de los modos

, exp sinn

n k n xT x t t

, ,T x t T x tk

0, 0Condiciones

, ,; 0 , 0

a la frontera: ; 0, 0

T x t T x tk t x L

n k n xT x t b t

T x f x

Condiciones iniciales :

Ecuación diferencial pa

rcial:

, ,; 0 , 0

in ; 1,2,3,.

T x t T

xT x C n

k t xt x

,0 sin

, exp si

n k n xT x t b t

n xT x b f x

, ,T x t T x tk

,0 sin

, exp sin

n k n xT x t b t

n xT x b

, ,T x t T x tk

,0 sinnn

n xT x b f x

sin sin sin

n xb f x

n x m x m xb f x

,0 sin

sin sin sin

n xT x b f x

sin sin2

n x m x Ldx

,0 sin

n xT x b f x

n x m xd f x dx

m xb f x dxL

L m xb f x dx

,0 sinnn

n xT x b f x

n xb f x dx

Condicion

Ecuación difere

es iniciales:

2, exp sin ; s

al parcial:

, ,; 0 , 0

T x tk t x L

k n x n xT x t b t b f x

L L L L

T x f x

, exp sin

n k n xT x t b t

n xb f x dx

T x f x

2, exp sin sin

L L L L

2 2sin cos

2 2 21

0 es par

4 es i

n x n xb dx

L L n L

2, exp sin sin

L L L L

2 1 2 14 1, exp sin

n k n xT x t t

Animación

Condiciones iniciales: ,

, exp sin

LT x f x x

n xT x t b t

n xb f x dx

2, exp sin sin

T x x L

L L L L

2 2/ 2 sin sin

n x nb x L dx

2, exp sin sin

T x x L

L L L L

2, exp sin sin

n k n n xT x t t

Animación

Fin del Repaso de la Segunda Clase: Miércoles 3 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00

, , ,, , ,

Estado estacionario:

La ecuación de Lapla

, , , 0

T x t T x tk

T x y z tk T x

T x y z

Como en el caso de la ecuaciones

diferenciales ordinarias, en caso que exista la

solución de una ecuación diferencial parcial,

estará únicamente especificada solamente si

se especifican ciertas condiciones a la

frontera, tanto para la función solución de la

ecuación como para sus derivadas.

Sin embargo, en el caso de las ecuaciones

diferenciales parciales, la especificación de

las condiciones a la frontera es un asunto

muy delicado, y debe establecerse

claramente.

En caso contrario la solución puede no

existir o si existe no ser única

Escribimos la ecuación diferencial parcial

, ,...

con y ... .

no es necesariamente lineal.

k l m n

i ik l m nN

uK x u u x

x x x x

l k l m n k

Condiciones a la frontera:

, ,..., ; 0,1,..., 1j

uL x x x j k

, ,...

con y ... .

k l m n

i ik l m nN

uK x u u x

x x x x

l k l m n k

1 2 , ,..., 1 1 2 2, ,... 0

Una función , ,..., es analítica en el punto

, ,...,

si puede ser desarrollada en series de potencias

, ,..., ....

que converge para todo suficie

L r s t L Lr s t

F y y y

F y y y F y c y c y c

ntemente cercano a ic

La solución de la ecuación diferencial parcial

, ,...

satisfaciendo las condiciones a la frontera

, ,..., 0,1,..., 1

en una vecindad del pun

k l m n

i ik l m nN

uK x u u x

x x x x

uL x x x j k

to existe, es única y

analítica, si la función y las funciones son

analíticas.

1 2Sea , ,..., 0 la ecuación

de una hipersuperficie.

Las condiciones de Cauchy consisten

en especificar la función desconocida

y sus derivadas parciales (hasta un orden

menor que aquel de la ecuació

S x x x

n) a lo

largo de una dirección normal a la hipersuperficie.

, , , 0

Eliptica: 4 0

Parabólica: 4 0

Hiperbólica: 4 0

x x y y

1. Eliptica: Los valores propios de la matriz

son todos positivos o todos negativos

ij ii j ii j i

u uLu a b cu d

2. Parabólica: Los valores propios de la matriz

son todos positivos o todos negativos, excepto uno

que es cero

ij ii j ii j i

u uLu a b cu d

3. Hiperbólica: Los valores propios de la matriz

son todos positivos menos uno que es negativo,

o todos negativos menos uno que es positivo.

ij ii j ii j i

u uLu a b cu d

4. Ultrahiperbólica: Los valores propios de la matriz

son tales que hay más de un valor propio positivo y

más de un valor propio negativo, y no hay val

ij ii j ii j i

u uLu a b cu d

propios iguales a cero.

Hay muy pocas ecuaciones ultrahiperbólicas.

2 0 es elíptica

En este caso, 3

0, 1,2,3 0 y 0

ij ii j ii j i

u uLu a b cu d

b i c d

Aparece en muchos problemas

de la física y de las matemáticas

aplicadas, en particular en

la electrostática.

0x y z

2 2 20

Es de segundo orden

* Es lineal

Es elíptica

4 0E E

Las ecuaciones de Maxwell

para la electrostática son:

Sustituyendo en la ley de Gauss

4 0E E

La ecuación

de Poisson:

Si estamos en una región donde

tenemos la ecuación

de Laplace:

2 2 22

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

rr r r r r

rr r r r

En coordenadas cartesianas:

En coordenadas esféricas:

En coordenadas cilíndricas:2

• Sobre los conductores el potencial es constante e

igual al de la superficie

• En los conductores NO SE CONOCE la

distribución de carga

• Sobre las cargas

• En todo el resto del espacio

qr r r

Es decir, lo que hay que resolver es la

ecuación de Laplace

con las condiciones a la frontera

adecuadas. Por ejemplo,

sobre el conductor

-Linealidad: Cualquier combinación lineal de soluciones

es una solución.

-Unicidad: Si una función satisface la ecuación de Laplace

y las condiciones de frontera, entonces es única.

- Las soluciones de la ecuación de Laplace no tienen

extremos locales; es decir, no tiene ni máximos ni

mínimos más que en las fronteras.

Fijas las condiciones a la frontera, la solución

a la ecuación de Laplace

Así que si tenemos las solución a un problema

podemos adecuar otros problemas a

solució

s única.

2 2 20

, ,x y z X x Y y Z z

2 2 20

d X x d Y y d Z zY y Z z X x Z x X x Y y

dx dy dz

1 1 10

d X x d Y y d Z z

X x dx Y y dy Z z dz

X x dx

Y y dy

Z z dz

2 2 2 0

i x i x i y i y z z

x y z Ae Be Ce De Ee Fe

x y z d d Ae Be Ce De Ee Fe

2 2 20

Las constantes , , y los coeficientes , , , , ,

se determinan dependiendo de las condiciones a la frontera

A B C D E F

Caja rectangular

,V x y

Sobre todas las caras,

excepto la de arriba el

potencial es cero

0, , 0

, , 2 sin

i x i x i y i y z z

i y i y z z

i x i x i y i y z z

x y z Ae Be Ce De Ee Fe

y z A B Ce De Ee Fe

x y z A e e Ce De Ee Fe

x y z A i x

i y i y z zCe De Ee Fe

, , 2 sin

, , 2 sin 0

, , 4 sin sin

i y i y z z

x y z iA x Ce De Ee Fe

x y z iA x C D Ee Fe

x y z AC x y Ee Fe

, , 4 sin sin

, ,0 4 sin sin 0

, , 4 sin sin

x y z AC x y Ee Fe

x y AC x y E F

x y z ACE x y e e

, , 4 sin sin

, , 4 sin sin 0

donde es un entero

, , 4 sin sin

x y z ACE x y e e

x a y z ACE a y e e

x y z ACE x y e ea

, , 4 sin sin

, , 4 sin sin 0

donde es un entero

, , 4 sin sin

nx y z ACE x y e e

nx y b z ACE x b e e

x y z ACE x y e ea b

2 2 2 22 2

, , 4 sin sin z znm

n mx y z ACE x y e e

n m n m

a b a b

, , sin sin z znm

n mx y z C x y e e

2 2 20

0 0, 0, 0x y z

0 , x a y b

, , sin sin sinh

nm n m nm

nm n m nmn m

x y z x y z

x y z A x y z

2 2 20

sin sin sinh ,nm n m nmn m

A x y c V x y

,z c V x y

4, sin sin

nm n mnm

A dx dyV x y x yab c

, 10 0

sin sin sinh ,

sin sin sin sin sinh

, sin sin

nm n m nmn m

nm n k m l nmn m

A x y c V x y

A x x y y c

V x y x y

dx dy A x x y y c

dx dyV x y x y

, 1 0 0

, sin sin

2 2 sinh , sin sin

4, sin sin

nm n k m l nmn m

nm nk ml nm k ln m

nm n mnm

A dx x x dy y y c

dx dyV x y x y

A a b c dx dyV x y x y

, 10 0 0 0

sin sin sin sin sinh , sin sina b a b

nm n k m l nm k ln m

dx dy A x x y y c dx dyV x y x y

4, sin sin

nm n mnm

, , sin sin sinhnm n m nmn m

x y z A x y z

2 2 n m nm

n m n m

a b a b

Para fijar ideas, pongamos un caso concreto,

Tenemos entonces

4sin sin

nm n mnm

V x y V

VA dx dy x y

Vdx x dy y

1 1 1sin cos cos

0 es par1

1 1 2 es impar

n nn n n

ndx x x a

4sin sin

nm n mnm

VA dx x dy y

1 1 1sin cos cos

0 es par1

1 1 2 es impar

n n nn n n

dy y y b

4sin sin

nm n mnm

VA dx x dy y

si , son ambos impares y cero en cualquier otro caso.

