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¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.1
OCTAVO AQUELARRE MATEMÁTICO
¿Y si el mundo no fuera entero? Introducción alCálculo Fraccionario
Presenta:
Oscar Martínez Fuentes
DCA-CINVESTAV
Ciudad de México, México Noviembre 10, 2017
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.2
Índice General
1 Funciones EspecialesFunción GammaFunción BetaFunción de Mittag-Leffler
2 Operadores del Cálculo fraccionarioIntegral de Riemann-LiouvilleDerivada de Riemann-LiouvilleDerivada de CaputoOtras propiedades
3 Ecuaciones Diferenciales FraccionariasAlgunas ecuaciones y sus soluciones
4 Estabilidad de EDFSistemas lineales
5 Observaciones finales
6 Referencias
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.3
Función Gamma
Definición
Sea z ∈ R+.
Γ (z) =
∫ ∞0
tz−1e−t dt (1)
se conoce como Función Gamma.
1 Solo se va a considerar z ∈ R+.2 Si z ∈ C, es necesario que Re (z) ∈ R \ (0 ∪ Z−) para
la convergencia de la integral.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
Γ(x)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.3
Función Gamma
Definición
Sea z ∈ R+.
Γ (z) =
∫ ∞0
tz−1e−t dt (1)
se conoce como Función Gamma.
1 Solo se va a considerar z ∈ R+.
2 Si z ∈ C, es necesario que Re (z) ∈ R \ (0 ∪ Z−) parala convergencia de la integral.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
Γ(x)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.3
Función Gamma
Definición
Sea z ∈ R+.
Γ (z) =
∫ ∞0
tz−1e−t dt (1)
se conoce como Función Gamma.
1 Solo se va a considerar z ∈ R+.2 Si z ∈ C, es necesario que Re (z) ∈ R \ (0 ∪ Z−) para
la convergencia de la integral.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
Γ(x)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.3
Función Gamma
Definición
Sea z ∈ R+.
Γ (z) =
∫ ∞0
tz−1e−t dt (1)
se conoce como Función Gamma.
1 Solo se va a considerar z ∈ R+.2 Si z ∈ C, es necesario que Re (z) ∈ R \ (0 ∪ Z−) para
la convergencia de la integral.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
Γ(x)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.4
Propiedades
De la ecuación (1):
Γ (z + 1) =
∫ ∞0
tze−t dt
= −e−t tz∣∣∞0 + z
∫ ∞0
tz−1e−t dt
= :0
−e−t tz∣∣∞0 + z
∫ ∞0
tz−1e−t dt
Propiedad 1
Γ (z + 1) = zΓ (z) (2)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
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Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.4
Propiedades
De la ecuación (1):
Γ (z + 1) =
∫ ∞0
tze−t dt
= −e−t tz∣∣∞0 + z
∫ ∞0
tz−1e−t dt
= :0
−e−t tz∣∣∞0 + z
∫ ∞0
tz−1e−t dt
Propiedad 1
Γ (z + 1) = zΓ (z) (2)
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Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.4
Propiedades
De la ecuación (1):
Γ (z + 1) =
∫ ∞0
tze−t dt
= −e−t tz∣∣∞0 + z
∫ ∞0
tz−1e−t dt
= :0
−e−t tz∣∣∞0 + z
∫ ∞0
tz−1e−t dt
Propiedad 1
Γ (z + 1) = zΓ (z) (2)
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Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.4
Propiedades
De la ecuación (1):
Γ (z + 1) =
∫ ∞0
tze−t dt
= −e−t tz∣∣∞0 + z
∫ ∞0
tz−1e−t dt
= :0
−e−t tz∣∣∞0 + z
∫ ∞0
tz−1e−t dt
Propiedad 1
Γ (z + 1) = zΓ (z) (2)
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Función Beta
Función de Mittag-Leffler
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Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.5
Propiedades
De la ecuación (2) considerando z = n:
Γ (n + 1) = nΓ (n)
= n(n − 1)Γ(n − 1)
= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)
...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)
= n!
Propiedad 2
Γ (n + 1) = n! (3)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.5
Propiedades
De la ecuación (2) considerando z = n:
Γ (n + 1) = nΓ (n)
= n(n − 1)Γ(n − 1)
= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)
...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)
= n!
Propiedad 2
Γ (n + 1) = n! (3)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.5
Propiedades
De la ecuación (2) considerando z = n:
Γ (n + 1) = nΓ (n)
= n(n − 1)Γ(n − 1)
= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)
...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)
= n!
Propiedad 2
Γ (n + 1) = n! (3)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.5
Propiedades
De la ecuación (2) considerando z = n:
Γ (n + 1) = nΓ (n)
= n(n − 1)Γ(n − 1)
= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)
...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)
= n!
Propiedad 2
Γ (n + 1) = n! (3)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.5
Propiedades
De la ecuación (2) considerando z = n:
Γ (n + 1) = nΓ (n)
= n(n − 1)Γ(n − 1)
= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)
...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)
= n!
Propiedad 2
Γ (n + 1) = n! (3)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.5
Propiedades
De la ecuación (2) considerando z = n:
Γ (n + 1) = nΓ (n)
= n(n − 1)Γ(n − 1)
= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)
...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)
= n!
Propiedad 2
Γ (n + 1) = n! (3)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.6
Propiedades
Propiedad 3: Fórmula de reflexión
Γ(z)Γ (1− z) =π
sin(πz)(4)
Ejemplo
En la Propiedad 3, con z = 12 :
Γ( 1
2
)=√π
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
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Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
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Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.6
Propiedades
Propiedad 3: Fórmula de reflexión
Γ(z)Γ (1− z) =π
sin(πz)(4)
Ejemplo
En la Propiedad 3, con z = 12 :
Γ( 1
2
)=√π
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.7
Función Beta
• Dada una función f , a veces es útil expresar f (x + y) entérminos de f (x)f (y):
ex+y = exey
•
Γ (z) Γ (w) = 2Γ (z + w)
∫ π2
0cos2z−1 θ sin2w−1 θdθ
Definición
Sean z ∈ R+,w ∈ R+.
β (z,w) =
∫ 1
0tz−1 (1− t)w−1 dt (5)
se llama Función Beta.
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Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
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Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.7
Función Beta
• Dada una función f , a veces es útil expresar f (x + y) entérminos de f (x)f (y):
ex+y = exey
•
Γ (z) Γ (w) = 2Γ (z + w)
∫ π2
0cos2z−1 θ sin2w−1 θdθ
Definición
Sean z ∈ R+,w ∈ R+.
β (z,w) =
∫ 1
0tz−1 (1− t)w−1 dt (5)
se llama Función Beta.
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Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.7
Función Beta
• Dada una función f , a veces es útil expresar f (x + y) entérminos de f (x)f (y):
ex+y = exey
•
Γ (z) Γ (w) =
2Γ (z + w)
∫ π2
0cos2z−1 θ sin2w−1 θdθ
Definición
Sean z ∈ R+,w ∈ R+.
β (z,w) =
∫ 1
0tz−1 (1− t)w−1 dt (5)
se llama Función Beta.
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Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.7
Función Beta
• Dada una función f , a veces es útil expresar f (x + y) entérminos de f (x)f (y):
ex+y = exey
•
Γ (z) Γ (w) = 2Γ (z + w)
∫ π2
0cos2z−1 θ sin2w−1 θdθ
Definición
Sean z ∈ R+,w ∈ R+.
β (z,w) =
∫ 1
0tz−1 (1− t)w−1 dt (5)
se llama Función Beta.
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.7
Función Beta
• Dada una función f , a veces es útil expresar f (x + y) entérminos de f (x)f (y):
ex+y = exey
•
Γ (z) Γ (w) = 2Γ (z + w)
∫ π2
0cos2z−1 θ sin2w−1 θdθ
Definición
Sean z ∈ R+,w ∈ R+.
β (z,w) =
∫ 1
0tz−1 (1− t)w−1 dt (5)
se llama Función Beta.
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.8
Propiedades
Consideremos la siguiente integral:
hz,w (t) =
∫ t
0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)
Notemos que:1 hz,w (t) es la convolución de las funciones tz−1 y tw−1.2 hz,w (1) = β(z,w)
3 Sea Hz,w (s) la transformada de Laplace de hz,w (t).
Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)
sz+w
L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1
1sz+w
hz,w (t) =
Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)tz+w−1
hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)1z+w−1
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.8
Propiedades
Consideremos la siguiente integral:
hz,w (t) =
∫ t
0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)
Notemos que:1 hz,w (t) es la convolución de las funciones tz−1 y tw−1.
2 hz,w (1) = β(z,w)
3 Sea Hz,w (s) la transformada de Laplace de hz,w (t).
Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)
sz+w
L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1
1sz+w
hz,w (t) =
Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)tz+w−1
hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)1z+w−1
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.8
Propiedades
Consideremos la siguiente integral:
hz,w (t) =
∫ t
0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)
Notemos que:1 hz,w (t) es la convolución de las funciones tz−1 y tw−1.2 hz,w (1) = β(z,w)
3 Sea Hz,w (s) la transformada de Laplace de hz,w (t).
Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)
sz+w
L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1
1sz+w
hz,w (t) =
Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)tz+w−1
hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)1z+w−1
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.8
Propiedades
Consideremos la siguiente integral:
hz,w (t) =
∫ t
0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)
Notemos que:1 hz,w (t) es la convolución de las funciones tz−1 y tw−1.2 hz,w (1) = β(z,w)
3 Sea Hz,w (s) la transformada de Laplace de hz,w (t).
Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)
sz+w
L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1
1sz+w
hz,w (t) =
Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)tz+w−1
hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)1z+w−1
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.8
Propiedades
Consideremos la siguiente integral:
hz,w (t) =
∫ t
0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)
Notemos que:1 hz,w (t) es la convolución de las funciones tz−1 y tw−1.2 hz,w (1) = β(z,w)
3 Sea Hz,w (s) la transformada de Laplace de hz,w (t).
Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)
sz+w
L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1
1sz+w
hz,w (t) =
Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)tz+w−1
hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)1z+w−1
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.8
Propiedades
Consideremos la siguiente integral:
hz,w (t) =
∫ t
0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)
Notemos que:1 hz,w (t) es la convolución de las funciones tz−1 y tw−1.2 hz,w (1) = β(z,w)
