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MATEMÀTICA I MATEMÀTICA I

ING. CARLOS OLIVA GUEVARA

E-mail: c_oliva_g@hotmail.com

• La matemática es como un juego y para ello hay que conocer las reglas del mismo.

• La matemática es una ciencia que tiene mas de 2000 años.

• Son el lenguaje y la ciencia de los patrones numéricos.

• Es la ciencia básica indispensable en el cambio y transformación continua del universo

Introducción a las matemáticas

“Las Matemáticas de ayer, hoy y para el mañana”

Objetivos • Ordenar el pensamiento.• Definición de axiomas • Plantear y desarrollar ejercicios y problemas

• Las Matemáticas son el arte de dar el mismo nombre a cosas distintas. Nuestro objetivo no ha de ser encontrar parecidos y diferencias, sino descubrir similitudes escondidas bajo discrepancias aparentes.

• El estudiante ha de construir y reconstruir un conjunto de competencias generales y específicas, referidas a la actividad intelectual, tales que le permitan un desempeño exitoso en las subsiguientes fases de su formación profesional.

• Elaborar los hábitos de disciplina y competencias cognoscitivas que les permitan formarse como profesionales altamente calificados, según los parámetros de calidad actuales.

LÒGICA• Razonar, pensar, analizar, observar, discutir…..

La lógica es el estudio de los métodos y principios usados al distinguir entre los argumentos correctos (buenos) y los argumentos incorrectos (malos).

El estudio de la lógica, especialmente la lógica simbólica como el estudio de cualquier ciencia exacta incrementara la capacidad de razonamiento.

El razonamiento es la clase especial de pensamiento llamada interferencia, en la que se sacan conclusiones partiendo de premisas.

Lo lógico no se interesa en el proceso real de razonamiento. A el le importa la corrección del proceso completado. Su pregunta siempre es: ¿se sigue la conclusión de las premisas usadas o supuestas? Si las premisas son un fundamento adecuado para aceptar la conclusión, si afirmar que las premisas son verdaderas garantiza afirmar la verdad de la conclusión, entonces el razonamiento es correcto. De otra manera es incorrecto. Los métodos y técnicas del lógico se interesa en todo razonamiento, sin atender al contenido del mismo, sino solo desde este punto de vista especial.

LÒGICAPENSAMIENTOEl pensamiento es la actividad y creación de la mente, dícese de todo aquello que es traído a

existencia mediante la actividad del intelecto.El término pensamiento es comúnmente utilizado como forma genérica que define todos los

productos que la mente puede generar incluyendo las actividades racionales del intelecto o las abstracciones de la imaginación; todo aquello que sea de naturaleza mental es considerado pensamiento, bien sean estos abstractos, racionales, creativos, artísticos, etc.

El pensamiento podemos definirlo también como la actividad mental no rutinaria que requiere esfuerzo, o como lo que ocurre en la experiencia cuando un organismo se enfrenta a un problema, lo conoce y lo resuelve.

Podríamos también definirlo como la capacidad de anticipar las consecuencias de la conducta sin realizarla.

El pensamiento implica una actividad global del sistema cognitivo con intervención de los mecanismos de memoria, atención, procesos de comprensión, aprendizaje, etc. Es una experiencia interna e intrasubjetiva.

El pensamiento tiene una serie de características particulares, que lo diferencian de otros procesos, como por ejemplo, que no necesita de la presencia de las cosas para que éstas existan, pero la más importante es su función de resolver problemas y razonar

UNIDAD I

I. LÒGICA PROPOSICIONAL

II. TEORIA DE CONJUNTOS

UNIDAD I

I. LÒGICA PROPOSICIONAL

II. TEORIA DE CONJUNTOS

Semana # 1

1.Lógica proposicional2.Proposición lógica3.Enunciados, variables4.Clases de proposiciones: simples y compuestas5.Operaciones lógicas

Semana # 1

1.Lógica proposicional2.Proposición lógica3.Enunciados, variables4.Clases de proposiciones: simples y compuestas5.Operaciones lógicas