n mnm n m

ab c nm

2 1,2 1

2 1,2 1 2 2

sin 2 1 / sin 2 1 / sinh

2 1 2 1

Vx y z

n x a m y b z

Hasta aquí llegue el miércoles 3 de marzo del 2010 después de 2 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00

Tercera Clase: Miércoles 10 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sinr

r r r r r

La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas

, , ,r R r Y

Se propone la solución com

SEPARACIóN DE VAR

IABLES

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sinr

r r r r r

La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

rr r r r r

r R r Y

La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es

2 2 2 2 2sin 0

sin sin

Y d dR R Y R Yr

r dr dr r r

2 2 2 2 2sin 0

sin sin

Y d dR R Y R Yr

r dr dr r r

1 1sin

sin si

Yd d YRr

R dr dr Y Y

1 1 1sin 0

sin sin

d dR Y Yr

R dr dr Y Y

1 1sin 1

sin sin

d dRr l l

R dr dr

Y Yl l

1 1sin 1

sin sin

1 1sin 1

sin sin

Y Yl l

Y l l Y

LY l l Y

1 1sin 1

sin sin

LY l l Y

Y l l Y

Otra vez separación de variables:

1 1 1 1sin 1

sin sin

d d dl l

1 1 1 1sin 1 0

sin sin

d d dl l

sin 1sin 1 sin 0

d d dl l

sin 1 sin1

l ld d

sinsin 1 sin

d dl l m

¿Cuáles deben ser las condiciones

de frontera?

im imdm Ae Be

2 1,2,3,...

im i nm im i nm

n Ae e Be e

i debe sermplica que un e ntero

1 1sin 1 0

sin sin

d d ml l

2 2sinsin 1 sin

d dl l m

Esta ecuación puede ser llevada a una forma

conocida mediante el cambio de variable

Por tanto, debemos de buscar la validez de

la solución para

1 1sin 1 0

sin sin

d d ml l

sin sin 1 cos 1

sin sin

d d dx d

d dx d dx

d d d dx

d dx dx dx

d d d d

dx d dx

d d dx d d dx dx

Haciendo el cambio de variable tenemos

1 1sin 1 0

sin sin

d d ml l

sin sin 1

1 1sin 1

sin sin 1

d d d dx

d d dx dx

d d d dx

d d dx dx

d d m d d mx

d d dx dx x

1 1sin 1 0

sin sin

d d ml l

1 1 01

d d mx l l

dx dx x

d d mx l l

dx dx x

La ecuación queda ahora

ó bien

1 1 01

d dP mx l l P

dx dx x

La ecuación es la generalizada de Legendre

y sus soluciones se llaman funciones asociadas

de Legendre.

Estas son "funciones especiales" que han sido

extensamente estudiadas y que sus propiedades

pueden ser consultadas.

21 1 0

-1,1 .

d dP mx l l P

l m l m l

La ecuación generalizada de Legendre

tiene soluciones que no son singulares en

sólo si

La solución se obtiene p

y son enteros co

or el método d

e series.

/ 22 2

1 1 01

m l mm lm

l l l m

d dP mx l l P

dx dx x

dP x x x

La ecuación es la generalizada de Legendre

Sus soluciones se llaman funciones asociadas

de Legendre y están dadas por la expresión

cosm iml

La solución de la parte angular queda

donde y son enteros

se cumple que

cos , cos

sin cos cos

n in m imk l

i n mn mk l

P e P e

d d P e P e

d P P d e

Ortogonalidad de las funciones angulares

1 11 0

i n m i n m i n m

e d e ei n m i n m

n me d

así que

cos , cos sin cos cos i n mn in m im n mk l k lP e P e d P P d e

sin cos cos

cos sin

0 cos 0 1

n nk l

n n n nk l k l

x dx d

dxP x P x dxP x P x

cos , cos sin cos cos i n mn in m im n mk l k lP e P e d P P d e

2 1 !n nk l kl

l ndx P x P x

Las funciones generalizadas de

Legendre cumplen:

cos , cos

sin cos cos

n in m imk l

i n mn mk l

P e P e

d d P e P e

d P P d e

, cos4 !

m m iml l

l l mY P e

La solución a la parte ángular queda

donde y son enteros

se cumple que

, cos4 !

m m iml l

l l mY P e

Las funciones

donde y so

n enteros

los armó

se cump

nicos es

le que

1 1ˆ sinsin sin

2 1 !, cos

4 !m m iml l

LY l l Y

l l mY P e

donde y son enteros y se cumple que

1 1 1sin 0

sin sin

d dR Y Yr

R dr dr Y Y

1 1sin 1

sin sin

d dRr l l

R dr dr

Y Yl l

d dRr l l R

d R dRr r l l Rdr dr

R r a r

Se propone una serie como solución:

2 1 0 nn

d R dRr r l l R R r a rdr dr

2 30 1 2 3

2 31 2 3 4

2 3 4 ....

n nn n

d da r a a r a r a r

dR da r n

a a r a r a r

a rdr dr

2 30 1 2 3

2 31 2 3 4

2 3 41 2 3

2 3 4 ....

n n nn n

d dr a r r a a r a r a rdr dr

r a a r a r a r

dR dr r a r r na r na rd

a r a r

2 1 0 nn

2 31 2 3 4

2 3 4 ....

n nn n

da a r a r a r

d R dna r n n a r

a a a r

2 1 0 nn

2 2 31 2 3 4

2 22 3 4

2 3 42 3

2 3 4 ....

2 6 12 ...

2 6 12 .

n nn n

dr a a r a r a rdr

d Rr r n n a r n

2 1 0 nn

1 2 1 0

n n nn n n

n n a r na r l l a r

n n n l l a r

2 1 0 nn

n n n l l

como las potencias de son

linealmente independientes, necesariamente

2 1 0 nn

1 1 4 1 1 2 11 4 4 1

n n l l

l l ll

implica que

2 1 0 nn

d R dRr r l l Rdr dr

BR r Ar

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

, , ,l

l lmlm lml

rr r r r r

Br A r Y

La solución general de la ecuación de Laplace en

coordenadas esféricas

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

, , ,l

l lmlm lml

rr r r r r

Br A r Y

Para determinar una solución particular,

necesitamos condiciones a la frontera.

Por ejemplo, que el potencial sea

constante sobre una esfera de radio ,

es decir, que

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

, , ,l

l lmlm lml

rr r r r r

Br A r Y

, ,r R V

es decir, el potencial es constante sobre

una esfera de radio

Debemos añadir el que la solución sea

finita tanto en el infinito

Condic

ión de fron

en el o

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

, , ,l

l lmlm lml

rr r r r r

Br A r Y

lmll m l

Analicemos la solución para

Si queremos que cuando

debemos tener para todos

Así que para

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

, , ,l

l lmlm lml

rr r r r r

Br A r Y

lm lml m l

r A r Y

Analicemos la solución para

Si queremos que sea finito cuando

debemos tener para todos

Así que para

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

, , ,l

l lmlm lml

rr r r r r

Br A r Y

lmll m l

lm lml m l

lmll m l

lm lml m l

r A r Y

Br R Y V

r R A R Y V

0 0001

, , , ,

lmll m l

lm lml m l

lmll m l

lm lml m l

Br R Y V

r R A R Y V

B V R V Rr Y Y

r A r Y V

Por tanto,

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

lm lmll m l

rr r r r r

Br A r Y

Solución general:

Con la condición de frontera

más las condiciones necesarias debido al

, ,V R

r Rr r

significado

de tenemos

20 0 0

22 2 2 2 2

2 20 02 2 2

1 1 1sin

sin sin

V Rr R

r rV r R

V R V R V R

r r rr

r r r r r

V R V Rrr r

r r r r r r

¿De verdad es una solución?