3 Sea Hz,w (s) la transformada de Laplace de hz,w (t).
Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)
sz+w
L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1
1sz+w
hz,w (t) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)tz+w−1
hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)1z+w−1
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.8
Propiedades
Consideremos la siguiente integral:
hz,w (t) =
∫ t
0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)
Notemos que:1 hz,w (t) es la convolución de las funciones tz−1 y tw−1.2 hz,w (1) = β(z,w)
3 Sea Hz,w (s) la transformada de Laplace de hz,w (t).
Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)
sz+w
L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1
1sz+w
hz,w (t) =
Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)tz+w−1
hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)1z+w−1
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.8
Propiedades
Consideremos la siguiente integral:
hz,w (t) =
∫ t
0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)
Notemos que:1 hz,w (t) es la convolución de las funciones tz−1 y tw−1.2 hz,w (1) = β(z,w)
3 Sea Hz,w (s) la transformada de Laplace de hz,w (t).
Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)
sz+w
L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1
1sz+w
hz,w (t) =
Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)tz+w−1
hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)1z+w−1
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
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Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.9
Propiedades
Propiedad 4
β (z,w) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)(7)
Propiedad 5
β (z,w) = β (w , z) (8)
Propiedad 6
β (z + 1,w) =z
z + wβ (z,w) (9)
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Función Beta
Función de Mittag-Leffler
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Observaciones finales
Referencias
1.9
Propiedades
Propiedad 4
β (z,w) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)(7)
Propiedad 5
β (z,w) = β (w , z) (8)
Propiedad 6
β (z + 1,w) =z
z + wβ (z,w) (9)
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Observaciones finales
Referencias
1.9
Propiedades
Propiedad 4
β (z,w) =Γ (z) Γ (w)
Γ (z + w)(7)
Propiedad 5
β (z,w) = β (w , z) (8)
Propiedad 6
β (z + 1,w) =z
z + wβ (z,w) (9)
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Observaciones finales
Referencias
1.10
Función de Mittag-Leffler
Definición
Sea n > 0.
En(z) =∞∑j=0
z j
Γ (jn + 1)(10)
Se llama Función de Mittag Leffler de orden n.
Ejemplo
Si n = 1:
E1(z) =∞∑j=0
z j
Γ (j + 1)=∞∑j=0
z j
j!= exp (z)
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Referencias
1.10
Función de Mittag-Leffler
Definición
Sea n > 0.
En(z) =∞∑j=0
z j
Γ (jn + 1)(10)
Se llama Función de Mittag Leffler de orden n.
Ejemplo
Si n = 1:
E1(z) =∞∑j=0
z j
Γ (j + 1)
=∞∑j=0
z j
j!= exp (z)
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Referencias
1.10
Función de Mittag-Leffler
Definición
Sea n > 0.
En(z) =∞∑j=0
z j
Γ (jn + 1)(10)
Se llama Función de Mittag Leffler de orden n.
Ejemplo
Si n = 1:
E1(z) =∞∑j=0
z j
Γ (j + 1)=∞∑j=0
z j
j!=
exp (z)
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Observaciones finales
Referencias
1.10
Función de Mittag-Leffler
Definición
Sea n > 0.
En(z) =∞∑j=0
z j
Γ (jn + 1)(10)
Se llama Función de Mittag Leffler de orden n.
Ejemplo
Si n = 1:
E1(z) =∞∑j=0
z j
Γ (j + 1)=∞∑j=0
z j
j!= exp (z)
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Otras propiedades
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.11
Definición
Sean n1,n2 > 0.
En1,n2 (z) =∞∑j=0
z j
Γ (jn1 + n2)(11)
Se llama Función de Mittag Leffler de parámetros n1 y n2.
Es claro que:En,1(z) = En(z)
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Observaciones finales
Referencias
1.11
Definición
Sean n1,n2 > 0.
En1,n2 (z) =∞∑j=0
z j
Γ (jn1 + n2)(11)
Se llama Función de Mittag Leffler de parámetros n1 y n2.
Es claro que:En,1(z) = En(z)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.12
Ejemplos
Ejemplo
cos x =
∞∑k=0
(−1)k x2k
(2k)!=∞∑
k=0
(−x2
)k
Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)
cosh x =∞∑
k=0
(x)2k
(2k)!=∞∑
k=0
(x)2k
Γ(2k + 1)= E2,1(x2)
E1,r (x) =1
x r−1
ex −
r−2∑k=0
xk
k !
, r ∈ N, x ∈ C
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Referencias
1.12
Ejemplos
Ejemplo
cos x =∞∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!
=∞∑
k=0
(−x2
)k
Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)
cosh x =∞∑
k=0
(x)2k
(2k)!=∞∑
k=0
(x)2k
Γ(2k + 1)= E2,1(x2)
E1,r (x) =1
x r−1
ex −
r−2∑k=0
xk
k !
, r ∈ N, x ∈ C
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1.12
Ejemplos
Ejemplo
cos x =∞∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!=∞∑
k=0
(−x2
)k
Γ(2k + 1)
= E2,1(−x2)
cosh x =∞∑
k=0
(x)2k
(2k)!=∞∑
k=0
(x)2k
Γ(2k + 1)= E2,1(x2)
E1,r (x) =1
x r−1
ex −
r−2∑k=0
xk
k !
, r ∈ N, x ∈ C
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1.12
Ejemplos
Ejemplo
cos x =∞∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!=∞∑
k=0
(−x2
)k
Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)
cosh x =∞∑
k=0
(x)2k
(2k)!=∞∑
k=0
(x)2k
Γ(2k + 1)= E2,1(x2)
E1,r (x) =1
x r−1
ex −
r−2∑k=0
xk
k !
, r ∈ N, x ∈ C
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Referencias
1.12
Ejemplos
Ejemplo
cos x =∞∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!=∞∑
k=0
(−x2
)k
Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)
cosh x =
∞∑k=0
(x)2k
(2k)!=∞∑
k=0
(x)2k
Γ(2k + 1)= E2,1(x2)
E1,r (x) =1
x r−1
ex −
r−2∑k=0
xk
k !
, r ∈ N, x ∈ C
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Referencias
1.12
Ejemplos
Ejemplo
cos x =∞∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!=∞∑
k=0
(−x2
)k
Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)
cosh x =∞∑
k=0
(x)2k
(2k)!
=∞∑
k=0
(x)2k
Γ(2k + 1)= E2,1(x2)
E1,r (x) =1
x r−1
ex −
r−2∑k=0
xk
k !
, r ∈ N, x ∈ C
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Referencias
1.12
Ejemplos
Ejemplo
cos x =∞∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!=∞∑
k=0
(−x2
)k
Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)
cosh x =∞∑
k=0
(x)2k
(2k)!=∞∑
k=0
(x)2k
Γ(2k + 1)
= E2,1(x2)
E1,r (x) =1
x r−1
ex −
r−2∑k=0
xk
k !
, r ∈ N, x ∈ C
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Referencias
1.12
Ejemplos
Ejemplo
cos x =∞∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!=∞∑
k=0
(−x2
)k
Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)
cosh x =∞∑
k=0
(x)2k
(2k)!=∞∑
k=0
(x)2k
Γ(2k + 1)= E2,1(x2)
E1,r (x) =1
x r−1
ex −
r−2∑k=0
xk
k !
, r ∈ N, x ∈ C
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Observaciones finales
Referencias
1.12
Ejemplos
Ejemplo
cos x =∞∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!=∞∑
k=0
(−x2
)k
Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)
cosh x =∞∑
k=0
(x)2k
(2k)!=∞∑
k=0
(x)2k
Γ(2k + 1)= E2,1(x2)
E1,r (x) =1
x r−1
ex −
r−2∑k=0
xk
k !