Proposiciones Lógicas

Son enunciados u oraciones con sentido completo. Se los denota por variables proposicionales

Tipos de enunciados.cerradosabiertosvariables

Variables proposicionales (p, q, r, s,….etc)

Valor de verdad. (V o F), (1 o 0)

Clases de proposiciones Lógicas

I. Simples o atómicasej. Unix es un sistema operativo

ej. El multitester es un dispositivo electrónico

II. Compuestas o molecularesej. Unix es un sistema operativo y Word es un softwareej. Si m es par y n es entero entonces (n) m es positivo

OPERACIONES LÒGICAS

• OPERADORES LÒGICOS

• La negación: ( ~ ) ~ p no p• La conjunciòn: (Λ ) p Λ q p y q • La disyunción inclusiva: (v ) p v q p o q• La disyunción exclusiva: (∆ ) p ∆ q o p o

q • El condicional: (→ ) p → q si p

entonces q• El bicondicional: (↔ ) p ↔ q p si y

solo si q• La negación conjunta: (↓ ) p ↓ q

ni p ni q • La negación alterna: (↑ ) p ↑ q

no p o no q

Tabla de verdad clásica

p q p q

p q p v q p ∆ q p → q p ↔ q p ↑ q p ↓ q

EjerciciosEstablecer la fórmula molecular de las siguientes expresiones lógicas:

1.Escribimos a máquina o manuscribimos si y solo si no tenemos una computadora2.O bien 2<4 o bien m>n3.Unix y Linux son sistemas operativos si solo si autocad y ms Project son programas4.2 es múltiplo de 4 o es divisor de 6 siempre que 2 sea un número primo5.Si Word es un procesador de texto entonces o bien Excel es una hoja de cálculo o es un sistema operativo 6.Si llega el verano hace calor e iremos a la playa7.Julio no es Ingeniero ni abogado pero si es contador8.Si salimos temprano iremos de paseo no salimos temprano no iremos de paseo9.Si y solo si estoy enfermo iré al médico o si no iré a jugar fútbol y basquet10.Si no hay calor y no hay agua y no hay oxigeno y no hay nitrogeno y no hay carbono, no hay fotosíntesis

EjerciciosEstablecer la fórmula molecular de las siguientes expresiones lógicas y determinar su valor de verdad.1.Si 3> 1 y (– 2 )3 = – 8 entonces 1 es primo

2.Unix y Windows Xp. son sistemas operativos si solo si Word y Excel son software

3.Linux es un sistema operativo mientras que el multitester es un dispositivo electrónico.

4.2 es múltiplo de 8 o es divisor de 4 si y solo si 2 es natural o 2 no es primo

5.Si 2<3 y 2 no es un real entonces o bien 2 es par o ( 2 ! ) =1

6.Word es un procesador de texto si y solo si o bien Excel es una hoja de cálculo o bien es un sistema operativo

7.Geoogle no es un buscador informático pero si es parte lógica a menos que el mouse sea parte física

1. Tablas de verdad

2. Algebra proposicional

Semana # 2

Construcción de tablas de verdad

Recomendación para construir una tabla de verdad

1. Ver cuántas proposiciones simples existen en la expresión molecular, para realizar las combinaciones

2. Observar en que operador estará de verdad

3. Empezar en orden jerárquico a los conectivos lógicos y también en orden a primero los paréntesis, corchete, llaves, negaciones, etc.

Ej. 1Ej. 1

p q ( p → q ) v ( p ↔ q )

p q r { ( p ∆ q ) v ~ ( p ↔ ~ q )} → ~ r

V V V F V V F V V V V F F V V F F F

V F V V V F V V V

V F F V V F V F F

F V V V V F V V V

F V F V V F V F F

F F V F V V F V V

F F F F V V F F F

Ej. 2Ej. 2

Tautología Contradicción y Contingencia.