1 0V R

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sinr

r r r r r

20 0 02

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

V Rr R

r rV r R

V V Vr

r r r r r

¿De verdad es una solución?

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sinr

r r r r r

V Rr R

r rV r R

V RV r Rr R

r R RV r R

¿De verdad cumple

la condición de frontera?

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sinr

r r r r r

, ,V R

r Rr r

es una solución y cumple

con las condiciones de frontera.

Dado que la solución es única, esta es la solución

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sinr

r r r r r

La ecuación de Laplace en

coordenadas cilíndricas es:

z R Z z

Proponemos la solución d

ecuación de Laplace en coor

e variables separadas

denadas

cilíndricas es

1 1 10

Z d dR RZ d d ZR

d d d dz

d dR d d Z

R d d d Z dz

Sólo de y zSólo de

d dR d d Z

d dR dk

R d d d

R d d d Z dz

Tenemos

d Zk Z

Z z Ae Be

22 2 2 2

d d dRk

d dR dk

R d d d

exp exp

A i B i

es un entero

2 22 2 2

d R dRk

R d R d

d R dRk R

d R dRR

dx x dx x

d R dRR

dx x dx x

es la ecuación de Bessel

y sus soluciones se llaman

funciones de Bessel

2 2 22

0d R dR

x x x Rdx dx

funciones de Bessel

2 2 22

0d y dy

x x x ydx dx

2 2 22

0d y dy

x x x ydx dx

Dado que 0 es un punto singular regular

de la ecuación de Bessel, sabemos que

existe al menos una solución de la forma

n r n rn n

c n r n r x c n r x

c x c x

Proponemos la solución

Sustituyendo en la ecuación de Bessel,

2 2 22

0d y dy

x x x ydx dx

0 0 0 0

1 0n r n r n r n rn n n n

n n n n

c n r n r x c n r x c x c x

20 0 0

c r r x c rx c x

x c n r n r n r x

20 0 0

r n r nn n

c r r x c rx c x

x c n r n r n r x x c x

c r r r x

x c n r n r n r x

22 2 20

r r nn

c r x x c n r x

r n r nn n

c r r r x

x c n r n r n r x x c x

Ecuación indicial:

Por tanto, tenemos

22 2 2 20

r r n r nn n

c r x x c n r x x c x

1 2 2 0

n nn n

x c n x x c x

x c n n x x c x

x c x c n n x c x

22 2 2 20

r r n r nn n

c r x x c n r x x c x

2 21 2

1 2 2 2 2 0

k kk k

x c x c k k x c x

x c x c k k c x

1 2 2 0n nn n

x c x c n n x c x

2 2 2 0

c k k c

1 2 2 2 2 0kk k

x c x c k k c x

0 0,1,2,...n

Si se pone

entonces

Es decir,

1 2 2 2 2

1 2 02 2 2

x c x c k k c x

2 22 2

2 04 2 4

4 06 2 6

2 2 , 1,2,3

2 2 2 2 1 2 1 2

2 3 3 2 1 2 3 1 2 3

2 ! 1 2 ...

Haciendo

Por tanto,

1 2 2 2 2

1 2 02 2 2

x c x c k k c x

02 1 2 2

1 2 2 2 2

2 ! 1 2 ...

x c x c k k c x

2 ! 1 2 ... 1 2 ! 1

0,1,2,3,...

n n nc

n n n n

02 1 2 02

1 2 2 2 2 0

1 10 ;

2 ! 1 2 ... 2 1

x c x c k k c x

cc c c

1 2 2 2 2 0

10,1,2,3,...

x c x c k k c x

c nn n

[0, ).

Si , la serie converge

al menos en el intervalo

Para , se obtiene de la

misma manera

Las funciones

son las funciones de Bessel

de primera clase de orden

y orden , respectivamente.

0.3J x

0.2J x

d R dRR

dx x dx x

R x A J x B N x

La solución, que se encuentra por el

método de series de potencias, es

donde .....

J x J xN x

z t e dt n n

Funciones de Bessel de primera clase:

Funciones de Bessel de segunda clase o de Neumann:

(Para enteros: )

R x A J x B N x

kz ir z A J kr B N kr e e dk

tiene como solución gener

La ecuación de Laplace en coordenadas

cilín

dric s

Cuarta Clase: Miércoles 17 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00

Repaso de la Cuarta Clase: Miércoles 17 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00

La ecuación de Laplace en

coordenadas cilíndricas es:

, , z R Z z

Proponemos la solución

de variables separadas

1exp exp

kz kzd Zk Z z Ae Be

dC i D i

con un entero

2 2 2d dRk

d R dRR

dx x dx x

Haciendo

se obtiene

2 2 22

0d R dR

x x x Rdx dx

funciones de Bessel

2 2 22

0d y dy

x x x ydx dx

2 2 22

0d y dy

x x x ydx dx

Dado que 0 es un punto singular regular

de la ecuación de Bessel, sabemos que

existe al menos una solución de la forma

2 2 22

0d y dy

x x x ydx dx

Para , se obtiene de la

misma manera

2 2 22

0d y dy

x x x ydx dx

Las funciones

Fin del Repaso de la Cuarta Clase: Miércoles 17 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00

Las funciones

m mJ x J x

La función es "infinito" en 0

y en los enteros negativos,

por tanto,

para entero.

! 1 2 ! 1 2

n nn n

x xJ x J x

n n n n

vJ x J x

Por lo tanto, para entero

y no son

linealmente independientes,

y tenemos que buscar otra

solución.

! 1 2 ! 1 2

n nn n

x xJ x J x

n n n n

1y y udx

Un método es el que ya utilizamos,

para disminuir el orden de la

ecuación en uno, mediante la

sustitución

! 1 2 ! 1 2

n nn n

x xJ x J x

n n n n

Otro método consiste en buscar

directamente la solución en forma

de la suma de una serie

generalizada de potencias y del

producto de dicha serie por .

! 1 2 ! 1 2

n nn n

x xJ x J x

n n n n

J x J xY x

Otro método consiste en definir,

para no entero,

y luego pasar al límite cuando

tiende a un número entero.

! 1 2 ! 1 2

n nn n

x xJ x J x

n n n n

lim limx c x c

f x f x

g x g x

Hay que usar la regla de

L´Hopital

coslim

J x J xY x

con un entero

y x c J x c J x

y x c J x c Y x

La solución general de la ecuación de

Bessel cuando no es un entero es

y cuando es un entero es

2 2 22

0d y dy

x x x ydx dx

0.3J x

0.2J x

J x J xY x

z t e dt n n

Funciones de Bessel de primera clase:

Funciones de Bessel de segunda clase o de Neumann:

(Para enteros: )

R x A J x B Y x

kz ir z A J kr B Y kr e e dk

tiene como solución gener

La ecuación de Laplace en coordenadas

cilín

dric s

u x t u x tc

T x t T x tk

u x t u x tc

* Es de segundo orden

* Es lineal

* Es hiperbólica

u x t u x tc

, , , 0

Eliptica: 4 0

Parabólica: 4 0

Hiperbólica: 4 0

x x y y

0, 0Condiciones en la frontera: ; 0

Condiciones iniciales: ; 0,

, ,; 0 , 0

u x f x

x Lu x tg x

u x t u x tc x L t

Separación de variables:

u x t u x t

u x t X

t xx L t

X x t X x tc

d d XX cd

, ,; 0 , 0 ; ,

u x t u x tc x L t u x t X x t

1 1d d X

c dt X dx

, ,; 0 , 0 ; ,

Problema de valores propios:

0 0 , 0

d XX x L

, ,; 0 , 0 ; ,

0 0 , 0

/ , 1,2,3,....n

d XX x L

dxX X L

X x n x L

, ,; 0 , 0 ; ,

Problema de valores propios:

, ,Ecuación diferencial parcial: ; 0 , 0

Separación de variables: ,

u x t u x tc x L t

t xu x t X x t

sin /cos /

1,2,3,....

dtn ct L

t A n ct L Bn c L

Separación de variables: ,

u x t u x tc x L t

t xu x t X x t

, ,Ecuación

sin /, cos

diferencial parcial:

u x f x

x Lu x tg x

t u x tc x L t

ct Lu x t A n ct L

Bn c L

sin /n

,0 sin /

u x f x

x Lu x tg x

u x A n x L f x

sin /, cos / sin /

n ct Lu x t A n ct L B n x L

Condiciones iniciales: ;