, r ∈ N, x ∈ C
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Otras propiedades
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Observaciones finales
Referencias
1.13
Algunas propiedades
ex−y =ex
ey
→ E1 (x − y) =E1 (x)
E1 (y)
En1,n2 (x) = xEn1,n1+n2 (x) +1
Γ(n2)
• Dada f (t) = tβ−1Eα,β (tα), entonces:
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
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Función Beta
Función de Mittag-Leffler
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Observaciones finales
Referencias
1.13
Algunas propiedades
ex−y =ex
ey → E1 (x − y) =E1 (x)
E1 (y)
En1,n2 (x) = xEn1,n1+n2 (x) +1
Γ(n2)
• Dada f (t) = tβ−1Eα,β (tα), entonces:
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Función Beta
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Observaciones finales
Referencias
1.13
Algunas propiedades
ex−y =ex
ey → E1 (x − y) =E1 (x)
E1 (y)
En1,n2 (x) = xEn1,n1+n2 (x) +1
Γ(n2)
• Dada f (t) = tβ−1Eα,β (tα), entonces:
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Función Beta
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Referencias
1.13
Algunas propiedades
ex−y =ex
ey → E1 (x − y) =E1 (x)
E1 (y)
En1,n2 (x) = xEn1,n1+n2 (x) +1
Γ(n2)
• Dada f (t) = tβ−1Eα,β (tα), entonces:
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Función Beta
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Observaciones finales
Referencias
1.14
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]=
dm
dtm
[tβ−1
∞∑k=0
(tα)k
Γ(αk + β)
]
=dm
dtm
[ ∞∑k=0
tαk+β−1
Γ(αk + β)
][
dn
dtn t j = Γ(j+1)Γ(j+1−n) t j−n
]=
∞∑k=0
1Γ(αk + β)
(dm
dtm tαk+β−1)
=∞∑
k=0
1Γ(αk+β)
Γ(αk+β)Γ(αk+β−m) tαk+β−m−1
= tβ−m−1∞∑
k=0
(tα)k
Γ(αk + β −m)
= tβ−m−1Eα,β−m (tα)
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0
(12)
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Función Beta
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Observaciones finales
Referencias
1.14
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]=
dm
dtm
[tβ−1
∞∑k=0
(tα)k
Γ(αk + β)
]
=dm
dtm
[ ∞∑k=0
tαk+β−1
Γ(αk + β)
]
[dn
dtn t j = Γ(j+1)Γ(j+1−n) t j−n
]=
∞∑k=0
1Γ(αk + β)
(dm
dtm tαk+β−1)
=∞∑
k=0
1Γ(αk+β)
Γ(αk+β)Γ(αk+β−m) tαk+β−m−1
= tβ−m−1∞∑
k=0
(tα)k
Γ(αk + β −m)
= tβ−m−1Eα,β−m (tα)
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0
(12)
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Observaciones finales
Referencias
1.14
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]=
dm
dtm
[tβ−1
∞∑k=0
(tα)k
Γ(αk + β)
]
=dm
dtm
[ ∞∑k=0
tαk+β−1
Γ(αk + β)
][
dn
dtn t j = Γ(j+1)Γ(j+1−n) t j−n
]=
∞∑k=0
1Γ(αk + β)
(dm
dtm tαk+β−1)
=∞∑
k=0
1Γ(αk+β)
Γ(αk+β)Γ(αk+β−m) tαk+β−m−1
= tβ−m−1∞∑
k=0
(tα)k
Γ(αk + β −m)
= tβ−m−1Eα,β−m (tα)
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0
(12)
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Referencias
1.14
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]=
dm
dtm
[tβ−1
∞∑k=0
(tα)k
Γ(αk + β)
]
=dm
dtm
[ ∞∑k=0
tαk+β−1
Γ(αk + β)
][
dn
dtn t j = Γ(j+1)Γ(j+1−n) t j−n
]=
∞∑k=0
1Γ(αk + β)
(dm
dtm tαk+β−1)
=∞∑
k=0
1Γ(αk+β)
Γ(αk+β)Γ(αk+β−m) tαk+β−m−1
= tβ−m−1∞∑
k=0
(tα)k
Γ(αk + β −m)
= tβ−m−1Eα,β−m (tα)
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0
(12)
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Referencias
1.14
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]=
dm
dtm
[tβ−1
∞∑k=0
(tα)k
Γ(αk + β)
]
=dm
dtm
[ ∞∑k=0
tαk+β−1
Γ(αk + β)
][
dn
dtn t j = Γ(j+1)Γ(j+1−n) t j−n
]=
∞∑k=0
1Γ(αk + β)
(dm
dtm tαk+β−1)
=∞∑
k=0
1Γ(αk+β)
Γ(αk+β)Γ(αk+β−m) tαk+β−m−1
= tβ−m−1∞∑
k=0
(tα)k
Γ(αk + β −m)
= tβ−m−1Eα,β−m (tα)
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0
(12)
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cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.14
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]=
dm
dtm
[tβ−1
∞∑k=0
(tα)k
Γ(αk + β)
]
=dm
dtm
[ ∞∑k=0
tαk+β−1
Γ(αk + β)
][
dn
dtn t j = Γ(j+1)Γ(j+1−n) t j−n
]=
∞∑k=0
1Γ(αk + β)
(dm
dtm tαk+β−1)
=∞∑
k=0
1Γ(αk+β)
Γ(αk+β)Γ(αk+β−m) tαk+β−m−1
= tβ−m−1∞∑
k=0
(tα)k
Γ(αk + β −m)
= tβ−m−1Eα,β−m (tα)
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0
(12)
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
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Función Beta
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Observaciones finales
Referencias
1.14
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]=
dm
dtm
[tβ−1
∞∑k=0
(tα)k
Γ(αk + β)
]
=dm
dtm
[ ∞∑k=0
tαk+β−1
Γ(αk + β)
][
dn
dtn t j = Γ(j+1)Γ(j+1−n) t j−n
]=
∞∑k=0
1Γ(αk + β)
(dm
dtm tαk+β−1)
=∞∑
k=0
1Γ(αk+β)
Γ(αk+β)Γ(αk+β−m) tαk+β−m−1
= tβ−m−1∞∑
k=0
(tα)k
Γ(αk + β −m)
= tβ−m−1Eα,β−m (tα)
dm
dtm
[tβ−1Eα,β (tα)
]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0
(12)
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Otras propiedades
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.15
• Si α = m/n en f (t) = tβ−1Eα,β (tα), la ecuación (12):
dm
dtm
[tβ−1E m
n ,β
(t
mn)]
= tβ−1E mn ,β
(t
mn)
+tβ−1n∑
k=1
t−mn k
Γ(β−m
n k)
• Entonces y1(t) = tβ−1E mn ,β
(t
mn)
satisface la ED:
dmy1(t)dtm − y1(t) = tβ−1
n∑k=1
t−mn k
Γ(β − mn k)
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Observaciones finales
Referencias
1.15
• Si α = m/n en f (t) = tβ−1Eα,β (tα), la ecuación (12):
dm
dtm
[tβ−1E m
n ,β
(t
mn)]
= tβ−1E mn ,β
(t
mn)
+tβ−1n∑
k=1
t−mn k
Γ(β−m
n k)
• Entonces y1(t) = tβ−1E mn ,β
(t
mn)
satisface la ED:
dmy1(t)dtm − y1(t) = tβ−1
n∑k=1
t−mn k
Γ(β − mn k)
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Referencias
1.15
• Si α = m/n en f (t) = tβ−1Eα,β (tα), la ecuación (12):
dm
dtm
[tβ−1E m
n ,β
(t
mn)]
= tβ−1E mn ,β
(t
mn)
+tβ−1n∑
k=1
t−mn k
Γ(β−m
n k)
• Entonces y1(t) = tβ−1E mn ,β
(t
mn)
satisface la ED:
dmy1(t)dtm − y1(t) = tβ−1
n∑k=1
t−mn k
Γ(β − mn k)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.16
Integral iterada
f (t)
→∫
f →∫∫
f →∫∫∫
f →∫· · ·∫
f
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
Definición
Sea n ∈ N.
0Int f (t) =
∫ t
0. . .
∫ t
0︸ ︷︷ ︸n-veces
f (t) dt . . . dt︸ ︷︷ ︸n-veces
=1
(n − 1)!
∫ t
0(t − τ)n−1 f (τ)dτ
(13)
representa la integral iterada.
• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
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Observaciones finales
Referencias
1.16
Integral iterada
f (t)→∫
f
→∫∫
f →∫∫∫
f →∫· · ·∫
f
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
Definición
Sea n ∈ N.
0Int f (t) =
∫ t
0. . .
∫ t
0︸ ︷︷ ︸n-veces
f (t) dt . . . dt︸ ︷︷ ︸n-veces
=1
(n − 1)!
∫ t
0(t − τ)n−1 f (τ)dτ
(13)
representa la integral iterada.
• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
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Referencias
1.16
Integral iterada
f (t)→∫
f →∫∫
f
→∫∫∫
f →∫· · ·∫
f
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
Definición
Sea n ∈ N.
0Int f (t) =
∫ t
0. . .
∫ t
0︸ ︷︷ ︸n-veces
f (t) dt . . . dt︸ ︷︷ ︸n-veces
=1
(n − 1)!
∫ t
0(t − τ)n−1 f (τ)dτ
(13)
representa la integral iterada.
• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Referencias
1.16
Integral iterada
f (t)→∫
f →∫∫
f →∫∫∫
f
→∫· · ·∫
f
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
Definición
Sea n ∈ N.
0Int f (t) =
∫ t
0. . .
∫ t
0︸ ︷︷ ︸n-veces
f (t) dt . . . dt︸ ︷︷ ︸n-veces
=1
(n − 1)!
∫ t
0(t − τ)n−1 f (τ)dτ
(13)
representa la integral iterada.
• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
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Referencias
1.16
Integral iterada
f (t)→∫
f →∫∫
f →∫∫∫
f →∫· · ·∫
f
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
Definición
Sea n ∈ N.
0Int f (t) =
∫ t
0. . .
∫ t
0︸ ︷︷ ︸n-veces
f (t) dt . . . dt︸ ︷︷ ︸n-veces
=1
(n − 1)!
∫ t
0(t − τ)n−1 f (τ)dτ
(13)
representa la integral iterada.
• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Referencias
1.16
Integral iterada
f (t)→∫
f →∫∫
f →∫∫∫
f →∫· · ·∫
f
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
Definición
Sea n ∈ N.
0Int f (t) =
∫ t
0. . .
∫ t
0︸ ︷︷ ︸n-veces
f (t) dt . . . dt︸ ︷︷ ︸n-veces
=1
(n − 1)!
∫ t
0(t − τ)n−1 f (τ)dτ
(13)
representa la integral iterada.
• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
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Observaciones finales
Referencias
1.16
Integral iterada
f (t)→∫
f →∫∫
f →∫∫∫
f →∫· · ·∫
f
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
Definición
Sea n ∈ N.
0Int f (t) =
∫ t
0. . .
∫ t
0︸ ︷︷ ︸n-veces
f (t) dt . . . dt︸ ︷︷ ︸n-veces
=1
(n − 1)!
∫ t
0(t − τ)n−1 f (τ)dτ
(13)
representa la integral iterada.
• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
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Referencias
1.16
Integral iterada
f (t)→∫
f →∫∫
f →∫∫∫
f →∫· · ·∫
f
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
Definición
Sea n ∈ N.
0Int f (t) =
∫ t
0. . .
∫ t
0︸ ︷︷ ︸n-veces
f (t) dt . . . dt︸ ︷︷ ︸n-veces
=1
(n − 1)!
∫ t
0(t − τ)n−1 f (τ)dτ
(13)
representa la integral iterada.
• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
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Observaciones finales
Referencias
1.16
Integral iterada
f (t)→∫
f →∫∫
f →∫∫∫
f →∫· · ·∫
f
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
Definición
Sea n ∈ N.
0Int f (t) =
∫ t
0. . .
∫ t
0︸ ︷︷ ︸n-veces
f (t) dt . . . dt︸ ︷︷ ︸n-veces
=1
(n − 1)!
∫ t
0(t − τ)n−1 f (τ)dτ
(13)
representa la integral iterada.
• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
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Observaciones finales
Referencias
1.16
Integral iterada
f (t)→∫
f →∫∫
f →∫∫∫
f →∫· · ·∫
f
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
Definición
Sea n ∈ N.
0Int f (t) =
∫ t
0. . .
∫ t
0︸ ︷︷ ︸n-veces
f (t) dt . . . dt︸ ︷︷ ︸n-veces
=1
(n − 1)!