Tautología: Son expresiones moleculares siempre verdaderas

Ej1. p v ~ pEj2. (p → q ) v p

Contradicción: Son expresiones moleculares siempre FalsasEj. p ~p

Contingencia: Son expresiones moleculares que pueden ser verdaderas o falsasEj. ( p v ~p)→q

Semana # 3

Construir la tabla de verdad y diga si es tautología contradicción o contingencia

p q ( p → q ) v ~ (p ↔ q)

V V F V

F V V F

V V V F

V V F V

Tautologia

Ej. 1Ej. 1

Construir la tabla de verdad y diga si es tautología contradicción o contingencia

p q {( p v q ) → ~ (p ∆ q)} ↔ ~ {( p v q ) Λ ~ (p ↑ q)}

V V V V V F F F V V V F

V F V F F V F V V F F V

F V V F F V F V V F F V

F F F V V F V V F F F V

Contingencia

Ej. 2Ej. 2

LEYES LÒGICAS

Sirven para transformar expresiones moleculares en otras equivalentes.

Se aplican en circuitos lógicos y en circuitos digitales.

ej. Reducir aplicando leyes lógicas

1. q q ~ q p por absorción

Solución:

q ( q p por absorción q

Semana # 4

CIRCUITOS LÒGICOS

A) Circuitos en seriefunción Booleana

p ^ q p q

B) Circuitos en paralelo función Booleana p

p q p q

1 1 1 00 10 0

1 0 0 0

p q p v q

1 1 1 00 10 0

1 1 1 0

Ejemplos de Aplicación:

1.Grafique el circuito equivalente a: [ ( p q) v r ] (s v r)

p q s r r

2.Reducir el circuito al menor equivalente y analizarlo para que seaa) cerrado y b) abierto

•Funcion Booleana: [ ( p q) v ( p q) ] ( q v q)

•Reduciendo por leyes lógicas: p q

•Circuito equivalente p q

•Analisis: a) para que sea cerrado (pasa corriente) p: 1 q: 0

b) para que sea abierto (no pasa corriente)p: 1 q: 1p: 0 q: 1 o 0

CIRCUITOS DIGITALESCIRCUITOS DIGITALES

Semana # 5

a . b a + b a b a ּס b

1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1

NOT AND OR OREX NOREX

NOR NAND

ba ba.

Puertas Básicas

Otras puertas

Ej. 2. Describa como esta compuesto el circuito

Semana # 6 LÓGICA CUANTIFICACIONAL

Es otra forma de conseguir valores de verdad utilizando cuantificadores existenciales y universales en funciones proposicionales.

FUNCIÓN PROPOSICIONAL

Son enunciados abiertos de la forma p(x) en la cual para evaluar se necesita reemplazar a la variable valores convenidos que pertenezcan a un cierto dominio.

EJEMPLO DE APLICACIÓN:

Dadas las funciones proposicionales p(x): x2 ≤ 9

q(x): x2 +1= 2xr(x) : x 2 < 4

Determinar el valor de verdad de la siguiente expresión

[ ( p( 2 ) q(-1) ) ↔ ~ p(-3) ] ∆ ~ r (2)

P(2): (2) 2 ≤ 9 …(V)Q(–1): (–1) 2 +1= 2(–1) …(F)P(–3): (–3) 2 ≤ 9 …(V)R(2): (2) 2 < 4 …(F)

EVALUANDO:

[ (V F) ↔ ~ (V) ] ∆ ~ (F)

[ F ↔ F ] ∆ V

V ∆ V

Tipos De Cuantificadores

Hay 2 clases de cuantificadores:

a) Cuantificador Existencial ( )Ej. 1 x N / x > 3Se lee: existe un “x” que pertenece a los números naturales tal que “x” sea mayor que 3

b) Cuantificador Universal ( )Ej. 2 x R Se lee: para todo “x” que pertenece a los números

reales, se cumple que x 2 +1 = 0

/ x 2 +1 = 0

Semana # 7

CAPÍTULO II

TEORÍA DE CONJUNTOS

Noción de Conjunto

Es la agrupación de elementos bien definidos y que tienen una característica en común.

