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MILAGROS RAMOS ZAPATAProfesora de Matemática

INSTITUCION EDUCATIVA N° 1226 “SOL DE VITARTE”

Objetivos• Captar la idea de la programación lineal y sus

posibilidades de aplicación a problemas prácticos.• Saber plantear un problema de programación lineal

partiendo de su enunciado en términos generales.• Conocer y valorar el origen de la programación lineal y

su influencia en la historia.• Dominar el lenguaje propio de la programación lineal:

función objetivo, restricciones, región factible, etc...• Resolver un problema de programación lineal usando

el software POM.

Competencias:El alumno utilizando correctamente la resolución de ecuaciones e inecuaciones será capaz de maximizar beneficios y minimizar pérdidas.

Conocimientos previos:Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones de 1er

grado con dos variablesFunciones lineales

Breve Reseña Histórica

El nombre de PL procede del término militar “programar” = realizar planes de

tiempo para el entrenamiento o

despliegue.

¿Qué es la Programación Lineal?Es un método que se utiliza en la resolución de problemas donde se plantea optimizar el uso de ciertos recursos que se disponen para maximizar utilidades, beneficios, ingresos, eficiencia o minimizar costos, perjuicios, egresos, etc.

Ejemplo 1Huguito es un estudiante que dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga S/. 5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga S/. 7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

Fundamentación Matemática

Planteamiento del Ejemplo 1

Esquema de Solución del Ejemplo 1

• x: numero de impresos A (variable)

• y: número de impresos B (variable)

• Maximizar z = 5x + 7y (Función objetivo)

• Sujeto a:• x ≤ 120 (restricción 1)• y ≤ 100 (restricción 2)• x + y ≤ 150 (restricción 3)

con: x ≥ 0 , y ≥ 0

Representación gráfica de la Región Factible

Evaluando los vértices• Los vértices de la región factible (0;0); (0;100); (50;100);

(120;30) y (120;0)• De acuerdo con el Teorema 2 debe encontrarse una solución

entre estos pares.

Vértice (x ; y) z = 5x + 7y(0 ; 0) 0

(0 ; 100) 700

(50 ; 100) 950

(120 ; 30) 810

(120 ; 0) 600

• Respuesta: Para maximizar la ganancia se debe repartir 50 impresos de la empresa A y 100 impresos de la empresa B.

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN

Problema 1Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x + y – 1 ≥ 0; 0 ≤ x ≤ 3 ; 0 ≤ y ≤ 2.¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y?

Solución:Maximizar z = 5x + 2y (Función objetivo)Sujeto a:

• x+ y ≥ 1 (restricción 1)• x ≤ 3 (restricción 2)• y ≤ 2 (restricción 3)

con: x ≥ 0 , y ≥ 0

• Respuesta: La función Z es máxima para el vértice (3,2), que es 19

Problema 3Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales:x + 2y ≤ 10; x + y ≥ 2; x ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0Hallar el mínimo de F(x,y) = x – 3y

Solución:Maximizar z = x-3y (Función objetivo)Sujeto a:

• x+ 2y ≤ 10 (restricción 1)• x +y ≥ 2 (restricción 2)• x ≤ 8 (restricción 3)

con: x ≥ 0 , y ≥ 0

• Respuesta: El mínimo se alcanza en (0,5) y es - 15

Problema 5En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen S/. 4.50 y las halógenas S/. 6.00. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación?Solución:

• x: numero de bombillas tipo normal(variable) • y: número de bombillas halógenas(variable)

Maximizar z = 4.50x + 6.00y (Función objetivo)Sujeto a:

• x+ y ≤ 500 (restricción 1)• x ≤ 400 (restricción 2)• y ≤ 300 (restricción 3)

con: x ≥ 0 , y ≥ 0

• Respuesta: Se deben producir 200 bombillas normales y 300 halógenas