∫ t
0(t − τ)n−1 f (τ)dτ
(13)
representa la integral iterada.
• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 3 4 ... ... k101
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Observaciones finales
Referencias
1.17
Integral de Riemann-Liouville
Definición
Sea α > 0. El operador dado por
0Iαt f (t) :=1
Γ(α)
∫ t
0
f (τ)
(t − τ)1−α dτ (14)
para 0 ≤ t ≤ b se conoce como Integral fraccionaria deRiemann-Liouville de orden α.
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Función Beta
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Observaciones finales
Referencias
1.18
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ , con β > −1 y α > 0. De la definición de laintegral de Riemann-Liouville (14):
0Iαt f1(t) =1
Γ (α)
∫ t
0(t − τ)α−1
τβdτ
Sea τ = st , entonces
0Iαt f1(t) =1
Γ(α)tα+β
∫ 1
0(1− s)α−1 sβds
Luego, de la ecuación (7):
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
Para f1(t) =√
t = t12 , tenemos β = 1
2 . Si α = 12 :
0I12t
√t =
Γ( 1
2 + 1)
Γ (2)t =
12
Γ( 1
2
)t =
√π
2t
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Observaciones finales
Referencias
1.18
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ , con β > −1 y α > 0. De la definición de laintegral de Riemann-Liouville (14):
0Iαt f1(t) =1
Γ (α)
∫ t
0(t − τ)α−1
τβdτ
Sea τ = st , entonces
0Iαt f1(t) =1
Γ(α)tα+β
∫ 1
0(1− s)α−1 sβds
Luego, de la ecuación (7):
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
Para f1(t) =√
t = t12 , tenemos β = 1
2 . Si α = 12 :
0I12t
√t =
Γ( 1
2 + 1)
Γ (2)t =
12
Γ( 1
2
)t =
√π
2t
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Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.18
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ , con β > −1 y α > 0. De la definición de laintegral de Riemann-Liouville (14):
0Iαt f1(t) =1
Γ (α)
∫ t
0(t − τ)α−1
τβdτ
Sea τ = st , entonces
0Iαt f1(t) =1
Γ(α)tα+β
∫ 1
0(1− s)α−1 sβds
Luego, de la ecuación (7):
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
Para f1(t) =√
t = t12 , tenemos β = 1
2 . Si α = 12 :
0I12t
√t =
Γ( 1
2 + 1)
Γ (2)t =
12
Γ( 1
2
)t =
√π
2t
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
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Otras propiedades
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1.18
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ , con β > −1 y α > 0. De la definición de laintegral de Riemann-Liouville (14):
0Iαt f1(t) =1
Γ (α)
∫ t
0(t − τ)α−1
τβdτ
Sea τ = st , entonces
0Iαt f1(t) =1
Γ(α)tα+β
∫ 1
0(1− s)α−1 sβds
Luego, de la ecuación (7):
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
Para f1(t) =√
t = t12 , tenemos β = 1
2 . Si α = 12 :
0I12t
√t =
Γ( 1
2 + 1)
Γ (2)t =
12
Γ( 1
2
)t =
√π
2t
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1.18
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ , con β > −1 y α > 0. De la definición de laintegral de Riemann-Liouville (14):
0Iαt f1(t) =1
Γ (α)
∫ t
0(t − τ)α−1
τβdτ
Sea τ = st , entonces
0Iαt f1(t) =1
Γ(α)tα+β
∫ 1
0(1− s)α−1 sβds
Luego, de la ecuación (7):
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
Para f1(t) =√
t = t12 , tenemos β = 1
2 . Si α = 12 :
0I12t
√t =
Γ( 1
2 + 1)
Γ (2)t =
12
Γ( 1
2
)t =
√π
2t
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Observaciones finales
Referencias
1.18
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ , con β > −1 y α > 0. De la definición de laintegral de Riemann-Liouville (14):
0Iαt f1(t) =1
Γ (α)
∫ t
0(t − τ)α−1
τβdτ
Sea τ = st , entonces
0Iαt f1(t) =1
Γ(α)tα+β
∫ 1
0(1− s)α−1 sβds
Luego, de la ecuación (7):
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
Para f1(t) =√
t = t12 , tenemos β = 1
2 . Si α = 12 :
0I12t
√t =
Γ( 1
2 + 1)
Γ (2)t
=12
Γ( 1
2
)t =
√π
2t
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Observaciones finales
Referencias
1.18
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ , con β > −1 y α > 0. De la definición de laintegral de Riemann-Liouville (14):
0Iαt f1(t) =1
Γ (α)
∫ t
0(t − τ)α−1
τβdτ
Sea τ = st , entonces
0Iαt f1(t) =1
Γ(α)tα+β
∫ 1
0(1− s)α−1 sβds
Luego, de la ecuación (7):
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
Para f1(t) =√
t = t12 , tenemos β = 1
2 . Si α = 12 :
0I12t
√t =
Γ( 1
2 + 1)
Γ (2)t =
12
Γ( 1
2
)t =
√π
2t
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.19
Observaciones
1 Para α = 0, se establece que 0I0t := I, el operador
identidad.
2 Propiedad de semigrupo.
0Iαt 0Iβt f (t) = 0Iβt 0Iαt f (t) = 0Iα+βt f (t) (15)
3 La integral fraccionaria es una convolución de lasfunciones:
0Iαt f (t) =tα−1
Γ(α)∗ f (t)
4 La transformada de Laplace de la Integral deRiemann-Liouville está dada por:
L0Iαt f (t) =F (s)
sα(16)
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Observaciones finales
Referencias
1.19
Observaciones
1 Para α = 0, se establece que 0I0t := I, el operador
identidad.2 Propiedad de semigrupo.
0Iαt 0Iβt f (t) = 0Iβt 0Iαt f (t) = 0Iα+βt f (t) (15)
3 La integral fraccionaria es una convolución de lasfunciones:
0Iαt f (t) =tα−1
Γ(α)∗ f (t)
4 La transformada de Laplace de la Integral deRiemann-Liouville está dada por:
L0Iαt f (t) =F (s)
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Observaciones finales
Referencias
1.19
Observaciones
1 Para α = 0, se establece que 0I0t := I, el operador
identidad.2 Propiedad de semigrupo.
0Iαt 0Iβt f (t) = 0Iβt 0Iαt f (t) = 0Iα+βt f (t) (15)
3 La integral fraccionaria es una convolución de lasfunciones:
0Iαt f (t) =tα−1
Γ(α)∗ f (t)
4 La transformada de Laplace de la Integral deRiemann-Liouville está dada por:
L0Iαt f (t) =F (s)
sα(16)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.19
Observaciones
1 Para α = 0, se establece que 0I0t := I, el operador
identidad.2 Propiedad de semigrupo.
0Iαt 0Iβt f (t) = 0Iβt 0Iαt f (t) = 0Iα+βt f (t) (15)
3 La integral fraccionaria es una convolución de lasfunciones:
0Iαt f (t) =tα−1
Γ(α)∗ f (t)
4 La transformada de Laplace de la Integral deRiemann-Liouville está dada por:
L0Iαt f (t) =F (s)
sα(16)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.20
Ejemplo
Dadaf (t) = tβ−1Eα,β (λtα)
Se tiene que:
0Iνt f (t) =1
Γ (ν)
∫ t
0(t − τ)ν−1
τβ−1Eα,β (λτα) dτ
= tβ+ν−1Eα,β+ν (λtα)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.20
Ejemplo
Dadaf (t) = tβ−1Eα,β (λtα)
Se tiene que:
0Iνt f (t) =1
Γ (ν)
∫ t
0(t − τ)ν−1
τβ−1Eα,β (λτα) dτ
= tβ+ν−1Eα,β+ν (λtα)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.21
Derivada de Riemann-Liouville
Definición
RL0 Dαt f (t) = Dn [
0In−αt f (t)
]
=1
Γ(n − α)
dn
dtn
∫ t
0(t − τ)n−α−1 f (τ) dτ
(17)
donde n = mín k ∈ N | k > α, α > 0.
• En particular para 0 < α < 1:
RL0 Dαt f (t) =
1Γ(1− α)
ddt
∫ t
0(t − τ)−α f (τ) dτ (18)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.21
Derivada de Riemann-Liouville
Definición
RL0 Dαt f (t) = Dn [
0In−αt f (t)
]=
1Γ(n − α)
dn
dtn
∫ t
0(t − τ)n−α−1 f (τ) dτ
(17)
donde n = mín k ∈ N | k > α, α > 0.
• En particular para 0 < α < 1:
RL0 Dαt f (t) =
1Γ(1− α)
ddt
∫ t
0(t − τ)−α f (τ) dτ (18)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.21
Derivada de Riemann-Liouville
Definición
RL0 Dαt f (t) = Dn [
0In−αt f (t)
]=
1Γ(n − α)
dn
dtn
∫ t
0(t − τ)n−α−1 f (τ) dτ
(17)
donde n = mín k ∈ N | k > α, α > 0.