,0 sin /

u x f x

A f x m x L dxL

sin /, cos / sin /

sin /, cos / s

Condiciones ini

ciales: ; 0,

,sin / cos / sin /

u x tg

u x f x

x Lu x tg x

u x t An ct L B n ct L n x L

B n x L

2sin /

u x f x

x Lu x tg x

B g x m x L dxL

B n x L

sin /, cos / sin /

2sin /

A f x n x L dxL

B g x n x L dxL

u x t u x tc x L t

u x f x

x Lu x tg x

, ,Ecuación

sin /, co

diferencial parcial:

u x tg x

t u x tc x L t

ct Lu x t A n ct L

sin //n

n x LL

,sin /

0 0 para toda

, cos / sin /

u x tB n x L g x

g x B n

u x t A n ct L n x L

sin /, cos / sin /

2sin /

A f x n x L dxL

B g x n x L dxL

Condiciones iniciales: ; 0,0

u x f x

x Lu x tg x

f xh L x

x x LL x

f xh L x

x x LL x

2sin /

nA f x n x L dxL

2 20 0

2 2sin / sin /

h L xx x L

h L xhxA n x L dx n x L dx

L x L L x

n xh L

x L x n L

2 210 0

2 1, sin cos sin

xf x g x

h L xx x L

L h n x n ct n xu x t

x L x n L L L

Animación

x tx t

1. Eliptica: Los valores propios de la matriz son todos positivos

o todos negativos

2. Parabólica: Los valores propios de la matriz son todos

positiv

ij ii j ii j i

u uLu a b cu d

os o todos negativos, excepto uno que es cero

3. Hiperbólica: Los valores propios de la matriz son todos positivos

menos uno que es negativo, o todos negativos menos uno que es positivo.

4. Ultrahiper

bólica: Los valores propios de la matriz son tales que

hay más de un valor propio positivo y más de un valor propio negativo,

y no hay valores propios iguales a cero.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1/

Es una ecuación hiperbólica

x tx t

B EE B

c t c t

2 2 2 2

2 2 2 2 2

, , , , , , , , , , , ,10

f x y z t f x y z t f x y z t f x y z t

x y z c t

, , ,f x y z t X x Y y Z z T t

d X x d Y yY y Z z T t X x Z z T t

d Z z d T tX x Y y T t X x Y y Z z

dz c dt

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 10

d X x d Y y d Z z d T t

X x dx Y y dy Z z dz c T t dt

2 2 22

22 2 2

d X x d Y y d Z zk

d T tc k

T t dt

d T tT t

1 2i t i tT t T e T e

22 2 2

1 1 1d X x d Y y d Z zk

2 2 21 2 32 2 2

2 2 2 21 2 3

d X x d Y y d Z zk k k

k k k k

31 20 0 0 ik zik x ik yX x X e Y y Y e Z z Z e

, , , exp

f x y z t f ik r i t

k k k k

0 1 2 3

0 2 3 1

1 0 1 2 3

, , , exp

exp exp

f ik r i tx

f ik x ik y ik z i tx

f ik y ik z i t ik xx

ik f ik x ik y ik z i t

ik f ik r i t

1 0 1 0

21 1 0 1 0

, , , exp

exp exp

f ik r i t f ik r i tx x x

ik f ik r i t ik f ik r i tx x

ik ik f ik r i t k f ik r i t

2 2 2 2

2 2 2 2 2

, , , , , , , , , , , ,10

f x y z t f x y z t f x y z t f x y z t

x y z c t

0, , , expf x y z t f ik r i t

2 2 21 2 3 2

, , , , , , , , , , , , 0k f x y z t k f x y z t k f x y z t f x y z tc

0, , , expf x y z t f ik r i t

2 2 21 2 3 2

, , , , , , , , , , , , 0k f x y z t k f x y z t k f x y z t f x y z tc

, , , 0k f x y z tc

2 2 2 0c k

0, , , , expf x y z t f k ik r i t

2 2 2 0c k

0, , , , expF x y z t f k ik r i t dkd

Quinta Clase: Miércoles 24 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00

• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger

2 4x x

4 0E E

para la electrostática son:

Sustituyendo en la ley de Gauss

4 0E E

La ecuación

de Poisson:

2 4x x

Debido a la linealidad, se propone

, , ( )

x t G x x x d x

G x x x x

, ( ) 4

Como por definición:

G x x x d x x

G x x x x

3, , ( )x t G x x x d x

, ( ) 4

4 ( ) 4

xG x x x d x x

x x x d x x

2 , 4xG x x x x

x G x x x d x

G x x x x

33 / 2

La transformada de Fourier de la función de

Green , es

donde hemos definido , dado que

, sólo puede depender de .

g k G G R ik R d R

G x x x x

2 , 4xG x x x x

23 / 2

Tomando la transformada de Fourier de la ecuación

obtenemos

y finalmente

xG x x x x

33 / 2

1( , ) exp

exp1( , )

G x x g k ik R d k

ik RG x x d k

2 20 0 0

20 0 0

exp1( , )

exp cos1( , ) sin

1( , ) exp cos sin

1exp cos sin( , ) ik

ik RG x x d k

ikRG x x k dkd d

G x x ikR dkd d

G x x dk R d

exp cos sin

1 exp cos

1 exp exp

2sin1 2 sin

dikR d

ikRikR

ikR ikRikR

kRi kR

ikR kR

1( , )

( , ) exp cos sin

exp cos sin

2sinexp cos sin

2 1 sin( , )

G x x dk

G x x ikR dkd

ikR dk

kRG x x dk

2 1 sin( , )

kRG x x dk

x G x x x d x

G x x x x

¿Cuál es la solución de

la ecuación 1 0?x

Un polinomio tiene tantas raíces como su grado

Un número complejo es uno de la forma

donde y son números reales e

es la unidad imaginaria con la propiedad

1) El número real es llamado la parte real

2) El número real es llamado la parte

imaginaria

Los números reales pueden ser considerados

como números complejos con la parte imaginaria

igual a cero.

Es decir, el número real es equivalente al

número complej

o 0a i

es un número complejo,

la parte real, , se denota como Re( )

y la parte imaginaria, , se denota Im( )

z x iy

a ib c id

a c b d

a ib c id a c i b d

a ib c id ac bd i bc ad

Las leyes de la suma y de la multiplicación

son asociativas,

conmutativas y

distributivas,

así que los numeros complejos son un campo

z x iy

cos sin

z x iy

cos sin

z x iy

arctan

z x iy

cos sinixe x i x

cos sin

z x iy

Es un conjunto donde hay definidas dos operaciones

a) SUMA: +

b) MULTIPLICACION:

1) Es cerrado con respecto a la suma y a la multiplicación

2) La suma y a la multiplicación son asociativas

3) La suma y

a la multiplicación son conmutativas

4) La multiplicacion es distributiva respecto a la suma

5) Existe la identidad aditiva: 0

6) Existe la identidad multiplicativa: 1

7) Existe el inverso aditivo

8) Existe el inverso multiplicativo

arctan si 0

arctan Si 0 y 0

Si 0 y 02

indefinido Si 0 y 0

Cambiamos por

z x iy

zz x iy x iy x y i xy xy

zz x y

Funciones de variable compleja

son aquellas cuyo dominio es un

subconjunto del plano complejo

y su contradominio son también

los números complejos,

ln : ln ln

exp : exp z

I I z z

f f z z

f z x iy x iy x y ixy

x y x y xy

, , , , , ,

Se pueden ver como funciones

f z f x y u x y iv x y u x y v x y

se define la derivada como

Si la derivada existe para todos los puntos

de un conjunto , entonces se dice que

es diferenciable en

f z z f zf z

0 0 0 0

La derivada de la función : en

existe si y sólo si

y estas primeras derivadas son continuas en

u vx y x y

Son las ecuaciones

de Cauchy-Riemman

Una función compleja es analítica

en un punto si tiene un desarrollo en

serie de potencias

que converge a para todo

suficientemente cerca a

f z a z z

Una función compleja

es diferenciable en

si tiene derivada en

Una función compleja ,

diferenciable en un punto ,

es infinitamente diferenciable

en dicho punto

es analítica en

si es diferenciable en todos los puntos de una

vecindad de

Un conjunto es una vecindad de si hay

un disco : , 0 tal que

z z z r r S

es analítica en un conjunto

si es analítica en todos los puntos

del conjunto

1.- Sea :

2.- Sea una trayectoria de a ,

que es un subconjunto de

3.- Sea : , una descripción

compleja de la trayectoria

Entonces tenemos

f z dz f t t dt

1.- Sea : una función analítica

2.- Sea una trayectoria cerrada en

Entonces

f z dz

Si es analítica en un dominio

simplemente conexo ,

entonces

para cualquier curva cerrada C

f z dz

Los puntos donde una función no es analítica se llaman singularidades.

1) Singularidades aisladas

Suponiendo que no está definida en , pero sí en

i) Singularidad removible. Existe : tal

que en

ii) Polo

Existe : y tales que en

iii) Singularidad esencial

Si no es ni removible ni polo

f z g z a

g zg n f z a

Los puntos donde una función no es analítica

se llaman singularidades.