Ejemplos:

A = {i, d, a, t}Se lee: A es el conjunto cuyos elementos son las letras de la palabra idat

Se lee: B es el conjunto cuyos elementos son los números naturales menores que 6

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Relación De Pertenencia ( )

Se hace de elemento a conjunto; y se denota por x A, caso contrario x A

Relación De Inclusiòn ( )

Se hace de conjunto a conjunto y se denota por A B, caso contrario A B

Ej. Dado los conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4, 6 } ; B = { 2, 3 } y C = { 0, 3, 4 }

Responder : V o F las siguientes proposiciones

1.3 A ( V ) 4. C A ( V )2.B A ( V ) 5. {6} A ( V )3.B A ( F ) 6. 0 y 3 C ( F )

Determinación de conjuntos

Cardinal y conjunto potencia

Cardinal de un conjunto: n(A) o Card(A)Es la cantidad de elementos que tiene dicho conjunto

Ej. A = { 1, 2, 4 }; n(A) = 3

Conjunto Potencia: P(A)Es aquel conjunto cuyos elementos son sub conjuntos que se pueden formar con los elementos de A

Calculo del n° de elementos de P(A): n(P(A)) = 2n(A)

A = {1,5}; hallar: a) n(P(A) b) P(A)

a)n(P(A)) = 2n(A) = 22 = 4b)P(A) = {{1},{5},{1,5},{ }}

Ej. B = { m, n,1, 2, 3 }; n(B) = 5

Unión: A B

Intersección: A B

Unión: A B

Intersección: A B

Semana # 8

ALGEBRA DE CONJUNTOS

}/{ BxAxxBA

}/{ BxAxxBA Diferencia: A – B

}/{ BxAxxBA }/{ AxBxxAB

Diferencia simétrica: A B

Complemento:AI

)}(/{ AUxx

)}()(/{ ABxBAxxBA

CONJUNTO UNIVERSAL: (U)

Intersección: A B

CONJUNTO UNIVERSAL: (U)

Intersección: A B

Semana # 8

CONJUNTOS ESPECIALES

especìficoestudionenosconsideradsiendesqueelementoslostodosarelacionaquelreferenciaconjuntoquelaEs tan

}/{ BxAxxBA Diferencia: A – B

}/{ BxAxxBA }/{ AxBxxAB

Diferencia simétrica: A B

Complemento:AI

)}(/{ AUxx

)}()(/{ ABxBAxxBA

Ej. Si: A={1, 2, 3, 5 }; B= { 0, 2, 3, 4 }; U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }Hallar:

{}}},4,0{},4{},0{{)(

}6,5,4,1,0{

}6,5,1{

}6,4,0{

}5,4,1,0{

}4,3,2,1,0{

Semana # 9

PRODUCTO CARTESIANO (AxB)

BbAabaAxB /),(

1,3 , (1,5), (1,6), (2,3), (2,5), (2,6)

3,1 , (3,2), (5,1), (5,2), (6,1), (6,2)

Dados dos conjuntos arbitrarios no vacíos A y B se define el producto cartesiano A x B como el conjunto:

Ejemplo: Sean: A = {1, 2} y B = {3, 5, 6}entonces:

Nro. De Elementos Del Producto Cartesiano AxBEsta dada por: n(AxB) = n(A) x n(B)

En el ejemplo: n(AxB) = 2 x 3 = 6

EXAMEN PARCIAL

Semana # 10

UNIDAD II

I.RELACIONES Y FUNCIONESII.SUCESIONES NUMERICASIII.NUMEROS REALES

• Ecuaciones• Inecuaciones• Valor absoluto

RELACIONES BINARIAS

Son subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un producto cartesiano AxB

EJ. Dado A= {1} ; B = {2,4} AxB = { (1,2); (1,4)}

Nª de R.B = 22 = 4R1 = { (1,2) }R2 = { (1,4) }R3 = { (1,2); (1,4) }R4 = { }

CÀLCULO DEL No DE R.B. EN AxB

No de R.B. = 2n(A).n(B)

Semana # 11

Ej. Dado los conjuntos: A = {(x+4) / x N; x < 4}B = {(x+2)/ x Z; – 2< x < 3 }

Determinar: a) R1 = {(x,y) AxB / x = y+3} b) R2 = {(x,y) BxA / x + y = 7} c) R3 = {(x,y) AxA / x < y} d) R4 = {(x,y) BxB / x > y}