• En particular para 0 < α < 1:
RL0 Dαt f (t) =
1Γ(1− α)
ddt
∫ t
0(t − τ)−α f (τ) dτ (18)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.22
Ejemplo
Sea K una constante distinta de cero,
y considerando que0 < α < 1:
RL0 Dαt K =
ddt
(1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α Kdτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
(∫ t
0(t − τ)−α dτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
[− (t − τ)−α+1
−α + 1
∣∣∣∣t0
]
=K
Γ(1− α)
ddt
[t−α+1
−α + 1
]=
KΓ(1− α)
t−α 6= 0
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Observaciones finales
Referencias
1.22
Ejemplo
Sea K una constante distinta de cero, y considerando que0 < α < 1:
RL0 Dαt K =
ddt
(1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α Kdτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
(∫ t
0(t − τ)−α dτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
[− (t − τ)−α+1
−α + 1
∣∣∣∣t0
]
=K
Γ(1− α)
ddt
[t−α+1
−α + 1
]=
KΓ(1− α)
t−α 6= 0
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.22
Ejemplo
Sea K una constante distinta de cero, y considerando que0 < α < 1:
RL0 Dαt K =
ddt
(1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α Kdτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
(∫ t
0(t − τ)−α dτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
[− (t − τ)−α+1
−α + 1
∣∣∣∣t0
]
=K
Γ(1− α)
ddt
[t−α+1
−α + 1
]=
KΓ(1− α)
t−α 6= 0
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Referencias
1.22
Ejemplo
Sea K una constante distinta de cero, y considerando que0 < α < 1:
RL0 Dαt K =
ddt
(1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α Kdτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
(∫ t
0(t − τ)−α dτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
[− (t − τ)−α+1
−α + 1
∣∣∣∣t0
]
=K
Γ(1− α)
ddt
[t−α+1
−α + 1
]=
KΓ(1− α)
t−α 6= 0
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Función Beta
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Observaciones finales
Referencias
1.22
Ejemplo
Sea K una constante distinta de cero, y considerando que0 < α < 1:
RL0 Dαt K =
ddt
(1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α Kdτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
(∫ t
0(t − τ)−α dτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
[− (t − τ)−α+1
−α + 1
∣∣∣∣t0
]
=K
Γ(1− α)
ddt
[t−α+1
−α + 1
]=
KΓ(1− α)
t−α 6= 0
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
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Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.22
Ejemplo
Sea K una constante distinta de cero, y considerando que0 < α < 1:
RL0 Dαt K =
ddt
(1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α Kdτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
(∫ t
0(t − τ)−α dτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
[− (t − τ)−α+1
−α + 1
∣∣∣∣t0
]
=K
Γ(1− α)
ddt
[t−α+1
−α + 1
]
=K
Γ(1− α)t−α 6= 0
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.22
Ejemplo
Sea K una constante distinta de cero, y considerando que0 < α < 1:
RL0 Dαt K =
ddt
(1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α Kdτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
(∫ t
0(t − τ)−α dτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
[− (t − τ)−α+1
−α + 1
∣∣∣∣t0
]
=K
Γ(1− α)
ddt
[t−α+1
−α + 1
]=
KΓ(1− α)
t−α
6= 0
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.22
Ejemplo
Sea K una constante distinta de cero, y considerando que0 < α < 1:
RL0 Dαt K =
ddt
(1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α Kdτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
(∫ t
0(t − τ)−α dτ
)
=K
Γ(1− α)
ddt
[− (t − τ)−α+1
−α + 1
∣∣∣∣t0
]
=K
Γ(1− α)
ddt
[t−α+1
−α + 1
]=
KΓ(1− α)
t−α 6= 0
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Observaciones finales
Referencias
1.23
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ . Por un ejercicio anterior:
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
y sabemos que:
Dnt j =Γ (j + 1)
Γ (j + 1− n)t j−n
De la definición de la derivada de RL (17):
RL0 Dαt tβ = Dn [
0In−αt tβ
]=
Γ (β + 1)
Γ (n − α + β + 1)Dn [tn−α+β
]=
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
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Otras propiedades
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.23
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ . Por un ejercicio anterior:
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
y sabemos que:
Dnt j =Γ (j + 1)
Γ (j + 1− n)t j−n
De la definición de la derivada de RL (17):
RL0 Dαt tβ = Dn [
0In−αt tβ
]
=Γ (β + 1)
Γ (n − α + β + 1)Dn [tn−α+β
]=
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
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Observaciones finales
Referencias
1.23
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ . Por un ejercicio anterior:
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
y sabemos que:
Dnt j =Γ (j + 1)
Γ (j + 1− n)t j−n
De la definición de la derivada de RL (17):
RL0 Dαt tβ = Dn [
0In−αt tβ
]=
Γ (β + 1)
Γ (n − α + β + 1)Dn [tn−α+β
]
=Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
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Observaciones finales
Referencias
1.23
Ejemplo
Sea f1(t) = tβ . Por un ejercicio anterior:
0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)
Γ (α + β + 1)tα+β
y sabemos que:
Dnt j =Γ (j + 1)
Γ (j + 1− n)t j−n
De la definición de la derivada de RL (17):
RL0 Dαt tβ = Dn [
0In−αt tβ
]=
Γ (β + 1)
Γ (n − α + β + 1)Dn [tn−α+β
]=
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville
Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.24
Ejemplo
Sea γ ∈ R, k ∈ N y
f (t) = tαk+β−1E (k)α,β (λtα)
Demostrar que:
RL0 D
γt f (t) = tαk+β−γ−1E (k)
α,β−γ (λtα) (19)
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Función Beta
Función de Mittag-Leffler
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Otras propiedades
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.25
Derivada de Caputo
Definición
C0Dαt f (t) = 0In−α
t [Dnf (t)]
=1
Γ(n − α)
∫ t
0(t − τ)n−α−1 f (n)(τ)dτ
(20)donde n = mín k ∈ N | k > α, α > 0.
• En particular para 0 < α < 1:
C0Dαt f (t) = 0I1−α
t f ′(t) =1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α f ′(τ) dτ
(21)
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Función Beta
Función de Mittag-Leffler
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Otras propiedades
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Observaciones finales
Referencias
1.25
Derivada de Caputo
Definición
C0Dαt f (t) = 0In−α
t [Dnf (t)] =1
Γ(n − α)
∫ t
0(t − τ)n−α−1 f (n)(τ)dτ
(20)donde n = mín k ∈ N | k > α, α > 0.
• En particular para 0 < α < 1:
C0Dαt f (t) = 0I1−α
t f ′(t) =1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α f ′(τ) dτ
(21)
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Función Beta
Función de Mittag-Leffler
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Otras propiedades
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Observaciones finales
Referencias
1.25
Derivada de Caputo
Definición
C0Dαt f (t) = 0In−α
t [Dnf (t)] =1
Γ(n − α)
∫ t
0(t − τ)n−α−1 f (n)(τ)dτ
(20)donde n = mín k ∈ N | k > α, α > 0.
• En particular para 0 < α < 1:
C0Dαt f (t) = 0I1−α
t f ′(t) =1
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α f ′(τ) dτ
(21)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.26
Ejemplo
1 Sea K una constante distinta de cero y 0 < α < 1.
C0Dαt K = 0
2 Sea f = tβ .
C0Dαt tβ =
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.26
Ejemplo
1 Sea K una constante distinta de cero y 0 < α < 1.
C0Dαt K =
0
2 Sea f = tβ .
C0Dαt tβ =
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
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Otras propiedades
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.26
Ejemplo
1 Sea K una constante distinta de cero y 0 < α < 1.
C0Dαt K = 0
2 Sea f = tβ .
C0Dαt tβ =
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.26
Ejemplo
1 Sea K una constante distinta de cero y 0 < α < 1.
C0Dαt K = 0
2 Sea f = tβ .
C0Dαt tβ =
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
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Observaciones finales
Referencias
1.27
Transformadas de Laplace de los operadores fraccionarios
Sea m − 1 < α < m:
L0Iαt f (t) =F (s)
sα
LRL
0 Dαt f (t)
= sαF (s)−m−1∑k=0
sk(
RL0 Dα−k−1
t f (0))
L
C0Dαt f (t)
= sαF (s)−
m−1∑k=0
sα−k−1(
f (k)(0))
L
tβ−1Eα,β (−λtα)
=sα−β
sα + λ, Re (s) >| λ |
1α
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1.27
Transformadas de Laplace de los operadores fraccionarios
Sea m − 1 < α < m:
L0Iαt f (t) =F (s)
sα
LRL
0 Dαt f (t)
=
sαF (s)−m−1∑k=0
sk(
RL0 Dα−k−1
t f (0))
L
C0Dαt f (t)
= sαF (s)−
m−1∑k=0
sα−k−1(
f (k)(0))
L
tβ−1Eα,β (−λtα)
=sα−β
sα + λ, Re (s) >| λ |
1α
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1.27
Transformadas de Laplace de los operadores fraccionarios
Sea m − 1 < α < m:
L0Iαt f (t) =F (s)
sα
LRL
0 Dαt f (t)
= sαF (s)−m−1∑k=0
sk(
RL0 Dα−k−1
t f (0))
L
C0Dαt f (t)
= sαF (s)−
m−1∑k=0
sα−k−1(
f (k)(0))
L
tβ−1Eα,β (−λtα)
=sα−β
sα + λ, Re (s) >| λ |
1α
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Referencias
1.27
Transformadas de Laplace de los operadores fraccionarios
Sea m − 1 < α < m:
L0Iαt f (t) =F (s)
sα
LRL
0 Dαt f (t)
= sαF (s)−m−1∑k=0
sk(
RL0 Dα−k−1
t f (0))
L
C0Dαt f (t)
= sαF (s)−
m−1∑k=0
sα−k−1(
f (k)(0))
L
tβ−1Eα,β (−λtα)
=sα−β
sα + λ, Re (s) >| λ |
1α
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Referencias
1.27
Transformadas de Laplace de los operadores fraccionarios
Sea m − 1 < α < m:
L0Iαt f (t) =F (s)
sα
LRL
0 Dαt f (t)
= sαF (s)−m−1∑k=0
sk(
RL0 Dα−k−1
t f (0))
L
C0Dαt f (t)
= sαF (s)−
m−1∑k=0
sα−k−1(
f (k)(0))
L
tβ−1Eα,β (−λtα)
=sα−β
sα + λ, Re (s) >| λ |
1α
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Observaciones finales
Referencias
1.28
Integrando derivadas y viceversa
Sea m − 1 < α < m:
C0Dαt 0Iαt f (t) = RL
0 Dαt 0Iαt f (t) = f (t), si m = 1 (22)
0IαtC0Dαt f (t) = f (t)−
m−1∑k=0
tk
k !f (k)(0) (23)
0IαtRL0 Dαt f (t) = f (t)−
m∑k=1
RL0 D
α−kt f (0)
Γ (α− k + 1)tα−k (24)
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Referencias
1.28
Integrando derivadas y viceversa
Sea m − 1 < α < m:
C0Dαt 0Iαt f (t) = RL
0 Dαt 0Iαt f (t) = f (t), si m = 1 (22)
0IαtC0Dαt f (t) = f (t)−
m−1∑k=0
tk
k !f (k)(0) (23)
0IαtRL0 Dαt f (t) = f (t)−
m∑k=1
RL0 D
α−kt f (0)
Γ (α− k + 1)tα−k (24)
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Observaciones finales
Referencias
1.28
Integrando derivadas y viceversa
Sea m − 1 < α < m:
C0Dαt 0Iαt f (t) = RL
0 Dαt 0Iαt f (t) = f (t), si m = 1 (22)
0IαtC0Dαt f (t) = f (t)−
m−1∑k=0
tk
k !f (k)(0) (23)
0IαtRL0 Dαt f (t) = f (t)−
m∑k=1
RL0 D
α−kt f (0)
Γ (α− k + 1)tα−k (24)
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Otras propiedades
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Observaciones finales
Referencias
1.29
Relación entre la derivada de Caputo y la derivada de RL
Propiedad n
Si f (t) ∈ Cm y m − 1 < α < m:
C0Dαt f (t) = RL
0 Dαt
[f (t)−
m−1∑k=0
tk
k !f (k)(0)
]
= RL0 Dαt f (t)−
m−1∑k=0
tk−α
Γ (k − α + 1)f (k)(0)
• Si 0 < α < 1:
C0Dαt f (t) = RL
0 Dαt f (t)− t−α
Γ (1− α)f (0)
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Observaciones finales
Referencias
1.29
Relación entre la derivada de Caputo y la derivada de RL
Propiedad n
Si f (t) ∈ Cm y m − 1 < α < m:
C0Dαt f (t) = RL
0 Dαt
[f (t)−
m−1∑k=0
tk
k !f (k)(0)
]
= RL0 Dαt f (t)−
m−1∑k=0
tk−α
Γ (k − α + 1)f (k)(0)
• Si 0 < α < 1:
C0Dαt f (t) = RL
0 Dαt f (t)− t−α
Γ (1− α)f (0)
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Observaciones finales
Referencias
1.29
Relación entre la derivada de Caputo y la derivada de RL
Propiedad n
Si f (t) ∈ Cm y m − 1 < α < m:
C0Dαt f (t) = RL
0 Dαt
[f (t)−
m−1∑k=0
tk
k !f (k)(0)
]
= RL0 Dαt f (t)−
m−1∑k=0
tk−α
Γ (k − α + 1)f (k)(0)
• Si 0 < α < 1:
C0Dαt f (t) = RL
0 Dαt f (t)− t−α
Γ (1− α)f (0)
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Observaciones finales
Referencias
1.30
• Notemos que si f = ta y g = tb, h = f · g = ta+b,entonces h′ = (a + b)ta+b−1.