2) Puntos de ramificación

Se presentan con funciones multivaluadas

como z

Sea una función analítica para todo

arbitrariamente cercano a , pero no igual a .

El residuo de en el punto está

definido por la integral compleja

La curva es simple y

f z z a

s f z f z dzi

contiene a en su

interior

Sea una función analítica para todo arbitrariamente cercano a ,

pero no igual a .

El residuo de en el punto está definido por la integral

1compleja Re

La curva es simple

f z z a

s f z f z dzi

y contiene a en su interiora

tiene un polo simple en , entonces

g zf z

z az a

s f z g a

Sea una curva simple cerrada en la dirección

contraria a las manecillas del reloj.

Supongamos que es analítica dentro de

excepto por un número finito de singularidades

,..., .

Entonces

f z dz i s 1 i

Sea : de la forma

La función : tiene la propiedad

1) Si 0, 0 cuando

2) Si 0, 0 más rápido que 1/ cuando

El lema de Jordan dice que

donde es una tr

f f z e g z

g z z R

f z dz

ayectoria semicircular

de radio centrada en el origen.R

21 1 12 2

0iz iz iz ize e e edz dz dz dz

z z z z

21 2 2 1

R R Riz ix ix ix

e e e edz dx dx dx

z x x x

Riz ix

e edz dx

21 12 1 1

R Riz iz ix ix

R Rix ix

e e e edz dz dx dx

z z x x

e e xdx i dx

Por el lema de Jordan 0izedz

Nos falta la integral izedz

La función tiene un

polo simple en 0

El residuo es 1

polo simple en 0

Por tanto

esiduo

integral

polo simple en 0

El residuo es 1

Por tanto la integral

La integral sobre la parte de arriba es entonces i

Finalmente

Sexta Clase: Miércoles 7 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00

Repaso de la sexta Clase: Miércoles 7 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00

2 4x x

x G x x x d x

G x x x x

33 / 2

La transformada de Fourier de la función de

Green , es

donde hemos definido , dado que

, sólo puede depender de .

g k G G R ik R d R

G x x x x

2 , 4xG x x x x

23 / 2

Tomando la transformada de Fourier de la ecuación

obtenemos

y finalmente

xG x x x x

33 / 2

1( , ) exp

exp1( , )

G x x g k ik R d k

ik RG x x d k

2 20 0 0

20 0 0

exp1( , )

exp cos1( , ) sin

1( , ) exp cos sin

1exp cos sin( , ) ik

ik RG x x d k

ikRG x x k dkd d

G x x ikR dkd d

G x x dk R d

exp cos sin

1 exp cos

1 exp exp

2sin1 2 sin

dikR d

ikRikR

ikR ikRikR

kRi kR

ikR kR

1( , )

( , ) exp cos sin

exp cos sin

2sinexp cos sin

2 1 sin( , )

G x x dk

G x x ikR dkd

ikR dk

kRG x x dk

2 1 sin( , )

kRG x x dk

x G x x x d x

G x x x x

FIN del Repaso de la sexta Clase: Miércoles 7 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00

40B B J

para la magnetoestática son:

B A A A Jc

Sustituyendo en la ley de Ampere

Usando la invariancia de norma

40B B J

2 4A J

La ecuación

de Poisson:

31 J rA r d r

2 4A J

La ecuación

de Poisson:

,1, 4 ,

x tx t f x t

x t f x t

c tA J

AA A J

c c t c t

AA J A

c t c c t

4 1 1 con y

E AB J B A E

c c t c t

1 ( , )( , ) 4 ( , )

1 ( , ) 4( , ) ( , )

x tx t x t

A x tA x t J x t

,1, 4 ,

x tx t f x t

, , ; , ( , )

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

x t d x dt G x t x t f x t

G x t x tG x t x t x x t t

2 32 2

1, ; , ( , ) 4 ,x d x dt G x t x t f x t f x t

3 22 2

1, ; , ( , ) 4 ,xd x dt G x t x t f x t f x t

1, ; , 4x G x t x t x x t t

3 4 ( , ) 4 ,d x dt x x t t f x t f x t

4 , 4 ,f x t f x t

,1, 4 ( , )

, , ; , ( , )

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

x tx t f x t

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

Sacando la transformada de Fourier de esta ecuación

1 ( , ; , )( , ; , ) 4

1, ; , ) ( , ; , )

4x t x t G x t x t

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

3 2 2 2

1( , ; , ) ( , ; , )

k G x t x t G x t x tc

k g k g kc

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

3 2 2 2

Por lo tanto, como ( , ; , ) ,

4tenemos

exp( , ; , )

G x t x t g k

ik R icG x t x t d d k

R x x t t

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

3 2 2 2

exp( , ; , )

R x x t t

2 2 2( , ; , ) exp

pcG x t x t d k ik R

3 2 2 2

exp( , ; , )

R x x t t

exp expi iI d d

c k ck ck

,..., .

Entonces

f z dz i s 1 i

f z z a

s f z f z dzi

contiene a en su

interior

pero no igual a .

1compleja Re

La curva es simple

f z z a

s f z f z dzi

g zf z

z az a

s f z g a

Sea : de la forma

1) Si 0, 0 cuando

donde es una tr

f f z e g z

g z z R

f z dz

Caso I. Función de Green retardada.

Bajamos los polos.

exp iI d

ck i ck i

exp exp

izI dz

z ck i z ck i

iz zdz

z ck i z ck i

1 2exp expC

iz zI dz

z ck i z ck i

1 2exp expC

iz zI dz

z ck i z ck i

2 2Si 0, para que exp +z sea analítica necesariamente 0z

Como los polos no están dentro del contorno de integración

exp exp0

izI dz

z ck i z ck i

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

semicirculosuperior de radio

exp exp

iz zI dz

z ck i z ck i

ck i ck i

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

semicirculosuperior

Tomando ahora el límite cuando ,

exp exp

iz zI dz

z ck i z ck i

ck i ck i

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

semicirculosuperior

exp exp0

ya que 0 y la exponencial "mata" a todo lo demás

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

Por tanto

exp exp

Si 0, para que exp +z sea analítica

necesariamente 0

iz zI dz

z ck i z ck i

Tenemos entonces,

, ; , 0

siempre que

G x x t t

1 2exp expC

iz zI dz

z ck i z ck i

z ck i

izz ck i

z ck i z ck iI i

izz ck i

z ck i z ck i

2 Suma de los residuos en el interior del trayectoI i

Caso 0

exp exp2

exp exp exp

2exp sin( )

i ck i i ck iI i

iick ick

Caso 0

semicirculoinferior de radio

exp exp

iz zI dz

z ck i z ck i

ck i ck i

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

semicirculoinferior

exp exp

iz zI dz

z ck i z ck i

ck i ck i

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

semicirculoinferior

exp exp0

ya que 0 y la exponencial "mata" a todo lo demás

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

Por tanto

exp 2lim exp sin( )

2sin( )

ck ck ck

2sin( ) , 0

exp expi iI d d

c k ck ck

3 2 2 2

exp( , ; , ) exp

icG x t x t d k ik R d

Sabemos que para

( , ; , ) 0

G x t x t

Para 0

2 sin( )( , ; , ) exp

c ckG x t x t d k ik R

20 0 0

2 sin( )( , ; , ) exp

sin( )sin exp

c ckdkk d d ik R

c ckdkk d ik R d

sin( )( , ; , ) sin exp

c ckG x t x t dkk d ik R d

Como nada depende de ,

la integral sobre resulta ser 2 , y

( , ; , ) sin( ) sin expc

G x t x t dkk ck d ik R

sin exp sin exp cos

1 1exp cos exp exp

2sin12 sin

d ik R d ikR

ikR ikR ikRikR ikR

kRi kR

ikR kR

( , ; , ) sin( ) sin exp , >0c

2sin( , ; , ) sin( ) , >0

kRcG x t x t dkk ck

( , ; , ) sin( )sin , >0

( , ; , )

exp( ) exp( ) exp( ) exp( )

cG x t x t dk ck kR

G x t x t

c ick ick ikR ikRdk

exp exp

4 exp exp

R Rick ickc ccdk

R R Rick ickc c

exp exp1

4 exp exp

R Ri ic cd

R R Ri ic c

1( ) ( ) ( ) ( )

2R R R Rc c c cR

1( ) ( ) R R

Así que

1( , ; , ) ( )RG x t x t cR

Como 0 y 0, 0 y

RR x x cRc

( )( , ; , ) para

x xt t

cG x t x t t tx x

( , ) ( , ; , ) ( , )