Soluciòn: A = {4, 5, 6, 7}B = {1, 2, 3, 4}

a) R1 = {(4,1); (5,2); (6,3); (7,4)}b) R2 = {(1,6); (2,5); (3,4)}c) R3 = {(4,5); (4,6); (4,7); (5,6);(5,7);(6,7)} d) R4 = {(2,1); (3,1); (3,2); (4,1);(4,2);(4,3)}

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÒN

/( , )

: (2,3);(2,4);(3,7)

DOMINIO DR Dom R

DR x x y AxB A

RANGO RR Ran R

RR y x y AxB B

Ejemplo Sea R

RELACIÒN INVERSA

Definición: Si una relación tiene inversa, esta se denota por: R-1

y se define como:

RbaabR ),/(),(1

)3,5();2,4();2,3(

)5,3();4,2();3,2(1

Semana # 12PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS

( , ) ,R sera reflexiva a a R a A

( , ) ( , )R sera simetrica si a b R b a r

( , ) ( , ) ( , )R sera transitiva si a b R b c R a c R

R sera deequivalencia si esta cumpleconlas anteriores

es decir debe ser reflexiva simetrica y transitiva

1. PROPIEDAD REFLEXIVA

2. PROPIEDAD SIMÈTRICA

3. PROPIEDAD TRANSITIVA

4. PROPIEDAD DE EQUIVALENCIA

Ejercicios Resueltos:

)2,4();4,2();2,3();3,2();6,6();4,4();33();2,2(

)6,2();6,3();4,2();4,3();3;2(

)3,6();6,3();3,4();4,3();2,3();3,2(

)(/),(

)6,4();6,3();4,3();6,2();4,2();3,2();6,6();4,4();3,3();2,2(

)(/),(

mindet;6,4,3,2

elementosdeiaequivalencdeseaAxAyxR

elementoscontengaytransitivaseaAxAyxR

simétricaseayimparseayxAxAyxR

reflexivaseayyxAxAyxR

relacionessiguienteslasarerASi

.I AxBf .II

FUNCIONES

DEFINICIÓN

Dado dos conjuntos A y B no vacíos, podemos determinar una relación binaria R de A en B llamada función de A en B si y solo si verifica que:

Es decir si dos pares ordenados tienen sus primeras componentes iguales, para que sea función sus segundas componentestambién deben ser iguales.

cbfcayfbaSi ),(),(:

Semana # 13

Ejemplo de aplicación

1. Sea A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5}

Diga cual de las siguientes relaciones son funciones de A en B

R 1 = {(1,2); (2,3); (3,5)} Si es función

R2 = {(1,2); (2,3); (2,5)} No es función

Porque (2,3) y (2,5) tienen las mismas primeras componentes iguales pero sus segundas componentes son diferentes 3 ≠ 5

R3 = {(1,2); (2,4); (3,4)} Si es función

R4 = {(1,2); (3,2)} Si es función

R 5 = {(1,2); (2,3); (2,5), (3,5)}; No es función Porque (2,3) R5, pero 3 ≠ 5

Afyxx ),/(

Bfyxy ),/(

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Dada una función f de A en B, el dominio es el conjunto de todas las primeras componentes y el rango es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de f.Es decir:

Dom (f) =

Ran (f) =

. : (2,3);(3,4);(3,5)

Ejm Si F

Dada la función f (2x – 1) = 4x2 – 3

Evaluar: f [ f ( 2) ]

Solución:Se recomienda hacer un cambio de variable en

2x – 1 = y x = (y+1)/2

entonces la nueva función será:

f (y) = 4 [(y+1)/2]2 – 3 = (y+1)2 – 3 = y2 + 2y – 1

f (y) = y2 + 2y – 1

Ahora evaluamos: f (2) = (2)2 + 2(2) – 1 f (2) = 7

Ahora f [ f ( 2) ] = f (7) = (7)2 + 2(7) – 1 f (7) = 62

Semana # 14TEORIA DE SUCESIONES NUMERICAS

OBJETIVO

Presentar una teoría básica de determinación y tipos de sucesiones así como también el estudio de las progresiones aritméticas y geométricas. Aquí detallamos una teoría intuitiva de convergencia de las sucesiones y una solución sencilla en los ejercicios y problemas.