• Recordemos que :
C0Dαt tβ =
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
• Por lo que, para 0 < α < 1
C0Dαt h =
Γ (a + b + 1)
Γ (a + b − α + 1)ta+b−α
C0Dαt h =
(a + b)
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α τa+b−1 dτ
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Observaciones finales
Referencias
1.30
• Notemos que si f = ta y g = tb, h = f · g = ta+b,entonces h′ = (a + b)ta+b−1.
• Recordemos que :
C0Dαt tβ =
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
• Por lo que, para 0 < α < 1
C0Dαt h =
Γ (a + b + 1)
Γ (a + b − α + 1)ta+b−α
C0Dαt h =
(a + b)
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α τa+b−1 dτ
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Observaciones finales
Referencias
1.30
• Notemos que si f = ta y g = tb, h = f · g = ta+b,entonces h′ = (a + b)ta+b−1.
• Recordemos que :
C0Dαt tβ =
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
• Por lo que, para 0 < α < 1
C0Dαt h =
Γ (a + b + 1)
Γ (a + b − α + 1)ta+b−α
C0Dαt h =
(a + b)
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α τa+b−1 dτ
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Observaciones finales
Referencias
1.30
• Notemos que si f = ta y g = tb, h = f · g = ta+b,entonces h′ = (a + b)ta+b−1.
• Recordemos que :
C0Dαt tβ =
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)tβ−α
• Por lo que, para 0 < α < 1
C0Dαt h =
Γ (a + b + 1)
Γ (a + b − α + 1)ta+b−α
C0Dαt h =
(a + b)
Γ(1− α)
∫ t
0(t − τ)−α τa+b−1 dτ
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Observaciones finales
Referencias
1.31
Fórmula de Leibniz para operadores fraccionarios
(f · g)(n) (t) =n∑
k=0
(nk
)f (k)(t)g(n−k)(t) (25)
RL0 Dαt (f (t)g(t)) =
∞∑k=0
(α
k
)f (k)(t)RL
0 Dα−kt g(t) (26)
C0Dαt (f (t)g(t)) =
t−α
Γ(1− α)g(0) (f (t)− f (0))
+ f (t)C0Dαt g(t) +
∞∑k=1
(α
k
)C0Dk
t f (t)0Ik−αt g(t)
(27)
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Observaciones finales
Referencias
1.31
Fórmula de Leibniz para operadores fraccionarios
(f · g)(n) (t) =n∑
k=0
(nk
)f (k)(t)g(n−k)(t) (25)
RL0 Dαt (f (t)g(t)) =
∞∑k=0
(α
k
)f (k)(t)RL
0 Dα−kt g(t) (26)
C0Dαt (f (t)g(t)) =
t−α
Γ(1− α)g(0) (f (t)− f (0))
+ f (t)C0Dαt g(t) +
∞∑k=1
(α
k
)C0Dk
t f (t)0Ik−αt g(t)
(27)
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Función Beta
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Observaciones finales
Referencias
1.31
Fórmula de Leibniz para operadores fraccionarios
(f · g)(n) (t) =n∑
k=0
(nk
)f (k)(t)g(n−k)(t) (25)
RL0 Dαt (f (t)g(t)) =
∞∑k=0
(α
k
)f (k)(t)RL
0 Dα−kt g(t) (26)
C0Dαt (f (t)g(t)) =
t−α
Γ(1− α)g(0) (f (t)− f (0))
+ f (t)C0Dαt g(t) +
∞∑k=1
(α
k
)C0Dk
t f (t)0Ik−αt g(t)
(27)
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Referencias
1.32
Ejemplo
Dado el problema de valor inicial:
C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2
con α ∈ (0,1) y alguna función q(t).
Aplicando latransformada de Laplace:
L
C0Dαt y(t)
= −Ly(t) − Lq(t)
sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)
Y (s) = 2sα−1
sα + 1− 1
sα + 1Q(s)
L−1 Y (s) = 2L−1
sα−1
sα + 1
− L−1
1
sα + 1Q(s)
y(t) = 2Eα(−tα)− q(t) ∗ tα−1Eα,α (−tα)
y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t
0q(t − τ) d
dτ [ταEα,α+1 (−τα)] dτ
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Función de Mittag-Leffler
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Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.32
Ejemplo
Dado el problema de valor inicial:
C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2
con α ∈ (0,1) y alguna función q(t). Aplicando latransformada de Laplace:
L
C0Dαt y(t)
= −Ly(t) − Lq(t)
sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)
Y (s) = 2sα−1
sα + 1− 1
sα + 1Q(s)
L−1 Y (s) = 2L−1
sα−1
sα + 1
− L−1
1
sα + 1Q(s)
y(t) = 2Eα(−tα)− q(t) ∗ tα−1Eα,α (−tα)
y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t
0q(t − τ) d
dτ [ταEα,α+1 (−τα)] dτ
¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al
cálculo fraccionario
Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
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1.32
Ejemplo
Dado el problema de valor inicial:
C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2
con α ∈ (0,1) y alguna función q(t). Aplicando latransformada de Laplace:
L
C0Dαt y(t)
= −Ly(t) − Lq(t)
sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)
Y (s) = 2sα−1
sα + 1− 1
sα + 1Q(s)
L−1 Y (s) = 2L−1
sα−1
sα + 1
− L−1
1
sα + 1Q(s)
y(t) = 2Eα(−tα)− q(t) ∗ tα−1Eα,α (−tα)
y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t
0q(t − τ) d
dτ [ταEα,α+1 (−τα)] dτ
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Ejemplo
Dado el problema de valor inicial:
C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2
con α ∈ (0,1) y alguna función q(t). Aplicando latransformada de Laplace:
L
C0Dαt y(t)
= −Ly(t) − Lq(t)
sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)
Y (s) = 2sα−1
sα + 1− 1
sα + 1Q(s)
L−1 Y (s) = 2L−1
sα−1
sα + 1
− L−1
1
sα + 1Q(s)
y(t) = 2Eα(−tα)− q(t) ∗ tα−1Eα,α (−tα)
y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t
0q(t − τ) d
dτ [ταEα,α+1 (−τα)] dτ
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1.32
Ejemplo
Dado el problema de valor inicial:
C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2
con α ∈ (0,1) y alguna función q(t). Aplicando latransformada de Laplace:
L
C0Dαt y(t)
= −Ly(t) − Lq(t)
sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)
Y (s) = 2sα−1
sα + 1− 1
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L−1 Y (s) = 2L−1
sα−1
sα + 1
− L−1
1
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y(t) = 2Eα(−tα)− q(t) ∗ tα−1Eα,α (−tα)
y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t
0q(t − τ) d
dτ [ταEα,α+1 (−τα)] dτ
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1.32
Ejemplo
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C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2
con α ∈ (0,1) y alguna función q(t). Aplicando latransformada de Laplace:
L
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= −Ly(t) − Lq(t)
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sα + 1− 1
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sα−1
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1
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y(t) = 2Eα(−tα)− q(t) ∗ tα−1Eα,α (−tα)
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1.32
Ejemplo
Dado el problema de valor inicial:
C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2
con α ∈ (0,1) y alguna función q(t). Aplicando latransformada de Laplace:
L
C0Dαt y(t)
= −Ly(t) − Lq(t)
sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)
Y (s) = 2sα−1
sα + 1− 1
sα + 1Q(s)
L−1 Y (s) = 2L−1
sα−1
sα + 1
− L−1
1
sα + 1Q(s)
y(t) = 2Eα(−tα)− q(t) ∗ tα−1Eα,α (−tα)
y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t
0q(t − τ) d
dτ [ταEα,α+1 (−τα)] dτ
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Referencias
1.33
• Una ecuación de la forma∫ b
aK (x , t)ϕ(t)dt = f (x) (28)
se dice que es una ecuación integral lineal de primertipo.