( )( , ) ( , )

x xt t

cx t d x dt f x tx x

x xf x t

cd xx x

txfxdtx

ret3 ),(),(

,1, 4 ,

( , )( , )

x tx t f x t

f x tx t d x

x xf x t

cx t d xx x

Hasta aquí llegue el miércoles 7 de abril del 2010 después de 6 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00

Séptima Clase: Miércoles 14 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00

,1, 4 ,

x tx t f x t

x t f x t

B EE B J

c t c c t

AB A E

1 ( , )( , ) 4 ( , )

1 ( , ) 4( , ) ( , )

x tx t x t

A x tA x t J x t

B EE B J

c t c c t

,1, 4 ,

x tx t f x t

x t f x t

,1, 4 ,

x tx t f x t

, , ; , ( , )

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

2 32 2

1, ; , ( , ) 4 ,x d x dt G x t x t f x t f x t

3 22 2

1, ; , ( , ) 4 ,xd x dt G x t x t f x t f x t

1, ; , 4x G x t x t x x t t

3 4 ( , ) 4 ,d x dt x x t t f x t f x t

4 , 4 ,f x t f x t

,1, 4 ( , )

, , ; , ( , )

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

x tx t f x t

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

Sacando la transformada de Fourier de esta ecuación

1 ( , ; , )( , ; , ) 4

1, ; , ) ( , ; , )

4x t x t G x t x t

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

3 2 2 2

1( , ; , ) ( , ; , )

k G x t x t G x t x tc

k g k g kc

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

3 2 2 2

Por lo tanto, como ( , ; , ) ,

4tenemos

exp( , ; , )

G x t x t g k

R x x t t

1 ( , ; , )( , ; , ) 4x

3 2 2 2

exp( , )

ik R icG x x t t d d k

R x x t t

2 2 2( , ; , ) exp

pcG x t x t d k ik R

3 2 2 2

exp( , ; , )

R x x t t

exp expi iI d d

c k ck ck

,..., .

Entonces

f z dz i s 1 i

f z z a

s f z f z dzi

contiene a en su

interior

pero no igual a .

1compleja Re

La curva es simple

f z z a

s f z f z dzi

g zf z

z az a

s f z g a

Sea : de la forma

1) Si 0, 0 cuando

donde es una tr

f f z e g z

g z z R

f z dz

AVANZADA

Subimos los polos.

exp iI d

ck i ck i

exp exp

izI dz

z ck i z ck i

iz zdz

z ck i z ck i

1 2exp expC

iz zI dz

z ck i z ck i

1 2exp expC

iz zI dz

z ck i z ck i

z ck i

izz ck i

z ck i z ck iI i

izz ck i

z ck i z ck i

2 Suma de los residuos en el interior del trayectoI i

Caso 0

exp exp2

exp exp exp

2exp sin( )

i ck i i ck iI i

iick ick

Caso 0

semicirculosuperior de radio

exp exp

iz zI dz

z ck i z ck i

ck i ck i

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

semicirculosuperior

exp exp

iz zI dz

z ck i z ck i

ck i ck i

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

semicirculosuperior

exp exp0

ya que 0 y se satisface el lema de Jordan.

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

Por tanto

2lim exp sin( )

2sin( )

1 2exp expC

iz zI dz

z ck i z ck i

1 2exp expC

iz zI dz

z ck i z ck i

Como los polos no están dentro del contorno de integración,

usando el teorema integral de Cauchy,

exp exp0

izI dz

z ck i z ck i

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

semicirculoinferior de radio

exp exp

iz zI dz

z ck i z ck i

ck i ck i

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

semicirculoinferior

exp exp

iz zI dz

z ck i z ck i

ck i ck i

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

semicirculoinferior

exp exp0

ya que 0 y se cumplen las condiciones

del lema de Jordan.

iz zdz

z ck i z ck i

Caso 0

Por tanto

exp expi iI d d

c k ck ck

2sin( ) , 0

ckI ck

3 2 2 2

exp( , ; , ) exp

Por lo tanto, es claro que

para 0

( , ) 0

G x x t t

3 2 2 2

exp( , ; , ) exp

Entonces

2 sin( )exp

( , ; , ) 4

c ckd k ik R t t

G x t x t c k

20 0 0

2 sin( )( , ; , ) exp

sin( )sin exp

c ckdkk d d ik R

c ckdkk d ik R d

sin( )( , ; , ) sin exp

c ckG x t x t dkk d ik R d

Como nada depende de ,

la integral sobre resulta ser 2 , y

( , ; , ) sin( ) sin expc

sin exp sin exp cos

1 1exp cos exp exp

2sin12 sin

d ik R d ikR

ikR ikR ikRikR ikR

kRi kR

ikR kR

( , ; , ) sin( ) sin exp , <0c

2sin( , ; , ) sin( ) , <0

kRcG x t x t dkk ck

( , ; , ) sin( )sin , <0

( , ; , )

exp( ) exp( ) exp( ) exp( )

cG x t x t dk ck kR

G x t x t

c ick ick ikR ikRdk

exp exp

4 exp exp

exp exp1

4 exp exp

R Rick ickc ccdk

R R Rick ickc c

R Ri ic cd

R R Ri ic c

exp( ) exp( ) exp( ) exp( )( , ; , )

c ick ick ikR ikRG x t x t dk

2x d i x

1( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )

R R R Rc c c cR

R Rc cR

exp exp1

4 exp exp

R Ri ic cd

R R Ri ic c

Como 0 y 0, 0

y necesariamente ( ) 0

Así que

1( , ; , ) ( )

RR x x cRc

RG x t x t cR

1, ( ) ( ) R RG R c cR

( )( , ; , )

x xt t

cG x t x tx x

( , ) ( , ; , ) ( , )

( )( , ) ( , )

x xt t

cx t d x dt f x tx x

x xf x t

cd xx x

3 avanzada( , )

( , )f x t

x t d xx x

3 avanzada

,1, 4 ,

( , )( , )

x tx t f x t

f x tx t d x

x xf x t

cx t d xx x

Caso III. Función de Green mixta

"Subimos uno, bajamos el otro"

ck i ck i

izI dz

z ck i z ck i

"Subimos uno, bajamos el otro"

ck i ck i

izI dz

z ck i z ck i

ickzickz

21 expexp

Si primero consideramos el caso 0,

para que resulte se debe cumplir el lema

de Jordan y necesariamente 0;

es decir, para 0 debemos de cerrar el

contorno de integración por "arriba",

Entonces para 0

z ck i

izI i z ck i

z ck i z ck i

i ck ii

ie ick

Tomando el límite cuando 0,

exp( )i

I ickck

Si >0 tenemos expi

I e ickck i

Consideramos ahora el caso 0,

para que resulte se debe cumplir el lema

de Jordan y necesariamente 0;

es decir, para 0 debemos de cerrar el

contorno de integración por "abajo",

Entonces para 0

z ck i

izI i z ck i

z ck i z ck i

i ck ii

ie ick

Tomando el límite cuando

tiende a cero,

exp( ), si 0i

I ickck

Entonces para 0

I e ickck i

Tenemos entonces

exp( ) 0

20 0 0

2 2( , ; , ) exp

sin exp exp4

exp( )

sin exp2

cG x t x t d k ik R

cd k ik R

icdkk d d ick ik R

icdkk ick d ik

sin exp sin exp cos

1exp cos

1exp exp

2sin12 sin

d ik R d ikR

ikRikR

ikR ikRikR

kRi kR

ikR kR

( , ; , ) exp( ) sin exp2

2sinsin exp

( , ; , ) exp( )sin

icG x t x t dkk ick d ik R

kRd ik R

icG x t x t dk ick kR

exp( ) exp( )( , ; , ) exp( )

exp exp2

1exp exp

c ikR ikRG x t x t dk ick

c R Rdk ick ickc cR

R Rd i ic cR

( , ; , ) exp( )sinic

G x t x t dk ick kRR

exp( ) exp( )exp( )

exp exp2

1exp exp

c ikR ikRdk ick

c R Rdk ick ickc cR

R Rd i ic cR

2x d i x

exp( ) exp( )exp( )

c ikR ikRdk ick

exp exp2

c R Rdk ick ickc cR

1( ) ( )R R

1exp exp

2R Rd i ic cR

exp( ) 0

3 2 2 2

20 0 0

exp( , ; , ) exp

exp exp4

sin exp exp4

exp( ) sin exp2

c id k ik R ick

icdkk d d ick ik R

icdkk ick d ik R

sin exp sin exp cos

1exp cos

1exp exp

2sin12 sin

d ik R d ikR

ikRikR

ikR ikRikR

kRi kR

ikR kR

( , ; , ) exp( ) sin exp2

2sinsin exp

( , ; , ) exp( )sin

icG x t x t dkk ick d ik R

kRd ik R

icG x t x t dk ick kR

exp( ) exp( )exp( )

exp exp2

1exp exp

c ikR ikRdk ick

c R Rdk ick ickc cR

R Rd i ic cR

( , ; , ) exp( )sinic

G x t x t dk ick kRR

2x d i x

1( , ; , ) ( ) ( )R RG x t x t c cR

1exp exp

2R Rd i ic cR

Pero como >0, 0 y 0,

( )1( ) ( )

c cR R

( , ; , ) ( ) ( )R RG x t x t c cR

( ) ( )( , ; , )

