presentación problema metodo gauss

Mª Ángeles Ruiz Arévalo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de gauss jordan

Paso 1. Se forma la matriz aumentada

Este es el sistema de ecuaciones a resolver

2 3

2 5 4

3 2 2

x y z

x y z

x y z

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

NOTA IMPORTANTE: El objetivo del método es lograr formar una matriz identidad de esta forma.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a

b

c

Donde el sistema tiene la siguiente solución:x = ay = bz = c

Solución por el método de gauss jordanPaso 1. Se forma la matriz aumentada

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

Paso 2. Como se busca obtener una diagonal de “1” en el primer renglón ya tenemos un número 1. Nuestro objetivo ahora será hacer obtener ceros debajo de este número “1”

Al numero “1” de la diagonal se le denomina “elemento pivote”; sobre éste vamos a apoyarnos para hacer ceros los números arriba y debajo de dicho numero con operaciones de eliminación renglón

[ ]1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

Columna pivote

Renglón pivote

Seleccionamos el renglón pivote

Seleccionamos un renglón diferente al renglón pivote

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

Identificamos Renglón, Columna y elemento pivote

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

Como el objetivo es hacer “0” el número debajo del renglón pivote ¿Por qué número debemos multiplicar el renglón pivote?

0

Elemento pivote

(-2) [ ]1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

Modificamos el segundo renglón con la operación de eliminación renglón

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

10 -3 -2

Ahora modificamos el tercer renglón ¿Por qué número multiplicamos el renglón pivote ahora?

[ ]1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

1 2 1 3

2 5 1 4

3 2 1 2

-80 -4 -7

3 -2 -1 2

(-3)

¿Cómo queda la nueva matriz?

1 2 1 3

0 1 3 2

0 8 4 7

1 2 1 3

0 1 3 2

0 8 4 7

Ya transformamos la primera columna, ahora vamos con la segunda; afortunadamente ya hay un “1” como nuevo elemento pivote

11

¿Qué hacemos ahora? Hay que transformar en ceros los números arriba y abajo del nuevo elemento pivote

[ 0 1 -3 -2 ]

Nuevo renglón pivote

Se repite la eliminación renglón

0

(-2) 1 2 1 3

1 7 7

[ 0 1 -3 -2 ] 0 -8 -4 -7

(8)

0 0 -28 -23

La siguiente matriz queda:

1 0 7 7

0 1 3 2

0 0 28 23

1 0 7 7

0 1 3 2

0 0 23/ 28

El siguiente elemento pivote es “28”; el cual debe ser transformado en “1” sin alterar la ecuación ¿Cómo lo hacemos?

1 0 7 7

0 1 3 2

0 0 28 23

En otras palabras: Cada renglón representa una ecuación, si dividimos todo el renglón entre -28 obtenemos el “1” que estamos buscando

Convertimos el elemento pivote en “1” para facilitar las operaciones; dividimos todo el renglón entre el número pivote (-28) obteniendo el siguiente resultado

11

11

1

Realizamos la operación de eliminación renglón

[ 0 0 1 23/28 ]

1 0 7 7

(-7)

1 0 5/4

1 0 7 7

0 1 3 2

0 0 1 23/ 28

0

[ 0 0 1 23/28 ]

0 1 -3 -2

(3)

0 0 13/281

1 0 0 5 / 4

0 1 0 13/ 28

0 0 1 23/ 28

Finalmente la matriz queda

Nuevo renglón pivote

Leyéndose el siguiente resultado: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28

Respuestas: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28

Sistema de ecuaciones original

2 3

2 5 4

3 2 2

x y z

x y z

x y z

Solución por el método de gauss jordan