• La ecuación
ϕ(x) = f (x) + λ
∫ b
aK (x , t)ϕ(t)dt (29)
se dice que es una ecuación integral lineal desegundo tipo.
• La ecuación dada por
ϕ(x) = f (x) + λ
∫ x
aK (x , t)ϕ(t)dt (30)
se conoce como ecuación integral lineal de Volterra(de segundo tipo).
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1.33
• Una ecuación de la forma∫ b
aK (x , t)ϕ(t)dt = f (x) (28)
se dice que es una ecuación integral lineal de primertipo.
• La ecuación
ϕ(x) = f (x) + λ
∫ b
aK (x , t)ϕ(t)dt (29)
se dice que es una ecuación integral lineal desegundo tipo.
• La ecuación dada por
ϕ(x) = f (x) + λ
∫ x
aK (x , t)ϕ(t)dt (30)
se conoce como ecuación integral lineal de Volterra(de segundo tipo).
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Referencias
1.33
• Una ecuación de la forma∫ b
aK (x , t)ϕ(t)dt = f (x) (28)
se dice que es una ecuación integral lineal de primertipo.
• La ecuación
ϕ(x) = f (x) + λ
∫ b
aK (x , t)ϕ(t)dt (29)
se dice que es una ecuación integral lineal desegundo tipo.
• La ecuación dada por
ϕ(x) = f (x) + λ
∫ x
aK (x , t)ϕ(t)dt (30)
se conoce como ecuación integral lineal de Volterra(de segundo tipo).
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Referencias
1.34
• Si f (x) = 0 en la ecuación (30):
ϕ(x) = λ
∫ x
aK (x , t)ϕ(t)dt (31)
que se conoce como ecuación homogénea de Volterra(de segundo tipo).
• Las ecuaciones integrales lineales de primer y segundotipo son casos especiales de la ecuación integral detercer tipo:
Ψ(x)ϕ(x) = f (x) + λ
∫ b
aK (x , t)ϕ(t)dt
1 La ecuación (28) se obtiene si Ψ(x) = 0 y λ = −1.2 La ecuación (29) se obtiene si Ψ(x) = 1.
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1.34
• Si f (x) = 0 en la ecuación (30):
ϕ(x) = λ
∫ x
aK (x , t)ϕ(t)dt (31)
que se conoce como ecuación homogénea de Volterra(de segundo tipo).
• Las ecuaciones integrales lineales de primer y segundotipo son casos especiales de la ecuación integral detercer tipo:
Ψ(x)ϕ(x) = f (x) + λ
∫ b
aK (x , t)ϕ(t)dt
1 La ecuación (28) se obtiene si Ψ(x) = 0 y λ = −1.2 La ecuación (29) se obtiene si Ψ(x) = 1.
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Referencias
1.35
Ejemplo
Sea la ecuación diferencial
y ′′ + xy ′ + y = 0 (32)
con condiciones iniciales y(0) = 1, y ′(0) = 0.
Sea
ϕ(x) =d2ydx2
entonces
dydx
=
∫ x
0ϕ(t)dt + y ′(0) =
∫ x
0ϕ(t)dt (33)
y =
∫ x
0(x − t)ϕ(t)dt + 1 (34)
sustituyendo:
ϕ(x) = −1−∫ x
0(2x − t)ϕ(t)dt
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1.35
Ejemplo
Sea la ecuación diferencial
y ′′ + xy ′ + y = 0 (32)
con condiciones iniciales y(0) = 1, y ′(0) = 0. Sea
ϕ(x) =d2ydx2
entonces
dydx
=
∫ x
0ϕ(t)dt + y ′(0) =
∫ x
0ϕ(t)dt (33)
y =
∫ x
0(x − t)ϕ(t)dt + 1 (34)
sustituyendo:
ϕ(x) = −1−∫ x
0(2x − t)ϕ(t)dt
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1.35
Ejemplo
Sea la ecuación diferencial
y ′′ + xy ′ + y = 0 (32)
con condiciones iniciales y(0) = 1, y ′(0) = 0. Sea
ϕ(x) =d2ydx2
entonces
dydx
=
∫ x
0ϕ(t)dt + y ′(0) =
∫ x
0ϕ(t)dt (33)
y =
∫ x
0(x − t)ϕ(t)dt + 1 (34)
sustituyendo:
ϕ(x) = −1−∫ x
0(2x − t)ϕ(t)dt
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1.35
Ejemplo
Sea la ecuación diferencial
y ′′ + xy ′ + y = 0 (32)
con condiciones iniciales y(0) = 1, y ′(0) = 0. Sea
ϕ(x) =d2ydx2
entonces
dydx
=
∫ x
0ϕ(t)dt + y ′(0) =
∫ x
0ϕ(t)dt (33)
y =
∫ x
0(x − t)ϕ(t)dt + 1 (34)
sustituyendo:
ϕ(x) = −1−∫ x
0(2x − t)ϕ(t)dt
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Observaciones finales
Referencias
1.36
(Aproximaciones sucesivas) Dada
ϕ(x) = 1 +
∫ x
0ϕ(t)dt
con ϕ0(x) = 0.
Tenemos:
ϕ1 = 1
ϕ2 = 1 +
∫ x
01 · dt = 1 + x
ϕ3 = 1 +
∫ x
0(1 + t)dt = 1 + x + x2
2
ϕ4 = 1 +
∫ x
0(1 + t + t2
2 )dt = 1 + x + x2
2! + x3
3!
Se sigue que:
ϕn(x) = 1 + x + x2
2! + x3
3! + . . .+ xn−1
(n−1)!
ϕn(x) es la n−ésima suma parcial de la serie∞∑
n=0
xn
n! = ex .
limn→∞ ϕn(x) = ex = ϕ(x)
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1.36
(Aproximaciones sucesivas) Dada
ϕ(x) = 1 +
∫ x
0ϕ(t)dt
con ϕ0(x) = 0. Tenemos:
ϕ1 = 1
ϕ2 = 1 +
∫ x
01 · dt = 1 + x
ϕ3 = 1 +
∫ x
0(1 + t)dt = 1 + x + x2
2
ϕ4 = 1 +
∫ x
0(1 + t + t2
2 )dt = 1 + x + x2
2! + x3
3!
Se sigue que:
ϕn(x) = 1 + x + x2
2! + x3
3! + . . .+ xn−1
(n−1)!
ϕn(x) es la n−ésima suma parcial de la serie∞∑
n=0
xn
n! = ex .
limn→∞ ϕn(x) = ex = ϕ(x)
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1.36
(Aproximaciones sucesivas) Dada
ϕ(x) = 1 +
∫ x
0ϕ(t)dt
con ϕ0(x) = 0. Tenemos:
ϕ1 = 1
ϕ2 = 1 +
∫ x
01 · dt = 1 + x
ϕ3 = 1 +
∫ x
0(1 + t)dt = 1 + x + x2
2
ϕ4 = 1 +
∫ x
0(1 + t + t2
2 )dt = 1 + x + x2
2! + x3
3!
Se sigue que:
ϕn(x) = 1 + x + x2
2! + x3
3! + . . .+ xn−1
(n−1)!
ϕn(x) es la n−ésima suma parcial de la serie∞∑
n=0
xn
n! = ex .
limn→∞ ϕn(x) = ex = ϕ(x)
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1.36
(Aproximaciones sucesivas) Dada
ϕ(x) = 1 +
∫ x
0ϕ(t)dt
con ϕ0(x) = 0. Tenemos:
ϕ1 = 1
ϕ2 = 1 +
∫ x
01 · dt = 1 + x
ϕ3 = 1 +
∫ x
0(1 + t)dt = 1 + x + x2
2
ϕ4 = 1 +
∫ x
0(1 + t + t2
2 )dt = 1 + x + x2
2! + x3
3!
Se sigue que:
ϕn(x) = 1 + x + x2
2! + x3
3! + . . .+ xn−1
(n−1)!
ϕn(x) es la n−ésima suma parcial de la serie∞∑
n=0
xn
n! = ex .
limn→∞ ϕn(x) = ex = ϕ(x)
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1.36
(Aproximaciones sucesivas) Dada
ϕ(x) = 1 +
∫ x
0ϕ(t)dt
con ϕ0(x) = 0. Tenemos:
ϕ1 = 1
ϕ2 = 1 +
∫ x
01 · dt = 1 + x
ϕ3 = 1 +
∫ x
0(1 + t)dt = 1 + x + x2
2
ϕ4 = 1 +
∫ x
0(1 + t + t2
2 )dt = 1 + x + x2
2! + x3
3!
Se sigue que:
ϕn(x) = 1 + x + x2
2! + x3
3! + . . .+ xn−1
(n−1)!
ϕn(x) es la n−ésima suma parcial de la serie∞∑
n=0
xn
n! = ex .
limn→∞ ϕn(x) = ex = ϕ(x)
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1.36
(Aproximaciones sucesivas) Dada
ϕ(x) = 1 +
∫ x
0ϕ(t)dt
con ϕ0(x) = 0. Tenemos:
ϕ1 = 1
ϕ2 = 1 +
∫ x
01 · dt = 1 + x
ϕ3 = 1 +
∫ x
0(1 + t)dt = 1 + x + x2
2
ϕ4 = 1 +
∫ x
0(1 + t + t2
2 )dt = 1 + x + x2
2! + x3
3!
Se sigue que:
ϕn(x) = 1 + x + x2
2! + x3
3! + . . .+ xn−1
(n−1)!
ϕn(x) es la n−ésima suma parcial de la serie∞∑
n=0
xn
n! = ex .
limn→∞ ϕn(x) = ex = ϕ(x)
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1.36
(Aproximaciones sucesivas) Dada
ϕ(x) = 1 +
∫ x
0ϕ(t)dt
con ϕ0(x) = 0. Tenemos:
ϕ1 = 1
ϕ2 = 1 +
∫ x
01 · dt = 1 + x
ϕ3 = 1 +
∫ x
0(1 + t)dt = 1 + x + x2
2
ϕ4 = 1 +
∫ x
0(1 + t + t2
2 )dt = 1 + x + x2
2! + x3
3!
Se sigue que:
ϕn(x) = 1 + x + x2
2! + x3
3! + . . .+ xn−1
(n−1)!