R Rc cG x t x tR

3 avanzada retarda

( , ) ( , ; , ) ( , )

( ) ( )( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )( , )

R Rc cx t d x dt f x tR

x x x xf x t f x t

c cd x d xx x x x

f x t f x tx t d x

3 avanzada retarda

,1, 4 ,

( , ) ( , )( , )

x tx t f x t

x x x xf x t f x t

c cx t d x d xx x x x

f x t f x tx t d x

Octava Clase: Miércoles 28 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00

Si el potencial no depende del tiempo,

podemos proponer separación de

variables:

x t x T t

T ti x T t x V x T t

T tix V

T t t x m

T tix V

T t t x mE

T tix V E

T t t x m

x V Ex m

T t Ei T

2x V E

x V x E xm

2x V x E x

22Es una ecuación diferencial

ordinaria de segundo orden

lineal homogénea

d xV x x E x

d xV x E x

x aV x

2r V r r E r

d xE x

0x x a

( 0) 0 ( ) 0x x a

d xE x

x ad xV x E x V x

x am dx

d x mEx

d xk x

xd xE x x

x am dx

La ecuación característica es: 0

Las raices son: y

Así queikx ikx

d xk x

x Ae Be

0 ; ikx ikxd xk x x Ae Be

x A kx

2 2 2 2 2

2 sin 0

ó bien 0 que nos lleva a un resultado trivial

ó 1,2,3,....

Por tanto

x a iA

más 0 0 2 sind x

k x x x iA kxdx

; 1,2,3,....2

d xV x E x

x aV x

n xx A

1,2,3,...

1,2,3,...2n

ka n n

E n nma

0x x a

37.58 10 eV

37.58 eV

sin 1,2,3,...n

nx C x n

n nx x dx

2 2 2 2

sin sin

1cos sin 1

2 2 2 2

n aC x dx C d

C a C a n C a

2 sin 1,2,3,...nnx x n

21 sinn x x

2 22 sinn x x

2 33 sinn x x

2 44 sinn x x

2 2424 sinn x x

2 124124 sinn x x

Para tenemos

2sin sin

cos sin sin cos20

n mx x dx x x dx

n n m m n ma

2sin 1,2,3,...n

nx x n

Las funciones

2sin ; 1,2,3,...

forman una base ortonormal

del problema.

nx x n

completa

2, sin exp n

n Ex t a x i t

2V x m x

dV xF x m x

d xm m xdt

2 2 21

dV xV x m x F x m x

exp exp

cos sin

x t A i t B i t

x t A t B t

2 22 2

El Hamiltoniano:

1ˆ2 2

Ecuación de Schrodinger estacionaria:

pH m x

dm x E

2 22 2

dm x E

Haciendo el cambio de variable

tenemos

m d mm x E

m mmd x

2 22 2

dm x E

m d mm x E

m mmd x

2 2 22 2 2

2 2 2 2

d dm x E E

m dx d

tenemos

Si 0, entonces 0 y

que tiene como solución asintótica

2 2 2 22 2

exp exp 1 exp2 2 2

Si 0, entonces 0

que tiene como solución asintótica exp2

Obviamente la solución con + es inaceptable

fisicamente pues diverge en el .

La solución asintótica es entonces

Si 0, entonces 0

que tiene como solución asintótica exp2

d yx y

n nn n

d yx y

y x a x

dyna x

d yn n a x

n n a x a x

22 3 2

2 22 3 4

2 6 2 1 0

2 6 4 3 0

n nn n

n n a x a x

a a x n n a x a x

n nn n

n n a x a x

n n a a x

n n a a

0 14 5

2 36 7

4 3 5 4

0 06 5 7 6

a aa a

8 7 8 7 4 3

9 8 9 8 5 4

4 4 5 4 3 4 3 5 4

a a aa a a

12 11 12 11 8 7 4 3

13 12 13 12 9 8 5 4

4 4 5 4 3 4 3 5 4

a a aa a a

4 4 4 4 1

4 4 4 1

4 ! 4 4 1

k j k j

4 ! 4 4 1k k

Falta identificar cada una de las series con sus correspondientes Bessel

d yx y

xy x x f

d y xx y y x x f

2 2 2 2

1/ 2 1/ 2 3/ 2

2 23/ 2 1/ 2

2 21/ 2 3/ 2

2 23/ 2 1/ 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x x x xy x f xxf x f x f

x xy x f x xf

x xx f x xf

x xy x f x f

d y xx y y x x f

2 2 2 2

3/ 2 1/ 2 5/ 2 5/ 2

2 2 23/ 2 5/ 2 1/ 2 5/ 2

2 2 22 2 2

4 2 2 2 2

4 2 2 2

2 2 4 2

x x x xx f x f x f x f

x x xx x f x f x f

x x xx f f x x f

d y xx y y x x f

2 2 22 2 2

2 2 4 2

1 12 2 2 0

x x xx f f x x f

d y xx y y x x f

2 2 10

ecuación de Bessel modificada.

d y xx y y x x f

1 1/ 4 2 1/ 4

Así que

x xy x c xI c xK

1 2 1 21 ...

K x ex

1 1/ 4 2 1/ 4

d yx y

x xy x c xI c xK

Entonces

2 2 22

2 2 2 2

exp exp2 2

exp exp exp2 2 2

du du d u

; exp2

22 2 2

2 2 2 2 2

exp exp exp2 2 2

exp exp 02 2

exp 2 exp exp exp 02 2 2 2

du duu

du d uu u

d u duu

; exp2

d u duu

22 1 0

d u duu

d un n a

2 1 0 ; nn

d u duu u a

20 0 0

1 2 1 0

2 1 2 1 0

n n nn n n

m n nm n n

n n nn n n

n n a na a

m m a na a

n n a na a

2 1 2 1 0

nn n n

n n a na a

2 1 0 ; nn

d u duu u a

4 2 0 0

5 3 1 1

3 2 15 15 5 1

4 3 4 3 2 1 4 3 2 17 37 7 3

5 4 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1

a a a a

2 12 1 0 ; ;

n n nn

d u du nu u a a a

d d n n

4 2 0 0

5 3 1 1

5 15 5 1

4 3 4 3 2 1 4 3 2 17 37 7 3

5 4 5 4 3 2 1 5 4 3 2 19 9 5 1

6 5 6 5 4 3 2 111 11 7 3

7 6 7 6 5 4 3 2 1

a a a a

2 12 1 0 ; ;

n n nn

d u du nu u a a a

d d n n

4 3 4 7 ... 5 1

4 1 4 5 4 9 ... 7 3

con 1,2,3,...

n na a

n n na a

2 12 1 0 ; ;

n n nn

d u du nu u a a a

d d n n

2 1 2 1 2

2 1 3 3n

a n n n n n

2 12 1 0 ; ;

n n nn

d u du nu u a a a

d d n n

4 6 2 2 2 22

1 ...2! 3! ! 1 ! !

en n n

Desarrollo de una función en serie de Taylor:

Formula de Leibniz:

!donde

nn x a

nn k n k

d ff x x a

nf g f g

n nk k n k

4 6 2 2 2 22

1 ...2! 3! ! 1 ! !

en n n

1 !coef ! 1 11coef 1 ! 1!

n n nn

La serie converge, pero se comporta

igual que exp y por lo tanto es

inaceptable.

2 12 1 0 ; ;

n n nn

d u du nu u a a a

d d n n

2 12 1 0 ; ;

n n nn

d u du nu u a a a

d d n n

d xm x x E x

1 =0,1,2,...