DEFINICIÓN

Se denomina sucesión de números reales a toda función f: N R, es decir que para cada natural n > 0, le corresponde a la función un número real R = f(n).

PROGRESIÓN ARITMÉTICA (p.a)

Definición

Una p.a es una sucesión de números, en la cual un término diferente al primero restado de su inmediato anterior es siempre una constante denominada razón (r).

Sea ÷ a1, a2, a3,………a n – 1, an………….Se cumple que: a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = …………..

La razón será: r = an – a n – 1

Nota: Si r > 0 → la p.a es crecienteSi r < 0 → la p.a. es decreciente

Fórmulas y propiedades1. Razón: r = an – an – 1

2. Término enésimo: an = a1 + (n – 1) r

3. Número de términos: n = (an – a1)/r + 1

4. Término central: tc = (an+ a1)/2

• Suma de los n primeros términos: (sn)

a) sn = [ 2 a1 + (n – 1)r ] (n/2)

b) sn = (a1 + an)(n/2)

c) sn = (tc) (n/2) si n es impar

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

DEFINICIÓN

Es una sucesión de términos, en la cual uno de ellos diferente al primerodividido de su inmediato anterior es siempre una constante denominada razón (q).Sea ÷÷ t1, t2, t3,………t n – 1, tn, .………….

La razón será: q = tn / t n – 1

Si q > 1 → la p.g. es creciente Si 0 < q < 1 → la p.g. es decreciente Si q < 0 → la p.g es alternada

Fórmulas y propiedades

1. razón: q = tn / tn – 1

2. término enésimo: tn = t1 .qn – 1

3. término central: tc = √t1.tn

4. Suma de los n primeros términos: (sn)

sn = t1.(q n – 1 )/(q – 1 )

Ejercicios de (p.a)

24015.16)15.(2

)2).(115()2(2)

378261.62)61).(21222

6116012

42)2).(121(2)

122;2;2::

:122..,.........8,6,4,2).1

araqueobservamossoluciòn

sdscnbaa

Ejercicios de (p.g)

)63(2)1

164(2)

1110122

)2(1024

)2(22048)

128)2(2)2(2)

2048;2;2:

:2048,.......16,8,4,2).1

tqtsoluciòn

scnbta

hallar

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

INTRODUCCIÓN

El sistema de los números reales que ahora conocemos es el resultado de un enorme esfuerzo de reflexión y trabajo de los hombres de ciencias, en particular de los grandes matemáticos de la humanidad. Los enteros positivos como el 1, 2, 3, 4, ..... pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra civilización. Enteros tan grandes como 100000 se usaban en Egipto aproximadamente en los años 300 antes de Cristo.

Un sistema de axiomas describen completamente los números reales. Partiendo de estos axiomas se deducen todas las propiedades de los números reales. Este método, llamado método axiomático del desarrollo de los números, también fue usado en el estudio y desarrollo de la geometría euclidiana:Un conjunto de axiomas para los números reales da inicio al estudio del sistema de los números reales, al cual se le llama Campo de los Números Reales.

OBJETIVO

Describir una gama de axiomas de los números reales que tienen por finalidad derivarse en una serie de propiedades básicas, para resolver ecuaciones e inecuaciones ya sea con valor o sin valor absoluto.

Semana # 15

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

:resueltosejercicios

0,;0: aRbRabaxformaladeSon

41)2/3(2).2

242062

2)5(4)3(2).1

331540

33)38(5

33)13(35

32)2/1(235).4

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

)(..........

).(..........