ϕn(x) es la n−ésima suma parcial de la serie∞∑
n=0
xn
n! = ex .
limn→∞ ϕn(x) = ex = ϕ(x)
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1.36
(Aproximaciones sucesivas) Dada
ϕ(x) = 1 +
∫ x
0ϕ(t)dt
con ϕ0(x) = 0. Tenemos:
ϕ1 = 1
ϕ2 = 1 +
∫ x
01 · dt = 1 + x
ϕ3 = 1 +
∫ x
0(1 + t)dt = 1 + x + x2
2
ϕ4 = 1 +
∫ x
0(1 + t + t2
2 )dt = 1 + x + x2
2! + x3
3!
Se sigue que:
ϕn(x) = 1 + x + x2
2! + x3
3! + . . .+ xn−1
(n−1)!
ϕn(x) es la n−ésima suma parcial de la serie∞∑
n=0
xn
n! = ex .
limn→∞ ϕn(x) = ex
= ϕ(x)
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Funciones EspecialesFunción Gamma
Función Beta
Función de Mittag-Leffler
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Derivada de Riemann-Liouville
Derivada de Caputo
Otras propiedades
Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones
Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.36
(Aproximaciones sucesivas) Dada
ϕ(x) = 1 +
∫ x
0ϕ(t)dt
con ϕ0(x) = 0. Tenemos:
ϕ1 = 1
ϕ2 = 1 +
∫ x
01 · dt = 1 + x
ϕ3 = 1 +
∫ x
0(1 + t)dt = 1 + x + x2
2
ϕ4 = 1 +
∫ x
0(1 + t + t2
2 )dt = 1 + x + x2
2! + x3
3!
Se sigue que:
ϕn(x) = 1 + x + x2
2! + x3
3! + . . .+ xn−1
(n−1)!
ϕn(x) es la n−ésima suma parcial de la serie∞∑
n=0
xn
n! = ex .
limn→∞ ϕn(x) = ex = ϕ(x)
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1.37
Dado:C0Dαt y(x) = f (x , y(x)),
Dk y(0) = y (k)0 (35)
La función y es solución del problema de valor inicial (35) si ysólo si es solución de la ecuación integral de Volterra:
y(x) =m−1∑k=0
xk
k !y (k)(0) +
1Γ(n)
∫ x
0(x − t)n−1f (t , y(t))dt (36)
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1.37
Dado:C0Dαt y(x) = f (x , y(x)), Dk y(0) = y (k)
0 (35)
La función y es solución del problema de valor inicial (35) si ysólo si es solución de la ecuación integral de Volterra:
y(x) =m−1∑k=0
xk
k !y (k)(0) +
1Γ(n)
∫ x
0(x − t)n−1f (t , y(t))dt (36)
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1.37
Dado:C0Dαt y(x) = f (x , y(x)), Dk y(0) = y (k)
0 (35)
La función y es solución del problema de valor inicial (35) si ysólo si es solución de la ecuación integral de Volterra:
y(x) =m−1∑k=0
xk
k !y (k)(0) +
1Γ(n)
∫ x
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1.38
Consideremos
C0Dαt y(x)− λy(x) = f (x)
y (k)(a) = bk
Cuya ecuación integral de Volterra asociada es:
y(x) =n−1∑j=0
bj
j!(x − a)j +
λ
Γ(α)
∫ x
a
y(t)dt(x − t)1−α
+1
Γ(α)
∫ x
a
f (t)dt(x − t)1−α
Usando el método de aproximaciones sucesivas, la solucióny(x) de la ecuación diferencial fraccionaria es:
y(x) =n−1∑j=0
bj (x − a)jEα,j+1 [λ(x − a)α]
+
∫ x
a(x − t)α−1Eα,α [λ(x − a)α] f (t)dt
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1.38
Consideremos
C0Dαt y(x)− λy(x) = f (x)
y (k)(a) = bk
Cuya ecuación integral de Volterra asociada es:
y(x) =n−1∑j=0
bj
j!(x − a)j +
λ
Γ(α)
∫ x
a
y(t)dt(x − t)1−α
+1
Γ(α)
∫ x
a
f (t)dt(x − t)1−α
Usando el método de aproximaciones sucesivas, la solucióny(x) de la ecuación diferencial fraccionaria es:
y(x) =n−1∑j=0
bj (x − a)jEα,j+1 [λ(x − a)α]
+
∫ x
a(x − t)α−1Eα,α [λ(x − a)α] f (t)dt
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1.38
Consideremos
C0Dαt y(x)− λy(x) = f (x)
y (k)(a) = bk
Cuya ecuación integral de Volterra asociada es:
y(x) =n−1∑j=0
bj
j!(x − a)j +
λ
Γ(α)
∫ x
a
y(t)dt(x − t)1−α
+1
Γ(α)
∫ x
a
f (t)dt(x − t)1−α
Usando el método de aproximaciones sucesivas, la solucióny(x) de la ecuación diferencial fraccionaria es:
y(x) =n−1∑j=0
bj (x − a)jEα,j+1 [λ(x − a)α]
+
∫ x
a(x − t)α−1Eα,α [λ(x − a)α] f (t)dt
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Referencias
1.39
El sistema
C0Dαt = Ax + Buy(t) = Cx + Du
tiene por solución
x(t) =n∑
l=1
Φl (t)x (l−1)(0) +
∫ t
0Φ(t − τ)Bu(τ)dτ
donde:
Φl (t) =∞∑
k=0
Ak t (kα+l)−1
Γ(kα + 1)
Φ(t) =∞∑
k=0
Ak t (k+1)α−1
Γ((k + 1)α)
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1.39
El sistema
C0Dαt = Ax + Buy(t) = Cx + Du
tiene por solución
x(t) =n∑
l=1
Φl (t)x (l−1)(0) +
∫ t
0Φ(t − τ)Bu(τ)dτ
donde:
Φl (t) =∞∑
k=0
Ak t (kα+l)−1
Γ(kα + 1)
Φ(t) =∞∑
k=0
Ak t (k+1)α−1
Γ((k + 1)α)
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Estabilidad de EDFSistemas lineales
Observaciones finales
Referencias
1.40
Sistemas lineales de orden fraccionario
(Matignon-1996) Dado el sistema
C0Dαt = Ax + Buy(t) = Cx
Es estable si| arg eig(A) |> απ
2
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Referencias
1.40
Sistemas lineales de orden fraccionario
(Matignon-1996) Dado el sistema
C0Dαt = Ax + Buy(t) = Cx
Es estable si| arg eig(A) |> απ
2
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Observaciones finales
Referencias
1.41
Sistemas no lineales de orden fraccionario
Definición
La solución de C0Dαt x(t) = f (t ,x), x0 = x(t0) se dice que es
Mittag-Leffler estable si
‖x(t)‖ ≤ [m (x0) Eα (−λtα)]b (37)
donde α ∈ (0,1), λ > 0,b > 0, y m es una función positiva ylocalmente Lipschitz con m(0) = 0.
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Observaciones finales
Referencias
1.42
(Chen-2009) Sea x = 0 un punto de equilibro del sistemaC0Dαt x(t) = f (t ,x), x0 = x(t0) con α ∈ (0,1), f : [t0,∞) × Ω →Rn es continua a pedazos en t y localmente Lipschitz en xsobre [t0,∞) × Ω. Ω ⊂ Rn es un dominio que contiene al ori-gen x = 0. Sea V (t ,x(t)) : [0,∞) × Ω → R continuamentediferenciable y localmente Lipschitz en x tal que:
α1‖x‖a ≤ V (t ,x(t)) ≤ α2‖x‖ab (38)C0D
βt V (t ,x(t)) ≤ −α3‖x‖ab (39)
donde t ≥ 0, x ∈ D, β ∈ (0,1), α1, α2, α3,a,b son constantespositivas. Entonces x = 0 es Mittag-Leffler estable.
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Referencias
1.43
(Duarte-2015) Sea x(t) ∈ Rn un vector de funciones diferen-ciables. Entonces para cualquier t ≥ t0:
12
Ct0D
αt (xᵀ(t)Px(t)) ≤ xᵀ(t)PC
t0Dαt x(t) (40)
donde P ∈ Rn×n es una matriz constante, simetrica y definidapositiva.
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Referencias
1.44
Observaciones finales
• Otros operadores que vale la pena estudiar son: Weyl, deRiez, de Grünwald–Letnikov, etc.
• El problema del significado físico de la derivada fraccio-naria está abierto.
• El problema de la derivada fraccionaria del producto hayque revisarlo más a fondo.
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Referencias
1.44
Observaciones finales
• Otros operadores que vale la pena estudiar son: Weyl, deRiez, de Grünwald–Letnikov, etc.
• El problema del significado físico de la derivada fraccio-naria está abierto.
• El problema de la derivada fraccionaria del producto hayque revisarlo más a fondo.
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Referencias
1.44
Observaciones finales
• Otros operadores que vale la pena estudiar son: Weyl, deRiez, de Grünwald–Letnikov, etc.
• El problema del significado físico de la derivada fraccio-naria está abierto.
• El problema de la derivada fraccionaria del producto hayque revisarlo más a fondo.
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Referencias
1.44
Observaciones finales
• Otros operadores que vale la pena estudiar son: Weyl, deRiez, de Grünwald–Letnikov, etc.
• El problema del significado físico de la derivada fraccio-naria está abierto.
• El problema de la derivada fraccionaria del producto hayque revisarlo más a fondo.
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Referencias
1.45
Referencias
Podlubny, I. (1998). Fractional differential equations: anintroduction to fractional derivatives, fractional differentialequations, to methods of their solution and some of theirapplications (Vol. 198). Academic press.
Diethelm, K. (2010). The analysis of fractional differentialequations: An application-oriented exposition usingdifferential operators of Caputo type. Springer.
Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., & Trujillo, J. J. (2006).Theory and applications of fractional differentialequations (Vol 204). North-Holland mathematics studies.
Oldham, K., & Spanier, J. (1974). The fractional calculustheory and applications of differentiation and integrationto arbitrary order (Vol. 111). Elsevier.
Matignon, Denis (1996). Stability results for fractionaldifferential equations with applications to controlprocessing (Vol. 2). In Computational engineering insystems applications.
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Referencias
1.46
Preguntas y comentarios
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