2nE n n

1/ 4 21

exp22 !

m m m xx H x

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1

Novena Clase: Miércoles 12 de mayo del 2010 de 12:30 a 14:00

Potencial central:

r V r r E rm

V r V r V r

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2sin 0

sin sin

Proponemos que

mr V E

r r r r r

r R r Y

2r V r r E r

2 2 2 2 2 2

2sin 0

sin si

1 1sin

sin sin

1 2sin 0

sin sin

Y d dR R Y R Y mr V E RY

r dr dr r r

d dR Y Y mrr V E

d dR m Y Yrr V E

Y Ydr dr

22 2 2 2 2 2

1 1 1 2sin 0 ,

sin sin

mr V E r R r Y

r r r r r

1 1sin 1

sin sin

1 1sin 1

sin sin

Y Yl l

Y Yl l Y

LY l l Y

2r V r r E r

1 1ˆ sinsin sin

2 1 !, cos

4 !m m iml l

LY l l Y

l l mY P e

donde y son enteros y se cumple que

0 00 1

1 0 21 2

1 2 2 22 2

1 3 cos

3 15sin 3cos 1

15 15sin cos sin

Y e Y e

d dR mrr V E l l

R dr dr

2r V r r E r

d dR mrr V E l l

R dr dr

d dR mr Zer E l l

R dr dr r

Zer V r r E r V r

d dR mr Zer E l l

R dr dr r

l ld d m ZeR E R

dr r dr r mr

Zer V r r E r V r

l ld d m ZeR E R

dr r dr r mr

1/ 21/ 22

m E Ze mr

l ld R dRR R

Cuando , la ecuación se transforma en

y la solución es

exp / 2

l ld R dRR R

Se propone la solución

exp / 2

y se sustituye en la ecuación, para obtener

12 11 0

l ld G dGG

12 11 0

l ld G dGG

12exp exp exp 0

l ld G dGG

dGz zd

d Gz z zd

l lz z zd z zd zd

l lz z z

12 11 0

l ld G dGG

l ld GG

12 11 0

l ld G dGG

l ld GG

1exp exp 0

d Gz z zd

l lz z zd zd

l lz z

No es exacta

l ldzz

l ldz z d

l lz z

2 22 2

l ldz z d

l l l la z z

l la z z

l ld G dGG

1 2 1 0

2 1 1 0

1 1 4 1 1

r n n rn n

n r n r n rn n n

n r n r a n r a l l a

n r n r n r l l a

n r n r n r l l

r r r l l

r r r l l r r l l

2 1 1 2 1

r l r l

l ld G dGG

1 2 1 0

2 2 2 0

n r n r n r l l

n l n l n l l l

n nl l n l n l l l

n nl n n

l ld G dGG

1 2 1 0

1 1 1 2 1 1 0

1 2 2 1 1 0

2 3 3 2 2 2 2 0

n r n r n r l l

n l n l n l l l

n nl l n l n l l l

n nl n

Correo de Jesús jareyes@inaoep.mx

l ld GG

n nn n

n n a l l a

2 2002 2

10 1 1 0n n

n nn n

l ld GG n n a l l a

2 2 1 20 1

2 20 1

1 1 1 1 0

n nn n

n n a l l a

n n a l l a l l a l l a

n n l l a l l a l l a

2 20 1

1 1 1 1 0nn

l ld GG

n n l l a l l a l l a

1 1 4 1 1 4 4 1

1 1 2 1 1 2

n n l l

l l l ln

n l n l

l ld GG

12 11 0

l ld G dGG

Poniendo

tenemos

2 2 11 0

d L l dL lL

12 11 0

l ld G dGG

2 2 11 0

d L l dL lL

d Ln n a

2 2 11 0

d L l dL lL

2 2 1 1

2 2 11 1 0

2 21 1 1 0

1 2 2 1 0

n n nn n n

n n n nn n n n

l ln n a na a

ln n a na l a

n n a l na na l a

2 2 11 0 ; n

d L l dL lL L a

2 2 1 1

1 1 11 1

1 2 2 1 0

1 2 2 1 1 0

1 2 2 1 0

n n n nn n n n

n n nn n n

n n a l na na l a

n na l n a l n a

n n l a l n a

2 2 11 0 ; n

d L l dL lL L a

1 2 2 1 0

n n l a l n a

n la a

2 2 11 0 ; n

d L l dL lL L a

0 1 20

Sea la serie ...

Sea lim

Entonces la serie

a converge (absolutamente) si 1

b diverge si 1

Si 1 el criterio falla.

u u u u

1 2 2 2 3 2 2

Es claro que

1lim lim 0

2 3 2 2

y por lo tanto la serie converge

a n l n l

a n n l n l n l

a n l n l

2 2 11 0 ; n

d L l dL lL L a

Sin embargo,

1 2 2 2 3 2 2

Por tanto para grande tenemos que

a n l n l

a n n l n l n l

2 2 11 0 ; n

d L l dL lL L a

4 6 2 2 2 22

1 ...2! 3! ! 1 ! !

en n n

Desarrollo de una función en serie de Taylor:

Formula de Leibniz:

!donde

nn x a

nn k n k

d ff x x a

nf g f g

n nk k n k

4 6 2 2 2 22

1 ...2! 3! ! 1 ! !

en n n

1 !coef ! 1 11coef 1 ! 1!

n n nn

Por tanto para grande tenemos que

es decir, la serie se comporta como

para grande, y eso es inaceptable.

La serie tiene que ser cortada.

2 2 11 0 ; n

d L l dL lL L a

Debemos cortar la serie

1 2 2 1 0

por eso, dado , para algún , debemos tener

o bien

n n l a l n a

2 2 11 0 ; n

d L l dL lL L a

Llamamos número cuántico principal a

Como 0, tenemos

2. es un entero

2 2 11 0 ; n

d L l dL lL L a

Como 1 tenemos

1,2,3..

es decir

m e ZE

2 2 11 0 ; n

d L l dL lL L a

Las soluciones que resultan al cortar la serie

son polinomios, son los polinomios de Laguerre.

9 18 66

L x x x

L x x x x

Formula de Rodrigues

x nx n

e dL x e x

Con el producto escalar

los polinomios de Laguerre son

ortogonales

f g f x g x x dx

/ 2 13

1 !2 2 2

5.292 10 cm

1,2,3...; 1;

r na lnl n l

n l r rR r e L

na na nan l

n l n m l

2 2 1,2,3...

m e ZE n

es el número cuántico princip

Surge de la ecuación ra

, , ,mnlm nl lr R r Y

1,2,3...; 1; n l n m l

es el número cuántico principal

es el número cuántico orbital

es el número cuántico magnético

Solución general para el átomo de hidrógeno

, , , , exp /n m l

mnlm nl l n

n l m l

r t a R r Y iE t

, , ,mnlm nl lr R r Y

/ 2 13

1 !2 2 2

2 1 !, 1 cos 0

2 1 !, cos 0

1,2,3... 0,1,...., 1

r na lnl n l

mm m iml l

m m iml l

n l r rR r e L

na na nan l

l l mY P e m

,...,0,...,

2 2 1,2,3...

m e ZE n

ˆ , , , ,nlm n nlmH r E r

Degeneración: 2 1n

2x V x E x

22Es una ecuación diferencial

ordinaria de segundo orden

lineal homogénea

d xV x x E x

V x V x a

2x V x E x

x V x E x V x V x am

d xE x x

d xx E V x x a

d xE x x a

V x x E x V x V x am dx

ik x ik x

ikx ikx

ik x ik x

Ae Be x

x Ce De x a

Ee Fe x a

m E VmEk k

es negat

ik x ik x

ikx ikx

ik x ik x

mEAe Be x k

x Ce De x am E V

Ee Fe x

m E i m EmEk

2Definiendo = tenemos

ik x ik x

ikx ikx

ik x ik x

mEAe Be x k

x Ce De x am E V

Ee Fe x a k

i i x i i x

ikx ikx

i i x i i x

Ae Be x

x Ce De x a

Ee Fe x a

m E Vk

ikx ikx

Ae Be x

x Ce De x a

Ee Fe x a

m E Vk

Por tanto, debemos de tener

ikx ikx

Ae Be x

x Ce De x a

Ee Fe x a

ikx ikx

x Ce De x a

Ee x a

m E Vk

ikx ikx

x ikCe ikDe x a

Ee x a

m E Vk

ikx ikx

x Ce De x a

Ee x a

x ikCe ikDe x a

Ee x a

x ikx ikx

xikx ikx

x a x a

x ikx ikx

xikx ikx

x a x a

Be Ce De

Ce De Ee

Be ikCe ikDe

ikCe ikDe Ee

aika ika

Ce De Ee

B ik C D

ikCe ikDe Ee

aika ika

Ce De Ee

C D ik C D

ikCe ikDe Ee

aika ika

Ce De Ee

B ik C D

ikCe ikDe Ee

exp exp exp 0

ika ika a C

ik ik D

ik ika ik ika a E

aika ika

Ce De Ee

C D ik C D

ikCe ikDe Ee

Este sistema tiene solución sólo si

aika ika

Ce De Ee

C D ik C D

ikCe ikDe Ee

m E Vk

1exp sin

C D ik

kE a ka

aika ika

Ce De Ee

C D ik C D

ikCe ikDe Ee

m E Vk

1sin 0

a nx k x x a

m E Vm Ek

primera clase: miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00

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