IIpnymx

Icbyax

De orden 2x2

13/162

13/4222

22)13/14(3:)(

1413:)()(

).........(669:3)(

).........(864:2)(

).(..........223

).(..........432).2

133)2(2:)(

105:)()(

)........(3333)(

)(..........1

)(..........1332).1

xIVIII

IVyxxII

IIIyxxI

IIIyxxII

resueltosejercicios

7/2422

22)7/8(3:)(

87:)()(

).........(624:2)(

).(..........223

).(..........32).4

6)2(2:)()(

)(..........2

)(..........62).3

xIIIII

IIIyxxI

yyIenII

Problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales

1. Julio dice a Rosa mi edad es el triple de tu edad y dentro de 5 años solo será el doble ¿Qué edad tenía Julio cuando nació Rosa

2. L a suma de lo dígitos de un número de 2 cifras es 7, si se invierte el número este excede al primero en 9 unidades. Determinar el complemento de dicho número

3. Por 2 IBM y 3 COMPAQ se paga $ 5400 . Si el precio de una IBM excede a la de una COMPAQ en $200. ¿ determinar el monto mínimo que se requiere para comprar una de cada marca?

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

0;,,;0: 2 aRcRbRacxbaxformaladeSon

xGeneralSoluciòn2

Semana # 16

simaginariasonraìceslassi

igualessonraìceslassi

realessonraìceslassi

)(:ntediscriminadelAnàlisis2

21/)2(

ecuaciònladeraìceslasxyxsiendoxxhallar

xxecuaciònladadaEjm

xxxxxx

aplicarpodemoscbxax

ecuaciònladeraìceslasxyxseaopiedades

Propiedades de las ecuaciones de segundo grado

3,1..12

)3)(1(4)2()2(

3;2;1:

3,1..0)1)(3(

032x:ecuaciònsiguientelaResolver

cbageneralsoluciònlaaplicando

simpleaspaaplicando

4,4..0)4)(4(

0)4)(1(4

:"").5

igualesseanraìceslasqueparacondiciòn

igualesseanmxx

ecuaciònladeraìceslasqueparamdevalorelHallar

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES

Se dice que el número “a” es menor que “b” si en una recta de los reales “a” esta a la izquierda de “b”

– ∞ + ∞ R a b

Se denota por: (a < b)

Propiedades:

RmmbmabaSi

Semana # 17

/1/10:).4

asicbaaSi

babaSi

bmambaSi

9,7)45(7459)5(

1244)4(

13,1)43(13431)4(

933)3(

45)43))

;5,3)12(.)1

departimosxc

departimosxb

xcxbxa

hallarxsi

resueltosejercicios

INECUACIONES

Inecuaciones de primer grado

Son de la forma:

0,:;0 ayRbRadondebax

112362

)1(1)3/2(3)3(2

solucuòn

Ejemplo 1.Ejemplo 1.

,2/32/3

2252342

)1(25)3/2(3)2(2

solucuòn

Ejercicios: (resolver)

7/2,7/2

INECUACIONES

Inecuaciones de Segundo grado

Son de la forma:

Ejercicios: (resolver)

0,,:;02 ayRcRbRadondecbxax

Ejemplo 2. Hallar el conjunto solución de x 2 – x – 6 0

Solución:

de x 2 – x – 6 0 ; por aspa simple

(x+2) (x – 3) 0

Aplicando 2: ab O (a 0 b 0) (a 0 b 0)

(x+2) 0 x – 3 0 (x+2 0 x – 3 0)

(x – 2 x 3 ) (x – 2 x 3) ( x 3 ) (x – 2 )

1,00))(1(

productocomotrabajasex

iasfraccionaresinecuaciondeEjm

0)4)(1)(3(

,43,1x

Rxa ;0

Rxaa ; aa

baba .

VALOR ABSOLUTO

DEFINICIÒN:

Al valor absoluto de un número real x, lo denotaremos por

Ejemplos: 3 = 3 – 3 = 3

1.Propiedades Básicas

Semana # 18

bababa

bababba

bababa

esinecuacioneecuacionesresolverparaopiedades

1,1..11

313133

)3(13313

313).2

042).1

..secint

)1(1211201

112).3

scentoncesciònerexixteno

3,3/13/13

534).5

invierteseddesigualdalaypormosmultiplica

,43,43

721721

721).7

,3/71,13/7

523523

523).6

Ing _ C.O.G/

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